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2013走向高考数学详细答案6-3简单的线性规划问题



高考数学总复习

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A


第6章 不等式

高考数学总复习

第 三 节

简单的线性规划问题

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第6章

第三节
<

br /> 高考数学总复习

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第6章

第三节

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重点难点 重点:二元一次不等式表示的平面区域. 难点:目标函数的确定及线性规划的实际应用 知识归纳 1.含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等 式称为二元一次不等式;把几个二元一次不等式组成的 不等式组称作二元一次不等式组;满足二元一次不等式 组的所有有序数对(x,y)组成的集合称作二元一次不等式 组的解集.
第6章 第三节

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2. 二元一次不等式 Ax+By+C>0(或 Ax+By+C<0) 表示的平面区域. (1)在平面直角坐标系中作出直线 Ax+By+C=0; (2)在直线的一侧任取一点 P(x0,0), y 特别地, C≠0 当 时,常把原点作为此特殊点. (3)若 Ax0+By0+C>0,则包含点 P 的半平面为不等 式 Ax+By+C>0 所表示的平面区域, 不包含点 P 的半平 面为不等式 Ax+By+C<0 所表示的平面区域.
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第6章

第三节

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注意:画不等式 Ax+By+C≥0(或 Ax+By+C≤0) 所表示的平面区域时, 区域包括边界直线 Ax+By+C=0 上的点,因此应将其画为实线.把等号去掉,则直线为 虚线.
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第6章

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3.线性规划的有关概念 (1)把要求最大值或最小值的函数叫做目标函数. (2)目标函数中的变量所满足的不等式组称为约束条件. (3)如果目标函数是关于变量的一次函数,则称为线性目 标函数. (4)如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式),则 称为线性约束条件. (5)在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小 值问题,称为线性规划问题.
第6章 第三节

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(6)满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.由所有 可行解组成的集合叫做可行域. (7)使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称 为问题的最优解.
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4.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式所表 示的平面区域作出,找出其公共部分. (2)将目标函数表达为 y=f(x)的形式,考察待求最值 的变量的几何意义,令其为 0,作出目标函数等值线.
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(3)确定最优解 (一)在可行域内平行移动目标函数等值线,最先通过或 最后通过的顶点便是最优解对应的点,从而确定最优解. (二)利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行 域的直线 l1、l2、?、ln 的斜率分别为 k1<k2<?<kn,而且目 标函数的直线的斜率为 k,则当 ki<k<ki+1 时,直线 li 与 li+1 相交的点经常是最优解. (4)将最优解代入目标函数,求出最值.
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误区警示 1.在求解应用问题时要特别注意题目中的变量的取 值范围,防止将范围扩大. 2. 对线性目标函数 z=Ax+By 中的 B 的符号一定要 注意. 当 B>0 时,直线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最大,在 y 轴上截距最小时,z 值最小;当 B<0 时,直 线过可行域且在 y 轴上截距最大时,z 值最小,在 y 轴上 截距最小时,z 值最大.
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3.解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以 作图应尽可能精确,图上操作尽可能规范.求最优解时, 若没有特殊要求,一般为边界交点.若实际问题要求的最 优解是整数解.而我们利用图解法得到的解为非整数解, 应作适当调整.其方法应以与线性目标函数直线的距离为 依据,在直线附近寻求与直线距离最近的整点,但必须是 在可行域内寻找. 但考虑到作图毕竟还是会有误差, 假若图 上的最优点不是明显易辨时,应将最优解附近的整点都找 出来,然后逐一检查,以“验明正身”.
第6章 第三节

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解题技巧 1.二元一次不等式表示的平面区域的判定方法 (1)不过原点(也不与坐标轴重合的直线)取原点检验, 将原点坐标代入,若满足不等式,则不等式表示的平面 区域为原点所在的一侧,否则为另一侧;过原点的取 x 轴(或 y 轴)上一点,如(1,0)检验,结论同上.简称直线定 界,特殊点定域.
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(2)B 值判断法 区域 不等式 Ax+By+C>0 B>0 区域 B<0
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直线 Ax+By+C= 直线 Ax+By+C=0 0 上方 下方

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直线 Ax+By+C= 直线 Ax+By+C=0 Ax+By+C<0 0 下方 上方

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主要看不等号与 B 的符号是否同向,若同向则在直 线上方,若异向则在直线下方,简记为“同上异下”, 这种判断方法称作 B 值判断法.即判定点 P(x0,y0)在直 线 l:Ax+By+C=0(B≠0)哪一侧时,令 d=B(Ax0+By0 +C),则 d>0?P 在直线 l 上方;d=0?P 在 l 上;d<0? P 在 l 下方.
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一般地说,直线不过原点时用原点判断法或 B 值判 断法,直线过原点时用 B 值判断法或用(1,0)点判断. 只要会用一种方法判断即可.
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2.目标函数 z=Ax+By+C,当 B>0 时,z 的值随 直线在 y 轴上截距的增大而增大; B<0 时,z 的值随直 当 线在 y 轴上截距的增大而减小.求整数最优解时,可用 格点法.也可将边界线附近的可行解代入目标函数,求 值比较得出.
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二元一次不等式(组)表示的平面区域
[例 1] (2010· 北京文)若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1
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=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平面区 域内,则 m=________. 分析: 如果点 P 在二元一次不等式 Ax+By+C=0(A2 +B2≠0)表示的平面区域内, 则点 P 的坐标满足此不等式.

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解析:点 P 到直线 4x-3y+1=0 的距离 |4m-9+11| d= =4, 5 解得 m=7 或 m=-3, 又∵点 P 在 2x+y<3 表示的区域内,故 m=-3.
答案:-3

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(文)画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0 表示的平面 区域.
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解 析 : 原 不 等 式 等 价 于 两 个 不 等 式 组
?x+2y+1>0, ? ? ?x-y+4<0 ? ?x+2y+1<0, ? 或? ?x-y+4>0. ?

如图所示,在直角坐
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标系中画出直线 x+2y+1=0 与 x-y+4=0(画成虚线).

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取原点(0,0)可以判断不等式 x+2y+1>0 表示直线 x +2y+1=0 的右上方区域,x+2y+1<0 表示直线 x+2y +1=0 的左下方区域;x-y+4<0 表示直线 x-y+4=0 的左上方区域,x-y+4>0 表示直线 x-y+4=0 的右下 方区域.所以原不等式表示的平面区域为图中阴影部分.
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点评: 由上面的作图可知, 不等式(A1x+B1y+C1)(A2x +B2y+C2)<0 表示一对顶角形区域,实际作图时只要画 出两条直线,再在任一对顶角域内取一点检验是否满足 不等式即可作出判断. 将不等号“<”改为“>”时同理可得.
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(理)(2011· 辽宁铁岭六校联考)设 a>0, 点集 S 的点(x, a a y)满足下列所有条件:① ≤x≤2a;② ≤y≤2a;③x+ 2 2 y≥a;④x+a≥y;⑤y+a≥x.则 S 的边界是一个有几条 边的多边形( A.4 ) B.5 C.6 D.7
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解析:作出不等式组表示的平面区域如图可知,它 是一个六边形.
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答案:C
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平面区域的面积
[ 例 2] ?x≥0 ? ?x+3y≥4 ?3x+y≤4 ? (2011· 津 五 中 模 拟 ) 若 不 等 式 组 天
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4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积 3

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相等的两部分,则 k 的值是________.

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解析:

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由题目所给的不等式组可知,其表示的平面区域如 4 右图所示, 这里直线 y=kx+ 只需经过线段 AB 的中点 D 3 即可,此时
7 答案: 3
?1 5 ? D 点的坐标为? , ?,代入可得 ?2 2 ?

7 k= . 3

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?x-2y-2≤0 ? (文)(2011· 厦门期末)不等式组 ? ?2x+y+1≥0 ?

所确
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定的平面区域为 D,则该平面区域 D 在圆 x2+(y+1)2 =4 内的面积是________.

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解析:作出不等式组表示的平面区域 D 如图,直线 1 x-2y-2=0 和直线 2x+y+1=0 的斜率依次为 k1= , 2 k2=-2,∵k1k2=-1,∴两直线互相垂直,故所求面积 1 为 S= ×π×22=π. 4
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答案:π
第6章 第三节

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点评:若两直线不垂直,可先写出两直线的方向向 量,利用向量求得两直线夹角,再求面积.
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?y≥x-1, ? (理)在坐标平面上,不等式组? ?y≤-3|x|+1 ?

所表示
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的平面区域的面积为( A. 2 3 B. 2

) 3 2 C. 2 D.2

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?y≥x-1 ? 解析:不等式组? ?y≤-3|x|+1 ?

的图形如图.
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解得:A(0,1)

D(0,-1)

B(-1,-2)

1 1 C( ,- ) 2 2
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1 1 1 S△ ABC= ×|AD|×|xC-xB|= ×2×( +1) 2 2 2 3 = ,故选 B. 2

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答案:B

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简单线性规划
?x+y≥2 ? (文)已知实数 x、y 满足?x-y≤2 ?0≤y≤3 ?

[例 3]

,则 z=

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2x-y 的取值范围是________.

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分析:z=2x-y 即 y=2x-z,当直线 y=2x-z 在 y 轴上的截距最大(小)时,z 取最小(大)值 .
解析:先画出可行域如图,显然 z=2x-y 在点(-1,3) 处达到最小值-5,在(5,3)处达到最大值 7.∴z∈[-5,7].
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答案:[-5,7]

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(理)(2010· 重庆诊断)设 O 为坐标原点,点 M 的坐标为 ?x-4y+3≤0 ? (2,1),若点 N(x,y)满足不等式组?2x+y-12≤0 ?x≥1 ? → → OM· 取得最大值的点 N 的个数是( ON A.1 B.2 C.3 ) D.无数个
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,则使

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分析:点 N(x,y)在不等式表示的平面区域之内,U → → =OM· 为 x,y 的一次表达式,则问题即是当点 N 在 ON 平面区域内变化时,求 U 取到最大值时,点 N 的个数.
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→ → 解析: 如图所示, 可行域为图中阴影部分, 而OM· ON =2x+y,所以目标函数为 z=2x+y,作出直线 l:2x+y =0,显然它与直线 2x+y-12=0 平行,平移直线 l 到直 线 2x+y-12=0 的位置时目标函数取得最大值,故 2x +y-12=0 上每一点都能使目标函数取得最大值,故选 D.
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答案:D

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?x+y≤1 ? (2011· 安徽文,6)设变量 x,y 满足?x-y≤1 ?x≥0 ? x+2y 的最大值和最小值分别为( A.1,-1 C.1,-2 ) B.2,-2 D.2,-1

,则

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解析:画出可行域为图中阴影部分.

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作直线 l:x+2y=0,在可行域内平移 l 当移至经过点 A(0,1)z 取最大值 zmax=x+2y=2 当移至经过点 B(0,-1)z 取最小值 zmin=x+2y=-2.
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答案:B

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简单线性规划的实际应用
[例 4] 某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个 2 项目, 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍, 3 且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 1 万元可获 得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项 目上共可获得的最大利润为( )
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A.36 万元 C.30.4 万元

B.31.2 万元 D.24 万元
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解析:设对甲项目投资 x 万元,对乙项目投资 y 万 ?x+y≤60 ? ?x≥2y 3 元,根据题意得? ?x≥5 ? ?y≥5

,所获利润 z=0.4x+0.6y.

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画出可行域,由目标函数对应直线 0.4x+0.6y=z 知 最优解为(24,36),

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∴zmax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元).

答案:B
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点评:1.线性规划实际应用问题的类型: ①给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运 用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大. ②给定一项任务,问怎样统筹安排能使完成这项任 务的人力、物力资源量最小.
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2.线性规划实际问题的求解步骤: ①认真分析实际问题的背景,收集有关数据.有时将数 据用表格列出.
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②将影响该问题的各项主要因素作为决策量,设未知量. A ③根据问题的特点,写出约束条件和目标函数. ④按求解线性规划问题的一般步骤求出最优解或其它要 求的解. ⑤根据求解结果,对实际问题作出解释.

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(文)某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市 场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元.在满 足需要的条件下,最少要花费________元.
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解析:设买 x 袋 35 千克的,y 袋 24 千克的, ?35x+24y≥106 ? 由题意得:?x≥0 ?y≥0 ? 目标函数为 z=140x+120y,由线性区域图知, 当 x=1,y=3 时 z 最小为 500 元.
答案:500
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(理)某地一公司计划明年在省、 市两个电视台做总时 间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 90000 元.省、市电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,根据经验,省、市两个电视台为该公司所 做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为 3000 元和 2000 元.问该公司如何分配在省、市两个电视台的广告 时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少元?
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解析:设该公司在省电视台和市电视台做广告的时 间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元, ?x+y≤300 ? 由题意得?500x+200y≤90000 ? x≥0,y≥0 ? 目标函数为 z=3000x+2000y.
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将二元一次不等式组化简, ?x+y≤300 ? ?5x+2y≤900 ?x≥0,y≥0 ? 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图. 作直线 l:3000x+2000y=0,即 3x+2y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标 函数取得最大值.

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?x+y=300 ? 由? ?5x+2y=900 ?

解得,x=100,y=200.
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∴点 M 的坐标为(100,200). ∴zmax=3000x+2000y=700000(元). 即公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为 100 分钟和 200 分钟时, 总收益最大, 最大收益为 700000 元.

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一、选择题 ?x≥0 ? 1. (2011· 合肥二模)不等式组?x+3y≥4 ?3x+y≤4 ? 面区域的面积等于( 3 A. 2 2 B. 3 ) 4 C. 3 3 D. 4

所表示的平

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[答案] C

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[解析] 画图可知, 不等式组所表示的平面区域是一 4 个三角形,且三个顶点的坐标分别是(0, ),(0,4),(1,1), 3 1 4 4 所以三角形的面积 S= ×(4- )×1= . 2 3 3
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2. (文)(2010· 四川广元市质检)在直角坐标系 xOy 中, 已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为 x=0, y=0,2x +3y=30,则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的 点)的总数为( A.95 ) B.91 C.88 D.75
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[答案] B

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[解析] 由 2x+3y=30 知,y=0 时,0≤x≤15,有 16 个;
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y=1 时,0≤x≤13;y=2 时,0≤x≤12; y=3 时,0≤x≤10;y=4 时,0≤x≤9; y=5 时,0≤x≤7;y=6 时,0≤x≤6; y=7 时,0≤x≤4;y=8 时,0≤x≤3; y=9 时,0≤x≤1,y=10 时,x=0. ∴共有 16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1= 91 个.
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(理)在平面直角坐标系中,设不等式组 ?x>0 ? ?y>0 ? y≤-n?x-4? ?
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所表示的平面区域为 Dn,记 Dn 内的整

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点的个数为 an(n∈N*),则 a2 为( A.6 B.8

) D.12

C.10

[答案] D

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[解析] 当 n=2 时,画出平面区域 D2,当 x=1 时, y≤6;当 x=2 时,y≤4;当 x=3 时,y≤2.因此满足题 意的整点共有 12 个.
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3.(2011· 浙江文, 3)若实数 x, y 满足不等式组 ?x+2y-5≥0 ? ?2x +y-7≥0 ?x≥0,y≥0 ? A.13
[答案] A
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,则 3x+4y 的最小值是(

)

A


B.15

C.20

D.28

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[解析] 如图所示, 令 z=3x+4y
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3 z ∴y=- x+ 4 4 3 z 求 z 的最小值,即求直线 y=- x+ 截距的最小值. 4 4 经讨论之,点 M 为最优解,即为直线 x+2y-5=0 与 2x+y-7=0 的交点,解之得 M(3,1). ∴zmin=9+4=13.
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4.(2010· 南昌市模拟)已知 a,b∈R+,a+b=1,M =2a+2b,则 M 的整数部分是( A.1 B.2 ) C.3 D.4
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A

[答案] B



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[解析] ∵a,b∈R+,a+b=1,∴0<a<1,设 t=2a, 则 t∈(1,2),M=2 +2 =2 +2
a b a 1-a

2 =t+ ≥2 2,等号在 t t

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= 2时成立,又 t=1 或 2 时,M=3,∴2 2≤M<3,故 选 B.

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第6章 第3节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
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