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广东省高州长坡中学2011届高三第二次月考(数学文)



广东高州长坡中学 2011 学年上学期高三第二次月考
数学试题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列五个写法:① {0} ? {1, 2 ,3} ;② ? ? {0} ;③{0,1,2} ? {1, 2 , 0} ;④ 0 ? ? ;⑤
0 ? ? ?

? ,其中错误写法的个数为 ..

( C . 3 D.4 (
2



A. 1

B. 2

2.下列四组函数中, f ( x ) 与 g ( x ) 表示同一函数是 ....



A



f ( x) ? x ? 1


x ? ?1 x ? ?1
3

g ( x) ?

x ?1 x ?1

? x ?1 B. f ( x ) ? | x ? 1 | , g ( x ) ? ? ?? 1 ? x

C. f ( x ) ? 1, g ( x ) ? ( x ? 1) 0 3.已知 log7〔log3(log2x) 〕=0,那么 x A.
1 3
? 1 2

D. f ( x ) ? = C.
2 4

3

x , g ( x) ? ( x )

2

( D.
3 9



B.

3 6

4.若定义域为 R 的连续函数 f ( x ) 惟一的零点 x 0 同时在区间(0,16)(0,8)(0,4) , , , .. (0,2)内,那么下列不等式中正确的是 A. f ( 0 ) ? f (1) ? 0 或 f (1) ? f ( 2 ) ? 0 C. f (1) ? f (16 ) ? 0
2





B. f ( 0 ) ? f (1) ? 0 D. f ( 2 ) ? f (16 ) ? 0

5.如果函数 f ( x ) ? x ? 2( a ? 1) x ? 2 在区间 ? ?? , 4 ? 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 ( A. a ? ? 3 B. a ? ? 3 C. a ? 5 D. a ? 5 x 6.已知 a >1,函数 y=a 与 y=log a(-x)的图像可能是 y y )

( y y



A

o

xB

o

x

C

o

x

D

o

x

1

7.若奇函数 f(x) 在[1,3]为增函数,且有最小值 7,则它在[-3,-1]上 A.是减函数,有最小值-7 B.是增函数,有最小值-7 C.是减函数,有最大值-7 D.是增函数,有最大值-7 8.已知幂函数 y ? x A .{-1,0,1,2}
m ?m ?6
2





则 ( ( m ? Z ) 的图像与 x 轴无公共点, m 的值的取值范围是 C .



B.{-2,-1,0,1,2,3} D.{-3,-2,-1,1,2}

{-2,-1,0,1}

9.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 对于任意实数 x 满足条件 f ( x ? 6 ) ? f ( x ) 错误!未找到引用源。 , 且 f ( 4 ) ? ? 2008 , 错误!未找到引用源。 则 f ( f ( 2008 )) ? 错

误!未找到引用源。 ( ) A.2008 B.-2008 C.4 D.-4 10.烟台某中学的研究性小组为了考察长岛县的旅游开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直 线方向匀速开往改岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边考察,然后又乘 汽艇沿原航线提速返回,设 t 为出发后某一时刻,S 为汽艇与码头在时刻 t 的距离,下 列图像能大致表示 S=f(t)的函数关系的是 ( ) S S S S

O

t

O

t

O

t

O

t

A B C D 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分。其中 14~15 题是选做题,考生只 ... 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。 11 . 计 算 :( 1 )
log 2 (1 ? 2?

?

7 ?

6

?

2 log ?

7?

6

? 10

= . .

; ( 2 )

3 ) ? log 2 (1 ?
log
1 2

2?

3) ?

12.函数 f ( x ) ?

( ? 2 x ? 3 ) 的定义域是
2

13.若命题“ ? x0∈R,使(a+1)x0 +4x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围为 7? 2 14.已知直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ,则点 A ( 2 , ) 到这条直线的距离为__
2

. __.

4

15.如图,从圆 O 外一点 P 作圆 O 的割线 PAB、PCD, AB 是圆 O 的直径,若 PA=4,PC=5,CD=3, 则∠CBD= 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出 文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 设全集 U ? R ,集合 A ? { x | 6 ? x ? x ? 0} ,集合 B ? ? x
2

D C P A O B

? ?

? x ?1

? ? 0? x?3 ?

2

(Ⅰ)求集合 A 与 B ; (Ⅱ)求 A ? B ,
(C U A ) ? B .

17. (本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 在 [ 0 , ?? ) 上为减函数,判断 f ( x ) 在 (?? , 0 ) 上的单调 性并给以证明。

18. (本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, P A ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC P 的中点. (Ⅰ)求证: PA // 平面 B D F ; (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 B D F .
F

A
D

B

C

19. (本小题满分 14 分) 如图,动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 开始,顺次经 B、C、D 绕边界一周,

3

当 x 表示点 P 的行程,y 表示 PA 之长时, (I) 求 y 关于 x 的解析式, (II) 求 x =2 时, y 的值. D

C

P A B

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x 2 ? 2 ax ? 1 ( a 为正常数) ,且函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的 图象在 y 轴上的截距相等。 (I)求 a 的值; (II)求函数 h ( x ) ? f ? x ? ? g ? x ? 的单调递增区间。

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? a ?
1 2 ?1
x



(I)求证:不论 a 为何实数 f ( x ) 总是为增函数; (II)确定 a 的值, 使 f ( x ) 为奇函数; (III)当 f ( x ) 为奇函数时, 求 f ( x ) 的值域。

4

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 A 6 B 7 D 8 B 9 A 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分。其中 14~15 题是选做题,考生只 ... 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。
1
3 2
3 ? ? ? ?1 , 2 ? ?

11. (1)

10 (3 分) ; (2)

(2 分) .
3 2

12.



13. 14. . 15. . 6 2 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)
解: ( I ) 由 6 ? x ? x ? 0 , 得 x ? x ? 6 ? 0,即 ( x ? 3 )( x ? 2 ) ? 0 , 解得 ? 3 ? x ? 2 .
2 2

? ? ? , 3. ?

?



A ? ?x ? 3 ? x ? 2 ?

.......... ..3 分



? x ?1 x?3

? 0, 得

x ?1 x?3

? 0,即 ( x ? 3 )( x ? 1) ? 0 , 解得

x ? ?3 或 x ? 1 .

故 B ? ?x x ? ? 3 或 x ? 1?

.......... .........6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A ? { x | ? 3 ? x ? 2} , B ? ?x x ? ? 3 或 x ? 1?,
? A ? B ? ?x 1 ? x ? 2?
? C U A ? { x | x ? ? 3或 x ? 2} ,

???8 分 ???10 分 ???12 分

? ( C U A ) ? B ? ?x x ? ? 3 或 x ? 1?

17. (本小题满分 12 分)
解: f ( x ) 是 ( ?? , 0 ) 上的单调递减函数 . 证明如下:

???2 分 ???4 分

设 x 1 , x 2 ? ( ?? , 0 ), 且 x 1 ? x 2 , 则有 ? x 1 ? ? x 2 ? 0
? f ( x ) 是 ?0 , ?? ?上的减函数 ? f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 ) 又 ? f ( x )为 R 上的奇函数 ? ? f ( x1 ) ? ? f ( x 2 ) , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) . 即

???7 分

??10 分

5

故 f ( x ) 是 ( 0 , ?? ) 上的单调递减函数

???. .12 分

18. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连结 AC , B D 与 AC 交于点 O ,连结 O F .?? 1 分 ? ABCD 是菱形, ? O 是 AC 的中点. ? 点 F 为 PC 的中点, ? OF // PA . ?? 4 分
? OF ? 平面 BDF , PA ? 平面 B D F ,
? PA // 平面 B D F .

P

F

?? 6 分 (Ⅱ)证明: ? P A ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD , ? PA ? AC .
B

A
O D

C

? OF // PA ,? OF ? AC .
? ABCD 是菱形,

?? 8 分 ?? 10 分 ?? 12 分 ?? 14 分 C

? OF ? BD ? O ,

? AC ? BD . ? AC ? 平面 B D F .
? 平面 PAC ? 平面 B D F .

? AC ? 平面 PAC , 19. (本小题满分 14 分)

解: (I)依题意可知函数的定义域为 ?0 , 4 ? . ???1 分
当 x ? ?0 ,1 ? 时, y ? x ; 当 x ? ?1, 2 ? 时, y ? 当 x ? ?2 , 3 ? 时, y ?
2

D

……… 3 分 ……… 5 分 ……… 7 分

P A B

( x ? 1) ? 1 ; (3 ? x ) ? 1 ;
2

当 x ? ?3 , 4 ? 时, y ? 4 ? x .
故 y 关于 x 的解析式为

……… 9 分

? ? ? y ?? ? ? ?

x ,
2 2

x ? ?0 ,1 ?

( x ? 1) ? 1 , x ? ?1, 2 ? ( 3 ? x ) ? 1 , x ? ?2 , 3 ? 4?x , x ? ?3 , 4 ?

???11 分

(II) 当 x ? 2时, y ? 20. (本小题满分 14 分)

(3 ? 2 ) ? 1 ?
2

2 .

???14 分

解: (I)∵函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象在 y 轴上的截距相等 ∴ f ? 0 ? ? g ? 0 ? ,即 | a |? 1 又 a ? 0 ,所以 a ? 1 。 ???2 分 ???4 分
2

(II) 由(I)可知 f ? x ? ? | x ? 1 | , g ( x ) ? x ? 2 x ? 1

????6 分

6

? ? (x ? 2 ? h ( x ) ? f ? x ? ? g ? x ? ?| x ? 1 | ? x ? 2 x ? 1 ? ? ?( x ? ?
? 1 ? ? h ( x ) 在 ? ? ,1 ? 和 ?1, ? ?上都是单调递增函数 ? ? 2 ? .,

1 2 3 2

) ?
2

7 4 9 4

,x ?1 , x ?1

) ?
2

??9 分

????11 分

又 ? (1 ?

1 2

) ?
2

7 4

? (1 ?

3 2

) ?
2

9 4



? 1 ? ? h ( x ) 在 ? ? , ?? ? 上是单调递增函数 2 ? ? ? 1 ? ? ?? 2 , ? ? ? ?

.

????13 分

故 h ( x )的单调递增区间为

?????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (I) ? f ( x ) 的定义域为 R,
1 2
x1

设 x1 ? x 2 ,
1 2
x2

则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? a ?
? x1 ? x 2 , ? 2 1 ? 2
x x2

?1

?a?

?1
x

=

21 ?2
x x

x2 x

(1 ? 2 1 )(1 ? 2 2 )

,

??3 分

? 0, (1 ? 2 1 )(1 ? 2 2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,
x

即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数. ??5 分 (II) ? f ( x ) 为奇函数, ? f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,即 a ?
2 1
?x

?1

? ?a ?

1 2 ?1
x

, ??7 分

??9 分 . 2 ?1 1 1 (III) 由(II)知 f ( x ) ? ? x , 2 2 ?1 1 x ? 2 ? 1 ? 1 ,? 0 ? x ??11 分 ?1, 2 ?1 1 1 1 ??13 分 ? ?1 ? ? x ? 0,? ? ? f ( x ) ? 2 ?1 2 2 1 1 所以 f ( x ) 的值域为 ( ? , ). ??14 分 2 2
2 2
x

解得: a ?

1

. ? f ( x) ?

1

?

1

7



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