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《信号与线性系统》总复习



信号与线性系统总复习 信号分析 一、 信号的时域分析 1、 常见信号 ①单位冲激函数: ? ( t ) 定义:
? ? ? ?? ? ? ( t )dt ? 1 ? t?0 ? ?? ( t ) ? 0

f (t )

f (k)

抽样性:

f ( t ) ? ? ( t ) ? f

( 0) ? ? ( t )
? ? ?? ??

?

?

??

? ( t ) ? f ( t )dt ? ? ? ( t ) ? f (0)dt ? f (0) ? ? ( t )dt ? f (0)

②单位阶跃函数: ? (t ) 1 t?0 定义: ? ( t ) ? ? ? ?0 t ? 0
阶跃与冲激的关系: ?? ( t ) ?

?

? ?? ( t ) ? t ? (? )d? ??? ? ③斜变函数: R( t ) ? t? ( t )
dR( t ) ? ? ( t ) ? 斜变与阶跃的关系: ? dt ? ? R( t ) ? t ? (? )d? ??? ?
④指数函数: e
??t

d? ( t ) dt

? (t )

1

⑤门函数: G? ( t ) ⑥余弦函数: cos ? 0 t ⑦正弦函数: sin? 0 t ⑧冲激序列: ? T ( t ) ? 2、 信号的运算:

n? ? ?

? ? ( t ? nT )

?

f1 ( t ) ? f2 ( t )

f1 ( t ) ? f2 ( t )
3、 信号的变换: 移位: 反折: 展缩: 倍乘: 4、 卷积:

f ( t ? t0 )

f (?t )

f ( at )

af ( t )

f1 ( t ) ? f 2 ( t ) ? ?
f1 ( k ) ? f 2 ( k ) ?

?

??
?

f1 (? ) f2 ( t ? ? )d?
1 2

i?? ?

? f (i) f (k ? i)

性质:延时特性: f1 ( t ? t1 ) ? f2 ( t ? t2 ) ? f ( t ? t1 ? t2 ) 微积分特性:

f1 ( t ) ? f2 ( t )? [

?

t

??

f1 (? )d? ] ?

df 2 ( t ) dt

df1 ( t ) t ? ? ? f 2 (? )d? ?? dt
2

二、 信号的频域分析(傅立叶变换分析法) 1、 定义:

F ( j? ) ? ?
f (t ) ? 1 2?

?

??

f ( t )e ? j?t dt

?

?

??

F ( j? )e j?t d?

2、

性质:设 f1 ( t ) ? F1 ( j? ) ;

f2 ( t ) ? F2 ( j? ) ;
f ( t ) ? F ( j? )
①线性: a1 f1 ( t ) ? a2 f2 ( t ) ? a1F1 ( j? ) ? a2 F2 ( j? ) ②对称性: F ( jt ) ? 2?f (? )
? j?t ③延时: f ( t ? t0 ) ? F ( j? )e 0
? j? t ? F ( j? ? j? 0 ) ④移频: f ( t )e
0

?j ? ⑤尺度变换:f (at ) ? 1 F ( j ? ) ;f ( at ? b) ? 1 e a F ( j ? ) a a a a b

⑥奇偶特性:若

f ( t ) 为实偶函数,则 F ( j? ) 也为实

偶函数; 若 f ( t ) 为实偶函数,则 F ( j? ) 也为实 偶函数; ⑦时域微分:
df ( t ) ? ( j? )F ( j? ) ; dt

d n f (t ) ? ( j? ) n F ( j? ) n dt

⑧时域积分: ??? f (? )d? ? ?F (0)? (? ) ?
3

t

1 F ( j? ) j?

⑨频域微分: ( ? jt ) f ( t ) ?
( ? jt ) n f ( t ) ?

dF ( j? ) ; d?
d n F ( j? ) d? n
1 f (t ) ? jt

⑩频域积分: ?f (0)? ( t ) ?

?

?

??

F ( ? )d?

⑾卷积定理: f1 ( t ) ? f2 ( t ) ? F1 ( j? )F2 ( j? )
f1 ( t ) ? f 2 ( t ) ? 1 F1 ( j? ) ? F2 ( j? ) 2?

3、

常见信号的傅立叶变换

? (t ) ? 1

? ( t ) ? ?? (? ) ?

1 j?

cos ? 0 t ? ? [? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )]
sin? 0 t ? j? [? (? ? ? 0 ) ? ? (? ? ? 0 )]
e ??t ? ( t ) ? 1 ? ? j?
??
2 ) ?? sin

??
2

G? ( t ) ? ?Sa(

??
2

sgn(t ) ?
? t 1 ? ? f (t ) ? ? ? ?0 ?

2 j?
? ?? ? 2 ? sin 2 ? t ?? ? ?? ? ? ? ? Sa( )? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ? t ?? ? 2 ?
4
2

? T (t ) ?

n? ? ?

? ? ( t ? nT ) ? ?? ? (? ) ? ?
周期信号的频谱

?

n? ? ?

? ? (? ? n? )

?

??

2? T

4、

①性质:离散性,谐波性,收敛性 ②级数展开:
? a0 ? ? ( an cos n?t ? bn sin n?t ) f (t ) ? 2 n?1 ? a0 ? ? ? An cos( n?t ? ? n ) 2 n?1

1 ? ? ? ? A n e jn?t 2 n? ? ? ?
an ? 2 T
n? ? ?

?c e
n

?

jn?t

? ?

t1 ?T

t1 t 1? T

f ( t ) cos n?tdt f ( t ) sin n?tdt f ( t )e ? jn?t dt f ( t )e ? jn?t dt

An ? An e ? j?n

?

2 bn ? T An ?
?

t1 t1 ?T

1 ? cn ? An 2
2 2 An ? an ? bn

2 T

? ?
t1

t1

1 cn ? T

t1 ?T

? n ? arctg

bn an

5

③频谱: An 与 ? ( ? n? ) 之间的关系图称频谱图;
An 与 ? ( ? n? ) 之间的关系图称为振幅频谱图;

?

? n 与 ? ( ? n? ) 之间的关系图称为相位频谱图;

时域 周期 离散 时域有限 时域无限 5、 帕色伐尔定理

频域 离散 周期 频域无限 频域有限

1 ? ? f ( t ) dt ? ??? 2?
? 2

?

?

??

F ( j? ) d?

2

6、

抽样定理

①频带有限信号 ②满足关系:

f s ? 2 fm

三、 信号的复频域分析(拉普拉斯变换分析法) 1、 定义:

F ( s) ? ? f ( t )e ? st dt
0

?

f (t ) ?
2、 性质:

1 ? ? j? F ( s)e st ds ? 2?j ? ? j?

6

①线性: a1 f1 ( t ) ? a2 f2 ( t ) ? a1F1 ( s) ? a2 F2 ( s) ②时移: f ( t ? t0 )? ( t ? t0 ) ? F ( s)e
st ③频移: f ( t )e 0 ? F ( s ? s0 )

? st0

④尺度变换: f ( at ) ? ⑤时域微分:

1 s F( ) a a

d n f (t ) ? s n F ( s) ? s n?1 f (0 ? ) ? s n? 2 f ?(0 ? ) ? ? ? f ( n?1) (0 ? ) n dt

⑥时域积分:

?

t

??

f (? )d? ?

1 F ( s) s
? dF ( s ) 1 ; f ( t ) ? ?s F ( s)ds ds t

⑦复频域微积分: tf ( t ) ? ?

? sF ( s) ; ⑧初、终值定理: f (0 ) ? lim ( F ( s) 为真分式) s ??

f ( ?) ? limsF ( s)
s?0

⑨卷积定理: f1 ( t ) ? f2 ( t ) ? F1 ( s)F2 ( s)
f1 ( t ) ? f 2 ( t ) ? 1 F1 ( s) ? F2 ( s) 2?j

3、

常见信号的拉氏变换

? (t ) ? 1 , 1 ? (t ) ? , s
e ?t ? ( t ) ? 1 s?a ,
7

tn ?

n! s n ?1 ,

sin?t ?

? s2 ? ? 2 , s cos ?t ? 2 s ??2

4、

反变换 a.部分分式展开法

F ( s) ?

k k1 k ? 2 ? ?? ? n s ? s1 s ? s2 s ? sn

f ( t ) ? ( k1e s1t ? k2 e s2t ? ?? ? kn e snt )? ( t )
b.留数法

f ( t ) ? ? Re si
i ?1

n

①单根 si 处的留数 ② p 重根 si 处的留数

Re si ? F [ s( est ) s ? ( si

s ? si

)]

1 d p ?1 t p R esi ? [ p ?1 F ( ss ) e ?( si s ? s) s] i (p? 1 ) s !
四、 (离散)信号的 Z 域分析 1、 定义: F ( Z ) ?

K ? ??

? f (k ) z
8

?

?k

2、 性质:

a1 f1 ( k ) ? a2 f2 ( k ) ? a1F1 ( z ) ? a2 F2 ( z ) ① 线性线性:
② 移序: 单边 z 变换

f ( k ? n) ? z F ( z ) ? z
n

n

? f (k)z
k ?0 ?n k ??1

n?1

?k

f ( k ? n) ? z F ( z ) ? z
双边 z 变换

?n

?n

? f (k ) z

?k

f ( k ? n) ? z n F ( z )
f ( k ? n) ? z ? n F ( z )
k ③ 尺度变换: a f ( k ) ? F ( )

z a

④ z 域微分特性: kf ( k ) ? ? z

d F (z) dz

⑤ 卷积定理: f1 ( k ) ? f2 ( k ) ? F1 ( z )F2 ( z ) ⑥ 初、终值定理:
f (0) ? limF ( z )
z ??

lim f (k ) ? lim ( z ? 1) F ( z )
k ?? z ?1

3、 常见序列的 Z 变换

? (k) ? 1 ,
? (k ) ?
z z ?1 ,

9

?k ?
k?
4、 反 Z 变换 a. 幂级数展开法

z z ?? ,

z ( z ? 1) 2

b. 部分分式法
Bn B1 B2 F ( z ) B0 ? ? ? ? ?? ? z z z ??1 z ??2 z ??n

F ( z ) ? B0 ?

Bz B1 z Bz ? 2 ? ?? ? n z ??1 z ??2 z ??n

k k f ( k ) ? B0? ( k ) ? ( B1? 1k ? B2? 2 ? ?? ? Bn? n )? ( k )

留数法

f (k ) ? ? Re si
i ?1
①单根 z i 处的留数 ② p 重根 z i 处的留数

n

Re si ? [ F ( z ) z k ?1 ( z ? zi )]z ? zi
Re si ? 1 d p ?1 [ p ?1 F ( z ) z k ?1 ( z ? zi ) p ]z ? zi ( p ? 1)! z

系统分析
卷积+三大变换 (时域、频域、复频域、Z 域) 一、 系统的时域分析 1、 描述:
10

a. 连续系统--微分方程

d nr(t ) d n?1r ( t ) dr ( t ) d m e(t ) d m?1e( t ) de( t ) ? a ? ? ? a ? a r ( t ) ? b ? b ? ? b ? b0 e( t ) n?1 1 0 m m?1 1 dt dt dt n dt n?1 dt m dt m?1
e( t ) r(t )

h( t )

b.

离散系统—差分方程

y(k ? n) ? an?1 y(k ? n ? 1) ? ? ? a1 y(k ? 1) ? a0 y(k ) ? bme(k ? m) ? ? ? b1e(k ? 1) ? b0e(k )
e( k )
h( k ) y( k )

2、模拟框图 a.连续系统

bm b1

e(t )
∑ S
-1

r(t )
S
-1



S

-1



S

-1

b0



an-1 -a0

b.离散系统

bm b1

e( k )
∑ D D … D … D b0 ∑

y( k )

an-1 -a0
11

3、全响应的求解 连续:r ( t ) 离散: y( k )

? rzi ( t ) ? rzs ( t )
? yzi ( k ) ? yzs ( k )
rzi (t ) 、 yzi ( k )

a.

零输入响应

特征方程:

?n ? cn?1?n?1 ? ? ? a1? ? a0 ? 0
(? ? ?1 )( ? ? ?2 ) ?(? ? ?n ) ? 0
特征根:

? n ? cn?1? n?1 ? ? ? a1? ? a0 ? 0
(? ? ? 1 )(? ? ? 2 ) ?(? ? ? n ) ? 0

?1 , ?2 , ?, ?n

? 1 , ? 2 , ?, ? n
k k yzi ( k ) ? c1? k ? c2? 2 ? ? ? cn? n

零输入响应:

rzi ( t ) ? c1e ?1t ? c2 e ?2t ? ? ? cn e ?nt

代定常数 C 由初始条件决定:
( n?1) ? (0) ?? rzi rzi (0), rzi ( 0)

y(0), y(1) ?? y( n ? 1)

? r ( 0 ) ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? ? ?r (0) ? c1 ?1 ? c 2 ?2 ? ? ? c n ?n ? ?? ( n ?1 ) n ?1 ?1 ?1 ? (0) ? c1 ?1 ? c 2 ?n ? ? ? c n ?n 2 n ?r
? r (0) ? ? 1 ? r ?(0) ? ? ? ? ??? 1 ?? ? ? ? ? ( n ?1 ) ? ? n ?1 ( 0)? ??1 ?r 1

?2
?
122

? n ?1

? 1 ? ? c1 ? ? ?n ? ? c2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ?n n ? ?c n ?

? c1 ? ? 1 ?c ? ? ? ? 2? ? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? n?1 ? c n ? ??1

1

?2
?

?

n ?1 2

? 1 ? ? ?n ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ?n ?

?1

? r (0) ? ? r ?(0) ? ? ? ?? ? ? ( n ?1 ) ? ( 0 )? ?r

A ?1 ?
b.

1 ( Aij ) nn A

零状态响应

rzs ( t ) 、 yzs ( k )
bm S m ? ? ? b1 S ? b0 H (S) ? n S ? an?1 S n?1 ? ? ? a1 S ? a0

bm p m ? ? ? b1 p ? b0 H ( p) ? n p ? an?1 p n?1 ? ? ? a1 p ? a0

h( t )

h( k )
yzs ( k ) ? h( k ) ? e( k )

rzs ( t ) ? h( t ) ? e( t )
4、解的分解

零输入响应+零状态响应 自然响应+受迫响应 暂态响应+稳态响应 二、系统的频域分析 1、频域系统函数

H ( j? ) ?

Rzs ( j? ) E ( j? )
13

2、系统特性

H ( j? ) ? H ( j? ) e j? (? )
幅频特性:H ( j? ) 相频特性: ? (? )

3、信号通过线性系统不产生失真的条件 时域:

r ( t ) ? Ke( t ? t0 )
H ( j? ) ? Ke ? j?t0

频域:

三、系统的复频域分析法 1、微分方程的拉氏变换分析法 利用拉氏变换的微分特性:

d n f (t ) ? s n F ( s) ? s n?1 f (0 ? ) ? s n? 2 f ?(0 ? ) ? ? ? f ( n?1) (0 ? ) n dt
把微分方程:
d n r(t ) d n?1 r ( t ) dr ( t ) d m e( t ) d m?1 e ( t ) de ( t ) ? a ? ? ? a ? a r ( t ) ? b ? b ? ? b ? b0 e ( t ) n ? 1 1 0 m m ? 1 1 dt dt dt n dt n?1 dt m dt m?1

变为代数方程,其过程为:


d k r(t ) ? s k R( s) ? s k ?1 r (0 ? ) ? s k ? 2 r ?(0 ? ) ? ? ? r ( k ?1) (0 ? ) ? s k R( s ) ? Pk ( s) k dt
Pk ( s) ? s k ?1 r (0 ? ) ? s k ?2 r ?(0 ? ) ? ? ? r ( k ?1) (0 ? )

是与初始条件有关的关于 s 的 k 次多项式
14



d l e( t ) ? s l E ( s) ? s l ?1e (0 ? ) ? s l ?2 e ?(0 ? ) ? ? ? e ( l ?1) (0 ? ) ? s l E ( s) ? Ql ( s) l dt

Ql ( s) ? s l ?1e(0 ? ) ? s l ?2 e ?(0 ? ) ? ? ? e ( l ?1) (0 ? ) ? 0
? ? ( l ?1) (0 ? ) ? 0 因为 e(t ) 是有始信号: e(0 ) ? e ?(0 ) ? ? ? e

d l e( t ) 所以: l ? s l E ( s) dt

③把以上结果代入微分方程得:
s n R( s) ? Pn ( s) ? an?1 s n?1 R( s) ? an?1 Pn?1 ( s) ? ? ? a1 sR ( s) ? a1 P1 ( s) ? a0 R( s)

? bm s m E ( s) ? ? ? b1 sE ( s) ? b0 E ( s)
( s n ? an?1 s n?1 ? ? ? a1 s ? a0 ) R( s) ? M ( s) ? (bm s m ? ? ? b1 s ? b0 ) E ( s)

D( s) R( s) ? M ( s) ? N ( s) E ( s)
n n?1 其中: D( s) ? s ? an?1 s ? ? ? a1 s ? a0

N ( s) ? bm s m ? ? ? b1 s ? b0
M ( s) ? Pn ( s) ? an?1 Pn?1 ( s) ? ? ? a1 P1 ( s)
R( s) ? N ( s) M ( s) E ( s) ? ? Rzs ( s ) ? Rzi ( s ) D( s ) D( s )

r(t ) 可求得全响应:

? rzi ( t ) ? rzs ( t )

2、电路 S 域模型等效法 3、系统函数与系统的稳定性
bm s m ? ? ? b1 s ? b0 bm s m ? ? ? b1 s ? b0 H ( s) ? n ? s ? an?1 s n?1 ? ? ? a1 s ? a0 ( s ? ?1 )( s ? ?2 ) ?( s ? ?n )

若极点 ?1 , ?2 ??n 均在 s 平面的左半平面,则系统稳定。
15

四、离散系统的 Z 域分析法 1、差分方程的 Z 变换分析法

y( k ? n) ? an?1 y( k ? n ? 1) ? ? ? a1 y( k ? 1) ? a0 y( k ) ? bm e( k ? m) ? ? ? b1e( k ? 1) ? b0 e( k )
根据 z 变换的移序特性:
n?1 ? ? y( k ? n) ? z ?Y ( z ) ? ? y( k ) z ? k ? k ?0 ? ? n

可看出方程变换的过程中初始条件自然代入, 可把零输 入和零状态响应一并求得。 2、零状态响应的 Z 域分析法

YZS ( z ) ? H ( z ) ? E ( z ) H ( z ) ? Z[h( k )]
3、系统函数与系统的稳定性
bm z m ? ? ? b1 z ? b0 bm z m ? ? ? b1 z ? b0 H (z) ? n ? z ? an?1 z n?1 ? ? ? a1 z ? a0 ( z ? ? 1 )( z ? ? 2 ) ?( z ? ? n )

若 极 点 ? 1 , ? 2 ?? n 均 在

z

平 面 的 单 位 圆 内

?i ?1

i ? 1 ~ n ,则系统稳定。

16



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