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2012年辽宁高考数学理科试题详解



2012 年高考辽宁理科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已 知 全 集 U = ?0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? , 集 合 A= ?0,1,3,5,8? , 集 合 B= ?2,4,5,6,8? , 则

?CU A? ? ?CU B? =
A

. ?5,8? 难度 易 正确答案 B B. ?7,9? C. ?0,1,3? D. ?2,4,6?

?CU A? ? ?CU B? =CU ? A ? B? =?7,9?
2-i = 2+i 3 4 A. - i 5 5
2.复数 难度 易 正确答案 A

B. +

3 4 i 5 5

C. 1-

4 i 5

D. 1+

3 i 5

? 2-i ? = 3-4i = 3 - 4 i 2-i = 2+i ? 2+i ?? 2-i ? 5 5 5
2

3. 已知两个非零向量 a,b 满足 a +b = a-b ,则下面结论正确 A. a //b 难度 中 正确答案 B

??
?

? ? ?

? ?

? ?

B. a ? b

?

C. a = b

?

D. a+b=a-b

? ? ? ?

? ? ? ? ?? a +b = a-b ,可以从几何角度理解,以非零向量 a,b 为邻边做平行四边形,对角线长分别为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?2 a +b , a -b ,若 a +b = a-b ,则说明四边形为矩形,所以 a ? b ;也可由已知得 a+b = a-b ,
即 a -2ab+ b = a +2ab+ b ? ab=0 ? a ? b 4. 已知命题 p:?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ? A. ?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ?

?2

?? ? 2

?2

?? ? 2

??

?

?

?

? ? x -x ? ? 0 ,则 ? p 是
2 1

?

? ? x -x ? ? 0
2 1

B. ?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ? C. ?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ?

?

? ? x -x ? ? 0
2 1 2 1

?

? ? x -x ? <0 ? ? x -x ? <0
2 1

D. ?x1,x2 ? R, f ? x2 ? -f ? x1 ?

?

难度 易 正确答案 C 全称命题的否定形式为将“ ? ”改为“ ? ” ,后面的加以否定,即将“ f ? x2 ? -f ? x1 ? 改为“ f ? x2 ? -f ? x1 ?

?

? ? x -x ? ? 0 ”
2 1

?

? ? x -x ? <0 ”
2 1
3

5. 一排 9 个座位坐了 3 个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 A. 3 ? 3! B. 3 ? ? 3!? C. ? 3!?
4

D. 9!

难度 中 正确答案 C 每家 3 口人坐在一起,捆绑在一起 3! ,共 3 个 3! ,又 3 家 3 个整体继续排列有 3! 种方法,总共有

? 3!?

4

6. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 +a8 =16 ,则该数列前 11 项和 S11 = A.58 B.88 难度 中 正确答案 B C.143 D.176

a4 +a8 =2a6 =16?a6 =8 ,而 S11 =

11? a1 +a11 ? =11a6 =88 2

7. 已知 sin ? -cos ? = 2,? ? ? 0,? ? ,则 tan ? ? A. ? 1 难度 中 正确答案 A 方法一: sin ? -cos ? = 2,? ? ? 0,? ? ,两边平方得 1-sin 2? =2, B. ?

2 2

C.

2 2

D. 1

sin 2? =-1,2? ? ? 0,2? ? , 2? =

3? 3? ,? = , ? tan ? =-1 2 4

方法二:由于形势比较特殊,可以两边取导数得 cos ? +sin ? =0, ? tan ? =-1

? x -y ? 10 ? + 3 y 的最大值为 8. 设变量 x ,y 满足 ?0 ? x +y ? 20 , 则 2x ?0 ? y ? 15 ?
A.20 难度 中 正确答案 D B.35 C.45 D.55

如图所示过点 A ? 5,15? 时, 2 x +3 y 的最大值为 55

9. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是 A. -1 B.

2 3

C.

3 2

D.4

难度 中 正确答案 D 当 i =1 时,经运算得 S =

2 =-1 ; 2-4

当 i =2 时,经运算得 S =

2 2 = ; 2- ? -1? 3

2 3 = ; 2 2 23 2 当 i =4 时,经运算得 S = =4 ; 3 22 2 =-1 ; 当 i =5 时,经运算得 S = 2-4
当 i =3 时,经运算得 S = 从此开始重复, 每隔 4 一循环, 所以当 i =8 时, 经运算得 S =4 ; 接着 i =9 满足输出条件, 输出 S =4 10. 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则 该矩形面积小于 32 cm 的概率为 A.
2

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

难度 中 正确答案 C 如图所示,令 AC =x,CB=y ,则 x+y= 12 ?x >0,y>0

x ? 12-x ? ? 32 ? ,矩形面积设为 S ,则 S =xy =
8 2 = 12 3



2 解得 0<x ? 4或8 ? x<12 ,该矩形面积小于 32 cm 的概率为

3 11. 设函数 f ( x) ? x ? R? 满足 f (? x) ? f ? x? ,f ? x? =f ? 2-x? ,且当 x ??0,1? 时, f ? x ? =x .又函

数 g ? x ? = x cos ?? x ? ,则函数 h ? x ? =g ? x ? -f ? x ? 在 ?- , ? 上的零点个数为 2 2 A.5 B.6 难度 难 正确答案 B C .7 D.8

? 1 3? ? ?

f (?x) ? f ? x ? , 所以函数 f ( x) 为偶函数,所以 f ? x ? =f ? 2-x ? =f ? x-2? ,所以函数 f ( x) 为周期为
2 的 周 期 函 数 , 且 f ? 0? =0,f ?1? =1 , 而 g ? x ?=

x c ? o? s ? x 为 偶 函 数 , 且

?1? ? 1? ? 3? ? 1 3? g ? 0 ? =g ? ? =g ? - ? =g ? ? =0 ,在同一坐标系下作出两函数在 ?- , ? 上的图像,发现在 ?2? ? 2? ? 2? ? 2 2? ? 1 3? ? 1 3? - , ? 内图像共有 6 个公共点,则函数 h ? x ? =g ? x ? -f ? x ? 在 ?- , ? 上的零点个数为 6 ? ? 2 2? ? 2 2?
12. 若 x ??0,+? ? ,则下列不等式恒成立的是 A. e ? 1+x+x
x 2

B.

1 1 1 ? 1- x + x 2 2 4 1+x
1 2 x 8

C. cos x ? 1难度 难 正确答案 C

1 2 x 2

D. ln ?1+x ? ? x-

3 3 2 验证 A,当 x=3时,e >2.7 =19.68>1+3+3 =13 ,故排除 A;验证 B,当 x = 时, ,

1 2

1 1+ 1 2

=

1 1 1 1 13 39 1521 1536 16 6 6 ,而 1- ? + ? = = ,故排除 B; = < = 2 2 4 4 16 48 48 48 48 3

1 2 x , g' ? x ?=-sin x+ x, g'' ? x ?=1-cos x ,显然 g'' ? x ? >0 恒成立 2 1 2 所以当 x ??0,+? ? , g' ? x ? ? g' ? 0? =0 ,所以 x ??0,+? ? , g ? x ? = cos x-1+ x 为增函数,所以 2
验证 C,令 g ? x ? = cos x-1+

g ? x ? ? g ? 0? =0 ,恒成立,故选 C;验证 D,令
1 1 x x ? x-3? ,令 h' ? x ?<0 ,解得 0<x <3 ,所以当 0<x <3 h ? x ? = ln ?1+x ? -x+ x 2 ,h' ? x ? = -1+ = 8 x+1 4 4 ? x+1?
时, h ? x ? <h ? 0? =0 ,显然不恒成立 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体 的表面积为 . 难度 易 正确答案 38 由三视图知,此几何体为一个长为 4,宽为 3, 高为 1 的长方体中心,去除一个半径为 1 的圆 柱 , 所 以 表 面 积 为

2 ? ? 4 ? 3+4 ?1+3?1? +2? -2? =38

14. 已知等比数列 ?an ? 为递增数列,且 a52 =a10 ,2 ? an +an+2 ? =5an+1 ,则数列 ?an ? 的通项公式

an = ____________.
难度 中 正确答案 2
n

令 等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则由 2 ? an +an+2 ? =5an+1 得, 2+2q2 =5q,2q2 -5q+2=0 ,解得

1 4 2 9 q = 或q = 2 , 又由 a52 =a10 知,? a1q ? =a1q , 所以 a1 =q , 因为 ?an ? 为递增数列, 所以 a1 =q=2 , 2

an =2n
15. 已知 P,Q 为抛物线 x 2 =2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4,-2 ,过 P,Q 分别作抛物线的切 线,两切线交于点 A ,则点 A 的纵坐标为 难度 中 正确答案 -4 .

y=

1 2 x ,y'=x , 所以以点 P 为切点的切线方程为 y =4 x-8 , 以点 Q 为切点的切线方程为 y =-2 x-2 , 2

联立两方程的 ?

? x=1 ? y=-4

16. 已知正三棱锥 P-ABC ,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直, 则球心到截面 ABC 的距离为 难度 中 正确答案 .

3 3

如 图 所 示 , O 为 球 心 , O' 为 截 面 ABC 所 在 圆 的 圆 心 , 令

PA=PB =PC =a , PA,PB,PC 两两相互垂直,

AB=BC =CA= 2a ,所以 CO'=
2 2

6 3 a , PO'= a, 3 3

? 3 ? ? 6 ? 3 2 3 3 a =2 ,所以 PO'= a= a 3 , OO'= ? ? ? 3 ? +? ? 3 a? ? =3 ,解得 3 3 3 ? ? ? ?
三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,角 A,B,C 成等差数列。 (1)求 cos B 的值;

(2)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值 (1)由已知 2 B =A+C,A+ B+ C= ? , ? B=

?
3

,cos B=

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

解法二: b =ac , 所以 A=B =C =

2

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = cos B= = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
3 4

?
3

, sin A sin C =

18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC -A'B'C' , ?BAC =90? ,

AB =AC =? AA' ,点 M ,N 分别为 A'B 和 B'C' 的中点
(1)证明: MN //平面A'ACC' ; (2)若二面角 A'-MN -C 为直二面角,求 ? 的值 (1)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC'

AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC'
(2) 以 A 为坐标原点, 分别以直线 AB,AC,AA' 为 x 轴,

y 轴, z 轴建立直角坐标系 O-xyz ,如图所示
设 AA'=1, 则 AB =AC =? , 于是 A? 0,0,0? ,B ? ?,0,0? ,C ? 0,?,0? ,A' ? 0,0,1? ,B' ? ?,0,1? ,C' ? 0,?,1? , 所以 M ?

?? ?? 1? ?? ? ? ,0, ? ,N ? , ,1? ,设 m= ? x1 ,y1 ,z1 ? 是平面 A'MN 的法向量, ? 2 2? ? 2 2 ?

1 ?? ?? ????? x1 - z1 =0 ?? ? ? ?m?A'M =0, ? 2 2 由 ? ?? ???? 得? ,可取 m= ?1,-1,? ? ? ? ? ? y + 1 z =0 ?m?MN =0 1 1 ? ?2 2
设 n= ? x2 ,y2 ,z2 ? 是平面 MNC 的法向量,

?

? ? ? ? ???? - x2 + y2 -z2 =0 ? ? ? ? n?NC =0, ? 2 2 由 ? ? ???? ,可取 n= ? -3,-1,? ? ? 得? ? ? n?MN =0 ? ? y2 + 1 z2 =0 ? ?2 2
因为 A'-MN -C 为直二面角,所以 m? n=0,即-3+ ? -1? ? ? -1? +? 2 =0 ,解得 ? = 2 19. (本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体 育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进 行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收 看该体育节目时间的频率分布直方图:

?? ?

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观 众称为“体育迷“ (1) 根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表, 并 据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次 抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷“人数为 X .若每次抽取的结果是 相互独立的,求 X 的分布列,期望 E ? X ? 和方差 D ? X ? 10 55 体育迷 合计

n ? n11n22 -n12 n21 ? 附: ? = , n1+ n2+ n+1n+2
2 2

P??2 ? k?
k

0.05 3.841

0.01 6.635

(1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计
2

体育迷 15 10 25
2

合计 45 55 100

30 45 75

将 2 ? 2 列联表中的数据代入公式计算,得

n ? n11n22 -n12 n21 ? 100 ? ? 30 ?10-45 ?15 ? 100 ? = = = ? 3.030 n1+ n2+ n+1n+2 75 ? 25 ? 45 ? 55 33
2

因为 3.030<3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一 名“体育迷”的概率为

1 . 4

由题意 X ? B ? 3, ? ,从而 X 的分布列为

? 1? ? 4?

27 27 9 64 64 64 1 3 1 3 9 E ? X ? =np =3 ? = , D ? X ? =np ?1-p ? =3 ? ? = . 4 4 4 4 16
20. (本小题满分 12 分)

X P

0

1

2

3

1 64

x2 y 2 如图,椭圆 C0 : 2 + 2 =1? a >b>0,a,b为常数 ? , a b
动圆 C1:x2 +y2 =t12 , b<t 1 ,A2 分别为 C0 的 1 <a. 点 A 左、右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C ,D 四点 (1) 求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程; ( 2 ) 设 动 圆 C2:x2 +y 2 =t2 2与 C0 相 交 于

A',B',C',D' 四点, 其中 b<t2 <a ,t1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等, 证明:t12 +t22
为定值 设 A? x1,y1 ? ,B ? x1,-y1 ? ,又知 A 1 ? -a,0? ,A 2 ? a,0? ,则 直线 A 1 A 的方程为

y=

y1 ? x+a ? x1 +a - y1 ? x-a ? x1 -a



直线 A2 B 的方程为

y=



由①②得

y2 =

- y12 ? x2 -a2 ? x12 -a 2



由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得

x12 y12 x12 ? 2 2? + =1 ,从而有 ,代入③得 y = b 1? 1 2 ? a 2 b2 ? a ?

x2 y 2 - =1? x <-a,y <0 ? a 2 b2

(2)证明:设 A' ? x2 ,y2 ? ,由矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,得

? x2 ? ? x2? 因为点 A,A' 均在椭圆上, 所以 b 2 x12 ?1- 12 ? =b 2 x2 2 ?1- 22 ? 4 x1 y1 =4 x2 y2 , ? x12 y12 =x22 y22 , ? a ? ? a ?
由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x12 +x22 =a 2 。从而 y12 +y22 =b2 ,因而 t12 +t22 =a2 +b2 为定值 21. (本小题满分 12 分) 设 f ? x ? = ln ? x +1? + x +1+ax +b ? a,b ? R,a,b为常数 ? , 曲线 y=f ? x ? 与直线 y = 切. (1)求 a ,b 的值; (2)证明:当 0<x <2 时, f ? x ? <

3 x 在 ? 0,0 ? 点相 2

9x x +6

(1)由 y=f ? x ? 的图像过 ? 0,0 ? 点,代入得 b =-1 由 y=f ? x ? 在 ? 0,0 ? 处的切线斜率为

3 1 3 ? 1 ? ,又 y' x =0 = ? + +a ? = +a ,得 a =0 2 ? x+1 2 x+1 ? x =0 2

(2) (证法一)由均值不等式,当 x >0 时, 2 记 h ? x ? =f ? x ? 3

1<x +1+1=x +2 ,故 ? x+1??

x x +1< +1 2

9x 1 1 54 2+ +1 x 54 +6 x 54 + = < ,则 h' ? x ?= 2 2 x +6 x +1 2 x+1 ? x +6 ? 2 ? x +1 ? ? x+6 ? 4 ?+1 x ? ?x +6

?

2

? x+6 ? -216 ? x+1? ,令 g x = x +6 3 -216 x +1 ,则当 0<x <2 时, = ? ? ? ? ? ? 2 4 ? x +1?? x +6 ?
g' ? x ? =3 ? x +6 ? -216<0
2

因此 g ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 g ? 0? =0 ,得 g ? x ? <0 ,所以 h' ? x ? <0 因此 h ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 h ? 0? =0 ,得 h ? x ? <0 ,于是当 0<x <2 时, f ? x ? < (证法二) 由(1)知 f ? x ? = ln ? x +1? + x +1-1,由均值不等式,当 x >0 时, 2

9x x +6

? x +1??1<x +1+1=x +2,故

x x +1< +1 2
令 k ? x ? =ln ? x+1? -x , 则 k ? 0 ? =0,k' ? x ? = 当 x >0 时, f ? x ? <

1 -x -1= <0 , 故 k ? x ? <0 , 即l n ?x + 1< ? x ,由此得, x +1 x +1

3 x ,记 h ? x ? = ? x+6? f ? x ? -9x ,则当 0<x <2 时, 2

3 1 ? ? 1 h' ? x ? =f ? x ? + ? x+6? f' ? x ? -9< x+ ? x+6 ? ? + ? -9 2 ? x+1 2 x+1 ?

=

1 ? 1 ? ? ? x? 3x ? x+1? + ? x+6? 2+ x+1 -18 ? x+1?? < 3x ? x+1? + ? x+6 ? ? 3+ ? -18 ? x+1?? ? ? ? 2 ? x+1? 2 ? x+1? ? ? 2? ?

?

?

=

x ? 7 x-18? <0 4 ? x+1?
9x x +6

因此 h ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 h ? 0? =0 ,得 h ? x ? <0 ,即 f ? x ? < 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ? O 和 ? O' 相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两 圆于 C ,D 两点,连结 DB 并延长交 ? O 于点 E .证明:

(I) AC ?BD =AD ?AB ; (II) AC =AE 证明: (1)由 AC 与 ? O 相切于 A ,得 ?CAB =?ADB ,同理 ?ACB =?DAB ,

AC AB = ,即 AC ?BD =AD ?AB AD BD (2)由 AD 与 ? O 相切于 A ,得 ?AED =?BAD ,又 ?ADE =?BDA ,得 ?EAD ? ?ABD AE AD = 从而 ,即 AE ?BD =AD ?AB ,综合(1)的结论, AC =AE AB BD
所以 ?ACB ? ?DAB 。从而 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

(1)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程,并求出 圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示) (2)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程 圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? , 解?

? ? =2 ? ? ?? ? ?? 得 ? =2,? = ? ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? , ? 2,- ? 3 ? 3? ? 3? ? ? =4cos ? ? x=? cos ? ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1,- 3 ? y =? sin ?

注:极坐标系下点的表示不唯一 (2) (解法一)由 ?

?

??

?

故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ?

? x=1 ? x=1 - 3 ? t 3 (或参数方程写成 ? - 3 ? y ? 3) ? y =t ? y =y

(解法二) 将 x =1 代入 ?

? x=? cos ? 1 ,得 ? cos ? =1 ,从而 ? = cos ? ? y =? sin ? ? x=1 ? ? - ?? ? 3 ? y = tan ? 3

于是圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? = ax+1 ? a ? R ? ,不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 (1)求 a 的值 (2)若 f ? x ? -2 f ?

?

?

? x? ? ? k 恒成立,求 k 的取值范围 ?2?

(1)由 ax+1 ? 3 得 -4 ? ax ? 2 ,又 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 ,所以 当 a ? 0 时,不合题意 当 a >0 时, -

?

?

4 2 ? x ? ,得 a =2 a a

? ?1,x ? -1 ? 1 ? ? x? (2)记 h ? x ? =f ? x ? -2 f ? ? ,则 h ? x ? = ?-4 x-3,-1<x <- , 2 ?2? ? 1 ? -1,x ? ? ? 2
所以 h ? x ? ? 1 ,因此 k ? 1



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