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利用直线参数方程t的几何性质解题教案设计



新课程标准下高中高考数学选考题教学中的几点体会及想法

云南省建水县第二中学:贾雪光
坐标系与参数方程是今年高考全国卷中的必有的高考题目, 并且这是选考内 容中的固定的 23 题,本人结合近几年的教学体会认为,这一题是高考全国卷中 六个解答题中最简单的一个题目, 是我们农村高中或欠发达地区高中学生一定可 以得分的题目, 因此在教学中一定要引起高度的重

视,特别是农村地区高中和欠 发达地区高中的数学教学中更是一定要重视这一类型问题的教学强化和深入探 究。 体会一:教学中一定要讲清楚直线参数方程的推导过程,并且一定要强调 其中参数 T 的由来。 实际上由新课程标准人教 A 版数学选修课本中坐标系与参数方程的内容我 们知道,平面内过定点 p0 ( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程的标准形式为

?x ? x0 ? t cos? (t 为参数) ,其中 t 表示直线 l 上以定点 p0 为起点,任意一点 P ? ? y ? y0 ? t sin ?
(x,y)为终点的有向线段 P0 P 的数量,当 P 点在 p0 上方时 t 为正,当 P 点在 p0 下方时 t 为负。 体会二:教学中必须要强调参数 T 的几何意义及两个结论的引导应用示范。 实际上在教学中我们知道,由直线参数方程的推导过程及向量模的几何意义 等知识,很容易得参数 t 具有如下的两个重要结论: 如果我们假设直线 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 t A和t B ,则: 第一:A、B 两点之间的距离为 | AB |?| t A ? t B |? (t A ? t B ) 2 ? 4t A ? t B ,特别 地,A、B 两点到 p0 的距离分别为 | t A |, | t B | . 第二:A、B 两点的中点所对应的参数为 则
t A ? tB ,若 p0 是线段 AB 的中点, 2

t A ? t B ? 0 ,反之亦然。
在解决坐标系与参数方程这一选考题, 特别是直线的参数方程与曲线的参数 方程或是极坐标方程有关的内容的题目, 最典型的是涉及直线与圆锥曲线相交所 得的弦和弦长、 或是求一点到某点的距离为定值、求弦的中点等有关方面的题目 时,如果我们能够充分利用参数 t 的上述两个重要结论的话,我们的解题速度和 解题正确率、 得分率将得到的大大提高, 我们的解题水准也必将得到巨大的提升。 1、例如在求解与距离有关的题目时我们可以用结论一: ? 例 1、直线 l 过点 P0 (?4,0) ,倾斜角为 ,且与曲线 C: ? ? 7 相交于 A、B 6 两点。

(1)求弦长 AB. (2)求 P0 A 和 P0 B 的长。 (3) P0 A ? P0 B 解: (1)因为直线 l 过点 P0 (?4,0) ,倾斜角为

? ,所以直线 l 的参数方程为 6

? ? ? 3 x ? ?4 ? t cos t ? x ? ?4 ? ? ? ? 6 2 , 为参数) ,即 ? (t ,而曲线 C 是圆 x2 ? y 2 ? 7 ,于 ? ? y ? 0 ? t sin ? ?y ? 1 t ? ? 6 ? 2 ?

是将直线的参数方程代入圆 C 的方程,得
(?4 ? 3 2 1 t ) ? ( t ) 2 ? 7 ,整理得 t 2 ? 4 3t ? 9 ? 0 2 2

有参数 T 的几何意义设 A、 所对应的参数分别为 t1 ,t 2 , t1 ? t 2 ? 4 3 ,1t 2 ? 9 , B 则 t 所以 | AB |?| t1 ? t 2 | ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 2 3. (2)解:由第一问解方程 t 2 ? 4 3t ? 9 ? 0 得, t1 ? 3 3, t 2 ? 3 ,有参数的几何 意义同理可得 P0 A ?| t1 |? 3 3 , P0 B ?| t 2 |? 3. (3)由于是由第一问的求解过程可知 P0 A P0 B = t1t 2 ? 9 2、再如在求解与点的坐标有关的题目时可以用结论二: ? 例 2、已知直线 l 过点 P0 (4,8) ,倾斜角为 ,求出直线 l 上到点 P0 的距离为 5 3 的点的坐标。 ? 解:因为直线 l 过点 P0 (4,8) ,倾斜角为 ,所以直线 l 的参数方程为 3
1 ? ? ? ?x ? 4 ? 2 t ? x ? 4 ? t cos 3 ? ? ,即 ? , 为参数) (t , ? ? y ? 8 ? t sin ? ?y ? 8 ? 3 t ? ? 3 ? 2 ?

(1)

设直线 l 上与已知点 P0 (4,8) 相距为 5 的点为 P 点,且 P 点对应的参数为 t,则

| P0 P | ?| t |? 5 ,所以 t ? ?5 ,将 t 的值代入(1)式,
13 5 3 ); 当 t=5 时,M 点的坐标为 ( ,8 ? 2 2

3 5 3 当 t=-5 时,M 点的坐标为 ( ,8 ? ), 2 2 13 5 3 3 5 3 综上,所求 P 点的坐标为 ( ,8 ? ) 或 ( ,8 ? ). 2 2 2 2

点评: 若使用直线的普通方程, 利用两点间的距离公式求 P 点的坐标需要将 直线方程代入曲线方程,消元后再用根与系数的关系,中点坐标公式来求解,相 当麻烦,而我们使用直线的参数方程,充分利用参数 t 的几何意义求 P 点的坐标 就显得比较容易。 3、解决有关弦的中点问题时也可以用性质二 例 3、 过点 P0 (1,0) , 倾斜角为 求线段 MN 的中点 P 的坐标。 解:直线 l 过点 P0 (1,0) ,倾斜角为

?x ? t ? 的直线 l 和曲线线 ? 相交于 M、 两点, N 2 4 ? y ? 2t

? ,所以直线 l 的参数方程为 4

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 , 为参数) (t ,因为直线 l 和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛 ? 2 ?y ? t ? 2 ?
物线方程

y 2 ? 2 x 中,得: (

1 2 2 2 t ) ? 2(1 ? t ) ,整理得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , 2 2 2

1 ? ? (? 2 ) 2 ? 4 ? ? (?2) ? 6 ? 0 ,设这个二次方程的两个根为 t1 ,t 2 , 2

由韦达定理得 t1 ? t 2 ? 2 2 ,由 P 为线段 MN 的中点,根据 t 的几何意义,得

tp ?

t1 ? t 2 ? 2 ,易知中点 M 所对应的参数为 t M ? 2 ,将此值代入直线的参 2

数方程得,M 点的坐标为(2,1) 点评:对于上述直线 l 的参数方程,M、N 两点对应的参数为 t1 ,t 2 ,则它们 的中点所对应的参数为 t ? 案,这将十分方便快捷。
2 2 再如例 4:过双曲线 x ? y ? 1 的右焦点 F 作倾斜角为 45? 的直线 L 与双曲 9 16

t1 ? t 2 . 将参数值代入直线参数方程后很快就可得到答 2

线交于 A,B 两点,M 是 AB 的中点,求|MF|。

如果用传统的解法则是 解:方法一 依题意 a=3,b=4,c=5 所以 k=1
联立

所以 F(5,0),又直线 l 的倾斜角为 45 度

? l的方程为y ? x ? 5
x 2 y2 ? ? 1和y ? x ? 5 9 16

得 : 7x 2 ? 90x ? 369 ? 0
? xM ? yM x1 ? x 2 45 ?? 2 7 80 ? xM ? 5 ? ? 7

? MF |? |

60 2 7

整个解答过程将会比较繁琐,因为传统的解法必须要将直线方程与曲线方程联 立,消元后用根与系数的关系及终点坐标公式才能求解。 解法 2:依题意 l 的参数方程为:
? 2 t ?x ? 5 ? 2 2 ? 2 代入 x ? y ? 1 ? 9 16 2 ? ?y ? 2 t ?

得7t 2 ? 160 2t ? 512 ? 0

? MF |? |

| t1 ? t 2 | 80 ? 2 2 7

小结: 方法二:用参数方程求解,且灵活运用参数 t 的几何意义,使求解过 程变得简洁, 不容易出错,如果我们在教学中能多引导学生从这些方面思考, 那么我们教起来轻松,学生学起来也将会更容易。 体会三:两个性质在用的过程中要注意参数 T 取非单位向量时候的处理转 化。 从上面的例子不难看出,这两个性质的确好用,但是我们在教学中一定要 要注意下面例子中的问题就需要对参数 T 所取的单位长度作转化:

? x ? 1 ? 4t ? 例如:已知曲线的方程是 ? ? 2 cos( ? ? ) ,直线 L 的方程是 ? 若 4 ? y ? ?1 ? 3t
直线与曲线相交与 A、B 两点,求 AB 弦长。 解法 1:解:直线方程可以化简为: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 ,而曲线的方程可化简为:

x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 将直线方程代入曲线方程,消去一个未知数 y 后可得关于 x 的
一元二次方程,由点到直线的距离公式及,弦心距,半径,半弦长之间构成直角

7 AB ? 三角形可以解得 5 解法 2:将直线的参数方程代入曲线方程,则可以得到一个关于 t 的一元二次方

程: 25t 2 ? 7t ? 0 如果还是用以前的有参数 t 的几何意义的话将会求得 AB 的弦长
| AB |?| t A ? t B |? (t A ? t B ) 2 ? 4t A ? t B 7 ? ?0 25 为 7 ? 25 这一结果与上述结果为何会不一样呢?两种解法所得的结果是哪一种对呢? 当然答案是第一种解法的对, 实际上这就是在推导直线的参数方程时一定要注意 到直线参数方程中参数 T 的几何意义的问题,实际上,在上述题目中我们的参 数 T 是选取了模为 5 的向量当作了单位向量,而非模为 1 的向量为单位向量, 但是在解题过程中多数同学甚至是老师也不会注意到这一细节, 所以在涉及到直 线参数方程, 曲线的极坐标方程的问题时我们一定要注意到直线参数方程中参数
2

? x ? 1 ? 4t T 的几何意义的探究, 如上题中的直线方程 ? 中由于直线的参数方程标 ? y ? ?1 ? 3t

?x ? x0 ? t cos? 准形式 ? 中 t 的系数无论是 ? y ? y0 ? t sin ?
sin ?还是 cos? , 都只能在 ?? 1,1?上取值一旦 t 的前面的系数超过了区间 ?? 1,1?则要

考虑参数 t 是多少个单位长度为单位向量。于是在上面的解答中我们只要在
AB ?

? x ? 1 ? 4t 7 的基础上乘以直线参数方程 ? 中 t 的模 5 即可以得到正确答案 25 ? y ? ?1 ? 3t

7 7 ?5 ? 。 25 5 如果我们能在我们在教学中注意到了这样的问题,点清了问题的实质所在。也 就是强调解释清楚了参数 T 的几何意义,并用适当的例子进行了纠错练习,那 么学生的学习效果必然是好的。 我们的解题速度和解题正确率、得分率也将得到 大大的提高,我们的解题水准也必将得到巨大的提升。

即 AB ?

姓 名:贾雪光 单位:云南省建水县第二中学 通讯地址: 云南省红河州建水县第二中学 邮编:654311 邮箱:1259642187@qq.com

联系电话:13887336091



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