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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十二章推理与证明算法复数12.3算法与流程图教师用书文



12.3 算法与流程图

1.算法通常是指对一类问题的机械的、统一的求解方法. 2.流程图是由一些图框和流程线组成的,其中图框表示各种操作的类型,图框中的文字和 符号表示操作的内容,流程线表示操作的先后次序. 3.三种基本逻辑结构 (1)依次进行多个处理的结构称为顺序结构,是任何一个算法都离不开的基本结构.

其结构形式为 (2)选择结构是先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构. 其结构形式为

(3)循环结构是指需要重复执行同一操作的结构,需要重复执行的同一操作称为循环体.循 环结构又分为当型和直到型. 其结构形式为

4.赋值语句、输入语句、输出语句 赋值语句用符号“←”表示, 其一般格式是变量←表达式(或变量), 其作用是对程序中的变 量赋值;输入语句“Read a,b”表示输入的数据依次送给 a,b,输出语句“Print x”表 示输出运算结果 x. 5.算法的选择结构由条件语句来表达,一般是 If—Then—Else 语句,其一般形式是 If

A

1

Then

B
Else

C
End If. 6.算法中的循环结构,可以运用循环语句来实现 (1)当循环的次数已经确定,可用“For”语句表示 “For”语句的一般形式为 For I From“初值”To“终值”Step“步长” 循环体 End For 说明:上面“For”和“End For”之间缩进的步骤称为循环体,如果省略“Step 步长”, 那么重复循环时,I 每次增加 1. (2)不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现循环结构当型和直到型两种语句结 构. 当型语句的一般格式是 While p 循环体 End While , 直到型语句的一般格式是 Do 循环体 Until p End Do

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)算法只能解决一个问题,不能重复使用.( × ) (2)流程图中的图形符号可以由个人来确定.( × ) (3)输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框.( × ) )

(4)选择结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.( √ (5)5=x 是赋值语句.( × )

2

(6)输入语句可以同时给多个变量赋值.( √ )

1.已知一个算法: (1)m=a. (2)如果 b<m,则 m←b,输出 m;否则执行第(3)步. (3)如果 c<m,则 m←c,输出 m.否则执行第(4)步. (4)输出 m. 如果 a=3,b=6,c=2,那么执行这个算法的结果是____________. 答案 2 解析 当 a=3,b=6,c=2 时,依据算法设计, 本算法是求 a、b、c 三个数的最小值, 故输出 m 的值为 2. 2.(2016·全国甲卷改编)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的流 程图, 执行该流程图, 若输入的 x=2, n=2, 依次输入的 a 为 2,2,5, 则输出的 s=________.

答案 17 解析 由流程图可知,输入 x=2,n=2,a=2,s=2,k=1,不满足条件;a=2,s=4+2 =6,k=2,不满足条件;a=5,s=12+5=17,k=3,满足条件,输出 s=17. 3.(2016·扬州模拟)执行如图所示的伪代码,输出的结果是________.

S←1 I←2
While

S≤100 I←I+2 S←S×I
3

End While Print I

答案 8 解析 该伪代码运行三次,第一次,I=4,S=4;第二次,I=6,S=24;第三次,I=8,S =192>100,退出循环,故输出的结果为 8. 4.执行如图所示的流程图,输出的 x 值为________.

答案 6 解析 该流程图运行三次,第一次,x=4,y=16;第二次,x=5,y=32;第三次,x=6,

y=64>10×6+3=63,退出循环,故输出的 x 值为 6.
5.执行下面的流程图,若输入的 ε 的值为 0.25,则输出的 n 的值为________.

答案 3 解析 第一次循环:F1=3,F0=2,n=2; 第二次循环:F1=5,F0=3,n=3.

4

1 1 1 此时 = =0.2 满足 ≤ε =0.25, F1 5 F1 故输出 n=3.

题型一 顺序结构与选择结构 命题点 1 顺序结构 例 1 如图所示的流程图,根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题.

(1)该流程图解决的是一个什么问题? (2)当输入的 x 的值为 0 和 4 时,输出的值相等,问当输入的 x 的值为 3 时,输出的值为多 大? (3)在(2)的条件下要想使输出的值最大,输入的 x 的值应为多大? 解 (1)该流程图解决的是求二次函数 f(x)=-x +mx 的函数值的问题. (2)当输入的 x 的值为 0 和 4 时,输出的值相等, 即 f(0)=f(4). 因为 f(0)=0,f(4)=-16+4m, 所以-16+4m=0, 所以 m=4,f(x)=-x +4x. 则 f(3)=-3 +4×3=3, 所以当输入的 x 的值为 3 时,输出的 f(x)的值为 3. (3)因为 f(x)=-x +4x=-(x-2) +4, 当 x=2 时,f(x)最大值=4, 所以要想使输出的值最大,输入的 x 的值应为 2. 命题点 2 选择结构 例 2 执行如图所示的流程图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于________.(填正 确序号)
5
2 2 2 2 2

①[-3,4] ③[-4,3] 答案 ①

②[-5,2] ④[-2,5]

? ?3t,t<1, 解析 根据流程图可以得到分段函数 s=? 2 ?4t-t ,t≥1, ?

进而在函数的定义域[-1,3]
2

内分段求出函数的值域.所以当-1≤t<1 时,s=3t∈[-3,3);当 1≤t≤3 时,s=4t-t
2

=-(t-2) +4,所以此时 3≤s≤4.综上可知,函数的值域为[-3,4],即输出的 s 属于[- 3,4]. 引申探究 若将本例中判断框的条件改为“t≥1”,则输出的 s 的范围是什么? 解 根据流程图可以得到,当-1≤t<1 时,s=4t-t =-(t-2) +4,此时-5≤s<3; 当 1≤t≤3 时,s=3t∈[3,9]. 综上可知,函数的值域为[-5,9],即输出的 s 属于[-5,9]. 思维升华 应用顺序结构与选择结构的注意点 (1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的. (2)选择结构 利用选择结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一框中的内 容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足. 执行如图所示的流程图,如果输入的 x , y∈R ,那么输出的 S 的最大值为 ________.
2 2

6

答案 2 解析 当条件 x≥0,y≥0,x+y≤1 不成立时输出 S 的值为 1;当条件 x≥0,y≥0,x+y≤1 成立时 S=2x+y,下面用线性规划的方法求此时 S 的最大值.

x≥0, ? ? 作出不等式组?y≥0, ? ?x+y≤1

表示的平面区域如图中阴影部分(含边界),由图可知当直线 S

=2x+y 经过点 M(1,0)时 S 最大,其最大值为 2×1+0=2,故输出 S 的最大值为 2.

题型二 循环结构 命题点 1 由流程图求输出结果 例 3 (2016·全国乙卷改编)执行如图所示的流程图,如果输入的 x=0,y=1,n=1,则输 出 x,y 的值满足________.

答案 y=4x 解析 执行题中的流程图,知 第一次进入循环体:x=0+ 1-1 2 2 =0,y=1×1=1,x +y <36; 2

2-1 1 第二次执行循环体:n=1+1=2,x=0+ = , 2 2
7

y=2×1=2,x2+y2<36;
1 3-1 3 第三次执行循环体:n=2+1=3,x= + = , 2 2 2

y=3×2=6,x2+y2>36,满足 x2+y2≥36,故退出循环,输出 x= ,y=6,满足 y=4x.
命题点 2 完善流程图 例 4 1 1 1 1 (2017·南京月考)如图给出的是计算 + + +?+ 的值的一个流程图,其中菱形 2 4 6 20

3 2

判断框内应填入的条件是________.

答案 i>10 或 i≥11 1 解析 经过第一次循环得到 s= ,i=2,此时的 i 不满足判断框中的条件; 2 1 1 经过第二次循环得到 s= + ,i=3,此时的 i 不满足判断框中的条件; 2 4 1 1 1 经过第三次循环得到 s= + + ,i=4,此时的 i 不满足判断框中的条件; 2 4 6 ?; 1 1 1 1 经过第十次循环得到 s= + + +?+ ,i=11,此时的 i 满足判断框中的条件,执行输 2 4 6 20 出, 故判断框中的条件是“i>10”或“i≥11”. 命题点 3 辨析流程图的功能 例 5 根据下面流程图,对大于 2 的整数 n,输出的数列的通项公式是____________.

8

答案 an=2

n

解析 由流程图可知, 第一次运行:i=1,a1=2,S=2; 第二次运行:i=2,a2=4,S=4; 第三次运行:i=3,a3=8,S=8; 第四次运行:i=4,a4=16,S=16. 故 an=2 . 思维升华 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知流程图,求输出的结果,可按流程图的流程依次执行,最后得出结果. (2)完善流程图问题, 结合初始条件和输出结果, 分析控制循环的变量应满足的条件或累加、 累乘的变量的表达式. (3)对于辨析流程图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断. (2016·四川改编)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州 (现四川省安岳县 ) 人, 他在所著的 《数书九章》 中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算法. 如 图所示的流程图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为________.
n

9

答案 18 解析 初始值 n=3,x=2,程序运行过程如下:

v=1 i=2 i=1 i=0 v=1×2+2=4 v=4×2+1=9 v=9×2+0=18

i=-1 跳出循环,输出 v=18.
题型三 基本算法语句 例 6 阅读下面两个算法的伪代码:

i←1
While 1?<20

i*?i +

i←i+1
End While Print i 图1

i←1
Do

i←i+1
Until 1?<20 End Do Print i 图2 执行图 1 中伪代码的 i 的结果是________;
10

i×?i +

执行图 2 中伪代码的 i 的结果是________. 答案 4 2

解析 执行图 1 中伪代码,得到(i,i(i+1))的结果依次为(1,2),(2,6),(3,12),(4,20), 故输出 4. 执行图 2 中伪代码的情况如下:

i=1,i=i+1=2,i·(i+1)=6<20(是),
结束循环,输出 2. 思维升华 解决算法语句有三个步骤:首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟 该语句的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题. (2015·江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________.

S←1 I←1
While I<8

S←S+2 I←I+3
End While Print S 答案 7 解析 I=1,S=1;

S=1+2=3,I=1+3=4<8; S=3+2=5,I=4+3=7<8; S=5+2=7,I=7+3=10>8.
退出循环,故输出 7.

12.流程图中变量的取值

典例 执行如图所示的流程图所表示的程序,则输出的 A=________.

11

错解展示 解析 将每次运算的 A 值用数列{an}表示, 将开始的 A=1 看作 a0,则 a1=2a0+1=1,a2=2a1+1=3,? ∴a10=2a9+1=2 -1=1 023. 答案 1 023 现场纠错 解析 本题计算的是递推数列 a0=1,
10

an+1=2an+1(n=0,1,2,?)的第 11 项,
{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 故 a10+1=2 ,故 a10=2 047. 答案 2 047 纠错心得 流程图对计数变量及求和变量取值时,要注意两个变量的先后顺序.
11

1.(2016·全国丙卷改编)执行如图所示的流程图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n =________.

12

答案 4 解析 第一次循环:a=6-4=2,b=6-2=4,a=4+2=6,s=6,n=1; 第二次循环:a=4-6=-2,b=4-(-2)=6,a=6-2=4,s=10,n=2; 第三次循环:a=6-4=2,b=6-2=4,a=4+2=6,s=16,n=3; 第四次循环:a=4-6=-2,b=4-(-2)=6,a=6-2=4,s=20,n=4,满足条件 S>16, 结束循环,输出 4. 2.(2016·北京改编)执行如图所示的流程图,输出的 S 值为________.

答案 9 解析 ①S=0+0 =0,k=0+1=1,满足 k≤2; ②S=0+1 =1,k=1+1=2,满足 k≤2; ③S=1+2 =9,k=2+1=3,不满足 k≤2,输出 9. 3.(2015·天津改编)阅读流程图,运行相应的程序,则输出 S 的值为________.
3 3 3

13

答案 6 解析 运行相应的程序,第一次循环:i=2,S=20-2=18;第二次循环:i=4,S=18-4 =14;第三次循环:i=8,S=14-8=6.8>5,终止循环,输出 6. 4. (2016·南京模拟)阅读流程图, 运行相应的程序, 则程序运行后输出的结果为__________.

答案 9 1 1 解析 i=1,S=0,第一次循环:S=0+lg =-lg 3>-1;第二次循环:i=3,S=lg + 3 3 3 1 1 5 1 lg =lg =-lg 5>-1;第三次循环:i=5,S=lg +lg =lg =-lg 7>-1;第四次循环: 5 5 5 7 7

i=7, S=lg +lg =lg =-lg 9>-1; 第五次循环: i=9, S=lg +lg =lg =-lg 11<
-1.故输出 9. 5. (2017·盐城月考)定义某种运算?, a?b 的运算原理如图所示. 设 S=1?x, x∈[-2,2], 则输出的 S 的最大值与最小值的差为________.

1 7

7 9

1 9

1 9

9 11

1 11

14

答案 2
?|x|,-2≤x≤1, ? 解析 由题意可得,S(x)=? ?1,1<x≤2, ?

∴S(x)max=2,S(x)min=0, ∴S(x)max-S(x)min=2. 6.给出一个算法的流程图(如图所示),该流程图的功能是________.

①输出 a,b,c 三数中的最大数 ②输出 a,b,c 三数中的最小数 ③将 a,b,c 按从小到大排列 ④将 a,b,c 按从大到小排列 答案 ② 解析 先比较 a,b 的值,把较小的值赋值给 a;再比较 a,c 的值,把较小的值赋值给 a, 输出 a.故②正确. 7.(2016·南通模拟)如图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是________.

答案 17 解析 该算法流程图循环三次,k 的值依次是 1,3,17,故输出的 k 的值是 17. 8.如图所示,该伪代码运行的结果为________.

S←0 i←1
While S≤20

15

S←S+i i←i+2
End While Print i 答案 11 解析 该伪代码运行 5 次,依次为 S=1,i=3;S=4,i=5;S=9,i=7;S=16,i=9;

S=25,i=11,此时循环结束,故输出 11.
9.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,第 i 次观测得到的数据为 ai,具体如 下表所示:

i ai

1 40

2 41

3 43

4 43

5 44

6 46

7 47

8 48

在对上述统计数据的分析中, 一部分计算见如图所示的流程图(其中 a 是这 8 个数据的平均 数),则输出的 S 的值是________.

答案 7 解析 本题计算的是这 8 个数的方差,因为

a=

40+41+43+43+44+46+47+48 =44, 8

所以 S= ?-4? +?-3? +?-1? +?-1? +0 +2 +3 +4 8 =7. 10.如图(1)(2)所示,它们都表示的是输出所有立方小于 1 000 的正整数的流程图,那么应 分别补充的条件为:
2 2 2 2 2 2 2 2

16

(1)____________; (2)______________. 答案 (1)n <1 000 (2)n ≥1 000 解析 第一个图中,n 不能取 10,否则会把立方等于 1 000 的正整数也输出了,所以应该填 写 n <1 000; 第二个图中,当 n≥10 时,循环应该结束,所以填写 n ≥1 000. 11.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值是 ________.
3 3 3 3

答案 0,1,3 解析 根据题意,本流程图表示分段函数:

x ,x≤2, ? ?2x-3,2<x≤5, y=? 1 ? ?x,x>5,
由于输入的 x 值与输出的 y 值相等, 由 x =x 解得 x=0 或 x=1,都满足 x≤2; 由 x=2x-3 解得 x=3,也满足 2<x≤5;
2

2

17

1 由 =x 解得 x=±1,都不在 x>5 内,舍去.

x

可见满足条件的 x 共三个:0,1,3. 12.(2016·泰州质检)某流程图所给的程序运行结果为 20,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是________.

答案 k>8 解析 由题意可知输出结果为 20,第 1 次循环,S=11,k=9,第 2 次循环,S=20,k=8, 此时 S 满足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为“k>8”. 13.(2016·扬州模拟)执行如图所示的流程图,则输出 k 的值为________.

答案 3 解析 该流程图运行三次,第一次循环,n=6,k=1;第二次循环,n=3,k=2;第三次循 环,n=1,k=3,结束循环,故输出的 k 的值是 3. 1 2 1 3 14.已知函数 f(x)=ax + x 在 x=-1 处取得极大值,记 g(x)= .流程图如图所 2 f′?x? 2 015 示,若输出的结果 S> ,则判断框中可以填入的关于 n 的判断条件是________.(填序 2 016 号)

18

①n≤2 015 ②n≤2 016 ③n>2 015 ④n>2 016 答案 ② 解析 由题意得 f′(x)=3ax +x,由 f′(-1)=0, 1 2 得 a= ,∴f′(x)=x +x, 3 即 g(x)= 1 1 1 1 = = - . x +x x?x+1? x x+1
2 2

由流程图可知 S=0+g(1)+g(2)+?+g(n) 1 1 1 1 1 =0+1- + - +?+ - 2 2 3 n n+1 =1- = 由 1 n+1

n , n+1 n 2 015 > ,得 n>2 015. n+1 2 016

故可填入②.

19



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