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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]-(1)



圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2 a , 且|,定义中的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的 两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____() 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : (1) 椭圆: 焦点在 x 轴上时

x2 y2 y2 x2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ( ) , 焦点在 轴上时 =1 (a ? b ? 0) 。 y a2 b2 a2 b2 若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x 2 ? y 2 的最小值是___

(2)双曲线: 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ? 则 C 的方程为_______(答: x ? y ? 6 )
2 2

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,
2

( 3 ) 抛 物 线 : 开 口 向 右时 y ? 2 px( p ? 0) , 开 口 向 左 时 y ? ?2 px( p ? 0), 开 口 向 上 时
2

x2 ? 2 py( p? 0),开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程
2 2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__(答: m ?1 2 ? m
2 2

(2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大, c ? a ? b 。
2 2 2 2 2 2

4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两 a2 b2 个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,
(1)椭圆(以 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ?

c a2 ; ⑤离心率:e ? , 椭圆 ? 0 ? e ? 1 , a c

e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。
如(1)若椭圆 __ (2)双曲线;⑥两条渐近线: y ? ?
2

x2 y2 10 ,则 m 的值是__() ; ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为

b x。 a
p , 0) ,其中 p 2

(3)抛物线(以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 (

的几何意义是: 焦点到准线的距离; ③对称性: 一条对称轴 y ? 0 , 没有对称中心, 只有一个顶点 (0,0) ;

④准线:一条准线 x ? ?

c p ; ⑤离心率: e ? ,抛物线 ? e ? 1 。 a 2 2 如设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________(;

2 2 x0 y0 x2 y2 a ? b ? 0 ? ? 1 ? ? 1; ( )的关系 : ( 1 )点 在椭圆外 P ( x , y ) ? 0 0 a 2 b2 a2 b2 2 2 2 x 2 y0 x0 y0 ? ? ?1 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 0 = 1 ; ( 3 )点 在椭圆内 P( x0 , y0 ) ? 2 a b2 a2 b2 (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相

5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆

切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相 离。

7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形) 问题: S ? b tan
2

?
2

? c | y0 | ,

当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线 S ?

b2 t an

?
2

。 如

9、弦长公式: 若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、 B, 且 x1 , x2 分别为 A、 B 的横坐标, 则 AB = 1? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 ?
2

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线 k2

方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k

y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计

算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b 2 x0 x2 y2 在椭圆 2 ? 2 ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ; a b a y0
弦所在直线的方程: 垂直平分线的方程:

11.了解下列结论 13.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1 、 (1) 抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 ) 与到准线的距离和最小 , 则点 P 的坐标为 ______________

(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 分析: (1)A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH ? PF ,因而易发现, 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 时,距离和最小。 解: (1) (2, 2 ) (2) (
A Q H P F B



1 ,1 ) 4

1、 已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右 4

顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程;

19(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy巾,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C与直线 y ? x 相切于坐标原点

x2 y 2 ? 1 与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. 0.椭圆 2 ? a 9
(1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF 的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分)

x2 y2 设 b > 0 ,椭圆方程为 2 ? 2 =1,抛物 2b b

Y F

线 方
G

程为 x2=8(y-b).如图 6 所示, 过点 F (0,b+2) 的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 知抛物线在 G 点的切线经过椭圆的右焦 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线 图6
A O

作x轴 G ,已 点 F1 ,
X

F1

B

方程;

(2)设 A, B 分别是椭圆的左右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使 ? ABP 为直角三角形?若存 在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必求出这些点的

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭圆 G 上一 2

点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 ( k ? R ) 的圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP 的垂直 平分线上一点,且满足 ∠MPO=∠AOP

(1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T(1,-1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO + HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T(1,-1)且不平行与 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜 率 k 的取值范围。

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 上. (1) (2) 求椭圆 C1 的方程; 设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 a 2 b2

: y 2 ? 4x 相切,求直线 l 的方程.



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