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湖北省孝感高中2015-2016学年高二上学期期中考试数学理试题


孝感高中 2015—2016 学年度高二上学期期中考试

数学试题(理)
考试时间:120 分钟 分值:150 分
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 下列反映两个变量的相关关系中,不同于其它三个的是 A.名师出高徒 B.水涨船高
o

C.月明星稀

D.登高望远

2. 孝感市 2014 年各月的平均气温( C )数据的茎叶图如下:

08 12 20 31

9 5 8 0 3 3 8 2

则这组数据的中位数是 A.19 B.20 C.21.5 D.23

3. 孝感某高中共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应 在三年级抽取的学生人数为 一年级 女生 男生 A.24 B.18 373 377 C.16 二年级 x 370 三年级 y z D.12

4. 从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A.至少有一个黑球与都是黑球 C.至少有一个黑球与至少有 1 个红球 B.至少有一个红球与都是黑球 D.恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球

5. 执行如图所示的程序框图,如果输出 s=3,那么判断框内应填入的条件是

A.k≤6

B.k≤7

C.k≤8

D.k≤9

6. 下列关于概率的理解中正确的命题的个数是 ①掷 10 次硬币出现 4 次正面,所以掷硬币出现正面的概率是 0.4; ②某种体育彩票的中奖概率为

1 ,则买 1000 张这种彩票一定能中奖; 1000

③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为 70%是指明天孝感有 70%的区域下雨,30%的 区域不下雨. A.0 B.1 C.2 D.3

7. 已知 (1 ? x)10 ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x)2 ? ?? a10 (1 ? x)10 ,则 a8 = A. ?180 B. 45 C. ?45 D. 180

8. 已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下:

x
y

0 2.2

1 4.3

2 4.5

3 4.8

4 t

? ? 0.95x ? 2.6 ,则 t= 且回归方程是 y
A.6.7 B.6.6 C.6.5 D.6.4

9. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该 程序框图,若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ?

b

A.0

B.2

C.4

D.14

10. 20152015 除以 8 的余数为 A.1 B.3 C.5 D.7

11.对于两随机事件 A,B 若 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 1 ,则事件 A,B 的关系是 A.互斥且对立 C.既不互斥也不对立 B.互斥不对立 D.以上均有可能

12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 8 ,我们称 a 为 “ 吉祥数 ”( 例如 8,17,116 都是 “ 吉祥 数”).将所有“吉祥数”从小到大排成一列 a1 , a2 , a3 …,若 an ? 2015 ,则 n ? A.84 B.82 C.39 D.37

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答案卡中的横线上) 13.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数.现从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 .

14.回文数是指从左到右读与从右到左都是一样的正整数.如 121,94249 是回文数,则 4 位回 文数有 个.

15.已知离散型随机变量 X 的分布列为: X P 则常数 q ? . 0 0.5 1 2

1 ? 2q

q

2

16.关于圆周率 ? ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯

实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计 ? 的值:先请 120 名同学,每 人随机写下一个都小于 1 的正实数对(x,y) ;再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的 数对(x,y)的个数 m;最后再根据统计数 m 来估计 ? 的值.假如统计结果是 m=34,那 么可以估计 ? 为 . (用分数表示)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出 60 名,将其成绩整理后画出的频率 分布直方图如下.观察图形,回答下列问题:

(1)49.5——69.5 这一组的频率和频数分别为多少? (2)估计这次环保知识竞赛成绩的中位数及平均成绩. (精确到小数点后一位)

18. (本小题满分 12 分) x 的取值范围为[0,10],给出如图所示程序框图,输入一个数 x . 开始 输入 x

x >7
是 y=x-1 输出 y 结束

否 y=x+1

(1)请写出程序框图所表示的函数表达式; (2)求输出的 y ( y ? 5 )的概率; (3)求 输出的 y ? 6 ? y ? 8? 的概率.

19. (本题满分 12 分)已知 ( x ? (1)求 n 的值;

1 2 x

)n 的展开式中前三项的系数成等差数列.

(2)求展开式中系数最大的项.

20. (本题满分 12 分)设有关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2ax ? b 2 ? 0 . (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求上述方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间 ?0,3? 任取得一个数,b 是从区间 ?0,2? 任取的一个数,求上述方程有实 根的概率.

21.(本题满分 12 分) (1)求证: Cn ?
m
1 (2)求和: Cn ?

m ? 1 m ?1 Cn ?1 ; n ?1
2 2 n 2 3 n k n ? ? ? k Cn ? ? ? n Cn . 2 2

2 C ?3 C

22. (本小题满分 12 分)

0 1 2 2 r r 2 n ?1 2 n ?1 2 n 2n 在 (1 ? x ? x2 )n ? Dn ? Dn x ? Dn x ? ? ? Dn x ? ? ? Dn x ? Dn x 的展开式中,把

0 1 2 2n 叫做三项式系数. Dn , Dn , Dn , ?, Dn

0 1 2 3 4 (1)当 n=2 时,写出三项式系数 D2 的值; , D2 , D2 , D2 , D2

m?1 m ? N , n ? N ) ,给出一个关于三项 (2)类比二项式系数性质 Cm ? Cm n ?1 ? Cn n (1 ≤ m ≤ n ,

m?1 式系数 Dn ?1 (1≤ m ≤ 2n ? 1, m ? N , n ? N ) 的相似性质,并予以证明;
0 0 1 1 2 2 k k 2014 2014 2015 2015 (3)求 D2015 的值. C2015 ? D2015 C2015 ?D 2015 C 2015 ? ? ? (?1) D 2015 C 2015 ? ? ? D 2015 C 2015 ? D2015 C 2015 k

孝感高中 2015—2016 学年度高二上学期期中考试 数学(理)答案
一.选择题:. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 D 5 B 6 A 7 D 8 A 9 B 10 D 11 D 12 A

二.填空题: 13.

1 10



14. 90

; 15.

1?

2 2

; 16.

47 15

.

三.解答题: 17.解: (1)频率为 (0.015 ? 0.015) ? 10 ? 0.30 . 频数为 0.30 ? 60 ? 18 .------3 分 (2)中位数为 69.5 ? 平

10 437 ? ? 72.8 .------6 分 3 6
均 成 绩

为 44.5 ? 0.1 ? 54.5 ? 0.15 ? 64.5 ? 0.15 ? 74.5 ? 0.3 ? 84.5 ? 0.25 ? 94.5 ? 0.05 ? 70.5 .---10 分. 18.解: (1)由已知可得程序框图所表示的函数表达式是 (2) 当 y ? 5 时, 若输出 若输出
? x ? 1, 7 ? x ? 10 y?? ? x ? 1, 0 ? x ? 7 ;

----3 分

y ? x ? 1? 0 ? x ? 7?

, 此时输出的结果满足 x ? 1 ? 5 , 所以 0 ? x ? 4 ,

y ? x ?1? 7 ? x ? 10?

,此时输出的结果满足 x ? 1 ? 5 ,所以 0 ? x ? 6 (不合) ,所以
4?0 2

p? ? 10 ? 0 5 ; 输出的 y ( y ? 5) 的时 x 的范围是 0 ? x ? 4 .则使得输出的 y ( y ? 5) 的概率为

------7 分

y ? x ? 1? 0 ? x ? 7? ( 3 )当 x ≤ 7 时,输出 ,此时输出的结果满足 6 ? x ? 1 ? 8 ,解得
5 ? x ? 7 ;当 x >7 时,输出 y ? x ?1? 7 ? x ? 10? ,此时输出的结果满足 6< x ﹣1≤8
解得 7< x ≤9;综上,输出的

y ? 6 ? y ? 8?

的时 x 的范围是 5< x ≤9.
9?5 2 ? 10 5

p? 则使得输出的 y 满足 6 ? y ? 8 的概率为
0 19.解: (1)根据题意,得 Cn ?

.-------12 分

1 2 1 1 2 Cn ? 2 ? ? Cn ,即 n ? 9n ? 8 ? 0 ,解得 n ? 8 或 n ? 1(舍 4 2

去) .-------4 分

1 ? 1 1 r ?1 ?1 r ? , C ? C , 8 8 ? r r ? 1 ? ? 8 ? r 2(r ? 1) ?2 2 (2)设第 r ?1 项的系数最大,则 ? 即? 解得 r ? 2 或 1 1 1 1 r r ? 1 ? C ? C8 , ? ? , 8 ? ? 2r 9 ? 1 ? 2r 2r ?1 ?

r ? 3 .所以系数最大的项为 T3 ? 7 x5 , T4 ? 7 x 2 .------12 分
20. 解: (1)记事件 A ? 方程有实根 ,则 ? ? 4

7

?

?

a

2

? 4 b ? 0 ,即 a ? b ,通过列举法

2

可得事件 A 包含的基本事件数为 9, 而总的基本事件数是 4 ? 3 ? 12 ,? P( A) ? 分 (2)由几何概率计算公式得 P ?

9 3 ? ; ----6 12 4

4 2 ? . 6 3

-----12 分

21.解:(1)证明:右边=

m ?1 (n ? 1)! n! m ? ? ? C n .-------4 分 n ? 1 (m ? 1)!(n ? m)! m!(n ? n)! n! (n ? 2)! k ?2 ? n(n ? 1) ? n(n ? 1) C n ?2 , k!(n ? k )! (k ? 2)!(n ? k )!
k ?2 k ?1

(2)? k ? (k ? 1)

C

k n

? k (k ? 1)
k

kC

2

k n

? [k ? (k ? 1) ? k ] C n ? n(n ? 1) C n ? 2 ? n C n ?1 .--------8 分
2 2 2 2 0 1 n?2

1 2 3 k n ? Cn ? 2 Cn ? 3 Cn ? ? ? k Cn ? ? ? n Cn ? n(n ? 1)(C n ? 2 ? C n ? 2 ? ? ? C n ? 2)

? n(C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1) ? n(n ? 1)2
22. 解 : ( 1 ) 因 为

0

1

n ?1

n?2

? n2

n ?1

? n(n ? 1)2

n?2

.-----12 分 , 所 以

( x2 ? x ? 1)2

? x 4 ? 2 x3 ? 3 x 2 ? 2 x ? 1

0 1 2 3 4 D2 ? 1, D2 ? 2, D2 ? 3, D2 ? 2, D2 ? 1 . -----------3 分
m?1 m ? N , n ? N ) ,三项式系数有如下性质: ? Cm (2)类比二项式系数性质 Cm n ?1 ? Cn n (1 ? m ? n ,

m?1 m?1 m m?1 Dn ? Dn ? Dn ,(1 ? m ? 2n ? 1). ?1 ? Dn

因为 (1 ? x ? x2 )n?1 ? (1 ? x ? x2 ) ? (1 ? x ? x2 )n ,

0 1 2 2 r r 2 n ?1 2 n ?1 2 n 2n ? Dn x ? Dn x ? ? ? Dn x ? ? ? Dn x ? Dn x ). 所以 (1 ? x ? x2 )n?1 ? (1 ? x ? x2 ) ? (Dn

m ?1 m ?1 m ?1 m m ?1 ? Dn ? Dn 上式左边 x m ?1 的系数为 Dn 的系数为 Dn , ?1 ,而上式右边 x

由 (1 ? x ? x2 )n?1 ? (1 ? x ? x2 ) ? (1 ? x ? x2 )n 为恒等式,
m?1 m?1 m m?1 ? Dn ? Dn ,(1 ? m ? 2n ? 1). ------8 分 得 Dn ?1 ? Dn

(3) (1 ? x ? x2 )2015 ? ( x ? 1)2015
0 1 2 r 4029 4029 4030 4030 ? ( D2015 ? D2015 x ? D2015 x 2 ? ? ? D2015 x r ? ? ? D2015 x ? D2015 x )? 2015 2014 2013 2012 r 2014 2015 (C0 ? C1 ? C2 ? C3 ? ? ? (?1)r C2015 x2015 ?r ? ? ? C2015 x ? C2015 ), 2015 x 2015 x 2015 x 2015 x

其中 x

2015

0 1 1 2 2 3 3 2014 2014 2015 2015 C0 系数为 D2015 2015 ? D2015 C2015 ? D2015 C2015 ? D2015 C2015 ? ? ? D2015 C2015 ? D2015 C2015 ,

又 (1 ? x ? x2 )2015 ? ( x ? 1)2015 ? ( x3 ? 1)2015 ,

r 而二项式 ( x3 ? 1)2015 的通项 Tr ?1 ? C2015 ( x3 )2015?r ,

因为 2015 不是 3 的倍数,所以 ( x3 ? 1)2015 的展开式中没有 x

2015

项,由代数式恒成立,得 -----12 分

0 1 1 2 2 3 3 2014 2014 2015 2015 D2015 C0 2015 ? D2015 C2015 ? D2015 C2015 ? D2015 C2015 ? ? ? D2015 C2015 ? D2015 C2015 =0.


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