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高一数学竞赛选拔赛试题



高一数学竞赛选拔赛试题
一、1.化简 二、选择题
3

5 ?1 ? 5 ?1? ? ?? ? 2 ? 得 2 ? ?
A

2

( )

5 ?1 2

B

5 ?1 2
2

C 5


D3 5
2

2.已知集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? x x ? x ? 2 ? 0 ,则下列正确的是( A. A ? B ? y y ? 1 , C. A ? B ? y ?2 ? y ? 1

?

?

?

?



?

?

B. A ? B ? y y ? 2

?

?

?

?

D. A ? B ? y y ? 2或y ? ?1

?

?

3.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? A. f 2 ( x) ? f ( x2 ) ? f ( x) C.

x ,则下列大小关系正确的是( lg x
B. f ( x2 ) ? f 2 ( x) ? f ( x) D. f ( x2 ) ? f ( x) ? f 2 ( x)



f ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x)
2 2

4.设圆 C 的方程为 x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,直线 l 的方程为 (m ? 1) x ? my ? 1 ? 0 ( m ? R ),圆 C 被直线 l 截得的弦长等于 (A) 4 (B) 2 2
2

(

) (D) 与 m 有关 ( )

(C) 2

5.函数 f ( x) ? sin ( x ?

?

(A) 周期为 ? 的偶函数 (C) 周期为 2? 的偶函数

) ? sin 2 ( x ? ) 是 4 4

?

(B) 周期为 ? 的奇函数 (D) 周期为 2? 的奇函数

6.设函数 f ( x ) 的定义域为 (??, a) ? (a, ??) , f ( x) ? 0 的解集为 M , f ( x) ? 0 的解集 为 N ,则下列结论正确的是() (A) M ? CR N (C) M ? N ? R (B) CR M ? CR N ? ? (D) CR M ? CR N ? R

7.已知 a, b, c 为三条不同的直线,且 a ?平面 M , b ? 平面 N , M ? N ? c . (1) (2) (3) (4) 若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a 、 b 中的一条相交; 若 a 不垂直于 c ,则 a 与 b 一定不垂直; 若 a ∥ b ,则必有 a ∥ c ; 若 a ? b , a ? c ,则必有 M ? N .
用心 爱心 专心

其中正确的命题的个数是 (A) 0 (B) 1
2

(

) (C) 2 (D) 3

8.函数 f ( x) ? loga (?ax ? 3x ? 2a ?1) 对于任意的 x ? (0,1] 恒有意义,则实数 a 的取值范围 是 ( ) (B) a ? (A) a ? 0 且 a ? 1 (C) a ?

1 且a ?1 2

1 且a ?1 2

(D) a ? 1

二、填空题 9.已知 x ?

1 2? 5

,则 x ? 3x ? 5 x ? 1 ?
3 2



10.已知 A、B 是半径为 5 的圆 O 上的两个定点,P 是圆 O 上的一个动点,若 AB=6,设 PA+PB 的最大值为 s ,最小值为 t ,则 s ? t 的值为 。 11. 已知全集 U= ( x, y) x ? R, y ? R , 集合 M= ( x, y) x ? y ? 2 , 集合 N= ?( x, y)

?

?

?

?

? ?

? y ?1 ? ?1? , x ?1 ?

则集合 M ? (

C

U

N) =



12.高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池,其中甲组同学平均每人收 集 17 个,已组同学平均每人收集 20 个,丙组同学平均每人收集 21 个。若这三个小组共收集 了 233 个废旧电池,则这三个小组共有 个学生。
2 2 13.代数式 x ? 4 ? (12 ? x) ? 9 的最小值为



14.设 5 cm ? 4cm ? 3cm 长方体的一个表面展开图的周长为 pcm ,则 p 的最小值 是 。

15.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( ? x) ? f ( ? x) ? 2 ,则 f ( ) ? f ( ) ? ?? f( ) ? 16.已知函数 f ( x) ? ? 素个数为 .

?cos ? x 2
x?2 ? e

1 2 ?3 ? x ? 0

1 2

1 8

2 8

7 8

x?0

,若 f (2) ? f (a) ? 2 ,则实数 a 组成的集合的元

17.已知关于 x 的方程 x2 ? 2 px ? (q2 ? 2) ? 0 ( p, q ? R )无实根,则 p ? q 的取值范围 是 . 18.关于 x 的不等式 x ? 2 ? 2x ?1 ? a 的解集为 A , 集合 B ? x ?1 ? x ? 3 , A ? B ? ? , 若 则实数 a 的取值范围是 三.解答题
2 2 2

?

?

.

20. 圆 O 的方程是 x ? y ? r (r ? 0) ,点 P 是圆 O 上一个动点,点 Q 是 P 关于点 A(0, ?2) 的对称点,点 P 绕圆心 O 按逆时针方向旋转 点 Q 、 R 之间距离的最大值和最小值.

? 后所得的点为 R ,求当点 P 在圆 O 上移动时, 2

用心

爱心

专心

y 21.设函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) ,且对任意 y ? R 都有 f ( x ) ? yf ( x) .

若对常数 m ? (0,1) , f (m) ? 0 ,判断 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性;

22.已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足以下三个条件: [1] 对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ; [2] f (1) ? 1 ; [3] 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 并且称 f ( x ) 为“友谊函数” ,请解答下列各题:

用心

爱心

专心

(1)若已知 f ( x ) 为“友谊函数” ,求 f (0) 的值; (2)函数 g ( x) ? 2 x ?1在区间 [0,1] 上是否为“友谊函数”?并给出理由. (3)已知 f ( x ) 为“友谊函数” ,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] 且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 求证: f ( x0 ) ? x0 .

用心

爱心

专心

参考答案
一、选择题:AACABDCB

? x ? x x2 3 解:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? ? 0 , f ( x2 ) ? ? 0 , f 2 ( x) ? ? ? ? 0。 2 lg x lg x ? lg x ?

2

又因为

x x2 2 x ? x 2 (2 ? x) x ? ? ? ? 0 。所以 f ( x) ? f ( x2 ) ? f 2 ( x) 。 选 C。 2 lg x lg x 2lg x 2lg x

三、填空题 9.0.? x ? ?2 ? 5 得 ( x ? 2) 2 ? 5 ? x 2 ? 4x ? 1 ? 0 而 x 3 ? 3x 2 ? 5x ? 1 ? ( x ? 1) ? ( x 2 ? 4x ? 1) ? 0 10. 6 10 ? 6 11. ?(1,1)?

12.设甲、已、丙三个组的人数分别为 x, y , z 。则有

17x ? 20y ? 21z ? 233,故 233= 17x ? 20y ? 21z ? 17x ? 17 y ? 17z
233 12 ? 13 ,同理 233 ? 21x ? 21y ? 21z 17 17 233 2 ?x? y ? z ? ? 11 ,? x, y, z 均为整数,则 x ? y ? z ? 12 或 21 21 ?x? y ? z ?

x ? y ? z ? 13 ,检验的 x ? y ? z ? 12 方可。
13.数型结合得 205 察得: 周长的最小值为 8 ? 3 ? 4 ? 4 ? 2 ? 5 ? 50 。 15. 7 16. 5 17. (-2,2) 18. (??,10) 14.长方体的展开图的周长为 8c ? 4b ? 2a ,由排序或观

三、解答题 19 解: (1)∵正四棱锥 R—ABCD 中 Q 是△RBC 的重心,∴RQ⊥BC 又∵RO⊥底面 ABCD,∴RO ⊥BC,∵RO∩RQ=R,∴BC⊥平面 ROQ ∴平面 ROQ⊥平面 RBC (2)延长 RQ 交 BC 于点 M,由 PQ 与 OM 不平行且共面,所以它们必相交,设 PQ∩OM=N,则∠ PNO 为直线 PQ 与底面 ABCD 所成的角, 可求得 tan ?PNO ? 角为 arctan

3 ,即直线 PQ 与底面 ABCD 所成的 4

3 . 4

用心

爱心

专心

(3)在 BC 上取一点 K,使 BK ?

1 BC , 则 QK // BR 由此可求得 PQ 与 BR 所成的角为 3

13 11 arccos 55
计算可得 PK ?

11 5 2 11 , , PQ ? , OK ? 3 3 3

20 解:设 P( x, y) , R( x?, y?) , ?XOP ? ? ,设圆的参数方程为 ?
2

? x ? r cos ? ? x? ? ? y ,则 ? , ? y? ? x ? y ? r sin ?
2

( ? 点 Q 是关于点 A(0, ?2) 的对称点,?Q ? x, 4 ? y) | QR | ? 2r ? 8 2r sin(? ? .
?1 ? sin(? ?
当 sin(? ?

?
4

) ? 16 ,

?
4

) ? 1 ,当 sin(? ?

?
4

) =1 时, QR 有最大值 2(r ? 2 2) |;

?
4

) ? ?1 时,| QR |有最小值 2 | r ? 2 2 |

21 解 : (1) 对 任 意 0 ? x1 ? x2 , 由 m ? ( 0, 1) 存 在 s , t 使 得 x1 ? ms , x2 ? mt 且 s ? t , ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (s ? t ) f (m) 又? s ? t ? 0, f (m) ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数
20.解: (1)取 x1 ? x2 ? 0 得 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 ,又由 f (0) ? 0 ,得 f (0) ? 0
x (2)显然 g ( x) ? 2 ? 1在 [0,1] 上满足[1] g ( x) ? 0 ;[2] g (1) ? 1 .若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且

x1 ? x2 ? 1
g( 1 ?
x


? x 2x12 ) ? ?





x
x

x2

[1 ? 1 ?

g( [

x1

?

2

?

故 g ( x) ? 2 ? 1满足条件[1]、[2]、[3],所以 g ( x) ? 2 ? 1为友谊函数. (3)由 [3]知任给 x2 , x1 ?[0,1] 其中 x2 ? x1 ,且有 x2 ? x1 ? 1 ,不妨设 x2 ? x1 ? ?x (?x ? 0) 则 必 有 :

0 ? ?x ? 1)







f(

2

?

x)

1

? f(

x1 ) ?

?f (

1

? x

)

1

x? (

f

)?

x1

(?

所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) .依题意必有 f ( x0 ) ? x0 , 下面用反证法证明:假设 f ( x0 ) ? x0 ,则有 x0 ? f ( x0 ) 或 x0 ? f ( x0 ) (1) 若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾;----12 分

用心

爱心

专心

(2)若 x0 ? f ( x0 ) ,则 f ( x0 ) ? f [ f ( x0 )] ? x0 ,这与 x0 ? f ( x0 ) 矛盾; 故由上述(1)(2)证明知假设不成立,则必有 f ( x0 ) ? x0 ,证毕.-------14 分 、

用心

爱心

专心



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