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高一数学4 1.3三角函数的诱导公式



桂林市新课程高中数学大集体备课教学设计用纸

备课人:

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必修 ④

第 一

章 教学内容分析

本章学习的主要内容是三角函数的定义、图像、性质及应用。三角函数是 基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中都具 有重要的作用。

在本章中,学生将通过实例,学习三角函数及其基本性质,体 会三角函数在解决具有周期变化问题中的作用。单位圆是研究三角函数的重要 工具,借助它的直观,学生可 ijie 三角函数的概念和性质,因此三角函数的学习 可以帮助学生更好地体会数形结合思想。三角函数作为描述周期现象的重要数 学模型,与其他学科有紧密联系,因此本章的学习可以培养学生的数学应用能 力。

高中数学教学设计
教学 课题 课程 类型 新授课 1.3 三角函数的诱导公式(第一课时)





一课时

教材 分析

本节课的内容是诱导公式一、二、三、四,是学生已学习过的三角函数定义、同 角三角函数基本关系及诱导公式一等知识的延伸和拓展, 它揭示了两组角的终边关于 x 轴、y 轴或原点对称的相关角之间的三角函数值有着相等或相反的关系。求三角函数值 是三角函数中的重要问题之一,诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式一、 二、三、四的作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求 0°到 90°的三角函数值 问题。 学生基本掌握了终边同的角同名三角函数值相等的关系,了解了三角函数的关系 来源于单位圆上的点坐标的关系。 诱导公式的推导及灵活应用

学情 分析 教学 重点

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教学 难点

1. 诱导公式的推导、理解 2. 诱导公式的记忆 (一)知识目标 1.掌握 a+2kπ 、-a、π -a、π +a 角的正弦、余弦和正切的诱导公式; 2. 并能理解其探求思路,能正确地运用诱导公式一、二、三、四进行任意角的正 弦、余弦和正切值的求解,简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明.

教学 目标

(二)能力目标 1.运用数形结合的思想探究问题、解决问题,理解对称变换思想在学习过程中的运 用; 2.通过公式的应用,了解已知到未知、复杂到简单的转化过程,形成化归思想,以 及信息加工、运算推理的能力. (三)情感目标 1.进一步树立数形结合的思想,体会类比思想的作用; 2.养成勤于联想、善于总结的思维习惯. 探索式教学法 学生借助直角坐标系中的单位圆图,通过观察类比、思考、交流和讨论,理解三 角函数诱导公式的推导。

教学 方法 学法 渗透 教学 手段

PPT 辅助教学。

教学过程设计

一.复习旧知,引入新课。 关于三角函数的第一组诱导公式: sina=sin(a+k·2π ) cos a=cos(a+k·2π) 10 引入问题:利用诱导公式一求角 π 的正弦值。 3 10 4 由公式一: sin π = sin π 3 3

tan a =tan(a+k·2π)

k∈Z.

4 ? 发现问题: π 不是锐角,如何把角转化到 0~ 范围内去解决求值问题。 3 2

二.新知探究 1.诱导公式(二) 4 1 思考: (1). π 能否表示成π +a 的形式?(π + π ) 3 3 4 1 (2). π 角的终边与 π 的角的终边关系如何? 3 3
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4 1 (3).设 π 、 π 的终边分别交单位圆与点 P、 P , ,则 P、 P , 的位置关系如何? 3 3

(4).设点 P(x,y),则点 P , 怎样表示?
4 1 (5).sin π 与 sin π 的值关系如何? 3 3 问题:对于任意角 a,sina 与 sin(180°+ a)的关系如何?cosa 与 cos(180°+ a)的关系如何? tana 与 tan(180°+ a)的关系如何?试说出你的猜想。 观察:
y
1.利用圆的对称性,设点 P(x,y),确定 P′的坐标 2.利用三角函数的定义确定角 a 的三角函数值: 。

sin ? ? y , cos? ? x ;
P(x,y) x a L A

tana=

y x y x

3. 利用三角函数的定义角π +a 的三角函数值:

O P'

sin(? ? ? ) ? ? y , cos(? ? ? ) ? ? x ,tan(π +α )=
4.观察总结:角 a 和π +a 的三角函数值之间的关系.

sin ? π ? ? ? ? ? sin ?
得到诱导公式(二) cos ? π ? ? ? ? ? cos ? :

tan ? π ? ? ? ? tan ?
4 1 ∴sin π =-sin π =-1/2 3 3
注:公式中的角 ? 是使式子有意义的任意一个角 2.诱导公式(三) 观察

y

(1) ? 与(- ? )角的终边位置关系如何? (2) 利用圆的对称性, 设点 P(x,y), 确定 P′的坐标 。 ,

O

P(x,y) x a -a B P''(x,-y)

(3)sin ? 与 sin(- ? ),cos ? 与 cos(- ? ) ,tan ? 与 tan(- ? )关系如何?

经过探索,归纳成公式
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sin ? ?? ? ? ? sin ? cos ? ?? ? ? cos ? -------------公式 三 tan ? ?? ? ? ? tan ?
sin 330? ? sin(360? ? 30?) ? sin(?30?) ? ? sin 30? ? ? 1 2

3. 诱导公式四 观察:
y
(1) ? 与(π - ? )角的终边位置关系如何? (2) 利用圆的对称性, 设点 P(x,y), 确定 P′的坐标 。

P'(-x,y) a O a

P(x,y) x B

(3) ? 与 sin(π - ? ), ? 与 cos(π - ? ) , ? sin cos tan 与 tan(π - ? )关系如何?

经过探索,归纳成公式

sin ? π ? ? ? ? sin ? cos ? π ? ? ? ? ? cos ? ------公式 四 tan ? π ? ? ? ? ? tan ?
sin150? ? sin(180? ? 30?) ? sin 30? ?
三角函数的诱导公式 公式一: sin(? ? 2kπ) ? sin ? ,cos(? ? 2kπ) ? cos ?, ? ? 2kπ) ? tan ? (k ? Z), tan( 公式二: sin(?? ) ? ? sin ?, ?? ) ? cos ?, ?? ) ? ? tan ? . cos( tan( 公式三: sin(π ? ? ) ? sin ?, cos(π ? ? ) ? ? cos ?, tan(π ? ? ) ? ? tan ? . 公式四: sin(π ? ? ) ? ? sin ?, cos(π ? ? ) ? ? cos ?, tan(π ? ? ) ? tan ? . 问题:你能用一句话概括公式一、二、三、四吗? 总结: 2kπ ? ? (k ? Z), π ? ? ,?? 的三角函数值,等于 ? 的同名函数值,前面加上一个把 ? 看成锐角时 原函数值的符号.公式特点: “函数名不变,符号看象限” 把 。

1 2

? 看成锐角时, ? ? 2kπ, π ? ? , π ? ? , ?? 分别位于第一、二、三、四象限。

三、例题讲解
例 1.利用公式求下列三角函数值。
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11? 16? ③sin (? ) 3 3 (先让学生自学,不明之处教师着重强调)

①cos225°

②sin

④cos(-2040°)

思考:由例 1,你对公式一~四的作用有什么进一步的认识?你能自己归纳一下把任意角的 三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?

任意负角的三角 函数

用公式三或一

任意正角的三角函数

用公式一

用公式二或四 锐角三角函数

0 到 2π 的角的三角函数

cos(180? ? ? ) ? sin(360? ? ? ) 例 2.化简 。 sin(?? ? 180? ) ? cos(?180? ? ? )

(课本例题,由学生自学) 例 3.已知 cos(π +a)=0.5,求 sin(2π -a)的值。 解:∵cos(π +a)=-cosa=0.5,∴cosa=-0.5. 而 sin(2π -a)=sin(-a)=-sina,且 sin?a=1-cos?a=3/4 所以当角 a 在第二象限时,sin(2π -a)=-sina=3 2

当角 a 在第三象限时,sin(2π -a)=-sina=-(四、课堂练习 (1)口答 教材 27 页练习题 1 题。 (2)教材 27 页练习题 2 题。 (3)教材 27 页练习题 3 题。 五、课堂小结 ⑴诱导公式三组。 ⑵利用诱导公式化简计算三角函数值的步骤。 六、布置作业

3 3 )= 2 2

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板书设计

教学反思

附录 教学步骤 具体教学内容补充

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