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学案62 几何概型


学案 62

几何概型

导学目标: 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义.

自主梳理 1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的 概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 2.在几何概型中,事件 A 的概率计算公式 P(A)=____________________________________________________________________. 求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω 的几何度量,然后代 入公式即可求解. 3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点: (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 4.古典概型与几何概型的区别 (1)相同点:基本事件发生的可能性都是________; (2)不同点: 古典概型的基本事件是有限个, 是可数的; 几何概型的基本事件是________, 是不可数的. 自我检测 1.(2011· 南阳调研)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M,并且以线段 AM 为边作正方 形,则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率为( ) 1 1 4 4 A. B. C. D. 4 3 27 15

2.(2011· 福建)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 3.

如图所示,A 是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点 A′,连接 AA′,得到一条弦, 则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( ) 1 3 A. B. 2 2 1 1 C. D. 3 4 4.(2010· 湖南)在区间[-1,2]上随机取一个数 x,则|x|≤1 的概率为________. 5.(2011· 江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点, 1 1 若此点到圆心的距离大于 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否 2 4 则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________. .

探究点一 与长度有关的几何概型 例 1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现 30 min 长的磁带上,从 开始 30 s 处起,有 10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的一部分 被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起往后的所有内 容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多 大?

变式迁移 1 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径的弦,则 弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________. 探究点二 与角度有关的几何概型

例 2 (2011· 承德模拟)如图所示,在等腰 Rt△ABC 中,过直角顶点 C 在∠ACB 内部作 一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,求 AM<AC 的概率.

变式迁移 2

若将例 2 题目改为:“在等腰 Rt△ACB 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率”,答案还一样吗?

探究点三 与面积有关的几何概型 例 3 两人约定在 20∶00 到 21∶00 之间相见,并且先到者必须等迟到者 40 分钟方可 离去,如果两人出发是各自独立的,在 20∶00 至 21∶00 各时刻相见的可能性是相等的,求 两人在约定时间内相见的概率.

变式迁移 3 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内 任何时刻到达是等可能的.如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率.

分类讨论与数形结合思想的应用 例 (12 分)已知函数 f(x)=x2-2ax+b2,a,b∈R. (1)若 a 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b 从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程 f(x) =0 有两个不相等实根的概率; (2)若 a 从区间[0,2]中任取一个数,b 从区间[0,3]中任取一个数,求方程 f(x)=0 没有实根 的概率. 多角度审题 本题第(1)问是古典概型问题,第(2)问是几何概型问题,解决此问题的关 键是将已知的两个条件转化为线性约束条件, 从而转化成平面区域中的面积型几何概型问题. 【答题模板】 解 (1)∵a 取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b 取集合{0,1,2}中任一个元素, ∴a,b 的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值,即基本事件总数为 12.[3 分] 设“方程 f(x)=0 有两个不相等的实根”为事件 A, 当 a≥0,b≥0 时,方程 f(x)=0 有两个不相等实根的充要条件为 a>b. 当 a>b 时,a,b 取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即 A 包含的基本 6 1 事件数为 6,∴方程 f(x)=0 有两个不相等实根的概率为 P(A)= = .[6 分] 12 2 (2)∵a 从区间[0,2]中任取一个数, 从区间[0,3]中任取一个数, b 则试验的全部结果构成区 域 Ω={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个

矩形区域, 其面积 SΩ=2×3=6.[8 分] 设 “ 方 程 f(x) = 0 没 有 实 根 ” 为 事 件 B , 则 事 件 B 所 构 成 的 区 域 为 M = {(a , b)|0≤a≤2,0≤b≤3,a<b},即图中阴影部分的梯形, 1 其面积 SM=6- ×2×2=4.[10 分] 2

SM 4 2 由几何概型的概率计算公式可得方程 f(x)=0 没有实根的概率为 P(B)= = = .[12 分] SΩ 6 3 【突破思维障碍】 1. 古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限, 因此到底选用哪一种模型, 关键是对试验的确认和分析. 2.用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”. 【易错点剖析】 1.计算古典概型的概率时,列举基本事件应不重不漏. 2.计算几何概型的概率时,区域的几何度量要准确无误.

1.几何概型:若一个试验具有两个特征:①每次试验的结果是无限多个,且全体结果可 用一个有度量的几何区域来表示;②每次试验的各种结果是等可能的.那么这样的试验 称为几何概型. 2.由概率的几何定义可知,在几何概型中,“等可能”一词应理解为对应于每个试验结 果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置与 形状无关. 3.几何概型的概率公式:设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 Ω,事件 A A的度量 所对应的区域用 A 表示(A?Ω),则 P(A)= . Ω的度量

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2009· 辽宁)ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内 随机取一点,取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( ) π π π π A. B.1- C. D.1- 4 4 8 8 2.(2011· 天津和平区模拟)在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积 S 大于 的概率是( ) 4 1 1 3 2 A. B. C. D. 4 2 4 3 3.(2010· 青岛模拟)

如右图,在一个长为 π,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y=sin x(0≤x≤π)与 x 轴围成如图 所示的阴影部分, 向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的), 则所投的点落在阴影部分的概率是( ) 1 2 3 π A. B. C. D. π π π 4 ?f?2?≤12 ? 4.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0≤b≤4,0≤c≤4.记函数 f(x)满足? 的事件 ? ?f?-1?≤3 为 A,则事件 A 的概率为( ) 5 1 3 1 A. B. C. D. 8 2 8 4

?x+y- 5.(2011· 滨州模拟)在区域?x-y+ ?y≥0
=1 内的概率为( ) π π π A. B. C. 2 8 6 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010· 陕西)

2≤0, 2≥0, 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2

π D. 4

从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 落在阴影部分的概率为 ________. 7.如图所示,半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆.现将 半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上, 使硬币整体随机落在纸板内, 则硬币落下后与小圆无 公共点的概率为________.

8.(2011· 济南模拟)在可行域内任取一点,规则如程序框图所示,则能输出数对(x,y)的 概率是________.

三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)

已知等腰 Rt△ABC 中,∠C=90° . (1)在线段 BC 上任取一点 M,求使∠CAM<30° 的概率; (2)在∠CAB 内任作射线 AM,求使∠CAM<30° 的概率.

10. 分)甲、 (12 乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位, 它们可能在一昼夜的任意时刻到达. 设 甲乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是 4 小时和 6 小时,求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一 段时间的概率.

11.(14 分)已知函数 f(x)=-x2+ax-b. (1)若 a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率; (2)若 a,b 都是从区间[0,4]任取的一个数,求 f(1)>0 成立时的概率.

学案 62

几何概型

自主梳理 构成事件A的区域长度?面积或体积? 2. 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 4.(1)相等的 (2)无限个 自我检测 1.A [∵AM 2∈[36,81],∴AM∈[6,9], 9-6 3 1 ∴P= = = .] 12 12 4

2.C

[这是一道几何概型的概率问题,点 Q 取自△ABE 内部的概率为

S△ABE = S矩形ABCD

1 · |AB|· |AD| 2 1 = . |AB|· |AD| 2 故选 C.] 2 π 3 1 π 3.C [当∠A′OA= 时,AA′=OA,∴P= = .] 3 2π 3 2 4. 3 解 析 由 |x|≤1 , 得 - 1≤x≤1. 由 几 何 概 型 的 概 率 求 法 知 , 所 求 的 概 率 P = 区间[-1,1]的长度 2 = . 区间[-1,2]的长度 3 13 5. 16 1 π×12-π×? ?2 2 3 解析 ∵去看电影的概率 P1= = , 4 π×12 12 π×? ? 4 1 去打篮球的概率 P2= = , π×12 16 3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P= + = . 4 16 16 课堂活动区 例 1 解题导引 解决概率问题先判断概型,本题属于几何概型,满足两个条件:基本 事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性,需要抓住它的本质特征,即与长度有关. 解 包含两个间谍谈话录音的部分在 30 s 和 40 s 之间, 当按错键的时刻在这段时间之内 时,部分被擦掉,当按错键的时刻在 0 到 30 s 之间时全部被擦掉,即在 0 到 40 s 之间,即 0 2 到 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉,而 0 到 30 min 之 3 间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的,所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分 或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关,符合几何概型的条件. 2 记 A={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉},A 的发生就是在 0 到 min 3 时间段内按错键. 2 3 1 P(A)= = . 30 45 1 变式迁移 1 2 解析

记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件 A,如图所示,不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦,当弦为 CD 时,就是等边三角形 的边长,弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF,由几何概型的概率公式得

1 ×2 2 1 P(A)= = . 2 2 例 2 解题导引 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示,则其概率 公式为 构成事件A的角度 P(A)= . 试验的全部结果所构成区域的角度 解 在 AB 上取 AC′=AC,连接 CC′,则

180° -45° ∠ACC′= =67.5° . 2 设 A={在∠ACB 内部作出一条射线 CM,与线段 AB 交于点 M,AM<AC}, μA 67.5° 3 则 μΩ=90° A=67.5° ,μ ,P(A)= = = . μΩ 90° 4 变式迁移 2 解 不一样,这时 M 点可取遍 AC′(长度与 AC 相等)上的点, AC′长度 2 故此事件的概率应为 = . 2 AB长度 例 3 解题导引 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件,从而转化 成平面区域中与面积有关的几何概型问题. 对于几何概型的应用题,关键是构造出随机事件 A 对应的几何图形,利用几何图形的度 量来求随机事件的概率,根据实际问题的具体情况,合理设置参数,建立适当的坐标系,在 此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点,便可构造出度量区域. 解 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点,要使两人能在约定的时间范围内相见.当 2 且仅当|x-y|≤ . 3

两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的 点来表示,两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)的点来表 示.因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大 小,也就是所求的概率, ?1?2 S阴影部分 1-?3? 8 即 P= = = . 12 9 S单位正方形 变式迁移 3 解 设甲、乙两船到达时间分别为 x、y, 则 0≤x≤24,0≤y≤24 且 y-x≥4 或 y-x≤-4.

?0≤x≤24, ? 作出区域?0≤y≤24, ?y-x≥4或y-x≤-4. ?

设“两船无需等待码头空出”为事件 A, S阴影部分 则 P(A)= S正方形 1 2× ×20×20 2 25 = = . 36 24×24 课后练习区 1.B [当以 O 为圆心,1 为半径作圆,则圆与长方形的公共区域内的点满足到点 O 的 μA S长方形-S半圆 π 距离小于或等于 1,故所求事件的概率为 P(A)= = =1- .] μΩ 4 S长方形 2.C [由于△ABC、△PBC 有公共底边 BC,所以只需 P 位于线段 BA 靠近 B 的四分之 一分点 E 与 A 之间,即构成一个几何概型, |AE| 3 ∴所求的概率为 = .] |AB| 4 3.A [S 矩形 OABC=2π,S 阴影=?πsin xdx=2,

?0

由几何概型概率公式得 P= 4.A [

2 1 = .] 2π π

满足 0≤b≤4,0≤c≤4 的区域的面积为 4×4=16, ? ?f?2?≤12 由? , ?f?-1?≤3 ?
?2b+c≤8 ? 1 1 得? ,其表示的区域如图中阴影部分所示,其面积为 ×(2+4)×2+ ×2×4 2 2 ? ?-b+c≤2 10 5 =10,故事件 A 的概率为 = .] 16 8 5.D [

区域为△ABC 内部(含边界),则概率为 π 2 S半圆 π P= = = .] 4 S△ABC 1 ×2 2× 2 2

6.

1 3

1 解析 阴影部分的面积为 S=?13x2dx=x3|1=1,所以点 M 落在阴影区域的概率为 . 0 0 3 77 7. 81 解析 由题意知,硬币的中心应落在距圆心 2~9 cm 的圆环上, 圆环的面积为 π×92-π×22=77π, 77π 77 故所求概率为 = . 81π 81 π 8. 4 1 解析 根据题意易知输出数对(x,y)的概率即为满足 x2+y2≤ 的平面区域与不等式组 2 1 π× ? ?-1≤x+y≤1, 2 π ? 所表示的平面区域面积的比,即 P(A)= = . 2 4 ?-1≤x-y≤1 ? 9.解 (1)设 CM=x, 则 0<x<a(不妨设 BC=a). 3 若∠CAM<30° ,则 0<x< a, 3 故∠CAM<30° 的概率为 3 区间?0, a?的角度 3 ? ? 3 P(A)= = .(6 分) 3 区间?0,a?的角度 (2)设∠CAM=θ,则 0°<θ<45°. 若∠CAM<30° ,则 0°<θ<30°, 故∠CAM<30° 的概率为 区间?0° ,30° ?的长度 2 P(B)= = .(12 分) 区间?0° ,45° ?的长度 3 10.解

设事件 A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间},以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙 两船到达泊位的时间,则点(x,y)的所有可能结果是边长为 24 的正方形区域,如右图所示,

?x+4≥y, ?y+6≥x, 由已知得事件 A 发生的条件是? 0≤x≤24, ?0≤y≤24. ?

(8 分)

作出这个二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分. ∵S 正方形=242=576, 1 1 S 阴影=242- ×202- ×182=214,(10 分) 2 2 S阴影 214 107 ∴P(A)= = = . S正方形 576 288 107 所以,甲、乙两船有一艘停靠泊位时必须等待一段时间的概率为 .(12 分) 288

11.解 (1)a,b 都是从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为 N=5×5= 25(个).(2 分) 函数有零点的条件为 Δ=a2-4b≥0,即 a2≥4b. 因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2), 12 (4,3),(4,4),共 12 个.所以事件“a2≥4b”的概率为 P= .(7 分) 25 (2)∵a, 都是从区间[0,4]任取的一个数,f(1)=-1+a-b>0, b ∴a-b>1, 此为几何概型, 1 ×3×3 2 9 所以事件“f(1)>0”的概率为 P= = .(14 分) 32 4×4


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