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2.2.2直线与椭圆的位置关系2



2.2.2 椭圆的简单几何性质(三)

直线与椭圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,对解的个数进 行讨论.通常消去方程组中的一个变量,得到关于另一变 量的一元二次方程. (1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点; (

3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点.

通法 噢

练习:已知直线y=x解:联立方程组
y? x? 1 2

1 2

与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
4 ? x1 ? x2 ? 由韦达定理 ? 5 ? 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ?

消去y

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

?>0

所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解….

那么,相交所得的弦的弦长是多少?
6 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 2 5
2 2 2 2

设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式:

1 | AB |? 1 ? k | xA ? xB |? 1 ? 2 | y A ? yB | k
2

x2 y 2 例1:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? 最小距离是多少?
y

x o

x y 例1:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小? y 最小距离是多少?
解得k1 =25,k 2 =-25
x
o

2

2

由图可知k ? 25, 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25

问题:最大的距离是多少?

变式
1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个 公共点?有一个公共点?没有公共点? 2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 交点情况满足( D ) A.没有公共点 B.一个公共点

x y ? ?1 9 4

2

2

C.两个公共点

D.有公共点

y?3 x 2 3.若P(x,y)满足 ? y ? 1( y ? 0) ,求 的 x?4 4
2

最大值、最小值.

例2:已知斜率为1的直线L过 椭圆 的右焦点,交椭圆于A,

B两点,求弦AB之长.

例3:已知椭圆 过点P(2,1) 引一弦,使弦在这点被平分,求此弦所在直 线的方程.

例3:已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.



作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

例:已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条

解后反思:中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件,灵活运用中点坐标公式及韦达定理,

练习:

1、如果椭圆被

x2 y 2 ? ?1 36 9

的弦被(4,2)平分,那
D )

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0

B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0 x2 y2 ? ? 1 恰有公共点,则m的范围 2、y=kx+1与椭圆 5 m

(C )

A、(0,1)

B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ )

3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线,

16 则弦长 |AB|= _______ , 5

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x 2) ? 4 x1 x 2 (

=

1 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ? k

(适用于任何曲线)

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

补充
x ? y 2 ? 1 被过右焦点且垂直于x轴 1、求椭圆 4
的直线所截得的弦长。
2

2、中心在原点,一个焦点为F(0, 50)的椭圆被

直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2,求椭圆
方程。

x y 3.(2010· 辽宁,20)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b a b >0)的右焦点为 F, F 的直线 l 与椭圆 C 相交 过 → =2FB. → 于 A, 两点, l 的倾斜角为 60° AF B 直线 , (1)求椭圆 C 的离心率; 15 (2)如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程. 4

2

2

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2 >0. 2 2 (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a -b . ?y= 3?x-c? ? 2 2 2 2 4 ?x2 y2 联立 ,得(3a +b )y +2 3b cy-3b ? 2+ 2=1 ?a b =0. 2 2 - 3b ?c+2a? - 3b ?c-2a? 解得 y1= ,y2= . 2 2 2 2 3a +b 3a +b

→ =2FB,所以-y =2y . → 因为AF 1 2 2 2 3b ?c+2a? - 3b ?c-2a? 即 2 2 =2· 2 2 . 3a +b 3a +b c 2 得离心率 e= = . a 3

(2)因为|AB|=

1 2 4 3ab 1+ |y2-y1|,所以 · 2 2 3 3 3a +b

2

15 = . 4 c 2 5 5 15 由 = 得 b= a.所以 a= ,得 a=3,b= 5. 3 4 4 a 3 2 2 x y 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5



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