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导数概念性质习题课教学的一些探讨1



导数是数学分析中最基本的概念之
一,学生对导数概念及其性质的正确理 解掌握对其以后的学习至关重要。通过导 数基本概念和基本性质的课程教学,学 生一般可掌握导数定义、几何意义、性质

在X≠0处均不连续。 探讨5:是否存在整个尺上定义但仅 在一点可导的函数?

在分段点处的连续性,若不连续,则函数 必不可导;若连续,则可求分段点两侧

函 数的导函数,再对导函数取极限求得左

【分析】此探讨源于函数IxI,我们知道
它仅在一点x=0处不可导。由探讨4知 答案是肯定的。进一步,是否存在整个上 定义但仅在有限个点可导的函数?如何 构造这样的函数?我们有结论:若可导函

右导数,最后判定分段点处的可导性。具
体地,设

和导数计算等。但仅仅掌握这些基本知识
是远远不够的,有必要在习题课引导学

_Ilo):』/∽<而;
~【g(x),x>-xo;
,,g分别为X<Xo,X>Xo上的可导 函数,且在x=Xo连续,f(xo)=g(xo)(若

生对导数作进一步探讨,以加深学生对 导数的理解和掌握。

数,,g仅有有限个交点,

探讨.1:若!噢Ⅲ/(而+一。1)一f(xo)l存
在,则,在%处可导?
【分析】此探讨源于导数定义,即定义

帕舭,={器曩
仅在这些交点处连续,又若.厂,g在 这些点处导数值相等,则仅在这些点处
可导。

f(xo)≠g(xo),则h在x=Xo不连续,进而h

在x=而不可导)。若姆,f(工)与姆g.(工)
有一个不存在或存在但不相等,目Ⅱh在x=xo 不可导l若都存在且,l。im《厂Y∞2,]..im《gI工)2A,

中h能否减弱为”一?甚至能否减弱为 h∈Q?答案是否定的,如Dirichlet函数
D(x)处处不可导,但是上述极限存在。

则h在x=Xo可导,且^f(而)=A。该结论证 明需用到导函数极限定理,而这在微分中值 定理一节中会详细讲述。

探讨6:初等函数在其定义域上可导。
【分析】此探讨源于定理:初等函数在

探讨2:若簪m[f(Xo+^)一f(xo)]/h存
在,则,在%处可导? 【分析】此探讨源于命题:若/在而处

其定义域上连续。答案是否定的,如初等

可导,则极限烘/(%+厅)一,(而)】/^存
在。 其逆命题是否成立?答案是否定的, 我们应注意到该式中并未涉及到f(Xo),

函数f工I,划工在石=0处就不可导。
探讨7设函数厂,g一个可导而另一 个不可导,±g,f?g,//g(g≠O),那么以
及复合(假设能复合)是否一定不可导 【分析】此探讨源于定理:可导函数的

参考文献
【l】华东师范大学数学系.数学分析(上 册,第三版)【M】.北京:高等教育出版
社,2001.

【2】庄亚栋,王慕三.数学分析(上册)【M】. 北京:高等教育出版社,1990. 【3】汪林.数学分析中的问题和反例【M】.
云南:云南科技出版社,1990.

即使上述极限存在,.厂在%处可能不连 续甚至可能没有定义。如:I工J或者
x-z(工≠O)在X=0处。

和差积商以及复合仍可导。我们说f±g
一定不可导,而其余的未必不可导。证明 和举例留给读者。

探讨3:若.厂在‰处左右可导,则, 在%处连续。
【分析】此探讨源于我们熟知的定理: 若f在‰处可导,则,在%处连续。也 就是其条件能否减弱为左右可导一般同
学可能认为该命题是错误的。因为,在

探讨8:设函数/在%处可导,试讨 论I.厂I在%处的可导性。 【分析】此探讨源于函数IzI在X=0处 不可导。由连续函数局部保号性可以证

明:若函数/。在%处可导,f(xo)≠0,则
I/J在%处可导。而当f(Xo)=0时,I/。I 在‰处可能可导也可能不可导,如,在 处x=0。事实上,我们有结论:若,在 而处可导,且f(xo)=0,则当/.(%)=0 时,I,I在而处可导,而当厂.(而)≠0时, l/。I在而处不可导。
探讨9:如何讨论分段函数在分段点
处的可导性。 【分析】分段函数在分段点处的可导性

%处可导当且仅当,在而处左右可导 并且左右导数相等,而此时左右导数未
必相等。事实上,上面的定理可以叙述为:

若/在而处左(右)可导,则,在%。处 左(右)连续,而.厂在%处连续等价于.厂
在而处左右连续。故该探讨是正确的。

探讨4:若.,’在而处可导,则存在%
的邻域U(xo),使得厂在U(xo)上连续。
【分析】此探讨源于上述定理,即结论
可否加强为存在邻域U(‰),使得/在 u(‰)上连续?答案是否定的。如

历来是数学分析考试考核的重点。一般可
用左右导数定义来考察可导性.但用定 义来讨论可导性是很多学生的薄弱环节, 是否有较简便的方法我们可先讨论函数

厂(D=,D(曲仅在x=0处连续可导,而 万方数据 ①扬州大学教改课题项目资助。

导数概念性质习题课教学的一些探讨
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 黄强联 扬州大学数学科学学院,江苏扬州,225002 中国科教创新导刊 CHINA EDUCATION INNOVATION HERALD 2010,""(11) 0次

参考文献(3条) 1.华东师范大学数学系 数学分析 2001 2.庄亚栋.王慕三 数学分析 1990 3.汪林 数学分析中的问题和反例 1990

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