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必修2 第四章 第一节 名校尖子生培优 4.1.1圆的标准方程学案



4.1.1
基 础 梳 理

圆的标准方程

1.圆的标准方程:圆心为 C(a,b)、半径为 r 的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r . 练习1:(1)圆心在原点,半径是 3 的圆的标准方程为:x2+y2=9. (2)圆心在 x 轴上,半径为 1,且过点(-1,1)的圆的标准方程为:(x+1) +y =1. 2.点与圆

的位置关系. 设点 P 到圆心的距离为 d,圆的半径为 r,则点与圆的位置有如下表所示的对应关系: 位置关系 d 与 r 的关系
2 2 2 2 2

2

2

2

点在圆外 d>r

点在圆上 d=r

点在圆内 d<r

练习2:圆(x-1) +(y+2) =3 的圆心为(1,-2),半径为 3. ?思考应用 下列几种特殊位置的圆的方程是什么? 条件 圆心在原点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 圆心在 x 轴上且过原点 圆心在 y 轴上且过原点 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切
2 2

方程形式 x +y =r (r≠0) (x-a) +(y-b) =a +b (a +b ≠0) (x-a) +y =r (r≠0) x +(y-b) =r (r≠0) (x-a) +y =a (a≠0) x +(y-b) =b (b≠0) (x-a) +(y-b) =b (b≠0) (x-a) +(y-b) =a (a≠0) (x-a) +(y-b) =a (|a|=|b|≠0)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

自 测 自 评 1.圆心是 O(-3,4),半径为 5 的圆的方程为(D) A.(x-3)2+(y+4)2=5 B.(x-3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25 解析:直接代入圆的标准方程可得. 2 2 2.点 P(m,5)与圆 x +y =24 的位置关系是(A) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 2 2 2 解析:m +5 =25+m ≥25>24,点在圆外. 3.圆的一条直径的两个端点是(2,0)、(2,-2),则此圆的方程是(B) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x-2)2+(y+1)2=9
1

D.(x+2)2+(y+1)2=1
解析:∵所求圆的圆心为(2,-1), 半径 r= (2-2) +(0+2) =1, 2
2 2 2 2

∴圆的方程为(x-2) +(y+1) =1. 4.圆(x-1) +y =1 的圆心到直线 y=
2 2

3 x 的距离是(A) 3

A. B.

1 2

3 2

C.1 D. 3
1 解析:圆心 C(1,0),再利用点到直线的距离公式得 d= . 2

题型一 求圆的标准方程 题型二 点与圆的位置关系 题型三 圆的标准方程的应用

基 础 达 标 1.已知点 P(a,a+1)在圆 x +y =25 内部,那么 a 的取值范围是(A)
2 2

A.-4<a<3 B.-5<a<4 C.-5<a<5 D.-6<a<4
解析:由 a +(a+1) <25 可得 2a +2a-24<0, 解得-4<a<3. 2.方程 y=- 25-x 表示的曲线是(D) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 2 2 解析:当 y≤0 时,平方得 x +y =25,表示下半圆. 2 2 3.圆(x+2) +y =5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为(A) A(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 2 2 解析:(x+2) +y =5 的圆心为(-2,0),圆心关于原点的对称点为(2,0),即为对称圆的圆心,所以 2 2 关于原点的对称圆的方程为(x-2) +y =5.
2
2 2 2 2

4.已知圆上三点 A(0,4),B(3,0),C(0,0),则该圆的方程为________________. 解析:利用待定系数法或利用几何性质求解. 2 25 ? 3? 2 答案:?x- ? +(y-2) = 4 ? 2? 5.过点 A(1, 2)的直线 l 将圆(x-2) +y =4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜 率 k=________. 解析:由图形可知点 A(1, 2)在圆(x-2) +y =4 的内部,圆心为 O(2,0),要使得劣弧所对的圆心 1 1 2 角最小,只能是直线 l⊥OA,所以 k=- =- = . kOA - 2 2 2 2 2 2 6.圆 x +y =4 上的点到点 A(3,4)的距离的最大值是________,最小值是________. 答案:7 3 答案: 巩 固 提 升 7.一辆卡车宽 1.6 m,要经过一个半径为 3.6 m 的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高 度不得超过(B) A.1.4 mB.3.5 m C.3.6 mD.2.0 m 解析:下图所示为隧道与卡车的横截面,以半圆的直径为 x 轴,圆心为原点建立直角坐标系,则半圆 的方程为 x +y =3.6 (y≥0),点 A 的坐标为(0.8,h),设 M(0.8,y)在半圆上,则 y= 3.6 -0.8 ≈3.5, ∴h≤y=3.5(m).
2 2 2 2 2 2 2 2 2

8.已知点 P 是圆 C:(x-3) +(y-4) =1 上的任意一点,点 A(-1,0)、B(1,0),试求|PA| +|PB| 的最大值和最小值. 解析:设 P(x,y),则有 P 是圆上任一点,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

|PA| +|PB| =(x+1) +y +(x-1) +y =2x +2y +2=2( x +y ) +2 2 2 2 2 =2[ (x-0) +(y-0) ] +2=2|OP| +2. 则 O 在圆 C 外. 由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4. 2 2 2 2 所以|PA| +|PB| 的最大值是 2×6 +2=74,最小值是 2×4 +2=34. 2 2 2 9.已知集合 A={(x,y)|x=3a+1,y=4a},集合 B={(x,y)|(x-2) +y <25a },且 A∩B≠?,求实 数 a 的取值范围.

3

解析:集合 A 表示点 M(3a+1,4a),集合 B 表示圆 N:(x-2) +y =25a 的内部部分. A∩B≠?表示点 M(3a+1,4a)在圆 N 内部, 1 2 2 2 ∴(3a+1-2) +(4a) <25a ,解得 a> , 6
? ? 1? ∴a 的取值范围是?a?a> ?. ? ? 6?

2

2

2

4



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