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浙江省杭州市杭州学军中学2013学年高三第二次月考试题数学(文)



学军中学 2013 年高三第二次月考 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 1.已知集合 M={0,1,2,3}, N={x|2<2x<4},则集合 M∩(CRN)等于( A.{0,1,2} B.{2,3} C.O / D.{0,1,2,3} )

>2.已知 f ( x) ? sin(x ? ? )(? ? R) ,则“ ? ? A.充分不必要条件 C.充要条件 A. y ?

?
2

”是“ f ( x) 是偶函数”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )
2

3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( D

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? lg | x |

D. y ? ? x ? 1 )

4.已知 sin ? ? cos ? ? A. ?

2 , ? ? (0,π ),则 sin 2? =(
C

2 2

B -1

2 2

D 1

5.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 xy ( x,y ? R ) , f1 )( 2? , 则 f (?3) 等于 ( A. 2
x

) B 3
?x

C 6

D 9

6.若函数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在( ?? , ?? )上既是奇函数又是增函数,则函 数 g ( x) ? log a ( x ? k ) 的图象是( )

7. 已 知 x1 是 方 程 10 x ? ? x ? 2 的 解 , x 2 是 方 程 lg x ? ? x ? 2 的 解 , 函 数 f ( x) ?

( x ? x1 )( x ? x2 ) ,则 (
A. f (0) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (0) ? f (2)

) B. f (2) ? f (0) ? f (3) D. f (0) ? f (3) ? f (2)

8. 已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R) ,f (lg(log 2 10)) ? 5 , 则 fg ( l g ( l2 )
3

?(

)

A. ?5

B ?1

C 3

D 4

9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 且当

1 x ? [?2,0] 时, f ( x) ? ( ) x ? 1 .若在区间 (?2,6] 内关于 x 的方程 2
f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是(
A. (1, 2) B. (2, ??)
2

)

C. (1, 3 4)

D. ( 3 4, 2) )

10. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x(a ? R) ,则下列说法不正确的是 ( A.当 C. 存在 时,函数 ,函数 有零点 有唯一的零点 B.若函数 D. 若函数 有零点,则

有唯一的零点,则

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分

x 在点(1,1)处的切线方程为 . 2x ?1 x-1? 12. 已知 p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0 (m>0),且 ? p 是 ? q 的必要而不充分条 3 ? ?
11. 曲线 y ? 件,则实数 m 的取值范围是 13. 函数 f ( x ) ? ?

?21? x ,  x ? 0, ? f ( x ? 1), x ? 0.

则 f (3.5) 的值为
x



g ( x) ? 2 ? 2 , 14. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , 若 ?x ? R ,f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,
则 m 的取值范围是_________。 15. 已知 tan(? ? ? ) ? 2 ,则 sin ? cos? ? cos ? ?
2

16. 已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设

a ? f (log 4 7), b ? f (log 1 3), c ? f (0.2 ?0.6 ) ,则 a,b,c 的大小关系是
2

17. 函数 f ( x ) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 是否存在
最大值?若存在,在横线处填写其最大值;若不存在,直接填写“不存在”______________.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. 函数 f(x)对任意的 m、n∈R,都有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且 x>0 时,恒有 f(x)>1. (1)求证:f(x)在 R 上是增函数; (2)若 f(3)=4,解不等式 f(a2+a-5)<2.

19. 已知命题 p : 方程 a 2 x2 ? ax ? 2 ? 0 在 ? ?1,1? 上有解;命题 q : 只有一个实数 x 满足不等 式 x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“ p或q ”是假命题,求 a 的取值范围.

20.已知二次函数 f ( x) ? x2 ? 2bx ? c(b, c ? R) 满足 f (1) ? 0 ,且关于 x 的方程

f ( x) ? x ? b ? 0 的两个实数根分别在区间 (?3, ?2) 、 (0,1) 内.
(1)求实数 b 的取值范围; (2)若函数 F ( x) ? logb f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上具有单调性,求实数 c 的取值范围.

3 3 (a ? 4) x 2 ? (a ? 2) x, a ? R 。 4 2 (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间;
21. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? (2)是否存在实数 a ? (0,2] ,使得对任意的 x ? [0, a] ,不等式 0 ? f ( x) ? a 恒成立?若 存在,求出所有 a 的值;若不存在,请说明理由。

() x? x? 2 a x? b x ? a ( )? x? 3 x ? 2 22.设函数 f , gx ,其中 x ? R , a, b 为常数,已 知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l。 (1) 求 a, b 的值,并写出切线 l 的方程;
3 2 2

(2)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任 x ) ? gx ( )? m x 意的 x??x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 1, x 2? , f

学军中学 2013 年高三第二次月考 数学试卷(文科)参考答案 BADBC CACDB
12. [9,??) ; 13. 2 2 ; 14. (-4,0)

11. x ? y ? 2 ? 0 15. ;

3 5

16. c ? b ? a ; 17. 1

17. 【解析】由 2 x ? x ? 2 得 4 x ? x 2 ? 4 x ? 4 ,即 x 2 ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 4 ? 2 3 或 x ? 4 ? 2 3 。即 xB ? 4 ? 2 3 , xC ? 4 ? 2 3 ,所以 yB ? 4 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 , 所 以 由 图 象 可 知 要 使 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 有 三 个 不 同 的 交 点 , 则 有

0 ? m ? 2 3 ? 2 ,即实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 2 3 ? 2 。不妨设 x1 ? x2 ? x3 ,则由题

m2 意 可 知 2 x1 ? m , 所 以 x1 ? , 由 x ? 2 ? m 得 x2 ? 2 ? m, x3 ? 2 ? m , 所 以 4 x1 x2 x3 ? m2 m2 (4 ? m2 ) m2 ? 4 ? m2 2 2 2 (2 ? m)(2 ? m) ? ) ? 4 ,所以 ,因为 m (4 ? m ) ? ( 4 4 2 m2 (4 ? m2 ) 4 ? ? 1 ,即 x1 x2 x3 存在最大值,最大值为 1. 4 4

x1 x2 x3 ?

18.解: (1)略 (2) ? 3 ? a ? 2 19. 解:由题意知 a ? 0 .若 p 正确, a x ? ax ? 2 ? (ax ? 2)(ax ? 1) ? 0 的解为
2 2

1 2 或? . a a

若方程在 ? ?1,1? 上有解, 只需满足 ?1 ?

1 2 ? 1 或 ?1 ? ? 1 . 即 a ? ? ??, ?1? ? ?1, ??) . a a

若 q 正确,即只有一个实数 x 满足 x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 ,则有 ? ? 0, 即 a ? 0或2 . 若 p或q 是假命题,则 p或q 都是假命题, 有?

? ?1 ? a ? 1, 所以 a 的取值范围是 (?1,0) ? (0,1) . ? a ? 0且a ? 2,

20.. 解: (1)由题知 f (1) ? 1 ? 2b ? c ? 0, ?c ? ?1 ? 2b. 记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b ? x 2 ? (2b ? 1) x ? b ? c ? x 2 ? (2b ? 1) x ? b ? 1 ,

? g (?3) ? 5 ? 7b ? 0 ? g (?2) ? 1 ? 5b ? 0 1 ? 1 5 ? 则? ? ? b ? , 即 b?( , ) . 5 ? 5 7 ? g (0) ? ?1 ? b ? 0 ? ? g (1) ? b ? 1 ? 0

(2)令 u ? f ( x),? 0 ?

1 ? ? b ? ? ? , ? logb u 在区间 (0, ??) 上是减函数. 5 ?

而 ?1 ? c ? 2b ? ?b ,函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? c 的对称轴为 x ? ?b ,
? f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上单调递增.

从而函数 F ( x) ? logb f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上为减函数. 且 f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上恒有 f ( x) ? 0 ,只需要 f (?1 ? c) ? 0 ,
? ?c ? ?2b ? 1 ?? ? ? f (?1 ? c) ? 0 1 ? ( ?b? ) 17 5 ? ? ? ? c ? ?2. 7

21.(1)当 a ? 2 时, f ?x ? ? x3 ?

9 2 x ? 6 x ,求导 f ' ?x ? ? 3x 2 ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) .…2 分 2 令 f ' ( x) ? 0 , x1 ? 1 , x2 ? 2 ,

当 f ' ( x) ? 0 时, x ? 1 ,或 x ? 2 ; 当 f ' ( x) ? 0 时, 1 ? x ? 2 , 所以 f ( x) 的单 调递增区间是 (??,1), (2,??) ,单调递减区间是 (1,2) .

… 6 分

22. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 4ax ? b, g ?( x) ? 2 x ? 3.
2

由于曲线 y ? f ( x)与y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线, 故有 f (2) ? g (2) ? 0, f ?(2) ? g ?(2) ? 1. 由此得 ? 所以 a ? ?2, b ? 5 ,切线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 x ? 2 ,所以 f ( x) ? g ( x) ? x ? 3x ? 2 x.
3 2 3 2

?8 ? 8a ? 2b ? a ? 0, ?a ? ?2, 解得 ? ?12 ? 8a ? b ? 1, ?b ? 5.

依题意,方程 x( x ? 3x ? 2 ? m) ? 0 有三个互不相同的实数 0, x1 , x2 ,
2

故 x1 , x2 是方程 x2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 的两相异的实根。 所以 ? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0, 即m ? ? . 又对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 成立, 特别地,取 x ? x1 时, f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? ?m 成立,得 m ? 0. 由韦达定理,可得 x1 ? x2 ? 3 ? 0, x1 x2 ? 2 ? m ? 0, 故0 ? x1 ? x2 . 对任意的 x ? [ x1 , x2 ], 有x-x2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0 则 f ( x) ? g ( x) ? mx ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0, 又f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0 所以函数 f ( x) ? g ( x) ? mx在x ? [ x1 , x2 ] 的最大值为 0。 于是当 m ? 0 时,对任意的 x ? [ x1 , x2 ], f ( x) ? g ( x) ? m( x ? 1) 恒成立, 综上, m 的取值范围是 (?

1 4

1 , 0). 4

学军中学 2013 年高三第二次月考 数学(文科)答卷
二.填空题 11. 13. 15. 17. 三.解答题 18. (本题满分 14 分) 12. 14. 16.

19. (本题满分 14 分)

20. (本题满分 14 分)

21. (本题满分 15 分)

22.(本题满分 15 分)



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