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高考试卷湖北宜昌市第一中学2015届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题



免费在线作业标准 100 分答案

宜昌市第一中学 2015 届高三年级适应性考试(二)

数 学(文史类)
本试卷共4页,共22题。全卷满分150分,考试时间120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1. 答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的

指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2. 选择题的作答,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3. 填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题:每小题 5 分,10 小题共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1、 i 为虚数单位,复数 A. ?

1 1 D. i 2 2 2、甲:函数 f ( x ) 是 R 上的单调递增函数;乙: ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则甲
C. ? i 是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、要得到一个偶函数,只需将 f ( x) ? sin 2 x 的图象( )

1 2

1 的虚部是( 1? i 1 B. 2



? 个单位 2 ? C.向左平移 个单位 2
A.向右平移

B.向右平移

? 个单位 4

D.向左平移 ? 个单位

4、某电影院统计电影放映场次的情况如右图所示. 下列函 数模型中, 最不合适近似描述电影放映场次逐年变化规 律的是( ) A. y ? ax ? bx ? c
2

B. y ? ae ? b
x

C. y ? ax ? b
3

D. y ? a ln x ? b

?? ? ?? ? 1 ?? ? uuu r uuu r 5、如右图,在△ ABC 中, AN ? 1 NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 6 4 的值为( )

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1 6 C. 1
A.

B.

1 3 D. 3


6、执行如图所示的程序框图,输出结果 S=( A.2015 B.2016 C. -2015 D.-2016

?x ?1 ? 7、已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 ? y ? x ? 1 ,那 ?x ? 3y ? 5 ? 0 ? 么点 P 到直线 3x ? 4 y ? 13 ? 0 的距离的最小值为( ) 9 11 A. B. C. 1 D. 2 5 5 8、设 min{ p, q } 表示 p , q 两者中的较小者,若函数 1 ) f ( x) = min{3- x, log2 x } ,则满足 f ( x) ? 的 x 的集合为 ( 2 轹 轾 5 5 + ÷ A. (0, 2 ]去ê , B. 犏2, ÷ ÷ ê2 ? 犏 ? 臌 2 轹 骣 5 5 ? Uê ,+ ? ÷ , + ÷ C. 0, 2 ù D. 0,2 去 ÷ ÷ ? ú ÷ ÷ ? ? ê ? 桫 2 2 ? 9、已知 O, A, B 三地在同一水平面内, A 地在 O 地正东方向 2km 处, B 地在 O 地正北方向 2km 处,某测绘队员在 A, B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点,用测绘仪进行测

(

(

)

绘, O 地为一磁场,距离其不超过 3km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使 测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( ) A.

1 2

B.

2 2

C. 1 ?

2 2

D. 1 ?

3 2

10、已知 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, A 为双曲线虚轴的一个顶点,过 a 2 b2 uu u r uuu r 点 F 、 A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴右侧的交点为 B ,若 AB ? ( 2 ?1) AF ,
则此双曲线的离心率是( A. 2 ) C. 2 2 D. 5 B. 3

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分。把答案填在答题卡上对应题号后的横线上。 答错位置,书写不清,模棱两可不得分。 11、已知全集 U ? ?0, 2? ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则 ? UM ?
2



12、为了估计某水池中鱼的尾数,先从水池中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影 响存活),然后放回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出 500 尾鱼,其中有标记的

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鱼为 40 尾,根据上述数据估计该水池中鱼的数量约为

尾. .

13、已知向量 a ? (3 ? x, y) , b ? (2,1) ,若 a ∥ b ,则 3x ? 9 y ? 2 的最小值为
2 2 14、圆 x ? y ? 4 被直线 l : kx ? y ? 2k ? 0 截得的劣弧所对的圆心角的大小为

? ,则直线 3

l 倾斜角的大小为

.
1 1 1

15、某个长方体被一个平面所截,得到的几何 体的三视图如图所示,则这个几何体的全面积 为 (平方单位) .

2
正视图

2
侧视图 图

2
2
俯视图

(第 15 题图)

16、函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2a | (a ? 0) ,若对 ?x ? R ,都有 图 f (2 x) ? 1 ? f ( x) ,则实数

a 的最大值为



17、分形几何学是数学家伯努瓦?曼得尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学, 它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图甲所示的分形规 律可得如图乙所示的一个树形图:

记图乙中第 n 行白圈的个数为 a n ,则: (Ⅰ) a4 ? ; (Ⅱ) an ? .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。把答 案填在答题卡上对应题号指定框内。 18.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? sin( 2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的对称中心;

?
6

) ? sin 2 x ?

1 . 2

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(Ⅱ)在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 a ? 2 3 , f ( ) ?

A 2

1 , 2

cos(? ? C ) ? ?

6 ,求 b 的大小. 3

19.(本小题满分 12 分)等差数列 {a n } 的前 3 项和 S3 =9,且 a1 、 a 2 、 a 5 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)已知数列 {a n } 单调递增, Tn 为数列 { 一切 n ? N ? 恒成立,求实数 ? 的最小值.

1 } 的前 n 项和,若 Tn ? ? an ?1 对 an an ?1

20.(本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 PA ⊥底面 ABCD , PA ? AD ? 1, E、F 分别为 PD、AC 上的动点,且

DE CF ? ? ? ( 0 ? ? ? 1 ). DP CA 1 (Ⅰ)当 ? ? 时,求证: AD ? EF ; 2

(Ⅱ)求三棱锥 E ? FAD的体积的最大值.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e , x ? R .
x

(Ⅰ) 证明: 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? x ? 1 有唯一公共点; (Ⅱ)(i)求 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? f ( x) 在 [0, ??) 的最小值; (ii)若实数 a , b 不相等, 试比较

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. b?a 2

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22. (本小题满分 14 分) 在直角坐标系中,已知点 F (0,1) ,直线 l : y ? ?1 ,点 H 是直线 l 上任意一 点,过点 H 垂直于 l 的直线交线段 FH 的中垂线于点 M .记点 M 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)若 A, B 为曲线 ? 上异于原点的任意两点,过 A, B 分别作曲线 ? 的两条切线 l1 、

l 2 , l1 、 l 2 相交于点 P ,且与 x 轴分别交于 E 、 F ,设 ?PEF 与 ?OAB 的面积分别
为 S1 、 S 2 .试问:是否存在实数 ? 使得 S1 ? ? S2 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在, 请说明理由.

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宜昌市第一中学 2015 届高三年级适应性考试(二)参考答案

数学(文科)
一、选择题
题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 A 6 C 7 D 8 C 9 C 10 A

二、填空题:
11. ?1, 2? 15. 20 ? 2 6 12.25000 13. 6 3 ? 2 17(Ⅰ)14 14.

? 2?
3 , 3

1 16. 2

3n ?1 ? 1 (Ⅱ) ( n? N * ) 2

三、解答题:
18. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? sin 2 x ?

1 2
4分 5分 6分

3 1 1 ? c ox s2 1 3 sinx 2? c oxs?2 ? ? sin 2x 2 2 2 2 2 k? 所以 f ( x) 对称中心是 ( ,0), k ? Z 2 ?
(Ⅱ)由 f ( ) ?

3 3 1 sin 2 x 得: sin A ? 和 f ( x) ? 2 3 2 6 3 6 若 cos A ? ,而 sin( A ? C ) ? cosC ? sin C 3 3 3 又 3 sin( A ? C) ? 2 cosC ,所以 cosC ? 2 sin C

A 2

2 2 2 6 所以 sin B ? sin( A ? C ) ? cos C ? 3 3 3 a sin B 由正弦定理得: b ? ?4 2 sin A
所以 cos C ? 19. 解:(Ⅰ)设 a n ? a1 ? (n ? 1)d ,

10 分 12 分

n(n ? 1) d , 由 S 3 ? 9 ? a1 ? d ? 3 2 a1 、 a 2 、 a5 成等比数列 ? a1 (a1 ? 4d ) ? (a1 ? d )2 S n ? na1 ?

? a1 ? 1, d ? 2 或 an = 3, d = 0
故 an ? 2n ? 1, 或 an = 3, Sn = 3n (Ⅱ)?

Sn ? n2
6分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 ( 1? ? ? ? . ? .. ? ) 2 3 3 5 n2? 1 n ? 2 1

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?Tn ?
?

n , Tn ? ? an ?1 对一切 n ? N ? 恒成立 2n ? 1
1 1 4n ? ? 4 n
12 分

n n ? ? (2n ? 1) ? ? ? ? 2n ? 1 (2n ? 1) 2

? 4n ?

1 1 +? ? 单调递增,? ? ? 在 ?1, 9 n

1 时, E , F 分别为 PD 、AC 的中点, 2 取 AD 中点 H ,连接 EH 、 FH ,则: EH / / PA 而 PA ? 面 ABCD ?EH ? 面 ABCD ,且 AD ? 面 ABCD …………2 分 ? EH ? AD ……? 又 Q FH / / CD 且 ABCD 为正方形 …………4 分 ? FH ? AD … ? 由??及 EH ? FH ? H 可知 ∴ AD ? 面 EFH 而 EF ? 面 EFH …………6 分 ? AD ? EF (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EH ? 平面ADC , EH DE 因为 ? ? ,(0 ? ? ? 1) ,所以 ? ? , EH ? ? gPA ? ? . PA DP 1? ? SV FAD AF ? ? 1 ? ? , SV FAD ? (1 ? ? ) SV ADC ? 2 SV ADC AC
20. (Ⅰ)证明:当 ? ?

…………7 分

…………10 分

1 1 ? ? ? ? ?2 VE ? FAD ? ? ? ? ( 0 ? ? ? 1) 3 2 6 1 ?VE ? FAD 的最大值为 …………13 分 24
x 21. 解: (Ⅰ)等价于证明方程: e ? x ? 1 有唯一实数解.

设 h( x) ? e ? x ? 1 ,则 h '( x) ? e ? 1 ,
x x

当 x ? 0 时, h '( x) ? 0 ,? h( x) 在 (??, 0) 上单调递减 当 x ? 0 时, h '( x) ? 0 ,? h( x) 在 (0, ??) 上单调递增 …………2 分 ……4 分

h( x) ? h(0) ? 0 ,故 h( x) ? 0 有唯一的实数解 x ? 0 ,原命题得证.
(Ⅱ) (i) Q g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e
x

x?0

x ? g ' ( x )? 1? x ( ? 1) ? e

g ''( x) ? xe x ? 0

? g ' (x ) 在 [0, ??) 上单调递增且 g '(0) ? 0 ,

……6 分

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? g '( x) ? 0,? g ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,

g ( x)min ? g (0) ? 0 .
(ii)

…………………………………………10 分

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

? ea ?

(b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? eb?a ………12 分 2(b ? a)
x

由(i)可知,令 a ? b , x ? b ? a ? 0 ,则 x ? 2 ? ( x ? 2) ? e ? 0

当a 此时, < b时,

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a
时,

……………………13 分

同理可证

a?b

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a

…………………14 分

22. 解: (Ⅰ)由题意 MF ? MH

M 点的轨迹为以点 F (0,1) 为焦点,
2

直线 l : y ? ?1 为准线的抛物线所以曲线 ? 的方程为 x ? 4 y (2)当直线 AB 斜率不存在时显然不合题意

……… 4 分

设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b

? x2 ? 4 y , 联立消去 y 得 ? y ? kx ? b ?
设 A?x1 , y1 ?B?x2 , y2 ? 曲线 ? 的方程为 y ? 切线 PA : y ?

x 2 ? 4kx ? 4b ? 0

x1 ? x2 ? 4k
y? ? 1 x 2

x1.x2 ? ?4b

……… 6 分

1 2 x 4

1 x1 ?x ? x1 ? ? y1 2

切线 PB : y ?

1 x2 ?x ? x2 ? ? y2 …… 8 分 2

? ? 2y ? 2y ? ?x ?x xx ? P? 1 2 , 1 2 ? , p?2k ,?2b? , E? x1 ? 1 ,0 ? x2 ? 2 ,0 ? , F? 10 分 ? ? ? 2 ? x2 ? x1 ? ? 2 ? ? ?
线段 EF ? x2 ? x1 ?

2 y1 2 y2 1 化简得 EF ? x2 ? x1 ? x1 x2 2 1 1 1 S1 ? EF y p ? x1 ? x2 x1 x2 ? b x1 ? x2 2 16 4

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1 S 2 ? b x1 ? x2 2
所以存在 λ=

………13 分

1 2

………14 分

-END-

-END-

-END-



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