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广东省韶关市2013届高三第二次调研考试数学文试题



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韶关市 2013 届高三年级第一次调研(期末)测试 数学文试题
本卷分选择题非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试用时间 120 分钟. 注意事项: 1. 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上; 2. 选择

题、填空题每小题得出答案后,请将答案填写在答题卷相应指定位置上。答在试题卷上不得 分; 3.考试结束,考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式:

锥体的体积公式 V ?

1 3

Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 1 2 ch ' , c 是底面周长, h ' 是斜高.

正棱锥的侧面积公式: S ?

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={2,4},B= ?0, 2? ,则集合 (痧 A) ? ( ? A.{0,4,5,2} 2.已知为虚数单位,则 AB -1 B.{0,4,5} C.{2,4,5} D.{1,3,5}
?

B) ?

(1 ? i ) 2 1? i

? 1 =( )
C D 1 )

3.设 a ? log 0.3 2, b ? log 0.3 3, c ? 20.3 , d ? 0.32 ,则这四个数的大小关系是( A. a ? b ? c ? d 4.若方程 B . b ? a ? d ? c C. b ? a ? c ? d D. d ? c ? a ? b

x2 1? k

?

y2 1? k

? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是(

) D. k ? 1 或

A. ?1 ? k ? 1
k ? ?1

B. k ? 0

C. k ? 0

5.某几何体的三视图如图所示(俯视图是正方形,正视图和左视图是两个全等 等腰三角形)根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( ) A. 4 ? 4 3 B. 4 ? 4 5 C.
8 3

D.12 )

6.已知回归直线斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为点(4,5),则回归直线的方程为(

A. y =1.23x+4

?

B. y =1.23x+5
·1·

?

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? ?

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C. y =1.23x+0.08

D. y =0.08x+1.23

? x?0 ? 7. 设不等式组 ? y ? 0 表示平面区域为 D, 在区域 D 内随机取一个点, 则此点到坐标原点的距离大 ?x ? y ? 2 ?

于 2 的概率是( A.

) C.

?

4

B.

? ?2
2

?
6

D.

4 ?? 4
15 3 4


C 8. ?ABC 中, A 、B 、 所以的边为 a 、b 、c , 若 a ? 3 ,C ? 120? ,?ABC 面积 S ?ABC ? 角
则c ? ( ) A. 5 B. 6 C.

39

D. 7

9.设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是 .. ( ) A.d<0
1 2

B.a7=0
2 x

C.S9>S5

D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

10.已知 f1 ( x) ? x , f 2 ( x) ? x , f 3 ( x) ? e , f 4 ( x) ? log 1 x , 四个函数中,当 0 ? x1 ? x2 时, 满足不等
2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2
1

? f(

x1 ? x2 2

) 的是

A. f1 ( x) ? x 2

B. f 2 ( x) ? x 2

C. f 3 ( x) ? e x

D. f 4 ( x) ? log 1 x
2

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ? ? ? ? ? ? 11. 若向量 a ? (1,1), b ? (2, 5), c ? (3, x) ,满足条件 (8a ? b) ? c ? 30 ,则 x = 12. 下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 . 是

开始

S =0,n=1

S = S +n
n=n+2

S>25 否

输出 n

结束

13. 平面上有 n 条直线, 这 n 条直线任意两条不平行, 任意三条不共点, 记这 n 将 平 面 分 成

D

B 条直线 E C

f ( n) 部 分 ,



f (3) ? ___________,

n?4

时, f (n) ? _________________.)(用 n 表示).
A

14.(几何证明选讲选做题) 如图,AB、CD 是圆的两条弦,AB 与 CD 交于 E , AE ? EB , AB 是线段 CD 的中垂线.若 AB=6,
·2·

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CD= 2 5 ,则线段 AC 的长度为 15.(坐标系与参数方程选做题)



在直角坐标系 xoy 中,圆 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? y ? 1 ? sin ?

( ? 为参数) ;在极坐标系(与直角坐标系

xoy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴) 圆 C2 的方程为 ? ? 4 sin ? , 以 中, 则 C1 与 C2 的位置关系是______(在“相交、相离、内切、外切、内含”中选择一个你认为正确的填 上). 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
4

) ( A ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右所示.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

?
2

) ,且 f (

?
2

?

?
8

)?

6 5

,求 tan ? 的值.

17.(本小题满分 12 分) 高一(1)班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图 直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如 如下问题: 和频率分布 下, 据此解答

(1)求高一(1)班参加校生物竞赛人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数,并计算频率分布直方图中

?80 , 90 ?

间的矩形的高;

·3·

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(2) 若要从分数在 ?80 , 100? 之间的学生中任选两人进行某项研究, 求至少有一人分数在 ?90 , 100? 之 间的概率.

18.(本小题满分 14 分) 如图, 已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径,AB ? 4 , 是⊙ O C 上一点,且 PA ? AC ? BC , (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? AE ; (3)当 ? ?
1 2 PE PC ? PF PB ??.

时,求三棱锥 A ? CEF 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 椭圆 C :

x2 a
2

?

3 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 两焦点分别为 F1 , F2 , M 是椭圆 C 上一点, F1 F2 M 点 ? b 5
2

y2

的周长为 16,设线段 MO(O 为坐标原点)与圆 O : x ? y ? r 交于点 N,且线段 MN 长度的最小
2 2 2

值为

15 4

.

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2)当点 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置关系.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)判断 f ( x) 奇偶性, 并求出函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 1 有零点,求实数 k 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)
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设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,等比数列 {bn } 公比为 q ,且 a1 ? b1 , a3 ? b3 , a 7 ? b5 (1)求等比数列 {bn } 的公比 q 的值; (2)将数列 {a n } ,{bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否存在正整数

? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 都构成等差数列?若存在,求出一
组 ? , ? , ? 的值;若不存在,请说明理由.

韶关市 2013 届高三年级第一次调研(期末)测试 数学试题(文科)参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供 参考,如 果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相 应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. DCBAB CDDCA 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. 4 15. 内切 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 12. 11 13. 7 (2 分) ,
n2 ? n ? 2 2

(3 分)

14.

30

?
4

) ( A ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右所示.

(1)求函数 f ( x) 的解析式;
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(2)设 ? ? (0,

?
2

) ,且 f (

?
2

?

?
8

)?

6 5

,求 tan ? 的值 ???2 分

解: (1)∵ 由图可知:函数 f ( x) 的最大值为 2 , 且

T

4 8 2 4 ∴ A ? 2 ,最小正周期 T ? ? ?????????????????????4 分
∴ ??

?

3?

?

?

?

?

2? T

?2

故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2) f ( ∴

?
4

) . ?????????????6 分

?
2

?

?
8

) ? 2sin ? ? 3 5
,∵

6 5

,?????????????????????8 分

sin ? ?

0 ?? ? 4 5

?
2



∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ∴

,??????????????????????10 分

tan ? ?

sin ? cos ?

?

3 4

?????????????????????????12 分

17.(本题满分 12 分) 高一(1)班参加校生物竞赛学生成绩的茎叶图和 直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分 解答如下问题: 频率分布 如下,据此

(1)求高一(1)班参加校生物竞赛人数及分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数,并计算频率分布直方图中

?80 , 90 ?

间的矩形的高;

(2) 若要从分数在 ?80 , 100? 之间的学生中任选两人进行某项研究, 求至少有一人分数在 ?90 , 100? 之 间的概率.
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解.(1)? 分数在 ?50 , 60 ? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 ,
? 高一(1)班参加校生物竞赛人数为

2 0.08

? 25 .

???2 分 ???4 分

所以分数在 ?80 , 90 ? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 频率分布直方图中 ?80 , 90 ? 间的矩形的高为
4 25

? 10 ? 0.016 . ???6 分

(2)设至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间为事件 A 将 ?80 , 90 ? 之间的 4 人编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?90 , 100? 之间的 2 人编号为 5 , 6 , 在 ?80 , 100? 之间的任取两人的基本事件为: ?1 , 2 ? , ?1 , 3? , ?1 , 4 ? , ?1 , 5 ? , ?1 , 6 ?

? 2 , 3? , ? 2 , 4 ? , ? 2 , 5? , ? 2 , 6 ? , ? 3 , 4 ? , ? 3 , 5 ? , ? 3 , 6 ? , ? 4 , 5 ? , ? 4 , 6 ? . 共 15 个
????????????????????????????????????..9 分 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事件有 9 个??????????????10 分 根据古典概型概率计算公式,得 P( A) ?
9 15 ? 3 5 3 5

???????????????11 分 ???????????????12 分

答:至少有一人分数在 ?90 , 100? 之间的概率

18.(本小题满分 14 分) 如图,如图,已知 PA ? ⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径,C 是 ⊙ O 上一点,且 PA ? AC ? BC , (1) 求证: EF // 面ABC ; (2) 求证: EF ? AE ; (3)当 ? ?
1 2 PE PC ? PF PB ??.

时,求三棱锥 A ? CEF 的体积.
PE PC ? PF PB ??

解: (1)证明:在三角形 PBC 中,

所以 EF//BC, BC ? 面ABC, EF ? 面ABC,

? EF // 面ABC ???????????????????????????4 分
(2) ?

? PA ? 面ABC ? BC ? 面ABC

? BC ? PA

又 AB 是⊙ O 的直径,所以 BC ? AC ?????????????????7 分 所以, BC ? 面PAC ?????????????????????8 分
·7·

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因 EF//BC

BC ? 面PAC ,所以 EF ? 面PAC

因为 AE ? 面PAC , 所以 EF ? AE . ?????????????????10 分 (3)? 在 Rt ?ABC 中, AB ? 4
? PA ? AC ? BC = 2 2

当? ?
?

1 2

时, E 是 PC 中点. F 为 PC 中点
S?EAC ? 1 2 S?PAC ? 1 2 ? 1 2 PA ? AC ? 1 2 ? 1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ??? 12 分

EF ?

1 2

BC ? 2

? EF ? 面PAC

VA?CEF ? VF ? ACE ?

1 3

S?ACE EF ?

1 3

? 2? 2 ?

2 2 3

??????????????14 分

19.(本题满分 14 分) 椭圆 C :

x2 a
2

?

3 两焦点分别为 F1 , F2 , M 是椭圆 C 上一点, F1 F2 M 点 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , ? b 5
2

y2

的周长为 16,设线段 MO(O 为坐标原点)与圆 C : x ? y ? r 交于点 N,且线段 MN 长度的最小
2 2 2

值为

15 4

.

(1)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (2)当点 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置关系. 解: (1)设椭圆 C 的半焦距为 c,则

c a

?

3 5

,即 c ?

3 5

a

① ?????????1 分

又 | MF1 | ? | MF2 | ? | F1 F2 |? 2a ? 2c ? 16 联立①②,解得 a ? 5, c ? 3 ,所以 b ? 所以椭圆 C 的方程为

②????????????3 分

a 2 ? b2 ? 4 .

x2 25

?

y2 16

? 1 .?????????????????????5 分

而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为

| MO |?

2 2 x0 ? y0 ?

2 x0 ? 16 ?

16 25

2 x0 ?

9 25

2 x0 ? 16 ? 4 ,等号在 x0 ? 0 时成立???7 分,

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而 | MN |?| MO | ? r , 则 | MN | 的 最 小 值 为 4 ? r , 从 而 r ?

1 4

,则圆 O 的方程为

x2 ? y 2 ?

1 16

.??????????????????????????????9 分
2 x0 2 y0

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以

25

?

16
?

2 ? 1 .即 y0 ? 16 ?

16 25

2 x0 .

圆心 O 到直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 的距离 d ?

1
2 2 x0 ? y0

1 9 2 x0 ? 16 25

.?????12 分

当 x0 ? 0 , d ?

1 16

?

1 4

? r ,则直线 l 与圆 O 相交. ???????? ?????14 分

20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x .
2

(1)判断 f ( x) 奇偶性, 并求出函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? 1 有零点,求实数 k 的取值范围. 解(1) f ( x) 定义域 ? x | x ? 0? 在数轴上关于原点对称, 且 f (? x) ? ? x ln(? x) ? x ln x ? f ( x) ,所以 f ( x) 是偶函数????????2 分
2 2

当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ln x , f ( x) ? 2(1 ? ln x)
'

由 f ( x) ? 0 , 1 ? ln x ? 0 ,
'

解得: x ?

1 e

所以 f ( x) 在 ( , ??) 是增函数;

1 e

由 f ( x) ? 0 , 1 ? ln x ? 0 ,
'

解得: 0 ? x ?

1 e

.所以 f ( x) 在 (0, ) 是减函数. ???4 分

1 e

因为 f ( x) 是偶函数 , 图象关于 y 轴对称,所以 , 当 x ? 0 时 , f ( x) 在 ( ??, ? ) 是减函数 , 在

1 e

1 (? , 0) 是增函数. e
所以, f (x) 的单调增区间是 ( , ??) , (? , 0) ;单调减区间是 (0, ) , ( ??, ? ) ,.???6 分

1 e

1 e

1 e

1 e

(2) 由 g ( x) ? 0 ,得 x ? ln x ? kx ? 1 ? 0 , k ?
2

x ? ln x 2 x

?

1 x

·9·

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令 h( x ) ?

x ? ln x 2 x

?

1 x

???????????????????????????8 分 ,当 x ?

当 x ? 0 时, h ' ( x) ? 当0 ? x ?

2x ?1 x
2

1 2

, h ( x) ? 0 , h( x) 在 ( , ??) 是增函数;
'

1

2

1 2

, h ( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ) 是减函数,
'

1

2

所以, 当 x ? 0 时, h( x) 极小值是 h( ) ? 2 ? 2 ln 2 ?????????????11 分

1

2

因为 h( x) 是奇函数,所以, 当 x ? 0 时, h( x) 极大值是 h(? ) ? 2 ln 2 ? 2

1

2

所以 h( x) ? (2 ? 2 ln 2, ??) ? ( ??, 2 ln 2 ? 2) , 即 k ? (2 ? 2 ln 2, ??) ? ( ??, 2 ln 2 ? 2) , 函数 g ( x) 有零点. ?????????14 分 21.(本题满分 14 分) 设等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,等比数列 {bn } 公比为 q ,且 a1 ? b1 , a3 ? b3 , a 7 ? b5 (1)求等比数列 {bn } 的公比 q 的值; (2)将数列 {a n } , {bn } 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列 {c n } ,是否存在正整 数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 都构成等差数列?若存在,求出 一组 ? , ? , ? 的值;若不存在,请说明理由. 解: (1)设 a1 ? b1 = a, ,由题意

? 2 ?aq ? a ? 2d ? 4 ?aq ? a ? 6d ?


? 2 ?aq ? a ? 2d 即? ? d ? 0,? q ? ?1 不合题意?????????3 分 ?aq 4 ? a ? 6d ?
2

q2 ?1 q ?1
4

?

1 3

,解得 q ? 2 ? q ? ? 2 ???????????????????-5 分

(2)答:不存在正整数 ? , ? , ? (其中 ? ? ? ? ? )使得 ? , ? , ? 和 c? ? ? , c? ? ? , c? ? ? 均构成等差 数列 证明:假设存在正整数 ? , ? , ? 满足题意 设 a1 ? b1 = a, 且 a n ?b m ,故 a ? (n ? 1)d ? aq
m ?1

,又 2d ? aq ? a ? a ? d ?
2

a 2

-

·10·

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?1 ?

n ?1 2

m ?1

? (? 2 )

m ?1

即 n ? 1 ? (?1)

m ?1

2

2

????????????????7 分
m ?1

? n ? 1? N *

? ( ?1)m?1 ? 0
*

? m为奇数,且n ? 2

2

? 1 -????????8 分

令 m ? 2k ? 1(k ? N ) ,则 bm ? a ? (? 2) 2 k ?1?1 ? a ? 2k ?1

? c n ? 2 n ?1 a

??????????????????????????10 分

若存在正整数 ? , ? , ? 满足题意,则

?2? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ?2(a ? 2 ? ? ) ? (a ? 2 ? ? ) ? ( a ? 2 ? ? )
? 2 ? ? 2? ?1 ? 2? ?1 ,又? 2? ?1 ? 2? ?1 ? 2 2? ?? ? 2 ? 2
又? ? ? ? ,? 2 ? 2
x

? ??
2

(当且仅当? ? ?时取 " ? ")
----------------------12 分

?

? ?1

?2

? ?1

? ??

?2

2

又 y ? 2 在 R 上为增函数,? ? ?

? ??
2

,与题设 ? ?

? ??
2

矛盾,

? 假设不成立
故不存在 ? , ? , ? 满足题意.--------------------------------------------14 分

·11·



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