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三角函数诱导公式练习题 答案



三角函数的诱导公式 1
一、选择题 1.如果|cosx|=cos(x+π) ,则 x 的取值集合是( ) A.- C.
π π +2kπ≤x≤ +2kπ 2 2 π 3π +2kπ≤x≤ +2kπ 2 2

B.-

π 3π +2kπ≤x≤ +2kπ 2 2
19π )的值是( ) 6

D. (2k+1)π≤x≤2(k+1)π(以上 k∈Z)

2.sin(- A.
1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

3.下列三角函数: ①sin(nπ+
4π π π π ) ;②cos(2nπ+ ) ;③sin(2nπ+ ) ;④cos[ (2n+1)π- ] ; 3 6 3 6 π ] (n∈Z) . 3

⑤sin[ (2n+1)π- 其中函数值与 sin A.①② 4.若 cos(π+α)=- A.-
6 3

π 的值相同的是( ) 3

B.①③④

C.②③⑤

D.①③⑤

10 π 3π ,且 α∈(- ,0) ,则 tan( +α)的值为( ) 5 2 2

B.

6 3

C.-

6 2

D.

6 2

5.设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是( ) A.cos(A+B)=cosC 6.函数 f(x)=cos A.{-1,- C.{-1,- 二、填空题 7.若 α 是第三象限角,则 1 ? 2 sin( π ? ? ) cos( π ? ? ) =_________. 8.sin21° +sin22° +sin23°+…+sin289° =_________. 三、解答题 9.求值:sin(-660° )cos420° -tan330° cot(-690° ) . B.sin(A+B)=sinC C.tan(A+B)=tanC D.sin
A? B C =sin 2 2

πx (x∈Z)的值域为( ) 3

1 1 ,0, ,1} 2 2
3 3 ,0, ,1} 2 2

B.{-1,- D.{-1,-

1 1 , ,1} 2 2
3 3 , ,1} 2 2

10.证明:

2 sin( π ? ? ) ? cos? ? 1 tan(9 π ? ? ) ? 1 ? . tan(π ? ? ) ? 1 1 ? 2 sin2 ?

1 1 11.已知 cosα= ,cos(α+β)=1,求证:cos(2α+β)= . 3 3

12. 化简:

1 ? 2 sin 290? cos 430? . sin 250? ? cos 790?

13、求证:

tan(2 π ? ? ) sin(?2 π ? ? ) cos(6 π ? ? ) =tanθ. cos(? ? π ) sin(5 π ? ? )

14. 求证: (1)sin( (2)cos(

3π -α)=-cosα; 2

3π +α)=sinα. 2

参考答案 1
一、选择题 1.C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.B 二、填空题 7.-sinα-cosα 8. 三、解答题 9.
3 +1. 4

89 2

10.证明:左边=

?2 sin? cos? ? ? cos2 ? ? sin2 ?

=-

(sin? ? cos? ) 2 sin? ? cos? ? , (cos? ? sin? )(cos? ? sin? ) sin? ? cos?

右边=

? tan? ? ? tan? ? ? sin? ? cos? , ? ? ? tan? ? ? tan? ? ? sin? ? cos?

左边=右边,∴原等式成立. 11.证明:∵cos(α+β)=1,∴α+β=2kπ.
1 ∴cos(2α+β)=cos(α+α+β)=cos(α+2kπ)=cosα= . 3

12.解:

1 ? 2 sin 290? cos 430? sin 250? ? cos 790?

=

1 ? 2 sin(?70? ? 360?) cos(70? ? 360?) sin( 180? ? 70?) ? cos(70? ? 2 ? 360?)
1 ? 2 sin 70? cos 70? cos 70? ? sin 70?

=

=

(sin 70? ? cos 70?) 2 cos 70? ? sin 70?

=

sin 70? ? cos 70? =-1. cos 70? ? sin 70?
tan(?? ) sin(?? ) cos(?? ) (? tan? )(? sin? ) cos? ? =tanθ=右边, (? cos? )(? sin? ) cos? sin?

13.证明:左边= ∴原等式成立.

14 证明: (1)sin( (2)cos(

3π π π -α)=sin[π+( -α) ]=-sin( -α)=-cosα. 2 2 2

3π π π +α)=cos[π+( +α) ]=-cos( +α)=sinα. 2 2 2

三角函数的诱导公式 2
一、选择题: 1.已知 sin(

π 3 π 3 +α)= ,则 sin( -α)值为( 4 4 2
B. —



A.

1 2

1 2

C.

3 2

D. —

3 2


2.cos( ? +α)= —

1 3 π , <α< 2? ,sin( 2? -α) 值为( 2 2 1 2
C. ?

A.

3 2

B.

3 2

D. —

3 2
) D.±(cos2-sin2) ) D. cos( 2? -α) =-cosβ

3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? ? 2) 得( A.sin2+cos2 A.sinα=sinβ 5.设 tanθ=-2, ? B.cos2-sin2 C.sin2-cos2

4.已知 α 和 β 的终边关于 x 轴对称,则下列各式中正确的是( B. sin(α- 2? ) =sinβ C.cosα=cosβ

2 π <θ<0,那么 sin θ+cos(θ- 2? )的值等于( ) , 2 1 1 1 1 A. (4+ 5 ) B. (4- 5 ) C. (4± 5 ) D. ( 5 -4) 5 5 5 5

二、填空题: 6.cos( ? -x)=

3 ,x∈(- ? , ? ) ,则 x 的值为 2



7.tanα=m,则

sin( α ? 3?) ? cos( π ?α ) ? sin(? α ) - cos( π ?α )

. .

8.|sinα|=sin(- ? +α) ,则 α 的取值范围是 三、解答题: 9.

sin(2 π ?α )sin(? ? ? ) cos(? π ?α ) . sin(3 π ?α ) · cos( π ?α )

10.已知:sin(x+

7 π π 1 5 π ? x) +cos2( -x)的值. )= ,求 sin( 6 6 4 6

11. 求下列三角函数值: (1)sin
7π 17 π 23π ; (2)cos ; (3)tan(- ) ; 4 6 3

12. 求下列三角函数值: (1)sin
4π 25π 5π · cos · tan ; 6 3 4

(2)sin[ (2n+1)π-

2π ]. 3

π 2 cos3 ? ? sin2 (2 π ? ? ) ? sin( ? ? ) ? 3 π 2 13.设 f(θ)= ,求 f( )的值. 2 3 2 ? 2cos (π ? ? ) ? cos(?? )

参考答案 2
1.C 6.± 2.A 3.C 4.C 5.A

5 π 6

7.

m ?1 m ?1

8.[(2k-1)

? ,2k ? ]

9.原式=

α) ? sinα (?sin? ) cos( π ?α ) sin 2α (? cos 11 = = sinα 10. 16 sin( π ?α ) · (? cos α) sinα ?( ? cos α)
3 7π π π =sin(2π+ )=sin = . 2 3 3 3

11.解: (1)sin (2)cos

2 17 π π π =cos(4π+ )=cos = . 2 4 4 4 3 23π π π )=cos(-4π+ )=cos = . 2 6 6 6

(3)tan(-

(4)sin(-765° )=sin[360° × (-2)-45° ]=sin(-45° )=-sin45° =-

2 . 2

注:利用公式(1) 、公式(2)可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数, 从而求值. 12.解: (1)sin =(-sin
4π 25π 5π π π π · cos · tan =sin(π+ )· cos(4π+ )· tan(π+ ) 6 3 4 3 6 4

3 3 π π π 3 )· cos · tan =(- )· · 1=- . 2 2 3 6 4 4 3 2π 2π π ]=sin(π- )=sin = . 2 3 3 3

(2)sin[ (2n+1)π- 13.解:f(θ)= = = = = =

2 cos3 ? ? sin2 ? ? cos? ? 3 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

2 cos3 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos? ? 3 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2 cos3 ? ? 2 ? (cos2 ? ? cos? ) 2 ? 2 cos2 ? ? cos? 2(cos3 ? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2 ? 2 cos 2 ? ? cos? 2(cos? ? 1)(cos2 ? ? cos? ? 1) ? cos? (cos? ? 1) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

(cos? ? 1)(2 cos2 ? ? cos? ? 2) 2 ? 2 cos2 ? ? cos?

=cosθ-1, ∴f(
π π 1 1 )=cos -1= -1=- . 3 3 2 2

三角函数公式
1. 同角三角函数基本关系式 sin2α +cos2α =1 sinα =tanα cosα tanα cotα =1 2. 诱导公式 (奇变偶不变,符号看象限) (一) sin(π -α )=sinα sin(π +α )=-sinα cos(π -α )=-cosα cos(π +α )=-cosα tan(π -α )=-tanα tan(π +α )=tanα sin(2π -α )=-sinα sin(2π +α )=sinα cos(2π -α )=cosα cos(2π +α )=cosα tan(2π -α )=-tanα tan(2π +α )=tanα π (二) sin( -α )=cosα 2 π cos( -α )=sinα 2 π tan( -α )=cotα 2 3π sin( -α )=-cosα 2 3π cos( -α )=-sinα 2 3π tan( -α )=cotα 2 sin(-α )=-sinα π sin( +α )=cosα 2 π cos( +α )=- sinα 2 π tan( +α )=-cotα 2 3π sin( +α )=-cosα 2 3π cos( +α )=sinα 2 3π tan( +α )=-cotα 2 cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα

3. 两角和与差的三角函数 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ sin (α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin (α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ tan(α +β )= tan(α -β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ tanα -tanβ 1+tanα tanβ

4. 二倍角公式 sin2α =2sinα cosα cos2α =cos2α -sin2α =2 cos2α -1=1-2 sin2α 2tanα tan2α = 1-tan2α 5. 公式的变形 (1) 升幂公式:1+cos2α =2cos2α (2) 降幂公式:cos2α = 1+cos2α 2 1—cos2α =2sin2α sin2α = 1-cos2α 2

(3) 正切公式变形:tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ) tanα -tanβ =tan(α -β )(1+tanα tanβ )

(4) 万能公式(用 tanα 表示其他三角函数值) 2tanα sin2α = 1+tan2α 6. 插入辅助角公式 asinx+bcosx= a2+b2 sin(x+φ ) (tanφ = 特殊地:sinx±cosx= 2 sin(x± π ) 4 1±cosx tanx+cotx b ) a cos2α = 1-tan2α 1+tan2α tan2α = 2tanα 1-tan2α

7. 熟悉形式的变形(如何变形) 1±sinx±cosx 1±sinx 1-tanα 1+tanα 1+tanα 1-tanα

若 A、B 是锐角,A+B= 8. 在三角形中的结论 若:A+B+C=π ,

π ,则(1+tanA)(1+tanB)=2 4

A+B+C π = 则有 2 2

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC tan A B B C C A tan +tan tan +tan tan =1 2 2 2 2 2 2



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