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3.3-3.4点直线的距离公式



3.3.3

点到直线的距离

已知点P0(1,1)和直线l:x +y -4=0,如何求 点P到直线 l 的距离?
点P到直线 l 的距离,是指从点P0到直线 l 的 垂线段P0Q的长度,其中Q是垂足. y

Q
P0 o

l

x

已知:点P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0,怎样 求点P到直线L的距离呢? 解题思路: 过点P作直线L1⊥L于Q, 则线段PQ的长就是点P到直线L的距离. 怎么能够得到线段PQ的长? 利用两点间的距离公式求出|PQ|.

L1

P(x0,y0)
L

步 骤
设Q (x 1 , y1 ),建立方程: y1 - y0 ? A ? 1)L 1 ? L, ??? ? ? ?1 x1 - x0 ? B ? 2)Q在L上,Ax1 ? By1 ? C ? 0

Q( x1 , y1 )

L:Ax+By+C=0

(3)求出Q点的坐标; (4)由两点间距离公式

(d ? ( x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) )
2 2

分析思路二:用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
P0Q ? P0 S ? P0 R SR

y
求出P0R 求出P0S

S

利用勾股定理求出SR

d

Q
R

P0
面积法求出P0Q

l
x

O

y

Ax0 ? C ? ? S ? x0, ? B ? ? ?

Q l : Ax ? By ? C ? 0 d

y0
O

P0 (x0,y0)

? By0 ? C ? ? , y0 ? R? A ? ?

x0

x

1 | P0 S || P0 R | 2

?

1 d | SR | 2

点到直线的距离公式
点P(x0,y0)到直线 l :Ax +By +C=0的距离为: | Ax0 ? By0 ? C | d? A2 ? B 2

特别地,当A=0,B?0时, 直线By+C=0
| By0 ? C | C d? ?| y0 ? | |B| B

特别地,当B=0,A?0时, 直线Ax+C=0
d? | Ax0 ? C | C ?| x0 ? | | A| A

例1.求过点A(?1,2)且与原点的距离 2 等于 的直线的方程. 2 解:设所求直线的方程为y-2=k(x+1) A(?1,2) 即 kx-y+2+k=0

2

由题意得

|0?0?2?k | k 2 ?1

2 ? 2
-1
? 2 2 2 2

∴k2+8k+7=0
解得k1 ? ?1

k 2 ? ?7

∴所求直线的方程为x+y-1=0 或7x+y+5=0.

例1的变式练习

求过点A(-1,2)且与原点的距离等于 下列值的方程

(1).距离改为1; (2).距离改为 5; (3).距离改为3(大于 5 ). 想一想?在练习本上画图形做.

例1的变式练习
(1).距离改为1,

则用上述方法得4(y-2)=3(x+1) 或x=-1(易漏掉)
2

A(?1,2)

-1

4(y-2)=-3(x+1)
x=-1

例2的变式练习
(2).距离改为 5,
A(?1,2)

则得2(y-2)=x+1; 2(y-2)=x+1

2

? 5

-1

5

例2的变式练习

(3).距离改为3(大于 5 ),则 无解。

A(?1,2)

2 -3 3

-1

例3
1,3 ) 直线 l 经过点 P (?2,1,且点A (?到) 的距 l l 离等于1,求直线 的方程 .

例4 已知点 A?1 3?,B?3, C ?- ,?,求 ?ABC , 1?, 10 的面积. 分析:如图,设 AB 边上的高为 h ,则 y 1 S ?ABC ? AB ? h . 4 A 2
AB ?
的距离.

?3 ? 1?2 ? ?1 ? 3?2

?2 2.

3 2 1

h
1 2 3

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB

B

C

-1 O

x

y ? 3 x ?1 ? , 解:AB 边所在直线的方程为: 1 ? 3 3 ?1
即:x ? y ? 4 ? 0 . 点 C ?? 1,? 到 x ? y ? 4 ? 0 0 的距离

y
4 3 2 h 1

A B
3

h?
因此

?1 ? 0 ? 4 12 ? 12

5 ? . 2

S ?ABC

1 5 -1 O ? ?2 2? ? 5. 2 2

C

1 2

x

例5: 已知直线l:x ? y ? 4 ? 0, 则x ? y 的 3
2 2

最小值为:_________

小结

点到直线的距离公式的推导及其应用 点P(x0,y0)到直线l:Ax +By +C=0的距离为:
d? | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

3.3.4

两条平行直线间的距离

1. 怎样判断两条直线是否平行?

2.如何定义两平行线l1和l2间的距离?

两条平行直线间的距离是指夹在两 条平行线间公垂线段的长 两平行线间的距离处处相等

设l1//l2,如何求l1和l2间的距离?

讨 论:
两条平行直线间的距离怎样求? 平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离

例1 已知直线 l : 2x ? 7y +8 ? 0 和 l2 : 2 x ? 7 y ? 6 ? 0 1 l1 与l2 是否平行?若平行,求 l1与 l2的距离.
解: 在l2上任取一点,如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离

两平行线间的 距离处处相等

? d?

2?3 ? 7?0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

?

14

14 53 ? 53 53

直线到直线的距离转化为点到直线的距离

例2. 求证:两条平行直线Ax+By+C1=0和 Ax+By+C2=0间的距离为

d?

| c1 ? c2 | A ?B
2

2

例4.求过点M(-2, 1),且与 A(-1, 2),B(3, 0)距离相等的

直线方程. 例5. 求与直线l:5x-12y+6=0
平行且到l的距离为2的直线的方程.



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