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常考问题6 三角恒等变换与解三角形



常考问题 6 三角恒等变换与解三角形
[真题感悟] 1.(2013?湖南卷改编)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,若 2asin B= 3b, 则角 A 等于________. 解析 在△ABC 中,利用正弦定理得 3sin Asin B= 3sin B,∴sin A= π 又 A 为锐角,∴A= . 3 答案 π 3 3 . 2

r />π? 4 π? ? ? 2.(2012?江苏卷)设α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 sin?2α + ?的值为________. 6 12? 5 ? ? ? π? π? π ? 24 7 ? ? 2? 解析 由条件可得 cos?2α + ?=2ccs ?α + ?-1= ,sin?2α + ?= , 3? 6? 3 ? 25 25 ? ? ? π? π? π? ?? ? 所以 sin?2α + ?=sin??2α + ?- ? 3? 4? 12? ? ? ? = 2?24 7 ? 17 2 ? - ?= 50 . 2 ?25 25? 17 2 50

答案

b a tan C 3. (2010? 江苏卷)在锐角三角形 ABC 中, A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, + =6cos C, 则 a b tan A
tan C + =________. tan B 解析

b a a2+b2-c2 2 2 2 2 3c2 2 2, + =6cos C?6abcos C=a +b 6ab? =a +b ,a +b = . a b 2ab 2

tan C tan C sin C cos Bsin A+sin Bcos A sin C sin A+B + = ? = ? = tan A tan B cos C sin Asin B cos C sin Asin B 1 sin C 1 c ? 由正弦定理得:上式= ? =4. cos C sin Asin B cos C ab 答案 4 2 2 4. (2013? 福建卷)如图, 在△ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, AD⊥AC, sin∠BAC= , AB=3 2, 3
2 2

AD=3,则 BD 的长为______.

π 解析 sin∠BAC=sin( +∠BAD)=cos∠BAD, 2 2 2 ∴cos∠BAD= . 3

BD2=AB2+AD2-2AB?ADcos∠BAD=(3 2)2+32-2?3 2?3?
答案 3

2 2 =3,即 BD= 3. 3

[考题分析] 高考对本内容的考查主要有: (1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是 C 级要求,二倍角的正弦、余弦及正切是 B 级要求, 应用时要适当选择公式,灵活应用. (2)正弦定理、余弦定理及其应用,要求是 B 级,能够应用定理实现三角形中边和角的转化, 以及应用定理解决实际问题. 试题类型一般是填空题,同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查,构成中档题. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β . (2)cos(α ±β )=cos α cos β ? sin α sin β . tan α ±tan β (3)tan(α ±β )= . 1? tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α =2sin α cos α . (2)cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α . 2tan α (3)tan 2α = . 2 1-tan α 3.正弦定理 = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C
2 2 2 2

a

b

c

变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R

a

b

c

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

4.余弦定理

a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac
cos C=

a2+b2-c2 . 2ab

5.三角形面积公式

S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C.
6.三角恒等变换的基本思路 (1)“化异为同” , “切化弦” , “1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.如 1=cos θ +sin θ =tan 45°等. “化异为同”是指“化异名为同名” , “化异次为同次” , “化异角为同角” . α +β (2)角的变换是三角变换的核心,如β =(α +β )-α ,2α =(α +β )+(α -β ), 2 β ? ?α ? =?α - ?-? -β 2? ?2 ?
2 2

1 2

1 2

1 2

?等. ? ?

7.解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解.

8.利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中, 通过解这样的三角形即可 求出实际问题的答案.注意要检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,从而得出 正确结果.

热点一 三角变换及应用 β ? π 1 ? ?α ? 2 【例 1】 (1)已知 0<β < <α <π ,且 cos?α - ?=- ,sin? -β ?= ,求 cos(α +β )的 2? 2 9 ? ?2 ? 3 值; 1 1 (2)已知α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tan β =- , 2 7 求 2α -β 的值. π π α π π β 解 (1)∵0<β < <α <π ,∴- < -β < , <α - <π , 2 4 2 2 4 2

?α ? ∴cos? -β ?= 2 ? ?
β ? ? sin?α - ?= 2? ? ∴cos

1-sin ?
2

?α -β ?= 5, ? 3 ?2 ?

β ? 4 5 2? 1-cos ?α - ?= , 2? 9 ?

β ? ?α α +β ?? ?? =cos??α - ?-? -β ?? 2? ?2 2 ?? ??

β ? ?α β ? ?α ? ? ? ? =cos?α - ?cos? -β ?+sin?α - ?sin? -β ? 2? ?2 2? ?2 ? ? ? ? 5 4 5 2 7 5 ? 1? =?- ?? + ? = , 9 3 27 ? 9? 3 ∴cos(α +β )=2cos
2

α +β 49?5 239 -1=2? -1=- . 2 729 729

1 1 - 2 7 tan α -β +tan β 1 (2)tan α =tan[(α -β )+β ]= = = , 1-tan α -β tan β 1 1 3 1+ ? 2 7 tan α +tan α -β tan(2α -β )=tan[α +(α -β )]= 1-tan α tan α -β 1 π ∵tanα = >0,∴0<α < ,∴0<2α <π . 3 2 1 1 + 3 2 = =1. 1 1 1- ? 3 2

2tan α 3 又 tan 2α = = >0, 2 1-tan α 4 π 1 π ∴0<2a< .∵tan β =- <0,∴ <β <π ,∴-π <2α -β <0. 2 7 2 3π ∴2α -β =- . 4 [规律方法] (1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系, 灵活使用角的变换, 如α =(α +β ) α +β α -β -β ,α = + 等. 2 2 (2)由于三角函数的多值性,故要对角的范围进行讨论,确定并求出限定范围内的角.

? π? 【训练 1】 (2013?广东卷)已知函数 f(x)= 2cos?x- ?,x∈R. ? 12? ? π? (1)求 f?- ?的值; ? 6?
3 ?3π ,2π ?,求 f?2θ +π ?. (2)若 cos θ = ,θ ∈? ? ? 3? 5 ? 2 ? ? ? 解

? π? ? π π? (1)f?- ?= 2cos?- - ? ? 6? ? 6 12?

π ? π? = 2cos?- ?= 2cos =1. 4 ? 4? π? π π? π? ? ? ? (2)f?2θ + ?= 2cos?2θ + - ?=2cos?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ , 3? 3 12? 4? ? ? ? 3 ?3π ,2π ?,∴sin θ =-4, 又 cos θ = ,θ ∈? ? 5 5 ? 2 ? 24 7 2 ∴sin 2θ =2sin θ cos θ =- ,cos 2θ =2cos θ -1=- , 25 25 π? 7 24 17 ? ∴f?2θ + ?=cos 2θ -sin 2θ =- + = . 3 25 25 25 ? ? 热点二 正、余弦定理的应用 【例 2】 (2013?苏锡常镇模拟)△ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos

A= . → → (1)求AB?AC;
(2)若 c-b=1,求 a 的值.

12 13

12 解 (1)由 cos A= ,且 0<A<π , 13 得 sin A=

?12?2 5 1-? ? = . ?13? 13

1 又 S△ABC= bcsin A=30, 2 所以 bc=156,

→ → 12 所以AB?AC=bccos A=156? =144.
13 (2)由(1)知 bc=156, 12 又 cos A= ,c-b=1, 13 在△ABC 中,由余弦定理,得

a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc(1-cos A)

? 12? =1+2?156??1- ? ? 13?
=25, 所以 a=5

→ → [规律方法] 求解此类问题,一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口,如求AB?AC,需 要求出 bc,由三角形的面积及 cos A,可求出 sin A,二要注意求解本题第(2)问时,应该结合
第(1)问中的结论. 【训练 2】 (2013?山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b 7 =2,cos B= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解 (1)由余弦定理,得

cos B=

a2+c2-b2 a2+c2-4 7 14 2 2 = = ,即 a +c -4= ac. 2ac 2ac 9 9

14 2 ∴(a+c) -2ac-4= ac,∴ac=9. 9 由?
? ?a+c=6, ?ac=9, ?

得 a=c=3.

7 2 (2)在△ABC 中,cos B= ,∴sin B= 1-cos B= 9 4 2 3? 9 asin B 2 2 由正弦定理,得 sin A= = = . b 2 3 又∵a=c,∴A=C,∴0<A<

?7?2 4 2. 1-? ? = 9 ?9?

π 1 2 ,∴cos A= 1-sin A= , 2 3

2 2 7 1 4 2 10 2 ∴sin (A-B)=sin Acos B-cos Asin B= ? - ? = . 3 9 3 9 27 热点三 解三角形在实际问题中的应用 【例 3】 (2012?南师附中模拟)如图,现有一个以∠AOB 为圆心角,湖岸 OA 与 OB 为半径的扇 形湖面 AOB.现欲在弧 AB 上取不同于 A、B 的点 C,用渔网沿着弧 AC(弧 AC 在扇形 AOB 的弧

AB 上), 半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA), 在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域
π Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若 OA=1 km,∠AOB= ,∠AOC=θ . 3 (1)用θ 表示 CD 的长度; (2)求所需渔网长度(即图中弧 AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

解 (1)由 CD∥OA,∠AOB=

π 2π π ,∠AOC=θ ,得∠OCD=θ ,∠ODC= ,∠COD= -θ .在△ 3 3 3

OCD 中,由正弦定理,
得 CD= 2

?π ? ? π? sin? -θ ?,θ ∈?0, ?; 3 3? ? ? ? 3

(2)设渔网的长度为 f(θ ).由(1)可知,

f(θ )=θ +1+

2

?π ? sin? -θ ?. 3 ? ? 3
2

所以 f′(θ )=1-

?π ? cos? -θ ?, 3 ? ? 3

π ? π? ? π? 因为θ ∈?0, ?,所以 -θ ∈?0, ?, 3? 3? 3 ? ? 3 ?π ? 令 f′(θ )=0,得 cos? -θ ?= , ?3 ? 2 π π π 所以 -θ = ,所以θ = . 3 6 6 当θ 变化时,f′(θ ),f(θ )的变化状态如下表: θ

?0,π ? ? 6? ? ?


π 6 0 极大值

?π ,π ? ?6 3? ? ?


f′(θ ) f(θ )

? π +6+2 3? 所以 f(θ )∈?2, ?. 6 ? ? ? π +6+2 3? 故所需渔网长度的取值范围是?2, ?. 6 ? ?
[规律方法] 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步: (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、 仰角、俯角、视角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解. (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案

【训练 3】 (2013?盐城模拟)某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线 在 l 上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯 折而成,边 BA,AD 用一根 9 米长的材料弯折而成,要求∠A 和∠C 互补,且 AB=BC, (1)设 AB=x 米,cos A=f(x),求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围. (2)求四边形 ABCD 面积的最大值.

解 (1)在△ABD 中,由余弦定理得

BD2=AB2+AD2-2AB?AD?cos A.
同理,在△CBD 中,BD =CB +CD -2CB?CD?cos C. 因为∠A 和∠C 互补, 所以 AB +AD -2AB?AD?cos A=CB +CD -2CB?CD?cos C=CB +CD +2CB?CD?cos A. 即 x +(9-x) -2x(9-x)cos A =x +(5-x) +2x(5-x)cos A. 2 2 解得 cos A= ,即 f(x)= ,其中 x∈(2,5).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

x

1 1 (2)四边形 ABCD 的面积 S= (AB?AD+CB?CD)?sin A= [x(5-x)+x(9-x)] 2 2 =x(7-x) =

1-cos A.

2

?2?2 1-? ? = x ? ?
2

x2-4

7-x

2

x2-4
2

x2-14x+49 .

记 g(x)=(x -4)(x -14x+49),x∈(2,5). 由 g′(x)=2x(x -14x+49)+(x -4)(2x-14) =2(x-7)(2x -7x-4)=0, 1 解得 x=4(x=7 和 x=- 舍). 2
2 2 2

所以函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减. 因此 g(x)的最大值为 g(4)=12?9=108.所以 S 的最大值为 108=6 3. 故所求四边形 ABCD 面积的最大值为 6 3 m .
2

(建议用时:50 分钟) 1.(2013?济宁二模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=1,B=45°,S
△ABC

=2,则 b 等于________.

1 1 解析 ∵S= acsinB=2,∴ ?1?c?sin 45°=2. 2 2 ∴c=4 2. ∴b =a +c -2accos B=1+32-2?1?4 2?cos 45°. ∴b =25,b=5. 答案 5 2.(2013?北京东城区期末)在△ABC 中,A,B,C 为内角,且 sin Acos A= sin Bcos B,则△ABC 是________三角形. 解析 由 sin Acos A=sin Bcos B 得 sin 2A=sin 2B=sin(π -2B),所以 2A=2B 或 2A π =π -2B,即 A=B 或 A+B= ,所以△ABC 为等腰或直角三角形. 2 答案 等腰或直角 3.(2013?浙江卷改编)已知α ∈R,sin α +2cos α = 解析 ∵sin α +2cos α = 10 , 2 10 ,则 tan 2α 等于________. 2
2 2 2 2

5 2 2 ∴sin α +4sin α ?cos α +4cos α = . 2 化简,得 4sin 2α =-3cos 2α , sin 2α 3 ∴tan 2α = =- . cos 2α 4 3 答案 - 4 4. 在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c.已知 8b=5c, C=2B, 则 cos C 等于________. 解析 先用正弦定理求出角 B 的余弦值,再求解. 由 = ,且 8b=5c,C=2B, sin B sin C

b

c

4 所以 5csin 2B=8csin B,所以 cos B= . 5 7 2 所以 cos C=cos 2B=2cos B-1= . 25

答案

7 25

4 5 5.已知 tan β = ,sin(α +β )= ,其中α ,β ∈(0,π ),则 sin α 的值为________. 3 13 4 3 5 解析 依题意得 sin β = ,cos β = ;注意到 sin(α +β )= <sin β ,因此有α +β 5 5 13 > π π π (否则,若α +β ≤ ,则有 0<β <α +β ≤ ,0<sin β <sin(α +β ),这与“sin(α 2 2 2

12 +β )<sin β ” 矛盾), 则 cos(α +β )=- , sin α =sin[(α +β )-β ]=sin(α +β )? 13 63 cos β -cos(α +β )sin β = . 65 答案 63 65
2 2

6.(2013?衡水调研)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已知 a -c =2b, 且 sin Acos C=3cos Asin A,求 b=______.

a2+b2-c2 解析 在△ABC 中,sin Acos C=3cos Asin C,则由正弦定理及余弦定理有 a? = 2ab b2+c2-a2 2 2 2 2 2 2 3? ?c,化简并整理得 2(a -c )=b .又由已知 a -c =2b,则 4b=b ,解得 b=4 2bc
或 b=0(舍). 答案 4 β ? 3 ? π? ? 7.若α ,β ∈?0, ?,cos ?α - ?= ,sin 2 2 ? ? ? ? 2

?α -β ?=-1,则 cos (α +β )=________. ?2 ? 2 ? ?

β ? π β π π α π 3 ? π? ? 解析 ∵α ,β ∈?0, ?,∴- <α - < ,- < -β < ,由 cos ?α - ?= 和 2? 2? 2 4 2 2 2 2 4 ? ? 1 β π α π β π α π ?α ? sin ? -β ?=- 得α - =± , -β =- ,当α - =- , -β =- 时, 2 2 6 2 6 2 6 2 6 ?2 ? β π α π π ? π? α +β =0,与α ,β ∈?0, ?矛盾;当α - = , -β =- 时,α =β = ,此时 2? 2 6 2 6 3 ? 1 cos (α +β )=- . 2 1 答案 - 2

8.(2013?苏北四市模拟)在△ABC 中,AD 为 BC 边上的高线,AD=BC,角 A,B,C 的对边为 a,

b c b,c,则 + 的取值范围是________. c b
1 2 1 解析 因为 AD=BC=a,由 a = bcsin A, 2 2
2 a2 b2+c2-a2 1?b c a ? 解得 sin A= ,再由余弦定理得 cos A= = ? + - ?= bc 2bc 2?c b bc?

1?b c ? ? + -sin A?, 2?c b ? 得 + =2cos A+sin A,又 A∈(0,π ), 所以由基本不等式和辅助角公式得 + 的取值范围是[2, 5]. 答案 [2, 5]

b c c b

b c c b

9.(2010?江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m).如示意图,垂直放置的标 杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α ,∠ADE=β . (1)该小组已测得一组α ,β 的值,算出了 tan α =1.24,tan β =1.20,请据此算出 H 的 值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α -β 最大? 解 (1)由 AB=

H
tan α

, BD =

h
tan β

, AD =

H
tan β

及 AB + BD= AD,得

H
tan α



h
tan β



H
tan β



htan α 4?1.24 解得 H= = =124. tan α -tan β 1.24-1.20
因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m.

(2)由题设知 d=AB,得 tan α = .

H d

H h H-h tan α -tan β 由 AB=AD-BD= - , 得 tan β = , 所以 tan(α -β )= tan β tan β d 1+tan α tan β


h H-h d+H d



h 2 H H-h

,当且仅当 d=

H H-h d

,即 d=

H H-h



125

125-4 =55 5时,上式取等号,所以当 d=55 5时,tan(α -β )最大.

π π 因为 0<β <α < ,则 0<α -β < ,所以当 d=55 5时,α -β 最大. 2 2 故所求的 d 是 55 5m. → → → → 10.(2012?江苏卷)在△ABC 中,已知AB?AC=3BA?BC. (1)求证:tan B=3tan A; (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值. 5

→ → → → (1)证明 因为AB?AC=3BA?BC,所以 AB?AC?cos A=3BA?BC?cos B, 即 AC?cos A=3BC?cos B,由正弦定理知 = , sin B sin A 从而 sin Bcos A=3sin Acos B, 又因为 0<A+B<π ,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A. (2)解 因为 cos C= 5 2 5 2 ,0<C<π ,所以 sin C= 1-cos C= , 5 5

AC

BC

从而 tan C=2,于是 tan[π -(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2, tan A+tan B 4tan A 1 亦即 =-2,由(1)得 2 =-2,解得 tan A=1 或- , 1-tan Atan B 1-3tan A 3 π 因为 cos A>0,故 tan A=1,所以 A= . 4 11.(2013?新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+

csin B.
(1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理,得

sin A=sin Bcos C+sin Csin B,① 又 A=π -(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π )得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π ),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4 由已知及余弦定理,得 4=a +c -2accos 4 2 2 又 a +c ≥2ac,故 ac≤ , 2- 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1.
2 2

π . 4



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