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江苏省南通市2014届高三年级第一次数学模拟考试试题



江苏省南通市 2014 届高三年级数学第一次模拟考试试题
(总分 160 分 考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.复数 z ?
i (其中 i 是虚数单位)的虚部为 2?i

▲ . 6 7 8 556 34 01

2.某同学在 7 天内每天参加体育锻炼的时间

(单位:分钟)用茎叶图表示如 图, 图中左列表示时间的十位数, 右列表示时间的个位数.则这 7 天该同学每 天参加体育锻炼时间(单位:分钟)的平均数为 ▲ 3.函数 f ( x) ? 1 4 .

? ?

x2 ? 2 x

的值域为 ▲ .
开始

4.分别在集合 A ? {1,2,3,4}和集合 B ? {5,6,7,8}中各取一个数相乘, 则积为偶数的概率为 ▲ . 5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,一 条渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线 C 的离心率为 ▲ . 6.如图是计算 ?
1 的值的一个流程图,则常数 a 的取值范围是 ▲ . 2 k ?1 k ?1
3
10

S ? 0, n ?1

n<a Y

N

7.函数 y= sin 2 x ? π 的图象可由函数 y=sinx 的图象作两次变换得到,第一 次变换是针对函数 y=sinx 的图象而言的,第二次变换是针对第一次变换所 得图象而言的.现给出下列四个变换: A. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 6 B. 图象上所有点向右平移 π 个单位; 3

?

?

S ?S ? 1 n
n?n?2

输出 S

结束

C. 图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ;D. 图象上所有点的横坐标变为原来的 1 倍(纵 2 坐标不变).请按顺序写出两次变换的代表字母: ▲ .(只要填写一组)

8.记 max{a,b}为 a 和 b 两数中的较大数.设函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域都是 R,则“ f ( x) 和 g ( x) 都是偶 函数”是“函数 F ( x) ? max ? f ( x) ,g ( x)? 为偶函数”的 ▲ 条件. (在“充分不必要” “必要不充分” “充 分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个) 9.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1: x2 ? y 2 ? 4 x ? 8 y ? 19 ? 0 关于直线 l: x ? 2 y ? 5 ? 0 对称的圆 C2 的方 程为 ▲ . 10.给出以下三个关于 x 的不等式:① x2 ? 4x ? 3 ? 0 ,② 3 ? 1 ,③ 2x2 ? m2 x ? m ? 0 .若③的解集非空, x ?1 且满足③的 x 至少满足①和②中的一个,则 m 的取值范围是 ▲ . 11.设 0 ? ? ? ? ? π ,且 cos ? ? 1 , cos(? ? ? ) ? 13 ,则 tan ? 的值为 ▲ . 2 7 14 12.设平面向量 a,b 满足 a ? 3b ≤ 2 ,则 a·b 的最小值为 ▲ .

13.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 4 ? 92 ? 1 上的点到原点 O 的最短距离为 ▲ . 2 x y 14.设函数 y ? f ( x) 是定义域为 R,周期为 2 的周期函数,且当 x ? ? ?1, 1? 时, f ( x) ? 1 ? x2 ;已知函数
? ?lg | x | ,x ? 0 , g ( x) ? ? 则函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象在区间 ? ?5 , 10? 内公共点的个数为 ▲ . x ? 0. ? ?1 ,

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.设向量 a ? (cos ? , sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? π . (1)若 a ? b ,求 a ? 3b 的值; (2)设向量 c ? 0 , 3 ,且 a + b = c,求 ? ,? 的值.

?

?

16.如图,在三棱锥 P—ABC 中,平面 PAC ? 平面 ABC, ?BAC ? 60? ,E,F 分别是 AP,AC 的中点,点 D 在棱 AB 上,且 AD ? AC . 求证: (1) EF // 平面 PBC; (2)平面 DEF ? 平面 PAC. E F D B P

A

C

17.如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O 的北偏东 60? 的方向,且在港口 A 北偏 西 30? 的方向上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30? 的 OD 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O.一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 B,在 B 岛转运补给物资后以相同的航速送往 科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为 1 小时. (1)求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间; (2)给养快艇驶离港口 A 后,最少经过多少时间能和科考船相遇? C 北 D B

O

A



18.设公差不为零的等差数列 ?an ? 的各项均为整数,Sn 为其前 n 项和,且满足 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)试求所有的正整数 m,使得
am +1am ? 2 为数列 ?an ? 中的项. am

a2 a3 ? ? 5 ,S7 ? 7 . a1 4

19.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短半轴长为 2,椭圆 C 上的点到右 焦点的距离的最小值为 5 ? 1 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AOB ? π . 2 ①求证:原点 O 到直线 AB 的距离为定值; ②求 AB 的最小值. O l B A x y

20.设函数 f ? x ? ? a ln x ? bx 2 ,其图象在点 P ? 2 ,f ? 2 ? ? 处切线的斜率为 ?3 . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间(用只含有 b 的式子表示) ; (2)当 a ? 2 时,令 g ? x ? ? f ? x? ? kx ,设 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? ? 0 的两个根, x0 是 x1 , x2 的 等差中项,求证: g' ( x0 ) ? 0 ( g' ( x) 为函数 g ? x ? 的导函数) .

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多做,则 ....... ............ 按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21A. 如图, AB 是圆 O 的直径, D 为圆 O 上一点, 过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C. 若 DA = DC, 求证:AB = 2 BC. D

A

· O

B

C

21B. 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 ? ? 4
? 1 ? ? 2

?? 1

3 ? 4 ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1? 2? ?

? ? x ? 4 ? 2t, ? x ? 5cos ?, ? 21C. 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ( ? 为参数)的左焦点,且与直线 ? ? ? ? y ? 3sin ? ?y ? 3? t

(t 为参数)平行的直线的普通方程.

21D.已知实数 x,y 满足:| x + y | ? 1 , | 2 x ? y | ? 1 ,求证:| y | ? 5 . 3 18 6

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 22.从棱长为 1 的正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,设随机变量 ξ 是这两点间的距离. (1)求概率 P ? ? 2 ; (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ).

?

?

23.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 C: y 2 ? 4 x ,F 为其焦点,点 E 的坐标为(2,0),设 M 为抛物线 C 上异于顶点的动点,直线 MF 交抛物线 C 于另一点 N,链接 ME,NE 并延长分别交 抛物线 C 与点 P,Q. (1)当 MN ? Ox 时,求直线 PQ 与 x 轴的交点坐标; (2)当直线 MN,PQ 的斜率存在且分别记为 k1,k2 时,求证: k1 ? 2k2 .

江苏省南通市 2014 届高三年级第一次模拟考试数学试题
【填空题答案】 1. 2 5 4. 3 4 7. BD(DA) 10. ? ?1,0? 13. ? 1 6 2. 72 5. 2 8. 充分不必要 11.
3

3.

? 0 ,4?

6. ?19 ,21? 9. x2 ? y 2 ? 1 12. 5

14. 15

15、 【解】 (1)因为 a ? (cos ? , sin ? ) ,b ? (cos ? , sin ? ) ,所以 a ? 1, b ? 1 . ??2 分 因为 a ? b ,所以 a·b = 0.??????????????????????4 分 于是 a ? 3b
2

? a 2 ? 3b 2 ? 2 3a ? b ? 4 ,故 a ? 3b ? 2 . ????????6 分

(2)因为 a + b ? ? cos ? ? cos ? ,sin ? ? sin ? ? ? 0 , 3 ,
? ?cos ? ? cos ? ? 0 , 所以 ? ????????????????????????8 分 ? ?sin ? ? sin ? ? 3 .

?

?

由此得 cos ? ? cos ? π ? ? ? ,由 0 ? ? ? π ,得 0 ? π ? ? ? π , 又 0 ? ? ? π ,故 ? ? π ? ? . ?????????????????????10 分 代入 sin ? ? sin ? ? 3 ,得 sin ? ? sin ? ? 3 .??????????????12 分 2 而 0 ? ? ? ? ? π ,所以 ? ? 2π ,? ? π .?????????????????14 分 3 3 16、 【证】 (1)在△PAC 中,因为 E,F 分别是 AP, AC 的中点,所以 EF // PC.???2 分 又因为 EF ? 平面 PBC, PC ? 平面 PBC, 所以 EF // 平面 PBC.??????5 分 (2)连结 CD.因为 ?BAC ? 60? , AD ? AC ,所以△ACD 为正三角形. 因为 F 是 AC 的中点,所以 DF ? AC .???????????????7 分 因为平面 PAC ? 平面 ABC, DF ? 平面 ABC,平面 PAC I 平面 ABC ? AC , 所以 DF ? 平面 PAC. ??????????????????????11 分 因为 DF ? 平面 DEF,所以平面 DEF ? 平面 PAC.??????????14 分 【解】 (1)由题意知,在△OAB 中,
?OAB ? 60o . OA=120, ?AOB ? 30o,

于是 AB ? 60 ,而快艇的速度为 60 海里/小时,

所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 小时. ????????????5 分 (2)由(1)知,给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发与科考船汇合. 为使航行的时间最少,快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行,设 t 小时后恰与 科考船在 C 处相遇.?????????????????????????7 分 在△OAB 中,可计算得 OB ? 60 3 , 而在△OCB 中, BC ? 60 t , OC ? 20(2 ? t ) , ?BOC ? 30 o ,?????????9 分 由余弦定理,得 BC 2 ? OB2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? cos ?BOC , 即 (60t )2 ? 60 3

?

?

2

2 ? ? 20(2 ? t )? ? 2 ? 60 3 ? 20(2 ? t ) ? 3 , 2

亦即 8 t 2 ? 5 t ? 13 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? ? 13 (舍去) .???????????12 分 8 故 t ? 2 ? 3. 即给养快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 小时能和科考船相遇? ?????????14 分 18、 【解】 (1)因为 ?an ? 是等差数列,且 S7 ? 7 ,而 S7 ? 设 ?an ? 的公差为 d,则由

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ,于是 a4 ? 1 .???2 分 2

a2 a3 (1 ? 2d )(1 ? d ) ??5 得 ??5 , a1 4 1 ? 3d 4

化简得 8d 2 ? 27d ? 9 ? 0 ,即 (d ? 3)(8d ? 3) ? 0 ,解得 d ? 3 或 d ? 3 , 8 但若 d ? 3 ,由 a4 ? 1 知不满足“数列 ?an ? 的各项均为整数” ,故 d ? 3 .???5 分 8 于是 an ? a4 ? (n ? 4)d ? 3n ? 11 .????????????????????7 分 (2)因为
am +1am? 2 (am ? 3)(am ? 6) ? ? am ? 9 ? 18 , an ? 3n ? 11 ? 3(n ? 4) ? 1 , ??10 分 am am am am +1am ? 2 为数列 ?an ? 中的项, 18 必须是 3 的倍数, am am

所以要使

于是 am 在 ?1, ? 2, ? 3, ? 6 中取值, 但由于 am ? 1 是 3 的倍数,所以 am ? 1 或 am ? ?2 . 由 am ? 1 得 m ? 4 ;由 am ? ?2 得 m ? 3 . ????????????????13 分 当 m ? 4 时,
am +1am? 2 4 ? 7 a a ? ? a13 ;当 m ? 3 时, m +1 m? 2 ? 1 ? 4 ? a3 . am 1 am ?2

所以所求 m 的值为 3 和 4.??????????????????????16 分 另解:因为
am +1am ? 2 (3m ? 8)(3m ? 5) (3m ? 11)2 ? 9(3m ? 11) ? 18 ? ? am 3m ? 11 3m ? 11

? 3m ? 2 ?
所以要使

18 ? 3m ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 , 3m ? 11 3(m ? 4) ? 1

am +1am ? 2 为数列 ?an ? 中的项, 2 ? 3 ? 3 必须是 3 的倍数, am 3(m ? 4) ? 1

于是 3(m ? 4) ? 1 只能取 1 或 ?2 . (后略)
2 y2 19、 【解】 (1)由题意,可设椭圆 C 的方程为 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,焦距为 2c,离心率为 e. a b

于是 b ? 2 . 设椭圆的右焦点为 F,椭圆上点 P 到右准线距离为 d , 则

AF ? e ? AF ? e ? d ,于是当 d 最小即 P 为右顶点时,PF 取得最小值, d

所以 a ? c ? 5 ? 1 .??????????????????????????3 分
?a ? c ? 5 ? 1 , ?a ? 5 , ? ? ? ?b ? 2 , 因为 ?b ? 2 , ? 2 ?c ? 1 , 2 2 ?a ? b ? c ?

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 .?????????????????????5 分 5 4

(2)①设原点 O 到直线 AB 的距离为 h,则由题设及面积公式知 h ? OA ? OB . AB
?OA ? 5 , ? ? ?OB ? 5 , 当直线 OA 的斜率不存在或斜率为 0 时, ? 或? ? ? ?OB ? 2 ?OA ? 2 .

于是 d ?

2 5 4?5

?

2 5 .????????????????????????7 分 3

? x2 y 2 2 k 2 x2 ? ? ? 1, x 当直线 OA 的斜率 k 存在且不为 0 时,则 ? 5 ? ? ?1, 4 5 4 ? ? y ? kx
1 , ?x 2 ? ?x 2 ? 1 , ? B 1 A 2 ? 12 ? 1?k ? 5 4k ? ? ? 5 4 解得 ? 同理 ???????????????9 分 ? 1 2 2 ? 2 ? y A2 ? k 2 . k . ? yB ? 1 1?k ? 1 ? ? ? 5 4 ? 5 4k 2 ?

在 Rt△OAB 中, h2 ?

OA2 ? OB 2 OA2 ? OB 2 , ? AB 2 OA2 ? OB 2

1 k2 1 ? 1 1 k2 k2 1 ? ? ? 1 OA ? OB 1 1 5 4 ? 5 4k 2 ? 5 4 ? 5 4 ? ? ? 则 2 ? 1 h OA2 ? OB 2 OA2 OB 2 1 ? k 2 1? k2 1? k2 1? 2 k
2 2

1?1 k ? 1?1 ? ? 4 5 ? ? 1 ? 1 ? 9 ,所以 h ? 2 4 5? ?
2

5 3

1? k

2

4

5

20



综上,原点 O 到直线 AB 的距离为定值

2 5 .??????????????11 分 3

1 ? 12 1? k2 ? k 1 ? k2 1 ? 1 ?1 ? k 2 ? 1 ? k12 2 2 5 4k 2 2 OA ? OB 5 4 另解: h ? ? ? 1 OA2 ? OB 2 1 ? ? 1 ? 1 ? 12 ?1 ? k 2 ? 1 1? k2 ? k2 5 4k 2 k 1 ? k2 1 ? 1 5 4 5 4k 2

?

? ?

?

?

?k ?? 1 5 4?
2

1 ?2 2 9 2 5 k ? ? ,所以 h ? . 9 2 9 9 20 3 k ? ? 20 20k 2 10 k2 ?

②因为 h 为定值,于是求 AB 的最小值即求 OA ? OB 的最小值.
OA ? OB ?
2 2

1? 1 ?k ?1 5 4 ? ? 5 4k ?
2 2

?1 ? k ? ?
2

?1 ? k1 ?
2

k 2 ? 12 ? 2 k , ? 1 k 2 ? 1 ? 41 20 20k 2 400

令 t ? k2 ?

1 ,则 t≥2 , k2
t?2 1 ? 20 ? 20t ? 40 ? 20 1 ? , ???????14 分 1 t ? 41 20t ? 41 20t ? 41 20 400

于是 OA2 ? OB2 ?

?

?

因为 t ≥ 2 ,所以 OA2 ? OB2≥20 ? 1 ? 1 ? 1600 , 81 81
40 4 5 40 当且仅当 t ? 2 ,即 k ? ?1 , OA ? OB 取得最小值 ,因而 ABmin ? 9 ? 3 9 2 5 3

?

?

所以 AB 的最小值为

4 5 .??????????????????????16 分 3

20、 【解】 (1)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 ,? ? ? .

f ?? x? ?

a a ? 2bx ,则 f ? ? 2? ? ? 4b ? ?3 ,即 a ? 8b ? 6 . x 2
?2bx 2 ? ?8b ? 6 ? .????????????????????2 分 x

于是 f ? ? x ? ?

①当 b ? 0 时, f ? ? x ? ?

?6 ? 0 , f ? x ? 在 ? 0 ,? ? ? 上是单调减函数; x
4b ? 3 (负舍) , b

②当 b ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上是单调减函数,在 b

?

?

?

4b ? 3 ,? ? 上是单调增函数; b

?

3 ③当 b ? 0 时,若 0 ? b≤ ,则 f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 ? 0 ,? ? ? 上单调减函数; 4
若b ?
4b ? 3 3 ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? (负舍) , b 4

所以 f ? x ? 在 0 , 4b ? 3 上单调增函数,在 b

?

?

?

4b ? 3 ,? ? 上单调减函数; b

?

综上,若 b ? 0 , f ? x ? 的单调减区间为 0 , 4b ? 3 ,单调增区间为 b

?

?

?

4b ? 3 ,? ? ; b

?

3 若 0≤b≤ , f ? x ? 的单调减区间为 ? 0 ,? ? ? ; 4
若b ?

3 , f ? x ? 的单调增区间为 0 , 4b ? 3 ,单调减区间为 b 4

?

?

?

4b ? 3 ,? ? . b

?

??????????????8 分 (2)因为 a ? 2,a ? 8b ? 6 ,所以 b ? 1 ,即 g ? x ? ? 2ln x ? x 2 ? kx .
?2 ln x1 ? x12 ? kx1 ? 0 , ? 因为 g ? x ? 的两零点为 x1 , x2 ,则 ? 2 ? ?2 ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0 ,

相减得: 2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x12 ? x2 2 ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 0 , 因为 x1 ? x2 ,所以 k ? 于是 g' ? x0 ? ?
2 ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2

2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 4 ? 2 x0 ? k ? ? x0 x1 ? x2 x1 ? x2

? x1 ? 2 ?1 ? ? 2 x ? x ? ? ? ? x x 1 2 2 ? 2 ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? 2 ? ? ln 1 ? . x1 ? x2 ? x1 ? x2 x2 ? ? x1 ? x2 ? x1 ? 1 x ? ? ? 2 ?

?

?

??????????????14 分 令t ?
2 ? t ? 1? x1 4 ? ln t ? 2 ? ? ln t , ,t ? ? 0, 1? , ? ? t ? ? t ?1 t ?1 x2
4

则 ?' ? t ? ?

? t ? 1?

2

1 ? ? t ? 1? ? ? ? 0 ,则 ? ? t ? 在 ? 0 , 1? 上单调递减, t t ? t ? 1?2
2

则 ? ? t ? ? ? ?1? ? 0 ,又 21A、 【证】连结 OD,BD,

2 ? 0 ,则 g' ? x0 ? ? 0 .命题得证.??????16 分 x1 ? x2

因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?ADB ? 90o,AB ? 2OB . 因为 DC 是圆 O 的切线,所以 ?CDO ? 90o . 因为 AD = DC,所以 ?A ? ?C .于是△ADB ? △CDO,从而 AB = CO, 即 2OB = OB + BC,得 OB = BC.故 AB = 2 BC.??????????????10 分 21B、 【解】因为 A
?1

A=E,所以 A =(A

?1

)

?1

. ?????????????5 分

因为 A ?1 ? ? 4
? 1 ? ? 2

?? 1

3 ? ?2 3? 4 ? ,所以 A =(A ?1 ) ?1 ? ? ?. ? 2 1? ? 1? 2? ?

于是矩阵 A 的特征多项式为 f (λ) ?

? ?2
?2

?3

? ?1

= λ2-3λ-4, ?????????8 分

令 f (λ) = 0,解得 A 的特征值 λ1 = -1,λ2 =4 .???????????????10 分 21C、 【解】椭圆的普通方程:
x2 y 2 ? ? 1 ,左焦点 F (?4,0) ???????????????3 分 25 9

直线的普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 . ??????????????????????6 分 设过焦点 F (?4,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线为 x ? 2 y ? ? ? 0 将 F (?4,0) 代入 x ? 2 y ? ? ? 0 , ? ? 4. 所求直线的普通方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 .???????????????????10 分 21D、 【证】 3 | y |? | 3 y |? 2( x ? y) ? (2 x ? y) ≤2 | x ? y | ? | 2 x ? y | .?????????????5 分 由题设知| x + y | ? 1 , | 2 x ? y | ? 1 , 3 6 从而 3| y | ≤2 ? 1 ? 1 ? 5 .故| y | ? 5 .???????????????????10 分 18 3 6 6
2 22、 【解】 (1)从正方体的 8 个顶点中任取不同 2 点,共有 C8 ? 28 种.

因为正方体的棱长为 1,所以其面对角线长为 2 , 正方体每个面上均有两条对角线,所以共有 2 ? 6 ? 12 条. 因此 P ? ? 2 ? 12 ? 3 . 28 7

?

?

?????????????????3 分

(2)随机变量 ? 的取值共有 1, 2 , 3 三种情况. 正方体的棱长为 1,而正方体共有 12 条棱,于是 P ?? ? 1? ? 12 ? 3 .?????????5 分 28 7 从而 P ?? ? 3 ? ? 1 ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 . ?????????????7 分 7 7 7 所以随机变量 ? 的分布列是

?
P( ? )

1

2

3

3 7

3 7

1 7

?????????????????????????8 分 因此 E (? ) ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 3 2 ? 3 . 7 7 7 7 23、 【解】 (1)抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点 F(1,0) . 当 MN ? Ox 时,直线 MN 的方程为 x ? 1 . 将 x ? 1 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x ,得 y ? ?2 . 不妨设 M (1,2) , N (?1, 2) , 则直线 ME 的方程为 y ? ?2 x + 4 , ????????????????10 分

? y ? ?2 x ? 4 , 由? 2 解得 x ? 1 或 x ? 4 ,于是得 P(4 , ? 4) . ? y ? 4x

同理得 Q(4 , 4) ,所以直线 PQ 的方程为 x ? 4 . 故直线 PQ 与 x 轴的交点坐标(4,0).??????????????????4 分 (2)设直线 MN 的方程为 x ? my ? 1 , 并设 M ( x1 ,y1 ),N ( x2 ,y2 ),P( x3 ,y3 ), Q( x4 ,y4 ) .
? x ? my ? 1, 2 由? 得y ? 4my ? 4 ? 0 , 2 y ? 4 x ?

于是 y1 y2 ? ?4 ①,从而 x1 x2 ?

y12 y22 ? ? 1 ②. 4 4

设直线 MP 的方程为 x ? t y ? 2 ,
?x ? t y ? 2 , 2 由? 得y ? 4my ? 8 ? 0 , 2 ? y ? 4x

所以 y1 y3 ? ?8 ③, x1 x3 ? 4 ④. 同理 y2 y4 ? ?8 ⑤, x2 x4 ? 4 ⑥. 由①②③④⑤⑥,得 y3 ? 2 y2 ,x3 ? 4 x2 ,y4 ? 2 y1 ,x4 ? 4 x1 .
k2 ? y4 ? y3 2 y1 ? 2 y2 1 y1 ? y2 1 ? ? ? ? k, x4 ? x3 4 x1 ? 4 x2 2 x1 ? x2 2 1

即 k1 ? 2k2 .????????????????????????????10 分



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