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江西省于都县第三中学2015-2016学年高二数学第三次月考试题理(新)



江西省于都县第三中学 2015-2016 年度高二年级第三次月考 数学(理)试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则 z 在复平面上对应的点位于( A. 第一象限
4 2.若 C3 n ? Cn ,则

). D. 第四象限

B. 第二象限

C. 第三象限 ). C.35 D.7

n! 的值为 ( 3!? n ? 3?!
B.20

A.1

3.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为

2 3 和 ,两个零件是否加工 3 4
) D.

为一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( A.

1 2

B.

5 12

C.

1 4

1 6


4.若随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于( A.

2 3

B.

1 3

C. 1

D. 0

5.某单位订阅了 5 份相同 的学习材料发放给 3 个部门, 每个部门至少发放 1 份材料, 问不同 .. 的发放方法有( 6.在二项式 ( x ? A. ?28 7.若函数 f ( x) ? mx ? A. [? ) A. 150 种 B.10 种 C.12 种 ) D. 8 ) D.6 种

1 x

) 8 的展开式中,含 x 5 的项的系数是(
B.28 C. ? 8

x 在区间 [0,1] 单调递增,则 m 的取值范围为(
B. [ ,?? )

1 ,?? ) 2
n

1 2

C. [?2,??)

D. [2,??)
n

2 3 n ? 8.已知 ? 3 x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? ??? ? an x ( n ? ? ) ,设 ? 3 x ? 1? 展开式的

二项式系数和为 Sn ,?n ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an( n ? ? ) ,Sn 与 ?n 的大小关系是 ( A. Sn ? ?n B. Sn ? ?n [来源:Z-xk.Com] D. S n ? ? n

?



C. n 为奇数时, Sn ? ?n , n 为偶数时, Sn ? ?n 9. 电子手表厂生产某批电子手表正品率为

3 1 ,次品率为 ,现对该批电子手表进行测试, 4 4
).
1

设第 X 次首次测到正品,则 P(1 ? X ? 2013) 等于(

A. 1 ? ( )

1 4

2012

B. 1 ? ( )

1 4

2013

C. 1 ? ( )

3 4

2012

D. 1 ? ( )

3 4

2013

10.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c,

?a , b, c ? (0,1)? 错误!未找到引用源。,已知他投篮一次得分的数学期望是 2,则 2 ?
a

1 错 3b 16 3

误!未找到引用源。的最小值为( 32 28 A. B. 3 3

). C.
14 错误!未找到引用源。 3

D.

11.已知函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 错误!未找到引用 源。时, f ( x) ? e x ( x ? 1) 错误!未找到引用源。,给出下列命题: ①当 x ? 0 错误! 未找到引用源。 时,f ( x) ? e x (1 ? x) 错误! 未找到引用源。 函数 f ( x ) 错误!未找到引用源。有 2 个零点 ③ f ( x ) ? 0 错误!未找到引用源。的解集为 ( ?1,0) ? (1,? ?) 错误!未找到引用源。 ④ ?x 1 , x 2 ? R 错误!未找到引用源。,都有 | f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) |? 2 其中正确命题个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 ②

12.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2?? 9 的 9 个 小正方形,使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂 颜色都不相同,且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜 色,则符合条件的所有涂法共有( A.18 B.36 )种 D.108 7 8 9 1 4 2 5 3 6

C.72

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. 如图,正方形的四个顶点为 O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)、C (0,1) , 曲线 y ? x 经过点 B ,现将一质点随机投入正方形中,则质点落在图
2

中阴影区域的概率是____________[来源:学.科网ZXK] 14.已知某一随机变量 X 的概率分布列如下,且 E(X)=7,求 D(X)= X P a 0.1 5 0.3 9 b

15. 将大小相同 5 个不同颜色的小球,放在 A、B、C、D、E 共 5 个盒子中,每个球可以任意 放在一个盒子里,则恰有两个盒子空且 A 盒子最多放 1 个球的放球方法总数为 _____________

16. 关于下列命题:①若一组数据中的每一个数据都加上同一个数后,方差恒不变; ②满足方程 f ?( x) ? 0 的 x 值为函数 f ( x) 的极值点;
2

③命题“p 且 q 为真”是命题“p 或 q 为真”的必要不充分条件; ④若函数 f ( x) ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )的反函数的图像过点 (?1, b) , 则 a ? 2b 的最小值为 2 2 ; ⑤点 P ( x, y ) 是曲线 y 2 ? 4 x 上一动点,则 | x ? 1 | ? x 2 ? ( y ? 1) 2 的最小值是 2 。 其中正确的命题的序号是____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上) 。 三、解答题(本大题共 6 小题,70 分,解答时应写出解答过程或证明步骤) 17.号码为 1、2、3、4、5、6 的六个大小相同的球,放入编号为 1、2、3、4、5、6 的六个 盒子中,每个盒子只能放一个球. (1)若 1 号球只能放在 1 号盒子中,6 号球不能放在 6 号的盒子中,则不同的放法有多少 种? (2)若 5、6 号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中且不与 4 号球相邻,则不同的放法[来源:学科网] 有多少种? 18.袋子里有完全相同的 3 只红球和 4 只黑球,今从袋子里随机取球. (1)若有放回地取 3 次,每次取一个球,求取出 2 个红球 1 个黑球的概率; (2)若无放回地取 3 次,每次取一个球,若取出每只红球得 2 分,取出每只黑球得 1 分. 求得分 ? 的分布列和数学期望. 19.如图(1) ,在等腰梯形 CDEF 中, CB, DA 是梯形的高, AE ? BF ? 2, AB ? 2 2 , 现将梯形沿 CB , DA 折起,使 EF // AB 且 EF ? 2AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如 图(2)示,已知 M , N 分别为 AF , BD 的中点. C D
C N D

B

F

B

图(1)

A

E

F

M

A E

图(2)

(1)求证: MN // 平面 BCF ; (2)若直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值为
2 ,求平面 CDEF 与平面 ADE 所成 2

的锐二面角大小. 20.张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1,L2 两条路线 (如图) ,L1 路线上有 A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为

1 ;L2 路线上有 B1, 2
A1 H
3

B2 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为

3 3 , . 4 5

A2 L1 L2

A3 C B2

B1

⑴若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. ⑵若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; ⑶按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好 的上班路线,并说明理由. [来源:学科网Z-XK]

21. 以椭圆 C :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的中心 O 为圆心, a 2 ? b 2 为半径的圆称为 2 a b

该椭圆的“准圆”.设椭圆 C 的左顶点为 P ,左焦点为 F ,上顶点为 Q ,且满足 PQ ? 2 ,

S ?OPQ ?

6 S ?OFQ . 2

(1)求椭圆 C 及其“准圆”的方程; (2)若椭圆 C 的“准圆”的一条弦 ED (不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 M 、 N 两点, 试证明:当 OM ? ON ? 0 时,试问弦 ED 的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是, 请说明理由.

1 ? x) ? ax, (a ? R), (e ? 2.718281828 ?) 22..已知函数 f ( x) ? ln(
(1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的单调区间及极值; (2)令 g ( x) ? (1 ? a) x ,当 x ? [e ? 1,2] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 求实数 a 的取值范围; (3)令 an ? 1 ?

n ,记数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,求证: Tn ? e2 n 2

4

江西省于都县第三中学 2015-2016 年度高二年级第三次月考 数学(理)试题 [来源:学科网Z-XK] 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B D B A C 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、 2 14、 7.2 15、1020

9 B

10 D

11 B

12 D

16. ①④⑤

3
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
1 4 17.(1)1 号球放在 1 号盒子中,6 号球不能放在 6 号盒子中有 A4 . 5分 A4 =96 (种)

(2)若 5、6 号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中且不与 4 号球相邻,则不同的
2 3 2 放法有 A2 . A3 A4 ? 144 (种)

???10 分

18.(1)从袋子里有放回地取 3 次球,相当于做了 3 次独立重复试验,每次试验取出红球 的概率为

3 4 ,取出黑球的概率为 ,设事件 A ? “取出 2 个红球 1 个黑球” ,则 7 7 3 4 9 4 108 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? 3 ? ? ? . ?????????????6 分 7 7 49 7 343

(2) ? 的取值有四个:3、4、5、6,分布列为:

P(? ? 3) ?

0 3 1 2 C3 C4 4 C3 C4 18 , , ? P ( ? ? 4 ) ? ? 3 3 C7 35 C7 35 1 3 0 C32C4 C3 C4 1 12 , ? P ( ? ? 6 ) ? ? . 3 3 C7 35 C7 35

P(? ? 5) ?
?
P

3

4

5

6

3 35

18 35

12 35

1 35

???? ??????

???????????????????????10 分

4 18 12 1 30 ? 4? ? 5? ? 6? ? .?????12 分 35 35 35 35 7 19.. 解: (1)证明:连 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点. [来源:学科网Z-XK] 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点,故 MN // CF . ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF ,? MN // 平面 BCF .????(4 分)
从而得分 ? 的数学期望 E? ? 3 ? (2)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB ? AE ? A

5

∴ AD ? 平面 ABFE ,过点 E 作 EH ? AB于点H ,连接 DH ? DE 在面 ABCD 上的射影是 DH . 所以 ?EDH 为 DE 与平面 ABCD 所成的角。???????????(6 分) 所以: tan ?EDH ?

HE 2 所以: DH ? 2, DA ? 2 ? DH 2

设 P ? EF 且 AP ? EF ,分别以 AB, AP, AD 所在的直线为 x, y, z 轴建立空间直角 坐标系则 A(0,0,0), D(0,0, 2), E(? 2, 2,0), F (3 2, 2,0)

??? ? ??? ? ??? ? ???? AD ? (0,0, 2), AE ? (? 2, 2,0), DE ? (? 2, 2, ? 2), DC ? (2 2,0,0)
设 m ? ( x, y, z), n ? (r, s, t ) 分别是平面 ADE 与平面 CDFE 的法向量

??

?

?? ???? ? ?m?AD ? 0 令 ? ?? ??? ? ?m?AE ? 0 ?
即?

? ???? ? ?n?DC ? 0 , ? ? ???? , ?n?DE ? 0 ?

? ?2 2 x ? 0 ,? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ?? ? ?? ? ?? ? m?n 1 取 m ? (1,1,0), n ? (0,1,1) 则 cos ? m, n ?? ?? ? ? m ?n 2
? 平面 ADE 与平面 CDFE 所成锐二面角的大小为

? ? 2z ? 0

π . 3


????????(12 分)

20.解: (1)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则

1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? 2 2 2 2
??????3 分

A1 H B1

A2 L1 L2

A3 C B2 [来源:学科网Z-XK]

1 所以走 L1 路线, 最多遇到 1 次红灯的概率为 . 2
(2)依题意, X 的可能取值为 0,1,2.

3 3 1 P( X =0)=(1 ? ) ? (1 ? ) ? , 4 5 10 3 3 3 3 9 P( X =1)= ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? , 4 5 4 5 20 3 3 9 P ( X =2)= ? ? . 4 5 20 随机变量 X 的分布列为: 0 X 1 P 10

1

2

9 20

9 20

6

EX ?

1 9 9 27 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? . 10 20 20 20

??????10 分

(Ⅲ)设选择 L1 路线遇到红灯次数为 Y ,随机变量 Y 服从二项分布, Y ? B (3, ) , 所以 EY ? 3 ?

1 2

1 3 ? . 2 2 因为 EX ? EY ,所以选择 L2 路线上班最好.

??????12 分

21.解: (1)设椭圆 C 的左焦点 F ( ? c ,0), c ? 0 ,由 S ?OPQ ?

6 6 S ?OFQ 得 a ? c ,又 2 2

PQ ? 2 ,即 a 2 ? b 2 ? 4 且 b 2 ? c 2 ? a 2 ,所以 a 2 ? 3, b 2 ? 1 ,
x2 ? y 2 ? 1 ;椭圆 C 的“准圆”方程为 x 2 ? y 2 ? 4 .???4 分 3 (2)设直线 ED 的方程为 y ? kx ? b ( k , b ? R ) ,且与椭圆 C 的交点
则椭圆 C 的方程为

M ( x 1 , y1 )、N ( x 2 , y 2 ) ,
? y ? kx ? b ? 联列方程组 ? x 2 ? y2 ? 1 ? ? 3
由 x1 ? x 2 ? 代入消元得: (1 ? 3k ) x ? 6kbx ? 3b ? 3 ? 0
2 2 2

? 6kb 3b 2 ? 3 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

???6 分

可得 y 1 y 2 ? ( kx 1 ? b )( kx 2 ? b ) ?

b 2 ? 3k 2 由 OM ? ON ? 0 得 x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 即 1 ? 3k 2

3 3b 2 ? 3 b 2 ? 3k 2 4b 2 ? 3k 2 ? 3 ? ? ? 0 , 所以 b 2 ? ( k 2 ? 1) ???8 分 2 2 2 4 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k
此时 ? ? 36k b ? 4(1 ? 3k )(3b ? 3) ? 27 k ? 3 ? 0 成立,
2 2 2 2 2

则原点 O 到弦 ED 的距离 d ?

b k ?1
2

?

b2 ? k2 ?1

3 3 ,[来源:学*科网] ? 4 2

3 3 ,则 ED ? 2 4 ? ? 13 , 4 2 22.解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x, ( x ? ?1)
得原点 O 到弦 ED 的距离为

? f ?( x) ?

1 ?x ?1 ? 当 x ? (?1,0) 时 f ?( x) ? 0 ;当 x ? (0,??) 时 f ?( x) <0 1? x 1? x

∴当 x ? 0 时 f 极大值 ( x) ? f (0) ? 0 ,无极小值, 且函数 f ( x) 的单调增区间为 (?1,0) ,单调减区间为 (0,??) ; 4分

(2)当 x ? [e ? 1,2] 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立等价于 ln(1 ? x) ? (1 ? 2a) x ≥0 即: 1 ? 2a ?

ln(1 ? x) ln(1 ? x) , x ? [e ? 1,2] , 恒成立。令 ? ( x) ? x x

7

x ? ln(1 ? x) 1 ? x ?? ?( x) ? x2
当 x ? [e ? 1,2] 时,

x ln 3 ? 1, ln(1 ? x) ? 1 则: ? ?( x) ? 0 ? ? min ( x) ? ? (2) ? 1? x 2 2 ? ln 3 2 ? ln 3 ,?? ) 则实数 a 的取值范围 [ 4 4
9分

?1 ? 2a ?

ln 3 2

?a ?

1 ? x) ? x ? 0 , (3)由(1)得:当 x ? 0 时, f ( x) 在区间 (0,??) 单调递减,则: ln(
即: ln(1 ? x) ? x,? ln a n ? ln(1 ? 则: ln a1 ? ln a 2 ? ? ? ln a n ? 记: M n ?

n n )? n , n 2 2

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2


1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n 2 2 2 2

1 1 2 n ?1 n ? M n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2
① - ② 得 :



1 1 1 1 n M n ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2

1 1 n ? M n ? 1 ? n ? n ?1 2 2 2
1

?Mn ? 2 ?
22.

n?2 ?2 2 n ?1

? ln Tn ? 2 则: Tn ? e 2

8



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