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湖北省黄冈中学2011年秋季高二期中考试


湖北省黄冈中学 2011 年秋季高二期中考试 数学试题(理科)

命题人:夏泊凌 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是满足题目要求的. 1、下列说法中正确的是( )

A.若事件 A 发生的概率为 P(A),则 0<P(A)<1 B.5 张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,则甲抽到有奖奖券的可能性大些

C.某种彩票的中奖概率为

,则买 1000 张这种彩票一定能中奖

D.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件 2、从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8g 的概率为 0.3,质量小于 4.85g 的 概率为 0.32,则质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是( A.0.02 C.0.62 B.0.38 D.0.68 ) )

3、从 1 到 10 的正整数中,任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是( A.10 B.25

C.20

D.15

4、四名志愿者和他们帮助的两名老人排成一排照相,要求两名老人必须站在一起,则 不同的排列方法为( A. )种. B.

C.

D.

5、如图是歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为 数字 0~9 中的一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均 数分别为 a ,a ,则有(
1 2



A.a >a
1

2

B.a =a
2 1

1

C.a >a
2

1

D.a 、a 的大小不确定
2

6、某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 8,12,10,11,9.若这组数 据的平均数为 x,方差为 y,则|x-y|的值为( A.0 C.4 B.2 D.8 ) )

7、已知α ,β ,γ 是不重合平面,a,b 是不重合的直线,下列说法正确的是( A.“若 a∥b,a⊥α ,则 b⊥α ”是随机事件 B.“若 a∥b,a α ,则 b∥α ”是必然事件 C.“若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ⊥β ”是必然事件

D.“若 a⊥α ,a∩b=P,则 b⊥α ”是不可能事件 8、如下图所示,输出的 n 为( )

A.3 C.4

B.6 D.5

9、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何 体的体积是( )

A. cm

3

B. cm

3

C. cm

3

D. cm

3

10、已知正项等比数列{a }满足:
n

,若存在两项



,使得





的最小值为(



A.

B.

C.

D.不存在
显示提示

1、D 3、B

2、A

解析: 当且仅当偶数加上奇数后和为奇数, 从而不同情形有 5×5=25 (种) . 4、B 解析:两位老人站在一起的方法有 在一起共有 5、C 解析:∵甲、乙分数在 70、80、90 各分数段的打分评委人数一样多,故只 须看个位数的和,甲的个位数总和为 20,乙的个位数总和为 25,∴a >a .
2 1

种,将两位老人与其他四名志愿者排 种.

种方法,∴符合题意的排列方法有

6、D 解析:x=10,y=2,∴|x-y|=8. 7、D 解析:a∥b,a⊥α b⊥α ,故 A 错;a∥b,a α b∥α 或 b α ,故 B

错;当α ⊥γ ,β ⊥γ 时,α 与β 可能平行,也可能相交(包括垂直),故 C 错; 如果两条直线垂直于同一个平面,则此二直线必平行,故 D 为真命题. 8、D

解析:程序依次运行过程为:n=0,S=0;

n=1,

;n=2,



n=3,

;n=4,



n=5, 9、C 10、A

;此时输出 n 的值 5.

解析:∵{a }为等比数列,a >0,a =a +2a ,∴a q =a q +2a q ,
6 5 4 n n 7 6 5 1 1 1

∴q -q-2=0,∴q=-1 或 2,∵a >0,∴q=2,
2 n

∵ ∴q
m+n-2

,∴a q ·a q =16a ,
m-1 n-1 2 1 1 1

=16,即 2

m+n-2

=2 ,∴m+n=6,
4



+ = (m+n)



≥ ,等号在



,即 m=

2,n=4 时成立. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、点 P(2,-3,-5)关于 y 轴对称的点的坐标为__________. 12、某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职 工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1-5 号,6-10 号,?,196- 200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是__________. 13、用秦九韶算法计算多项式 f(x)=8x +5x +3x +2x+1 在 x=2 时的值时,v =
4 3 2 2

__________. 14、若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,则关于 x 的一元二次方程 x -2ax+b =0 无实根的概率为__________.
2 2

15、某校在高二年级开设选修课,其中数学选修课开三个班.选课结束后,有 4 名同学 要求改修数学,但每班至多可再接收 2 名同学,则不同的分配方案有__________种.
显示答案

11、(-2,-3,5) 12、37 解析:由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,所以 第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 13、45 解析:v =8;v =8×2+5=21;v =21×2+3=45.
0 1 2

14、 解析:当 a≥0,b≥0 时,由方程 无实根,得 a<b.基本事

件共 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个 数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件中包含 3 个基本事件,事件发生 的概率为 15、54 解析:依题意,就要求改修数学的 4 名同学实际到三个班的具体人数分类计 数: 第一类, 其中一个班接收 2 名, 另两个班各接收 1 名, 分配方案共有 =36(种);第二类,其中一个班不接收,另两个班各接收 2 名,分配方案共有 =18(种).因此,满足题意的不同的分配方案有 36+18=54(种). .

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 16、(本小题满分 12 分)某校高二数学竞赛初赛考试后,对 90 分以上(含 90 分)的 成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若 130~140 分数段的人数为 2 人.

(1)估计这所学校成绩在 90~140 分之间学生的参赛人数; (2)估计参赛学生成绩的众数、中位数和平均数.

显示答案

16、解析:(1)设 90~140 分之间的人数是 n,由 130~140 分数段的人数 为 2 人,可知 0.005×10×n=2,得 n=40. (2)参赛学生成绩的众数的估计值为 115 分;

中位数的估计值为 平均数的估计值为

分; 分.

17、(本小题满分 12 分)如下图是某种算法的程序,回答下面的问题: (1)写出输出值 y 关于输入值 x 的函数关系式 f(x);

(2)当输出的 y 值小于 时,求输入的 x 的取值范围.

显示答案

17、解析:(1)由题知,

(2)∵f(x)< ,

∴①当 x≤0 时,1-3 < ,即 3 > ,∴x>-1,此时-1<x≤0,
x x

②当 x>0 时,

< ,x< ,此时 0<x< ,

综上所述,x 的取值范围为(-1, ). 18、(本小题满分 12 分)已知 f (x)=(1+x) +(1+2x) (m,n∈N )的展开式
m n *

中 x 的系数为 11. (1)求 x 的系数的最小值;
2

(2)当 x 的系数取得最小值时,求 f (x)展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.
2

显示答案

18、解析:(1)由已知

+2

=11,∴m+2n=11,x 的系数为
2

+2

2



+2n(n-1)



+(11-m)(

-1)

=(m- ∵m∈N ,
*

)+
2

.

∴m=5 时,x 的系数取最小值 22,此时 n=3.
2

(2)由(1)知,当 x 的系数取得最小值时,m=5,n=3,
2

∴f(x)=(1+x) +(1+2x) .
5 3

设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a +a x+a x +?+a x ,
2 5 0 1 2 5

令 x=1,a +a +a +a +a +a =2 +3 ,
5 3 0 1 2 3 4 5

令 x=-1,a -a +a -a +a -a =-1,
0 1 2 3 4 5

两式相减得 2(a +a +a )=60,
1 3 5

故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30.

19、(本小题满分 12 分)已知

是边长为 1 的正方体,求:

(1)直线 AC 与平面 AA B B 所成角的正切值;
1 1 1

(2)二面角 B—AC —D 的大小;
1

(3)点 A 到平面 BDC 的距离.
1

显示答案

19、解析:(1)连结

,∵

是正方体.







在平面

上的射影.



就是

与平面

所成的角.



中,



∴直线

与平面

所成的角的正切值为



(2)过 作

,垂足为 ,连结





















是二面角

的平面角.



中,





∴ ∴二面角

,即 的大小为

. .

(3)设点 到平面

的距离为 h









,即 到平面

的距离为



20、(本小题满分 13 分)已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 ,D 是 AB 的中点.

(1)求动点 D 的轨迹 C 的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 P、Q, ①当|PQ|=3 时,求直线 l 的方程; ②设点 E(m,0)是 x 轴上一点,求当 · 恒为定值时 E 点的坐标及定值.

显示答案

20、解析:(1)设 D(x,y),A(a,a),B(b,-b),

∵ D 是 AB 的中点,∴x=

,y=



∵ |AB|=2
2

,∴(a-b) +(a+b) =12,
2 2 2 2 2

∴(2y) +(2x) =12,∴点 D 的轨迹 C 的方程为 x +y =3. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,P(1, ),Q(1,- ),

此时|PQ|=2

,不符合题意;

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1),

由于|PQ|=3,所以圆心 C 到直线 l 的距离为







,解得 k=

.故直线 l 的方程为 y=

(x-1).

②当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1),



消去 y 得(k +1)x -2k x+k -3=0,
2 2 2 2

设 P(x ,y ),Q(x ,y ),则由韦达定理得
1 1 2 2

x +x =
1 2

,x x =
1 2





=(m-x ,-y ),
1 1

=(m-x ,-y ),
2 2


2

·

=(m-x )(m-x )+y y
1 2 1

2

=m -m(x +x )+x x +y y
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

2

=m -m(x +x )+x x +k (x -1)(x -1)
1 2

=m -
2



+k (
2



+1)



要使上式为定值须

=1,解得 m=1,



·

为定值-2,

当直线 l 的斜率不存在时 P(1,

),Q(1,-

),

由 E(1,0)可得

=(0,-

),

=(0,

),



·

=-2,

综上所述当 E(1,0)时,

·

为定值-2.

21、(本小题满分 14 分)已知 f (x)=m (m 为常数,m>0 且 m≠1).设 f(a ),f
x 1

(a ),?,f(a ),?(n∈N)是首项为 m ,公比为 m 的等比数列.
2 2 n

(1)求证:数列{a }是等差数列;
n

(2)若 b =a f(a ),且数列{b }的前 n 项和为 S ,当 m=3 时,求 S ;
n n n n n n

(3)若 c = f(a )lg f(a ),问是否存在 m,使得数列{c }中每一项恒不小于它
n n n n

后面的项?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
显示答案

21、解析:(1)由题意 f(a )=m ·m ,即
2 n-1 n

=m .
n+1

∴a =n+1,∴a -a =1,∴数列{a }是以 2 为首项,1 为公差的等差数列.
n n+1 n n

(2)由题意 b =a f(a )=(n+1)·m ,
n+1 n n n

当 m=3 时,b =(n+1)·3 ,
n+1 n

∴S =2·3 +3·3 +4·3 +?+(n+1)·3
2 3 4 n

n+1



①式两端同乘以 3 得, 3S =2·3 +3·3 +4·3 +?+n·3 +(n+1)·3
3 4 5 n+1 n n+2



②-①并整理得, 2S =-2·3 -3 -3 -3 -?-3 +(n+1)·3
2 3 4 5 n+1 n 2 2 3 4 n+1 n+2

=-3 -(3 +3 +3 +?+3 )+(n+1)·3

n+2

=-3 -
2

+(n+1)·3

n+2

=-9+ (1-3 )+(n+1)·3
n

n+2

=(n+ )3 - .
n+2

∴S = (2n+1)3 - .
n+2 n

(3)由题意 c =f(a )·lg f(a )=m ·lgm
n+1 n n n

n+1

=(n+1)·m ·lgm,
n+1

要使 c ≥c 对一切 n∈N 成立,即(n+1)·m ·lgm≥(n+2)·m ·lgm,
* n+1 n+2 n n+1

对一切 n∈N 成立,
*

①当 m>1 时,lgm>0,所以 n+1≥m(n+2),即 m≤ 立,

对一切 n∈N 成
*

因为 况不存在.

=1-

的最小值为 ,所以 m≤ ,与 m>1 不符合,即此种情

②当 0<m<1 时,lgm<0,所以 n+1≤m(n+2),即 m≥ 成立,因为 不存在. 综上,不存在 m,使数列{c }中每一项恒不小于它后面的项.
n

对一切 n∈N

*

=1-

<1,所以 m≥1,与 0<m<1 不符合,即这种情况也

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