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1.3三角函数的图象与性质(导学案)



§1.3 三角函数的图像和性质(导学案)
编写人:张涛 校对:高二数学备课组 班级 姓名 2.五点作图法一般步骤: 【高考要求】 : 1.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义和周期,并能画出三角函数的图像; 2.了解任意角的三角函数线的含义; 3.理解正弦函数、余弦函数在[0, 2? ],正切函数在 ( ? , ) 上的性质(周期、单调性、最大和 最小值、图像与

x 轴的交点等) ; 4.了解函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的实际意义,能用“五点法”画出函数的简图,知道参数 A, ?, ? 对函数图像变化的影响。 【知识复习与自学质疑】 1.三角函数的两域四性: y ? sin x 函数 图象 大致 形态

?? ? 例如用五点作图法作函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的函数图象. 4? ?

? ? 2 2

3.图像变换问题--————由函数 y ? sin x ? y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 图象的基
本步骤: 变换方法一: (1)平移变换: y

? sin x ? y ? sin(x ? ? ) ,____________________________________. ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(?x ? ? ) ,_______________________________. ? sin(?x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) ______________________________. y ? sin ? x ,_______________________________.

y ? cos x

y ? tan x

(2)伸缩变换: y (3)振幅变换: y 变换方法二:

(1)伸缩变换: y ? sin x ? 定义域 值域 单调 区间 奇偶性 周期性

(2) 平移变换:y ? sin ? x ? y ? sin(? x ? ? ) , ____________________________________. (3)振幅变换: y

? sin(?x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) ______________________________.

反过来, y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) ? y ? sin x 怎样变换? 函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0, ? ? 0 )中 A , ?, ? 的物理意义:

对 称 性

对 称 轴 方 程 对 称 中 心 坐 标

【例题精讲】 题型一:函数图象的变换问题. 例1. 将函数 y ? sin x 的图象上各点向左平行移动 的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度, 再把所得图象上所有点 3

1 倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点纵坐标伸长到原 2

来的 3 倍,横坐标不变,所得图象的解析式是______________________________.

例 2.⑴为了得到函数 y ? sin(2 x ?

? ? (A)向右平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 6 3 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向左平移 个单位长度 6 3

? ) 的图象,可以将函数 y ? cos2x 的图象( 6



题型四:周期性和对称性问题 例1. 函数

y ? 4 sin(2 ? x

?
3

)( ? R 的 对 称 轴 是 直 线 _________________ , 对 称 中 心 是 x )

________,单调减区间是______________.

⑵把函数 y ? cos x ? 3 sin x 的图象向左平移 m 个单位(m>0),所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( )

例 2.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 cos x ?
2

1 3 ( x ? R) . (1)求 f (x) 的最小正周期; 2

? (A) 6

? (B) 3

2? (C) 3

5? (D) 6

(2)求 f (x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

题型二: y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0)函数解析式的确定 .

题型五:函数取得最大值时变量 x 的集合。 例 1.求函数 y ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1, ? x ? R ? 的最大值、最小值和最小正周期,并求这个函数取 3?

最大值、最小值的 x 值的集合。

例 2. 求函数 y ? 2cos ? 2 x ? 题型三:单调区间问题 例 1.已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距 离等于 ? ,求 f ( x ) 的单调递增区间。

? ?

??

? ? 1, ? x ? R ? 的最大值、最小值和最小正周期,并求这个函数 3?

取最大值、最小值的 x 值的集合。

例 2.已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x .求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递 12 ?

增区间.

例 3 设 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x
2 2

(1)求 f(x)的最小正周期 (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f(x)的最小值及相应的 x 值。



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