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天津市2009届高三数学试题分类汇编——概率统计



一、选择题 1(汉沽一中 2008~2009 届月考文 9).面积为 S 的△ABC,D 是 BC 的中点,向△ABC 内部投 一点,那么点落在△ABD 内的概率为 ( A.
1 3

B D.
1 6

)

B.

1 2

C.

1 4

2 (汉沽一中 2008~2009 届月考文 2) 要从其中有 50 个红球的 1000 个形状相同的球中, . 采用按颜色分层抽样的方法抽取 100 个进行分析,则应抽取红球的个数为(A ) A.5 个 B.10 个 C.20 个 D.45 个

3(汉沽一中 2008~2009 届月考文 9).面积为 S 的△ABC,D 是 BC 的中点,向△ABC 内部投 一点,那么点落在△ABD 内的概率为 ( A.
1 3

B D.
1 6

)

B.

1 2

C.

1 4

4(汉沽一中 2008~2009 届月考文 4) 、某市有高中生 3 万人,其中女生 4 千人.为调查学生 的学习情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 人的样本,则样本中女生的数量为 A.30 B.25 C.20 D.15 4【答案】C 【命题意图】本题主要考查对统计学中的分层抽样的理解。 【解析】设样本中女生的数量为 x ,则
150 30000 ? x 4000 ? x ? 20

二、填空题 1(2009 年滨海新区五所重点学校联考文 14) .某中学高中部有三个年级,其中高三有 600 人,采用分层抽样抽取一个容量为 45 的样本。已知高一年级抽取 15 人,高二年级抽取 10 人,则高中部的总人数是 1350 2(汉沽一中 2008~2009 届月考理 10) .某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校 的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时间相同,因此,该学生不能同时报考这两所学 校.则该学生不同的报名方法种数是 .(用数字作答) 16 . 3(汉沽一中 2008~2009 届月考文 11)、为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查 了 20 位 工 人 某 天 生 产 该 产 品 的 数 量 . 产 品 数 量 的 分 组 区 间 为 ? 4 5 , 5? 5,

? 5 5, 6 5 ? , ? 6 5, 7 5 ? , ? 7 5, 8 5 ? , ? 8 5, 9 5 ? 由此得到频率分布直方图如下图,则这
中一天生产该产品数量在 ? 5 5, 7 5 ? 的人数是 .

20 名工人

【答案】13 【命题意图】本题主要考查用样本的频率分布估计总体分布以及考查学生的识图能力.

【解析】 2 0 ? (0 .0 6 5 ? 1 0 ) ? 1 3 4(和平区 2008 年高考数学(文)三模 11). 为了让人们感知塑料袋对环境造成的影响, 某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量, 结果如下 (单位: : 个) 33,25,28,26,25,31,如果该班 45 名学生。那么根据提供的数据,估计本周全班同学 各家丢弃塑料袋的总数量约为 。1260 5(2009 年滨海新区五所重点学校联考理 16) .给定下列结论: ①在区间 ( 0 ,1) 内随机地抽取两数 x , y . 则满足 y ? 2 x 概率是
3 4


a b ? 3;

②已知直线 l1: ax ? 3 y ? 1 ? 0 ,l2:x- by + 1= 0,则 l 1 ? l 2 的充要条件是 ③为了解一片经济林的生长情况, 随机测量了其中 100 株树木的底部周 长(单位:cm) 。根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右) , 那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是 70 株; ④极坐标系内曲线 ? ? 2 sin ? 的中心 O 与点 D ? 1, ? ? 的距离为 2 . 以上结论中正确的是_____________________(用序号作答) 16. ①③ ④ 三、解答题

1(汉沽一中 2008~2009 届月考文 16)(本小题满分 12 分)将 A 、 B 两枚骰子各抛掷一次, . 观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (3)两数之和是 3 的倍数的概率是多少? 解: (1)共有 6 ? 6 ? 36 种结果; (2)共有 12 种结果; (3) P ?
12 36 ? 1 3

??????????????4 分 ??????????????8 分 ???????????????12 分



2(2009 年滨海新区五所重点学校联考理 18)(本题满分 12 分)甲、乙两人进行摸球游戏, . 一袋中装有 2 个黑球和 1 个红球。规则如下:若一方摸中红球,将此球放入袋中,此人继续 摸球; 若一方没有摸到红球, 将摸到的球放入袋中, 则由对方摸彩球。 现甲进行第一次摸球。 (Ⅰ)在前三次摸球中,甲恰好摸中一次红球的所有情况; (Ⅱ)在前四次摸球中,甲恰好摸中两次红球的概率。 ; (Ⅲ)设 ? 是前三次摸球中,甲摸到的红球的次数, 求随机变量 ? 的概率分布与期望。 解: (Ⅰ) 甲红甲黑乙红黑均可;甲黑乙黑甲红。。。。。 分 。。。。。2

(Ⅱ) p ?

14 81

。。。。。。。。6 分 。。。。。。。 。。。。。每求对一个 1 分共 4 分,表 1 分, E ? 1 分共 6 分 。。。。 0
14 27

(Ⅲ) 设 ? 的分布是
?

1
10 27

2
2 27

3
1 27

P E? =
17 27

。。。。。。。。12 分 。。。。。。。

3(2009 年滨海新区五所重点学校联考文 18)(本小题满分 12 分)某商场举行抽奖活动, . 从装有编号 0,1,2,3 四个小球的抽奖箱中,每次取出后放回,连续取两次,取出的两个 小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (Ⅰ)求中三等奖的概率; (Ⅱ)求中奖的概率. 解: 设“中三等奖”的事件为 A, “中奖”的事件为 B,从四个小球中有放回的取两个共有 (0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,0) , , , , , , , , , (2,1)(2,2)(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)16 种不同的方法。?3 , , , , , , 分 (Ⅰ)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种: (0,3)(1,2)(2,1)(3,0)???????4 分 、 、 、 故
P ( A) ? 4 16 ? 1 4

??????????????6 分

(Ⅱ)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种。 两个小球相加之和等于 4 的取法有 3 种: (1,3)(2,2)(3,1) , , 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种: (2,3)(3,2), ??????9 分 , 由互斥事件的加法公式得
P(B) ? 4 16 ? 3 16 ? 2 16 ? 9 16

??????12 分

4(汉沽一中 2008~2009 届月考理 16)(本小题满分 12 分) . 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落.小球在下落过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落 入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下 落的概率都是
1 2

.
A

(Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A ) ; (Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为落入 A 袋中小球的个数,试求 ? ? 3 的概率和 ? 的数学期望 E ? .

B

解: (Ⅰ)解法一:记小球落入 B 袋中的概率 P ( B ) ,则 P ( A ) ? P ( B ) ? 1 ,

由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入 B 袋,所以
1 3 1 3 1 ‘????????????????????????? 2 分 P(B) ? ( ) ? ( ) ? 2 2 4 ? P ( A) ? 1 ? 1 4 ? 3 4

.

???????????????????????? 5 分

解法二:由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向 右下落时小球将落入 A 袋.
3 1 1 3 2 1 3 , ? P ( A) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ? 2 2 4

???????????? 5 分 ?????????????????? 7 分 ??????????????? 10 分 ???????????? 12 分

(Ⅱ)由题意, ? ~ B ( 4 , ), 所以有
4 27 3 3 3 1 1 P (? ? 3 ) ? C 4 ( ) ( ) ? 4 4 64 ? E? ? 4 ? 3 4 ? 3 .

3



5(汉沽一中 2008~2009 届月考文 16)(本小题满分 12 分) 、 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下: 甲: 512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙:515 558 521 543 532 559 536 548 527 531

(1)用茎叶图表示两学生的成绩; (2)分别求两学生成绩的中位数和平均分. 【命题意图】本题主要考查茎叶图、中位数和平均分以及考查学生对数据的处理能力. 【解析】 (1)两学生成绩绩的茎叶图如图所示 :??6 分 (2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为: 甲: 512 522 528 534 536 538 541 549 554 556 ??7 分 乙:515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 ??8 分 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为 9分 乙学生成绩的中位数为
532 ? 536 2 ? 534 536 ? 538 2 ? 537

??

??

10 分 甲学生成绩的平均数为:
500 ? 12 ? 22 ? 28 ? 34 ? 36 ? 38 ? 41 ? 49 ? 54 ? 56 10 ? 537

??11 分

乙学生成绩的平均数为:
500 ? 15 ? 21 ? 27 ? 31 ? 32 ? 36 ? 43 ? 48 ? 58 ? 59 10 ? 537

??12 分

6(汉沽一中 2008~2009 届月考文 17)(本小题满分 14 分) 、 某射手在一次射击中命中 9 环的概率是 0.28,命中 8 环的概率是 0.19,不够 8 环的概 率是 0.29,计算这个射手在一次射击中命中 9 环或 10 环(最高环数)的概率. 17【命题意图】本题主要考查互斥事件、对立事件、概率的基本性质以及考查学生用概 念和公式规范解题的能力. 【解析】记这个射手在一次射击中“命中 10 环或 9 环”为事件 A, “命中 10 环、9 环、 8 环、不够 8 环”分别记为 B、C、D、E. ??1 分 则 P ( C ) ? 0 .2 8 , P ( D ) ? 0 .1 9 , P ( E ) ? 0 .2 9 ??2 分

∵C、D、E 彼此互斥, ??3 分 ∴P(C∪D∪E)=P(C)+P(D)+P(E)=0.28+0.19+0.29=0.76. ??7 分 又∵B 与 C∪D∪E 为对立事件, ??8 分 ∴P(B)=1-P(C∪D∪E)=1-0.76=0.24. ??10 分 B 与 C 互斥,且 A=B∪C, ??11 分 ∴P(A)=P(B+C)=P(B)+P(C) =0.24+0.28=0.52. ??13 分 答:某射手在一次射击中命中 9 环或 10 环(最高环数)的概率为 0.52. ??14 分 7(汉沽一中 2008~2008 学年月考理 15)(本小题满分 13 分) . 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P (? ? 0 ) ? (I) 求文娱队的人数; (II) 写出 ? 的概率分布列并计算 E ? . 解:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是 (7-2 x)人. (I)∵ P (? ? 0 ) ? P (? ? 1) ? 1 ? P (? ? 0 ) ? ∴ P (? ? 0 ) ?
C 7 ? 2x C
2 7?x 2

7 10



7 10



3 10

.??????????????3 分



?

3 10





( 7 ? 2x )( 6 ? 2x ) ( 7 ? x )( 6 ? x )

?

3 10



∴x=2.

??????????????5 分

故文娱队共有 5 人.??????????????7 分

(II) ? 的概率分布列为
?

0
3 10

1
4 5
1

2
1 10

P
P ( ? ? 1) ?

C2 ?C4
1

C C2 C
2 5 2

2 5

?

4 5

,??????????????9 分

P (? ? 2 ) ?

?

1 10

,??????????????11 分
4 5 1 10

∴ E? ? 0 ?

3 10

? 1?

? 2?

=1.

??????????13 分

8(和平区 2008 年高考数学(文)三模 18). (本小题满分 12 分) 有甲、乙、丙三种产品,每种产品的测试合格率分别为 0.8,0.8 和 0.6,从三种产品 中各抽取一件进行检验。 (1)求恰有两件合格的概率; (2)求至少有两件不合格的概率。 解: (1)设从甲、乙、丙三种产品中各抽出一件测试为事件 A,B,C,由已知 P(A) =0.8,P(B)=0.8,P(C)=0.6 则恰有两件产品合格的概率为
P ( AB C ? A B C ? A BC ) ? P ( AB C ) ? P ( A B C ) ? P ( A BC )
? 0 . 256 ? 0 . 096 ? 0 . 096 ? 0 . 448 (6 分)

(2)三件产品均测试合格的概率为
P ( ABC ) ? 0 . 8 ? 0 . 8 ? 0 . 6 ? 0 . 384 (8 分)

由(1)知,恰有一件测试不合格的概率为
P ( AB C ? A B C ? A BC ) ? 0 . 448 (10 分)

所以至少有两件不合格的概率为
1 ? [ P ( ABC ) ? 0 . 448 ] ? 0 . 168 (12 分)

9(和平区 2008 年高考数学(理)三模 18). (本小题满分 12 分) 有一批数量很大的产品,其次品率是 10%。 (1)连续抽取两件产品,求两件产品均为正品的概率; (2)对这批产品进行抽查,每次抽出一件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽 查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过 4 次,求抽查次数 ? 的分布列及期望。 18. (本小题满分 12 分) 解: (1)两件产品均为正品的概率为
P ? 9 10 ? 9 10 ? 81 100

(3 分)

(2) ? 可能取值为 1,2,3,4
P ( ? ? 1) ? 1 10 9

; P (? ? 2 ) ?
? 9 10 ? 9 10 ?

9

?

1 10

?

9 100

; P (? ? 3 ) ?

9 10

?

9 10

?

1 10

?

81 1000

P (? ? 4 ) ?

10 729
1000

(9 分)

10

所以次数 ? 的分布列如下

(10 分) ∴ E? ? 1?
1 10 ? 2? 9 100 ? 3? 81 1000 ? 4? 729 1000 ? 3 . 439 (12 分)



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