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2.1值域的求法课件(苏教版必修1)



一、配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值 域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1]. [6, 11]; [2, 6]; [3, 6]. [2, 11];

二、换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数 函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方 法(关注新元范围). 例2 求下列函数的值域: 3 (1) y=x- x-1 ; [ 4 , +∞ ) (2) y=x+ 2-x2 ; [- 2 , 2]

三、判别式法
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函 数的值域. dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). x2-x 例5 求函数 y = 2 的值域. [1- 2 33 , 1+ 2 33 ] x +x+1

例6 求下列函数的值域: 2-2x+5 2x x (1)y= 2 ; (2)y= (x>1) . x 1 x +1 [-1, 1] [4, +∞)

值域课堂练习题
1.求下列函数的值域: (1) y= 3x+1; x- 2 (2) y=2x+4 1-x ;

(1)(-∞, 3)∪(3, +∞) (2)(-∞, 4]
(3)[-1, 2 ] (4)[3, +∞)

(3) y=x+ 1-x2 ; (4) y=|x+1|+ (x-2)2 ;

2-x-2 2 x (6) y= 2 ; x +x+1

1+2 13 1 2 13 (6)[ 3 , 3 ]

(8) y=x+ x+1 ;

(8)[-1, +∞)

2+8x+n mx 2.若函数 f(x)=log3 的定义域为 R, 值域为[0, 2], 2 x +1 求 m 与 n 的值. 解: ∵f(x) 的定义域为 R, ∴mx2+8x+n>0 恒成立. mx2+8x+n , 则 1≤y≤9. ∴△=64-4mn<0 且 m>0. 令 y= x2+1 mx2+8x+n 问题转化为 x∈R 时, y= 的值域为[1, 9]. 2 x +1 变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,

当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0. 整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0. m+n=1+9, 依题意 mn-16=1×9, 解得 m=5, n=5. 当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件. 故所求 m 与 n 的值均为 5.

? 求函数值域方法很多,常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法(数形结合法)、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 具有极强的针对性,每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题, 必须熟练掌握各种技能技巧,根据特点 选择求值域的方法,下面就常见问题进 行总结。

1 例1 求函数 y ? x ? x ? (?1 ? x ? 1)的值域。 2
2

分析:本题是求二次函数在区间上的值域问题, 可用配方法或图像法求解。

1 2 3 解:y ? ( x ? ) ? ,? x ? ? ?1,1? , 2 4 1 3 3 ? x= ,ymin ? ? , x ? ?1, ymax ? , 2 4 2
如图, ∴y∈[-3/4,3/2].
-1

y

3/2

o 1/2
1 -3/4 x

例2 求函数

x ? x ?1 y= 2 的值域。 2x ? 2x ? 3
2

分析:函数是分式函数且都含有二次项,可用判 别式和单调性法求解。 解法1:由函数知定义域为R,则变形可得:

(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0.
当2y-1=0即y=1/2时,代入方程左边=1/2· 3-1≠0,故 ≠1/2.

当2y-1≠0,即y ≠1/2时,因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2,
综上所得,原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.

例3 求下列函数的值域:

(1) y=5-x+√3x-1;
分析:带有根式的函数,本身求值域较难,可考虑用换 元法将其变形,换元适当,事半功倍。

解:(1)令t= 3x-1 ? 0,有

1 2 x= (t +1), 3

1 2 1 3 2 65 于是y=5- (t +1)+t=- (t- ) + , 3 3 2 12
3 65 65 ? ? ? t ? ,ymin ? , 故y ? ? -?, ? . 2 12 12 ? ?



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