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高中数学第三章3.1.1 《方程的根与函数的零点 》 学案


3.1.1 方程的根与函数的零点 教学目标:1. 理解函数零点的定义,会求函数的零点; 2. 掌握函数零点的判定方法; 3. 理解函数的零点与方程的根的关系。 教学重、难点:1. 掌握函数零点的判定方法; 2. 理解函数的零点与方程的根的关系。 教学方法:讲练结合法、讨论法 思考 1 根据函数零点的定义及函数零点与方程根的关系,有哪些方法可以判断函数存在零点? 若函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 (

思考 2

)

A. 若 f ?a ? f ?b? ? 0 ,则不存在实数 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 B. 若 f ?a ? f ?b? ? 0 ,则存在且只存在一个实数 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 C. 若 f ?a ? f ?b? ? 0 ,则有可能存在实数 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 D. 若 f ?a ? f ?b? ? 0 ,则有可能不存在实数 c ? ?a, b ? ,使得 f ?c ? ? 0 题型一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点。 (1) f ?x? ? 4 x ? 6 (2) f ?x ? ? ?

? x 2 ? 2 x ? 3, x ? 0 ?? 2 ? ln x, x ? 0

【变式练习】函数 f ?x ? ? 1 ? log3 x 的零点是 题型二 判断函数零点的个数 例2 求函数 f ( x) ? lg?x ? 1? ? x ? 3 的零点个数

【变式练习】 函数 f ( x) ? ? ? ? x ? 2 的零点个数为( A.0 B. 1 C. 2 D. 3

?1? ? 2?

x

)

题型三 判断函数的零点所在的大致区间 例 3 函数 f ( x) ? log3 x ? x ? 3 的零点所在的大致区间是( A. ?0,1? B. ?1,2?
3



C. ?2,3?

D. ?3,4? )

【变式练习】方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的根所在的大致区间为 ( A. ?0,1? B. ?1,2? C. ?2,3?

D. ?3,4?

题型四 由函数零点的存在情况求参数的取值范围 例3 若函数 f ?x? ? a x ? x ? a ( a )有两个零点,求 a 的取值范围。

【变式练习】若函数有两个

【方法总结】 1. 求函数零点的方法 (1)代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根。 (2)几何法:与函数 y ? f ?x ? 的图象相结合,即图象与 x 轴的交点的横坐标为函数的零点。 2. 判断函数 y ? f ?x ? 的零点个数的方法 (1)解方程 f ( x) ? 0 ,方程实根的个数就是函数零点的个数。 (2)当方程 f ( x) ? 0 不能解时,可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性,然后借助函数的单调性判 断零点的个数。 (3)由 f ?x ? ? g ?x ? ? h?x ? ? 0 得 g ?x ? ? h?x ? , 在同一坐标系下作出 y1 ? g ?x? 和 y2 ? h?x? 的图象, 则两图 象交点的个数就是函数 y ? f ?x ? 零点的个数。 随堂练习 1. 函数 f ?x ? ? log5 ?x ? 1? 的零点是 2. 函数 f ? x ? ? ln x ? A. ?1,2?
2

函数 f ?x ? ? x ? 2 的零点个数为
?x

.

2 的零点所在的大致区间是( x
B.

) D. ?e,???

?2,3?

C. ?1, ? 和 ?3,4?

? 1? ? e?

3. 若函数 f ?x ? ? ax ? x ?1仅有一个零点,求实数 a 的取值范围。 作业:1. 求下列函数的零点 (1) f ? x ? ?

x?3 x

(2) f ?x ? ? x ? 2 x ? 4
2

(3) f ?x ? ? 1 ? log3 x

(4) f ?x ? ? 2 ? 3 x ? 4
x 2

?

??

?

2. 求方程 ? ? ? x ? 2 ? 0 的实根的个数。

?1? ? 3?

x


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