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陕西省西安地区八校2015届高三下学期联考(三)数学文试题


陕西省西安地区八校联考 2015 届高三下学期联考(三)

数学(文)试题
【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查,符合高考命题的意图和宗旨。注重基 础知识的考查。注重能力考查,要注重综合性,又兼顾到全面,更注意突出重点.试题减少 了运算量、加大了思维量,降低了试题的入口难度,突出对归纳和探究能力的考查。 【题文】第

I 卷(选择题共 60 分)

【题文】一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 【题文】1.设集合 A.0 B.1 【知识点】并集及其运算.A1 C.2
2

,则实数 a 的值为 D.4

【答案】 【解析】D 解析:根据题意,集合 A={0,2,a},B={1,a }, 且 A∪B={0,1,2,4,16},则有 a=4,故选:D. 2 【思路点拨】根据题意,由 A 与 B 及 A∪B,易得 a =16,分情况求得 A、B,验证 A∪B,可 得到答案. 【题文】2.已知复数 在夏平面上对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.L4 【答案】 【解析】D 四象限,故选 D. 解析:z1z2=(2+i) (1﹣i)=3﹣i,该复数对应点为(3,﹣1) ,位于第

【思路点拨】先对 z1z2 进行化简,从而可得其对应的点,进而得到答案. 【题文】3.已知数列 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案】 【解析】A 解析:若 an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列,则 an+12=anan+2 成立, 的

当 an=an+1=an+2=0 时,满足 an+12=anan+2 成立,但 an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列不成立, ‘ 故 an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列是“an+12=anan+2”的充分不必要条件,故选:A 【思路点拨】根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【题文】4.对于任意向量 a、b、c,下列命题中正确的是

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案】 【解析】D 解析: ∵| ? |=| || |?|cosθ|≤| || |,∴A 不正确,

∵根据向量加法平行四边形法则,∴| + |=| |+| |,当向量不共线时,等号不成立,B 不一定 正确; ∵( ? ) 是向量,其方向与向量 共线, ( ? )是向量,其方向与向量 共线, ∵ , 方向不一定相同,∴C 错误; ∵ =| | cos0°=| | =| | |,∴D 正确,故选:D.
2

【思路点拨】本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义,有关向量的式子代表 的含义,理解仔细,认真 【题文】5.执行如图所示的程序框图,会输出一列数,则这个数列的第 3 项是 A.870 B.30 C.6 D.3

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】B 解析:当 N=1 时,A=3,故数列的第 1 项为 3,N=2,满足继续循环的 条件, A=3×2=6; 当 N=2 时, A=6, 故数列的第 2 项为 6, N=3, 满足继续循环的条件, A=6×5=30; 当 N=3 时,A=30,故数列的第 3 项为 30,故选:B. 【思路点拨】根据已知的框图,可知程序的功能是利用循环计算数列 an 的各项值,并输出, 模拟程序的运行结果,可得答案. 【题文】6.把一根长度为 7 的铁丝截成 3 段,如果三段的长度均为正整数,则能构成三角形 的概率为

【知识点】几何概型.K3

【答案】 【解析】A 解析:所有的“三段铁丝的长度”的情况共有:“1,1,5”、“1,2,4”、“1, 3,3”、“2,2,3”,共计 4 种. 其中能构成三角形的情况有 2 种情况:“1,3,3”;“2,2,3” 则所求的概率是 p(A)= = .故选:A. 【思路点拨】设构成三角形的事件为 A,先求出基本事件数有 4 种,其中能构成三角形的情况 有 2 种情况,从而可求能构成三角形的概率. 【题文】7.一几何体的三视图如图所示,若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长 为 1,则该几何体外接球的表面积为

【知识点】球的体积和表面积.G8 【答案】 【解析】B 解析:由主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,得 到这是一个四棱锥,底面是一个边长是 1 的正方形,一条侧棱 AE 与底面垂直,可将此四棱锥 放到一个棱长为 1 的正方体内,可知,此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球, ∴四棱锥的外接球即是边长为 1 的正方体的外接球,外接球的直径是 AC 根据直角三角形的勾股定理知 AC= = ,

∴外接球的面积是 4×π×(

) =3π,故选:B.

2

【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥,利用四棱锥补全正方体,即四棱锥的外接球 即是边长为 1 的正方体的外接球,由此可得外接球的直径为 ,代入球的表面积公式计算.

【题文】8.已知点 A.-2 B.0 【知识点】简单线性规划.E5 【答案】 【解析】C

的最小值是 C.-1 D.1

解析:由题意作出其平面区域,

当 y 取最小值,x 取最大值,即点 A(1,0)时,u=y﹣x 取得最小值 u=﹣1;故选 C. 【思路点拨】由题意作出其平面区域,由 u=y﹣x 知当 y 取最小值,x 取最大值,即点 A(1,0) 时 u=y﹣x 取得最小值,从而解得.

【题文】9.定义行列式运算 个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为

的图象向左平移

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案】 【解析】B 解析:将函数 f(x)= = cosx﹣sinx=2cos(x+ )的图象

向左平移 m(m>0)个单位长度后, 所得图象对应的函数的解析式为 y=2cos(x+m+ 再根据所得图象关于 y 轴对称,可得 m+ 则 m 的最小值是 ,故选:B. ) ) . ,k∈z,

=kπ,即 m=kπ﹣

【思路点拨】 由条件利用三角恒等变换、 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律, 可得 y=2cos (x+m+ 图象关于 y 轴对称,可得 m+ =kπ,k∈z,由此求得 m 的最小值. 的图像上,则使得

【题文】10.已知两点 A(0,2) 、B(2,0) ,若点 C 在函数 面积为 2 的点 C 的个数为 A.4 B.3 【知识点】抛物线的应用.H7 【答案】 【解析】A
2



C.2

D.1

解析:设 C(a,a ) ,由已知得直线 AB 的方程为

,即:x+y﹣

2=0,点 C 到直线 AB 的距离为:d=

,有三角形 ABC 的面积为 2 可得:

=|a+a ﹣2|=2 得:a +a=0 或 a +a﹣4=0,显然方程共有四个根, 2 可知函数 y=x 的图象上存在四个点(如上面图中四个点 C1,C2,C3,C4) 使得△ ABC 的面积为 2(即图中的三角形△ ABC1,△ ABC2,△ ABC3,△ ABC4) . 故应选:A
2 2

2

【思路点拨】本题可以设出点 C 的坐标(a,a ) ,求出 C 到直线 AB 的距离,得出三角形面积 表达式,进而得到关于参数 a 的方程,转化为求解方程根的个数(不必解出这个跟) ,从而得 到点 C 的个数. 【题文】11.函数 f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是

2

【知识点】函数的图象;利用导数研究函数的单调性.B9 B12 【答案】 【解析】B 解析:观察图象可知,该函数在(2,3)上为连续可导的增函 数,且增长的越来越慢.所以各点处的导数在( 2,3)上处处为正,且导数的值逐渐减小, 所以故 f′(2)>f′(3),而 f(3)-f(2)=

f ? 3? ? f ? 2 ? ,表示的连接点(2,f(2)) 3? 2

与点(3,f(3))割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以在(2,3)之间找到一点, 该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必 有:0 < f ′(3) <

f ? 3? ? f ? 2 ? < f ′(2) .故选:B. 3? 2

【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得,即函数在(2,3)上增长得越来越慢,所以导 数值为正,且绝对值越来越小,故 f′(2)>f′(3) ,同时根据割线的性质,一定可以在(2, 3)之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率,即其导数值等于割线的斜率,由此可得结论. 【题文】12.已知双曲线 的右焦点为 F,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂

足为 H,若线段 FH 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率为

【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】C 解析:由题意可知,一渐近线方程为 y= x,则 F2H 的方程为 y﹣0=k

(x﹣c) ,代入渐近线方程 y= x,可得 H 的坐标为(



) ,故 F2H 的中点 M(



) ,根据中点 M 在双曲线 C 上,∴ 故选:C.

=1,∴

=2,故 e= =



【思路点拨】设一渐近线方程为 y= x,则 F2H 的方程为 y﹣0=k(x﹣c) ,代入渐近线方程 求 得 H 的坐标,有中点公式求得中点 M 的坐标,再把点 M 的坐标代入双曲线求得离心率.

【题文】第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 【题文】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 【题文】 13 .已知数列 为 。 【知识点】数列递推式.D1 【答案】 【解析】 解析:由 a1=1,且 an+1= ,得 ,归纳出这个数列的通项公式







… 由上归纳数列的通项公式为 .故答案为: .

【思路点拨】由已知结合数列递推式分别求出数列的前几项即可归纳数列的通项公式. 【题文】14.若指数函数 在其定义域内是减函数,则 a 的取值范围是_______j

【知识点】指数函数的图像与性质.B6 【答案】 【解析】 2

(

2, - 1 ? 1,2
2

) ( )

解析:∵y=(a ﹣1) 在定义域内是减函数, 或 <a<﹣1,

2

x

∴0<a ﹣1<1,即 1<a <2,解得 1<a< 故答案为: -

(

2, - 1 ? 1,2 .

) ( )

【思路点拨】根据指数函数的单调性即可得到结论. 【题文】15.为了调查城市 PM2.5 的值,按地域把 36 个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城 市数分别为 6、12、18。若用分层抽样的方法抽取 12 个城市,则乙组中应抽取的城市数 为 。 【知识点】分层抽样方法.I1 【答案】 【解析】6 解析:乙组城市数所占的比例为 故乙组中应抽取的城市数为 12× =6,故答案为:6. 【思路点拨】用样本容量乘以乙组城市数所占的比例,即得乙组中应抽取的城市数. 【题文】 16 .关于 x 的不等式 于 。 【知识点】一元二次不等式的解法 E3 【答案】 【解析】-3 解析:因为关于 x 的不等式 x ﹣2ax﹣3a <0(a<0)的解集为(x1,x2) , 2 2 2 所以 x1+x2=2a,x1?x2=﹣3a ,又 x2﹣x1=12,因为(x2﹣x1) =(x2+x1) ﹣4x1?x2, 2 2 2 所以 144=4a +12a =16a ,解得 a=±3,因为 a<0,所以 a=﹣3,故答案为:﹣3. 【思路点拨】利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式,然后与已知条件化简求解 a 的值即可. 【题文】三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分) 【题文】17. (本小题满分 12 分) △ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A,B,C 成等差数列,且 a,b, c 也成等差数列,求证:△ABC 为等边三角形. 【知识点】三角形的形状判断;等差数列的性质;等比数列的性质.D2 D3 C8
2 2

= ,样本容量为 12,

则实数 a 的值等

【答案】 【解析】见解析 解析:由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C(1) 因为 A,B,C 为△ ABC 的内角,所以 A+B+C=π. 由(1) (2)得 B= . (3)
2

由 a,b,c 成等比数列,有 b =ac(4) 2 2 2 2 2 由余弦定理及(3) ,可得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac 2 2 再由(4) ,得 a +c ﹣ac=ac, 2 即(a﹣c) =0 因此 a=c 从而 A=C(5) 由(2) (3) (5) ,得 A=B=C= 所以△ ABC 为等边三角形. 【思路点拨】先根据 A,B,C 成等差数列和三角形内角和定理求出 B 的值,进而根据等比中 项的性质可知 b =ac 代入余弦定理求得 a +c ﹣ac=ac,整理求得 a=c,判断出 A=C,最后利用 三角形内角和气的 A 和 C,最后证明原式. 【题文】18. (本小题满分 12 分) 如图所示的一块木料中,按 BC 平行于面 (1)要经过面 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线?
2 2 2

(2)所画的线与平面 AC 是什么位置关系?并证明你的结论。 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系 G4 【答案】 【解析】 (1)见解析;(2)见解析 解析: (1)过点 P 作 B′C′的平行线,交 A′B′、C′D′于点 E,F,连结 BE,CF;

作图如右图, (2)易知 BE,CF 与平面 AC 的相交,∵BC∥平面 A′C′,又∵平面 B′C′CB∩平面 A′C′=B′C′, ∴BC∥B′C′,∴EF∥BC,又∵EF?平面 AC,BC?平面 AC,∴EF∥平面 AC. 【思路点拨】 (1)注意到棱 BC 平行于面 A′C′,故过点 P 作 B′C′的平行线,交 A′B′、C′D′于点 E,F,连结 BE,CF; (2)易知 BE,CF 与平面 AC 的相交,可证 EF∥平面 AC. 【题文】19. (本小题满分 12 分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级,现从一批该零件中随机抽取 20 个, 对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:

【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;收集数据的方法.I2 K2 【答案】 【解析】 (1)0.35;(2)0.4 解析: (1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1,即 m+n=0.45. 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,得 .所以 m=0.45﹣0.1=0.35.

(2) :由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为 5 的零件有 2 个, 记作 y1,y2.从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: (x1,x2) , (x1, x3) , (x1,y1) , (x1,y2) , (x2,x3) , (x2,y1) , (x2,y2) , (x3,y1) , (x3,y2) , (y1,y2)共 计 10 种.记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为(x1,x2) , (x1,x3) , (x2,x3) , (y1,y2)共 4 个.故所求概率为 . 【思路点拨】 (1)通过频率分布表得推出 m+n=0.45.利用等级系数为 5 的恰有 2 件,求出 n, 然后求出 m. (2)根据条件列出满足条件所有的基本事件总数,“从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件,等级系数相等”的事件数,求解即可. 【题文】20. (本小题满分 12 分) 设 P 为椭圆 + =1(a>b>0)上任一点,F1、F2 为椭圆的焦点,|PF1|+|PF2|=4,离心率为

. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(≠0)与椭圆交于 A、B 两点,若线段 AB 的中点 C 的直线 y= x 上, O 为坐标原点.求△ OAB 的面积 S 的最大值. 【知识点】椭圆的简单性质.H5 【答案】 【解析】 (1) (2)

解析: (1)根据题意,可得 2a=PF1|+|PF2|=4,所以 a=2, 又 c=ae= = ,所以 b= = = ,

所以椭圆的方程为:



(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(xc,yc) ,

将直线 l:y=kx+m 代入方程 得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣4=0 由韦达定理可知 xc= 从而 yc=kxc+m= , = ,
2 2 2

, (*)

又线段 AB 的中点 C 的直线 y= x 上,

所以

=
2

,解得 k=﹣1,
2

则(*)变为 3x ﹣4mx+2m ﹣4=0, 所以|AB|= = , ,所以 S= ,

则△ OAB 底边 AB 的高 h=
2 2

∵(6﹣m )m ≤ ∴S ,即 S 得最大值为 .



【思路点拨】 (1)根据题意,计算出 a、b 的值即可; (2)联立直线 l 与椭圆方程消去 y 得到 一个关于 x 的一元二次方程,由韦达定理可得 C(xc、yc) ,再将其代入所在直线 y= x 上, 可解得 k=﹣1,故可化简关于 x 的一元二次方程,从而得到关于 S 的表达式,再结合不等 式即可得到最大值. 【题文】21. (本小题满分 12 分)

【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.B11 B 12 【答案】 【解析】 (1)不存在极值点;(2)﹣ <a<0;(3)a≤﹣
2

解析: (1)f(x)=ax +2x+1﹣lnx 的导数为 f′(x)=2ax+2﹣ =



当 a=﹣ 时,f′(x)=﹣

=﹣



当 x>0 时,f′(x)≤0 恒成立,即有 f(x)在(0,+∞)递减, 则有 f(x)不存在极值点; (2)由于 f′(x)=2ax+2﹣ =
2

(x>0) ,

令 h(x)=2ax +2x﹣1, f(x)有两个极值点的充要条件即为 h(x)=0 有两个不相等的正根, 则有 a≠0,判别式 4+8a>0,且﹣ >0,﹣ 解得﹣ <a<0; >0,

(3)由于 f′(x)=2ax+2﹣ = 令 h(x)=2ax +2x﹣1,
2

(x>0) ,

当 a=0 时,h(x)=2x﹣1,当 x> ,f(x)递增,0<x< ,f(x)递减, 不合题意; 当 a>0,g(x)的对称轴 x=﹣ <0,g(x)在(0,+∞)递增,g(0)=﹣1<0,

即有 g(x)在 x>0 上有正有负,f(x)有增有减,不合题意; 当 a<0 时,g(x)的对称轴 x=﹣ >0,g(0)=﹣1<0,

由题意可得 g(x)只需满足判别式 4+8a≤0 即可. 解得 a≤﹣ . 综上可得 a 的取值范围为(﹣∞,﹣ ]. 【思路点拨】 (1)求出当 a=﹣ 时的函数的导数,求得单调区间,即可得到极值; (2)求出导 数,令 h(x)=2ax +2x﹣1,f(x)有两个极值点的充要条件即为 h(x)=0 有两个不相等的 正根,运用判别式大于 0 和韦达定理,解不等式即可得到 a 的范围; (3)求出导数,令 h(x) 2 =2ax +2x﹣1,讨论 a=0,a>0,a<0,通过对称轴和二次函数的图象,结合导数的符号,即 可求得 a 的范围. 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑. 【题文】22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,其中 A 为切点,过点 A 作 PC 的平行线交圆 O 于点 D,BD 的延长线交直线 PA 于点 Q. 2 (1)求证:AB =PB?AD; (2)若 PA=2AQ,AD= ,QD=2.求 PC 的长.
2

【知识点】与圆有关的比例线段.N1 【答案】 【解析】 (1)见解析(2) 解析: (1)证明:∵PO 是圆 O 的切线,AD∥PB, ∴∠PAB=∠BDA,∠APB=∠QAD=∠DBA, ∴△PAB∽△BDA. ∴
2



∴AB =PB?AD; (2)解:∵AD∥PB,PA=2AQ, ∴ =

∵AD= ,QD=2, ∴PB=3 ,QB=6. ∵PO 是圆 O 的切线,PA=2AQ, 2 2 ∴PB?PC=PA =4QA =QD?QB, ∴PC= = .
2

【思路点拨】 (1)证明△ PAB∽△BDA,可得 AB =PB?AD; (2)利用 PO 是圆 O 的切线,PA=2AQ,可得 PB?PC=PA =4QA =QD?QB,结合 AD= 求 PC 的长. 【题文】23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 和直线 l 的极 坐标方程分别为 ρ=2cosθ, ρcos(θ+α)=2(其中 tanα=2,α∈(0, ) ) .
2 2

,QD=2,

(Ⅰ)求圆 C 和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 和直线 l 相交于点 A 和点 B,求以 AB 为直径的圆 D 的参数方程. 【知识点】简单曲线的极坐标方程 N3

【答案】 【解析】 (Ⅰ)x﹣2y﹣2=0;(Ⅱ)

解析: (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程分别为 ρ=2cosθ, 2 2 转化成直角坐标方程为: (x﹣1) +y =1, 由于:tanα=2,α∈(0, ) .

则: 极坐标方程

, ρcos(θ+α)=2 转化成直角坐标方程为:x﹣2y﹣2=0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

解得:A(2,0) ,B( , 则: ,

) ,

设点 M(x,y)是圆 D 上的任意一点,则: 所以:
2 2



+



整理得:5x +5y ﹣12x+4y=0. 转化成标准形式为:

转化成参数方程为:

(θ 为参数) .

【思路点拨】 (Ⅰ)直接把极坐标方程转换成直角坐标该方程. (Ⅱ)首先建立方程组求出交 点的坐标,进一步利用直径所对的圆周角为 90°,进一步转化成向量垂直,再利用向量垂直的 充要条件求出方程,再转化成参数方程. 【题文】24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (I)当 a=3 时,求不等式 f(x)≤4 的解集; (Ⅱ)若不等式 的解集为空集,求实数 a 的取值范围,

【知识点】绝对值不等式的解法.N4 【答案】 【解析】 (Ⅰ)[0,4](Ⅱ)[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1] 解析: (Ⅰ)当 a=3 时,f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|,

即有 f(x)=



不等式 f(x)≤4 即为 即有 0≤x<1 或 3≤x≤4 或 1≤x<3, 则为 0≤x≤4, 则解集为[0,4];







(Ⅱ)依题意知,f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥2 恒成立, ∴2≤f(x)min; 由绝对值三角不等式得:f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a)+(1﹣x)|=|1﹣a|, 即 f(x)min=|1﹣a|, ∴|1﹣a|≥2,即 a﹣1≥2 或 a﹣1≤﹣2, 解得 a≥3 或 a≤﹣1. ∴实数 a 的取值范围是[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1]. 【思路点拨】 (Ⅰ)求出当 a=3 时,f(x)的分段函数式,原不等式即化为一次不等式组,分 别解得它们,再求并集即可; (Ⅱ)利用绝对值三角不等式可得 f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a) +(1﹣x)|=|1﹣a|,依题意可得|1﹣a|≥2,解之即可.


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