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解析几何范围最值、定点定值问题



解析几何范围最值、定点定值问题
一、范围最值问题: 1、已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程. (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1、l 2 ,设 l1 与轨迹 C 交于 A、B 两点,l2 与轨迹 C 交于 D、E 两点,求 | FA | ? | FB | ? |

FC | ? | FD | 的最小值. 2、已知椭圆以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且该椭圆以抛物线 y 2 ? 16x 的焦点 P 为 其一个焦点,以双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点 Q 为顶点。 16 9

(1)求椭圆的标准方程; (2)已知点 A(?1,0), B(1,0) , C, 分别为椭圆的上顶点和右顶点, M 是线段 CD 上的动点, AM ? BM 且 D 点 求 的取值范围。 3、已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与 2 2 a b

直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P(4,0),M,N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PN 交椭圆 C 于另一点 E,求 直线 PN 的斜率的取值范围; 4、一动圆与圆 O1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 外切,与圆 O2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 内切. (I)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程. (Ⅱ)设过圆心 O1 的直线 l : x ? m y ? 1 与轨迹 L 相交于 A、B 两点,请问 ?ABO2 (O2 为圆 O2 的圆心)的内切圆 N 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程,若 不存在,请说明理由. 二、定点定值问题:

x2 y2 2 1、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (? 2 ,0) ,离心率 e ? 2 ,M、N 是椭圆上的的动点。 a b
(I)求椭圆标准方程; (II)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 ,问:是否存在定点 F1,F2, 2

使得 | PF | ? | PF2 | 为定值?若存在,求出 F1,F2 的坐标,若不存在,说明理由。 1 (Ⅲ)若 M 在第一象限, 且点 M, 关于原点对称, M 在 x 轴上的射影为 A, N 点 连接 NA 并延长交椭圆于点 B, 证明: MN ? MB 。

第 1 页 共 1 页

2、已知椭圆 C :

x2 y2 3 2 ? b2 ? 1( a ? b ? 0) 过点(0,1),且离心率为 2 . a

(1)求椭圆 C 的方程: (2)A,B 为椭圆 C 的左右顶点,直线 l : x ? 2 2 与 x 轴交于点 D,点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,直线 AP, BP 分别交直线 l 于 E,F 两点. 证明:当点 P 在椭圆 C 上运动时, | DE | ? | DF | 恒为定值. 3、如图,曲线 C1 是以原点 O 为中心、F1,F2 为焦点的椭圆的一部分,曲线 C2 是以 O 为顶点、F2 为焦点的 抛物线的一部分,A 是曲线 C1 和 C2 的交点且 ?AF2 F1 为钝角,若 | AF1 |?

7 , 2

| AF2 |?

5 , 2

(1)求曲线 C1 和 C2 的方程; (2)过 F2 作一条与 x 轴不垂直的直线,分别与曲线 C1、C2 依次交于 B、C、D、E 四点,若 G 为 CD 中点、H 为 BE 中 点,问

| BE | ? | GF2 | 是否为定值?若是求出定值;若不 | CD | ? | HF2 |

是说明理由. 4、在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F ( ,0) ,直线 l : x ? ? 轴的交点, RQ ? FP, PQ ? l . (I)求动点 Q 的轨迹的方程 C; (II)设圆 M 过 A(1,0),且圆心 M 在曲线 C 上,TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦, 当M运 动时弦长 | TS | 是否为定值?请说明理由.

1 2

1 ,点 P 在直线 l 上移动,R 是线段 PF 与 y 2

第 2 页 共 2 页

x2 y2 ? ? 1 的焦点 Q 为(5,0) 2、解:(1)抛物线 y ? 16x 的焦点 P 为(4,0),双曲线 16 9 x2 y2 ∴可设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知有 a>b>0,且 a=5,c=4 ……3 分 a b x2 y2 ? ?1 ?b2 ? 25 ? 16 ? 9 ,∴椭圆的标准方程为 …………………5 分 25 9 3 x y (2)设 M ( x0 , y 0 ) ,线段 CD 方程为 ? ? 1 ,即 y ? ? x ? 3 (0 ? x ? 5) ……7 分 5 3 5 3 点 M 是线段 CD 上,? y0 ? ? x0 ? 3 (0 ? x 0 ? 5) 5
2

2 2 ? AM ? ( x0 ? 1, y0 ) , BM ? ( x0 ?1, y0 ) ,? AM ? BM ? x0 ? y0 ? 1,………10 分

第 3 页 共 3 页

将 y0 ? ?

3 3 2 x0 ? 3 (0 ? x0 ? 5) 代入得 AM ? BM ? x0 ? (? x0 ? 3) 2 ? 1 5 5
34 2 18 34 45 191 x0 ? x 0 ? 8 ? ( x 0 ? ) 2 ? 25 34 34 25 5
............. 12 分

? AM ? BM ?

? 0 ? x0 ? 5 ,? AM ? BM 的最大值为 24, AM ? BM 的最小值为
? AM ? BM 的取值范围是 [
3、解:(1)由题意知 e ?

191 。 34

191 ,24 ] 。 34

..........................14 分

c 3 c2 a2 ? b2 3 2 ? ,即 a 2 ? 4b 2 , , 所以 e ? 2 ? ? a a2 2 4 a

? a ? 2b

又因为 b ?

2 ? 1, ? a ? 2 1?1
……………………6 分

故椭圆 C 的方程为 C :

x2 ? y2 ? 1 4

(II)由题意知直线 PN 的斜率存在,设直线 PN 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 4 ? 0 ① 2 ? 4 ? y ? 1. ?
2

.........10 分

由 ? ? (?32k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(64k 2 ? 4) ? 0 ,得 12k ? 1 ? 0 ,

??

3 3 ?k? 6 6

…………………13 分

又 k=0 不合题意,所以直线 PN 的斜率的取值范围是: (? 4、解:(1)设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R.

3 3 ,0)?(0, ) .……14 分 6 6

由题意,得 | MO1 |? R ? 1, | MO2 |? 3 ? R ,? MO1 | ? | MO2 |? 4 | 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 a=2,c=1,

(3 分)

x2 y2 ? ? 1 (6 分) ?b ? a ? c ? 4 ? 1 ? 3 . ∴动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 4 3
2 2 2

(2)如图,设 ?ABO 内切圆 N 的半径为 r,与直线 l 的切点为 C,则三角形 ?ABO2 的面积 2

1 1 S ?ABO2 ? (| AB | ? | AO2 | ? | BO2 |)r ? [(| AO1 | ? | AO2 |) ? (| BO1 | ? | BO2 |)]r ? 2ar ? 4r 2 2
当 S ?ABO2 最大时,r 也最大, ?ABO2 内切圆的面积也最大, 分) (7 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )( y1 ? 0, y2 ? 0) ,
第 4 页 共 4 页

则 S ?ABO2 ?

1 1 | O1O2 | ? | y1 | ? | O1O2 | ? | y 2 |? y1 ? y 2 , (8 分) 2 2

?x ? m y ? 1 ? 由 ? x2 y 2 ,得 (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , ? 4 ? 3 ?1 ?
解得 y1 ?

? 3m ? 6 m 2 ? 1 ? 3m ? 6 m 2 ? 1 , y2 ? , (10 分) 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4
12 m 2 ? 1 2 2 ,令 t ? m 2 ? 1 ,则 t≥1,且 m =t -1, 3m2 ?4
1 1 12t 12t 12 ,令 f (t ) ? 3t ? ,则 f ' (t ) ? 3 ? 2 , ? 2 ? 1 t t 3(t ? 1) ? 4 3t ? 1 3t ? t
2

? S ?ABO2 ?
有 S ?ABO2 ?

当 t≥1 时, f ' (t ) ? 0 ,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f (t ) ? f (1) ? 4 , S ?ABO2 ?

12 ? 3, 4

3 9 ,这时所求内切圆的面积为 ? , 4 16 9 ∴存在直线 l : x ? 1, ?ABO2 的内切圆 M 的面积最大值为 ? . (14 分) 16
即当 t=1,m=0 时,4r 有最大值 3,得 rmax ? 二、定点定值问题:

?c ? 2 ? 1、解:(I)由题设可知: ? c 2 ? ? 2 ?a
故b ? a ? c ? 2
2 2 2

? a ? 2, c ? 2

………2 分

………………3 分

故椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1 4 2

………4 分

(II)设 P( xP , yP ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 OP ? OM ? 2ON 可得:
? ? P ? ? ? P

x ? x1 ? 2 x2 y ? y1?2 y2



.................................5 分

由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

1 可得: 2
②……6 分

y1 y2 1 ? ? ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0 x1 x2 2
2 2 2

由①②可得: xP ? 2 yP ? ( x1 ? 2 x2 ) ? 2( y1 ? 2 y 2 ) ? ( x1 ? 2 y1 ) ? ( x 2 ? 2 y 2 )
2 2 2 2 2

M、N 是椭圆上,故 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4
2 2 2 2

第 5 页 共 5 页

2 2 故 xP ? 2 y P ? 8 ,即

2 2 xP y P ? ?1 8 4

…………8 分

由椭圆定义可知存在两个定点 F1 (?2,0), F2 (2,0) ,使得动点 P 到两定点距离 和为定值 4 2 ; .....................................9 分

(III)设 M ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由题设可知

x1 ? 0, y1 ? 0, x2 ? 0, y2 ? 0, x1 ? x2 , A( x1 ,0), N (? x1 ,? y1 ) ?
由题设可知 l AB 斜率存在且满足 k NA ? k NB

………10 分

?

y1 y ?y ? x2 ? x 1 …………③ 2 x1 2 1

y y2 ? y k MN ? k MB ? 1 ? x1 ? x ? x 1 ? 1 1 2 1
将③代入④可得:

④.....................12 分

2 2 ( x2 ? 2 y 2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) 2( y2 ? y1 ) y2 ? y1 点 M,B 在椭圆 ? x ? x ?1 ? k MN ? k MB ? 1 ? 2 2 1 x2 ? x1 x2 ? x12 2 x2 y2 ( x 2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) 4?4 ? ? 1 ,故 kMN ? kMB ? 1 ? 2 ? 2 ?0 2 2 4 2 x2 ? x1 x2 ? x12

所以 kMN ? kMB ? 1 ? 0

? k MN ? k MB ? ?1 ? MN ? MB

…………14 分

2、解:(1)由题意可知,b=1,而

c 3 2 2 2 ,且 a ? b ? c .解得 a=2, ? 2 a

所以,椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

第 6 页 共 6 页

7 5 x2 y2 3、解:(I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? ? ? 6 , a b 2 2
得 a=3
2 2

……………2 分

设 A( x, y), F (?c,0), F2 (c,0) ,则 ( x ? c ) ? y ? ( ) , ( x ? c ) ? y ? ( ) ,
2 2 2 2

7 2

5 2

3 5 ,由抛物线定义可知 | AF2 |? x ? c ? , 2 2 3 3 则 c=1, x ? 或 x=1, c ? (舍去) 2 2 2 2 y x ? ? 1 ,抛物线方程为 y 2 ? 4 x 。 所以椭圆方程为 9 8
两式相减得 xc ? 另解:过 F1 作垂直于 x 轴的直线 x=-c,即抛物线的准线,作 AH 垂直于该准线, 作 AM ? x 轴于 M,则由抛物线的定义得 | AF2 |?| AH | 所以 | AM |? | AF | ? | F1 M 1
2 2

? | AF1 |2 ? | AH |2

7 5 ? | AF1 |2 ? | AF2 |2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 6 2 2 5 1 | F2 M |? ( ) 2 ? 6 ? , 2 2
得 | F1 F2 |?

5 1 ? ? 2 ,所以 c=1, 2 2

b2 ? a 2 ? c2 ? 8
所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线方程为 y 2 ? 4 x 。 9 8

……………6 分

第 7 页 共 7 页

4、解:(I)依题意知,直线 l 的方程为:x=-1.……………2 分 点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ? FP ,∴RO 是线段 FP 的垂直平分线. ……………4 分

?| PQ | 是点 Q 到直线 l 的距离.
∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,

? PQ |?| QF | ……………6 分 |
故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点,l 为准线的抛物线, 其方程为: y 2 ? 2 x( x ? 0) ……8 分 (II) ?M ( x0 , y0 ) ? C ,M 到 y 轴的距离为 d ?| x0 |? x0 ,…………9 分 圆的半径 r ?| MA |? ( x0 ? 1) ? y0 ,…………10 分
2 2

则 | TS |? 2 r

2

2 ? d 2 ? 2 y 0 ? 2 x 0 ? 1, M ( x 0 , y 0 ) ? C …………12 分

2 由(I)知 y0 ? 2x0 ,

所以 | TS |? 2 y 0 ? 2 x0 ? 1 ? 2 ,是定值.……………14 分
2

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