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导数的应用(三)---不等式的证明


导数的应用(三)
--------不等式的证明 【学习目标】 :构造函数利用函数的最值证明不等式 【重难点】 :构造合适的函数,利用函数证明不等式 【知识回顾】(1) 【学习探究】 例 1、

ex ? x ? 1

(2) ln x ? x ? 1

f ( x) ? ln( x ? 1) ?
变式(1) .已知函数

kx x ? 1 (k 为常数)

(1)求 f ( x) 的单调区间;

x x ? 1 ? 在x ? (0,1) 2 (2)求证不等式 ln(x ? 1) 时恒成立。

(2)设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.

f ( x) ?
例 2、已知函数

1? x ? ln x ax

?1, ??? 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; (1)若函数 f ( x ) 在
?1 ? ? , 2? (2)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 在 ? 2 ? 上的最大值和最小值;
(3)当 a ? 1 时,求证:对大于 1 的任意正整数 n ,都有

ln n ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 3 4 n .

【课堂检测】 : (1)已知函数 f ( x) ? p ln x ? ( p ? 1) x ? 1.
2

时, f ( x) ? kx 恒成立,求实数 k 的取值范围; (1)当 p ? 1
(2)证明: ln(n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ...... ? (n ? N * ). 2 3 n

(2). (2010 全国 1)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 (I)求曲线在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅲ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 。

? (Ⅱ)若 xf ( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2


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