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江苏省兴化市第一中学2014-2015学年高一下学期第17周数学周末练习


一中高一数学 2014 春学期第十七周双休练习
. 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将正确答案填在答题纸的横线上) 1. 不等式

姓名

班级

成绩

x?2 ? 0 的解集是 x?3
0 0

2. 在 △ ABC 中, B ? 30 , C ? 45 ,边 c ? 1 ,则最短边长为 3. 等差数列 ?an ? 中, a2 , a9 是方程 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 的两个根,则此数列的前 10 项和 S10 ? 4. 在等差数列 ?an ? 中, a1 , a 2 , a 4 这三项构成等比数列,则公比 q ? 5. 若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? x | ?
2

? ?

1 1? ? x ? ? 则 a ? b 值是 2 3?

6. △ ABC 的三内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a,b,c 成等比数列且 c = 2a , 则 cos B = 7. 如果 x, y ? 0 且 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值是 x y

8. 若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则实数 m 的取值范围是
2

9. 设函数 f(x)满足 f ( x ? 1) =
2 3

2 f ( x) ? x ( x ? N* )且 f (1) ? 2 ,则 f (20) = 2
n

10. 如果 x ? 0 ,则 x ? x ? x ? ? ? x ? 11.一渔船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行一小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60 ,另一灯塔在船的南偏西 75 ,则这只船的速 度是每小时 海里 时 12. 等差数列 ?an ? 的通项 an ? 11 ? 2n(n ? N*) ,此数列的前 n 项和记为 S n ,则 n ? 数列 {
0 0

Sn } 的前 n 项和最大 n

13. 已知数列

?an ? 对于任意 p,q ? N ,有 ap ? aq ? ap?q ,若 a
*

1

?

1 ,则 a36 ? 9
?

14. 已知△ ABC 三边长 a, b, c 均为整数且 a ? b ? c .如果 b ? m(m ? N ) ,则这样的三角形 共有 个.(用 m 表示)

一中高一数学 2014 春学期第十七周双休练习答题卡
1、__________________ 6、__________________ 11、________________

2、__________________ 3、__________________ 4、_________________ 5、_____________ ____

7、__________________ 8、__________________ 9、_________________ 10、_________________

12、________________ 13、________________ 14、________________

二.解答题(本大题共 6 小题计 90 分.解答就应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 10 试求: (1) a1 和公比 q ; (2)前 6 项的和 S 6 .

16. (本题满分 14 分)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 2 2 ,且 sin A ? sin C ? 2 sin B . (1)求边 AC 的长; (2)若 △ ABC 的面积为

2 sin B ,求角 B 的度数. 3

17. ( 本题满分 15 分 ) 已知函数 f ( x) ? x2 ? (lg a ? 2) x ? lg b 满足 f (?1) ? ?2 且对于任意

x ? R , 恒有 f ( x) ? 2 x 成立. (1) 求实数 a , b 的值; (2) 解不等式 f ( x) ? x ? 5 .

18. (本题满分 15 分)如图,公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上.

A x E

(1)设 AD ? x , ED ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?请说明理由.

y D B

C

19.(本题满分 16 分)设数列 ?an ? 的前项和为 S n , 且 Sn ? 2 ?

1 , 且 a1 ? b1 , ?bn ? 为等差数列, 2n ?1

a2 (b2 ? b1 ) ? a1 .
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 通项公式; (2)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn an

a2, a3, ?, am ( m 为正整数)满足条件 a1 ? am , 20. ( 本题满分 16 分 ) 如果有穷数列 a1,
,, 2 ?, m) a2 ? am?1 , am ? a1 , ?, 即 ai ? am?i ?1 (i ?1 , 我们称其为 “对称数列” .例
4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列” ,,,, 2 5 2 1 与数列 8, 如,数列 1 .

b2, b3, b4 是等差数列,且 b1 ? 2 , b4 ? 11.依 (1)设 ?bn ?是 7 项的“对称数列” ,其中 b1,
次写出 ?bn ?的每一项;

c26, ?, c49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数 (2)设 ? cn ?是 49 项的“对称数列” ,其中 c25,
列,求 ? cn ?各项的和 S ;

d52, ?, d100 是首项为 2 ,公差为 3 的等差 (3)设 ? d n ? 是 100 项的“对称数列” ,其中 d51,
2 ?, 100 ) . 数列.求 ? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,,

一中高一数学 2014 春学期第十七周双休练参考答案
一.填空题 1. (?3, 2) 2.

2 2

3. 15

4. 1 或 2

5. -10

3 6. 4
1 1. 5 二.解答题

7. 3 ? 2 2

8. m ? ?3

9. 97

?n( x ? 1) ? 10. ?1 ? x n ( x ? 1) ? ? 1? x
m ( m ? 1) 2

12. 9 或 10

13. 4

14.

15. .解: (1)在等比数列 ?an ? 中,由已知可得:
2 ? ?a1 ? a1q ? a1q ? 8 ? 3 ? ?a1q ? a1q ? 10

????????????????4 分

解得: ?

?a1 ? 1 ?a1 ? ?1 或? ?q ? 2 ?q ? ?2
a1 (1 ? q n ) 1? q

????????????????8 分

(2)?S n ?

?a1 ? 1 1? (1 ? 26 ) 1 ? 26 ? ? 63 时, S6 ? ?当 ? 1? 2 ?1 ?q ? 2
当?

??????? 11 分

?a1 ? ?1 (?1) ? [1 ? (?2)6 ] 26 ? 1 ? ? 21 ?????14 分 时, S6 ? 1 ? 2 3 q ? ? 2 ?

16. 解: (1)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 2 2 ,

BC ? AB ? 2 AC ,????????????????????4 分
两式相减,得 AC ? 2 .????????????????????6 分 (2)由 △ ABC 的面积

1 2 4 BC ?AB ? sin B ? sin B ,得 BC ?AB ? ,?????9 分 2 3 3

由余弦定理,得 cos B ?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 2 AB?BC

?

( AB ? BC )2 ? 2 AB?BC ? AC 2 1 ? ,所以 B ? 60? .????14 分 2 AB?BC 2

17. 解: (1)由 f (?1) ? ?2, 知, lg b ? lg a ? 1 ? 0, ?① ∴ 又 f ( x) ? 2 x 恒成立, 有 x2 ? x ? lg a ? lg b ? 0 恒成立,

a ? 10. ?②??3 分 b

故 ? ? (lg a)2 ? 4lg b ? 0 ????????????6 分 将①式代入上式得: (lg b)2 ? 2lg b ? 1 ? 0 , 即 (lg b ? 1)2 ? 0, 故 lg b ? 1 , 即 b ? 10 , 代入②得, a ? 100 ?????????????????10 分 (2) f ( x) ? x2 ? 4x ? 1,

f ( x) ? x ? 5, 即 x2 ? 4x ? 1 ? x ? 5, ∴ x2 ? 3x ? 4 ? 0, 解得: ?4 ? x ? 1 , ∴不等式的解集为 {x | ?4 ? x ? 1} ?????????????????15 分
18. 解 :(1)在△ ADE 中,

y 2 ? x2 ? AE 2 ? 2x ? AE ? cos600 ? y2 ? x2 ? AE 2 ? x ? AE ,①?????2 分
又 S? ADE ?

1 3 1 S? ABC ? ? x ? AE ? sin 600 ? x ? AE ? 2 .②?????4 分 2 2 2
2 x

2 2 2 ②代入①得 y ? x ? ( ) ? 2( y ? 0) ), ∴ y ?

x2 ?

4 ? 2 (1 ? x ? 2) ?????8 分 x2

(2)如果 DE 是水管 y ? 当且仅当 x =
2

x2 ?

4 ? 2 ≥ 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,?????12 分 x2

4 ,即 x = 2 时“=”成立,??????13 分 x2

故 DE∥ BC,且 AD = 2 时水管的长度最短.????15 分 19. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1. ????????????????1 分 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ? 此式对 n ? 1 也成立.? a n ? 从而 b1 ? a1 ? 1 , b2 ? b1 ?

1 2
n ?1

) ? (2 ?

1 2
n?2

)?

1 2 n ?1

,???????3 分

1 2 n ?1

(n ? N * ) .

????????5 分

a1 1 ? ? 2. a2 1 2
???????????7 分 ???????????9 分

又因为 ?bn ? 为等差数列,? 公差 d ? 2 ,

?bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .
(2)由(1)可知 c n ?

2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 , 1 2 n ?1

???????????10 分

所以 Tn ? 1?1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 .

① ??????? 11 分

2Tn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n . ② ??13 分
①-②得: ? Tn ? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ???????14 分

? 1? 2

2(1 ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n 1? 2

? 1 ? 2 n?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n ? ?3 ? (2n ? 3) ? 2 n
所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ???????16 分 20. 解: (1)设数列 ?bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11,解得 d ? 3 ,

?

5 8 11,,, 8 5 2 .???????????????4 分 数列 ?bn ?为 2,,,

(2) S ? c1 ? c2 ? ? ? c49 ? 2(c25 ? c26 ? ? ? c49 ) ? c25

? 2 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 24 ? 1 ? 2 2 25 ? 1 ? 1 ? 2 26 ? 3 ?????8 分
(3) d51 ? 2, d100 ? 2 ? 3 ? (50 ? 1) ? 149 .
d 2, ?, d50 是首项为 149 ,公差为 ? 3 的等差数列. ?????10 分 由题意得 d1,

?

?

?

?

当 n ≤ 50 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

? 149 n ?

n(n ? 1) 3 301 (?3) ? ? n 2 ? n .?????12 分 2 2 2

当 51 ≤ n ≤ 100 时, S n ? d1 ? d 2 ? ? ? d n

? S50 ? ?d 51 ? d 52 ? ? ? d n ?
? 3775 ? 2? (n ? 50) ? (n ? 50)(n ? 51) ?3 2

?

3 2 299 n ? n ? 7500 .????????? ?15 分 2 2

? 3 2 301 ? n ? n, 1 ≤ n ≤ 50, ? ? 2 2 综上所述, Sn ? ? ??????????16 分 ? 3 n 2 ? 299 n ? 7500, 51 ≤ n ≤ 100. ? ?2 2


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