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1.1.1正弦定理课件



1.1.1(一)

1.1.1 正弦定理
【学习目标】 1.掌握正弦定理的内容.
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2.了解正弦定理的证明方法. 3.能初步运用正弦定理解三角形. 【学法指导】 1.学习本节内容时,要善于运用平面几何知识以及平面 向量知识证明正弦定理. 2.应熟练掌握利用正弦定理进行三角形中的边角关系的 相互转化



研一研·问题探究、课堂更高效

1.1.1(一)

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探究点一

正弦定理的提出和证明

a 问题 在直角三角形和等边三角形中,容易验证 = sin A b c = 成立,这一结论对更一般锐角三角形和钝 sin B sin C 角三角形还成立吗?

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1.1.1(一)

探究1 在锐角△ABC中,根据右图证明: a b c = = . sin A sin B sin C
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证明 根据三角函数的定义, CD CD sin A= ,sin B= . b a a b ∴CD=bsin A=asin B.∴ = . sin A sin B b c 同理,在△ABC中,sin B=sin C. a b c ∴sin A=sin B=sin C成立.

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探究 2 在钝角△ABC 中(不妨设 A 为钝角), a b c 根据右图证明: = = . sin A sin B sin C 证明 过C作CD⊥AB,垂足为D,D是BA
延长线上一点,根据正弦函数的定义知: CD -A) b =sin∠CAD=sin(180° CD =sin A, a =sin B. a b ∴CD=bsin A=asin B.∴sin A=sin B. b c a b c 同理,sin B=sin C.故sin A=sin B=sin C.
小结

1.1.1(一)

D

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a b 综上可知,对于任意三角形,均有 sin A = sin B =

c sin C,此即正弦定理.

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1.1.1(一)

探究点二
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正弦定理的几何解释

问题 如图所示,在Rt△ABC中,斜边c等于 a Rt△ABC外接圆的直径2R,故有 = sin A b c = =2R,这一关系对任意三角形 sin B sin C 也成立吗?

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探究1 如图所示,锐角三角形ABC和它的 a 外接圆O,外接圆半径为R,等式 sin A b c = = =2R成立吗? sin B sin C
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1.1.1(一)

证明 如图,因为△ABC为锐角三角形, 连接BO交圆O于D,连接CD.
a a 因为∠A=∠D,则在△BCD中,sin A=sin D=2R. b c 同理,sin B=sin C=2R, a b c 所以sin A=sin B=sin C=2R成立.

D

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探究 2 如图所示,钝角三角形 ABC,A 为钝 角,圆 O 是它的外接圆,半径为 R,等式 a b c = = =2R 还成立吗? sin A sin B sin C
证明
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1.1.1(一)

如图,当△ABC为钝角三角形时,

连接BO交圆O于D,连接CD, a a a ∠A=180° -∠D,所以 = = =2R. sin A sin?180° -D? sin D b c 同理,sin B=sin C=2R, a b c 所以sin A=sin B=sin C=2R仍成立. a b c 小结 综上所述,对于任意△ABC, sin A = sin B = sin C

=2R恒成立.

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【典型例题】

1.1.1(一)

例1 在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若 A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于 A.1∶2∶3
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(

)

B.2∶3∶4 D.1∶ 3∶2

C.3∶4∶5

解析 ∵A+B+C=π,A∶B∶C=1∶2∶3, π π π ∴A=6,B=3,C=2,
1 3 ∴sin A=2,sin B= 2 ,sin C=1.

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1.1.1(一)

a b c 设 = = =k(k>0),则 sin A sin B sin C
k 3 a=ksin A=2;b=ksin B= 2 k;c=ksin C=k; 1 3 ∴a∶b∶c=2∶ 2 ∶1=1∶ 3∶2,故选D.
答案 D
小结 正弦定理在实现三角形的边角转化中非常方便,需要 进行边角转化时,首先要考虑通过正弦定理来实现.

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跟踪训练1 A.6∶5∶4 C.3∶5∶7
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1.1.1(一)

在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)= ( B ) B.7∶5∶3 D.4∶5∶6

4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于

解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,
b+c c+a a+b b+c c+a a+b ∴ 4 = 5 = 6 .令 4 = 5 = 6 =k (k>0),

?b+c=4k ? 则?c+a=5k ?a+b=6k ?

7 ? ?a= k 2 ? ? 5 ,解得?b=2k ? ? 3 c= k ? ? 2

.

∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3.

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1.1.1(一)

a-ccos B sin B 例2 在△ABC中,求证: = . sin A b-ccos A a b c 证明 因为 = = =2R,所以 sin A sin B sin C
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2Rsin A-2Rsin Ccos B sin?B+C?-sin Ccos B 左边= = 2Rsin B-2Rsin Ccos A sin?A+C?-sin Ccos A sin Bcos C sin B =sin Acos C=sin A=右边.
所以等式成立.
小结 正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角 与角的关系之间的相互转化的功能更加强大,更加灵活.

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1.1.1(一)

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跟踪训练2 在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边 a b 2c 7 长分别为a,b,c,则 + + = . sin A 2sin B sin C
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2, a b c ∴sin A=sin B=sin C=2R=2, a b 2c ∴sin A+2sin B+sin C=2+1+4=7.

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例3

1.1.1(一)

在△ ABC 中,已知 a= 2 2,A =30°,B = 45°,解

三角形. a b c 解 ∵sin A=sin B=sin C,
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2 2 2× 2 asin B 2 2sin 45° ∴b= sin A = sin 30° = =4. 1 2 ∵C=180° -(A+B)=180° -(30° +45° )=105° ,
asin C 2 2sin 105° 2 2sin 75° ∴c= sin A = sin 30° = 1 2
=4 2sin(30° +45° )=2+2 3.

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1.1.1(一)

小结 已知两角与任一边,利用正弦定理解三角形,有 以下两种情况:
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(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一 边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦 定理求第三边; (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定 理求第三个角,再由正弦定理求另外两边.

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1.1.1(一)

跟踪训练3 在△ABC中,a=5,B=45° ,C=105° ,解 三角形.
解 由三角形内角和定理知A+B+C=180° ,
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所以A=180° -(B+C)=180° -(45° +105° )=30° . a b c 由正弦定理sin A=sin B=sin C,
sin B sin 45° 得b=a· =5 2; sin A=5· sin 30° +45° ? sin C sin 105° sin ?60° c=a· sin A=5· sin 30°=5· sin 30°
sin 60° cos 45° +cos 60° sin 45° =5· sin 30° 5 =2( 6+ 2).

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.1(一)

1.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 所对的
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边,若∠A =105°,∠B =45°,b= 2 2,则 c 等于 ( B ) A.1
解析

B.2

C. 2

D. 3

∵∠A=105° ,∠B=45° ,∴∠C=30° . bsin C 2 2sin 30° 由正弦定理得c= sin B = sin 45° =2.

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1.1.1(一)

2.在△ABC 中,已知∠A =150° ,a= 3,则其外接圆的 半径 R 的值为
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A.3

B. 3

C .2

( A ) D.不确定

解析 在△ABC中,由正弦定理得 a 3 =6=2R, sin A=sin 150°
∴R=3.

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1.1.1(一)

3.在△ABC 中, sin A =sin C,则△ABC 是
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( B

)

A.直角三角形 C .锐角三角形

B.等腰三角形 D.钝角三角形

解析 由sin A=sin C知a=c, ∴△ABC为等腰三角形.

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1.1.1(一)

4.在△ABC 中,∠A =60°,a= 4 3,b=4 2,则∠B 等 于
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45° .
2 由正弦定理,得sin B= , 2

解析

∵a>b,∴∠A>∠B. ∴∠B只有一解.∴∠B=45° .

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1.1.1(一)

1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任一边,求其它两边和一角.
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(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和两角. 2.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转 化:一方面可以化边为角,转化为三角函数问题来 解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问 题来解决.



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