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高三理科数学第一次练兵考试卷



里湖中学 2016-2017 学年度第一学期
姓名_________________试场号______________ 装订线内不要答题 ·订· · · · · · · ·线· · · · · ·装· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · ?·

高三理科数学第一次练兵考试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. )
(1)设全集 U ? {x ? N | x ? 2} ,集合 A ? {x ? N | x 2 ? 5} ,则 CU A ? ( ) A. ? B.{2} C.{5} D.{2,5}
2

之间的距离等于 (A) ?

? ,则 2

??? f ? ? 的值为( ?4?
4 5
(C)



3 5

(B) ?

3 5

(D)

4 5


(2)已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 ? a ? bi ? = ( (A) 3+4i (B) 5+4i
2 n


开始

? 2 x ? y ? 2 ? 0, x ? (9)若实数 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ? 0, 则 的取值范围是( y ? y ? 2, ?
(A) ? , 2 ? 3

(C) 3 ? 4i

(D) 5 ? 4i

?2 ?

? ?

(B) ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

(C) ? , 2 ? 2 )

?3 ?

? ?

(D) ?1, 2?

(3)设命题 p : ?n ? N , n ? 2 ,则 ?p 为( )
x=1,y=1,k=0

(10) 函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为(

A. ?n ? N , n ? 2
2

n

B. ?n ? N , n ? 2
2 2

n

C, ?n ? N , n ? 2
2

n

D, ?n ? N , n ? 2

n

s=x-y,t=x+y x=s,y=t

(4)已知 f ? x ? 在 R 上是奇函数,且满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,当 x ? ? 0, 2? 时,

f ? x ? ? 2x ,则 f ? 7 ? ? (
2

) (C) ?98 )
k≥3 是

(A) 2

(B) ?2

(D) 98

(11)将 5 位同学分别保送到北京大学,上海交通大学,中山大学这 3 所大学就读,每所大学至少
k=k+1

(5)执行如图所示的程序框 图 ,输出的结果为( (A) ? ?2 ,2 ? (C) ? ?4 ,? 4 ?

保送 1 人,则不同的保送方法共有(


) (C) 240 种 (D)540 种

考号

(B) ? ?4 ,0 ?

(A) 150 种

(B) 180 种

? 8? (D) ? 0 ,

(12)设函数 f '( x ) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x>0 时, xf '( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的取值范围是( )

输出(x,y)

(6)各项均为正数的等差数列 ?an ? 中, a4 a9 ? 36 ,则前 12 项和 S12 的最小 值为( ) (B) 48 (C) 60 (D) 72

结束

A.? ??, ?1? ? (0,1) C.? ??, ?1? ? (?1,0)

B.? ?1,0? ? ?1, ??? D.? 0,1? ? ?1, ???

班级

(A) 78

(7)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的 直角三角形,俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径,则这个几何 体的体积为( (A) ) (B)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. )
(13)已知向量 a , b 满足 | b |? 4 , a 在 b 方向上的投影是

1 b= ,则 a ? 2




3 ? 12

3 ? 6

(C)

3 ? 4

(D)

3 ? 3

俯视图

(14)已知 cos ?? ? ? ? ? ?

1 ?? ? ,则 sin ? 2? ? ? ? 3 2? ?

学校

(8)已知 sin ? ?

3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条对称轴 5 ?2 ?
1

a? ? (15) ? x ? 2 ? 展开式中的常数项为 180 ,则 a ? x ? ?

10



(21.) (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? e

mx

? x2 ? mx 。

(1)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,求 m 的取值范围。 选做题 (从以下三道题任选一道) (22.) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ ADE 为等边三角形.

(16)已知 y ? f ? x ? 为 R 上的连续可导函数,且 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则函数

g ? x ? ? xf ? x ? ?1 ? x ? 0? 的零点个数为__________.
三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. )
(17) (本小题满分 12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 已知 a1=10,a2 为整数, 且 Sn≤S4. (1) 求{an}的通项公式; (2) 设 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an an ?1

(18.) (本题 12 分)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球, 再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球. 根 据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下: 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期 一等奖 3红1蓝 200 元 望 E(X) 二等奖 3红0蓝 50 元 三等奖 2红1蓝 10 元 (19. ) (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)证明:AC=AB1; (Ⅱ)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值. (23).(本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? (t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, ? y ? t sin ?

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,曲线 C3 : ? ? 2 3 cos? (1)求 C2 与 C1 的交点的直角坐标系中的坐标 (2)若 C2 与 C1 相交于点 A,C1 与 C3 交于点 B,求|AB|的最大值. (24.) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式 已知函数 f ( x) = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) = x ? 3 . (20)(本小题满分 12 分) 设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. (Ⅱ)设 a >-1,且当 x ∈[ ? (Ⅰ)当 a =2 时,求不等式 f ( x) < g ( x) 的解集;

a 1 , )时, f ( x) ≤ g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

2

姓名_________________试场号______________ 装订线内不要答题 ··············· 装············ · ··········· 订 ················· 线 ···························································

·························································································································

里湖中学 2016-2017 第一学期 高三级理科数学答卷
题号 分数 一 二 三 总分

18.(12 分)

一.选择题(60 分) (1)[A][B][C][D] (2)[A][B][C][D] (3)[A][B][C][D] (4)[A][B][C][D] (5)[A][B][C][D] (6)[A][B][C][D] (7)[A][B][C][D] (10)[A][B][C][D] (8)[A][B][C][D] (11)[A][B][C][D] (9)[A][B][C][D] (12)[A][B][C][D]

二.填空题(20 分) 13. ______________ 15. ______________ 14. ______________ 16. ______________ 19.(12 分)

考号

三、解答题: (70 分) 17.(10 分)

学校

班级

3

20.(12 分)

选做题,选第(

)题(10 分)

21, (14 分)

高三理科数学大考试卷(1) (答案)
一.选择题:CADBB DABBC AA 二.填空题:13、2
4

14、 ?

7 9

15、 2 或 ?2 (答对 2 个给 5 分,答对 1 个给 3 分)

(参考答案)
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 A 8 B 9 B 10 D 11 A 12 A

综上知 X 的分布列为 X 0 10 50 200

4 2 P 35 105 4 6 2 1 从而有 E(X)=0× +10× +50× +200× =4(元) 35 7 105 105

6 7

1 105

二、填空题 13、 ( 2 ?

2, 2 ? 2)

14、 [

1 ,1) 16

15、

4 3 3

16、5

三、解答题 17 解:(1)由 a1=10,a2 为整数知,等差数列{an}的公差 d 为整数, 又 Sn≤S4,故 a4≥0,a5≤0,于是 10+3d≥0,10+4d≤0. 解得 ?

19.解: (1)连结 BC1,交 B1C 于点 O,连结 AO, ∵侧面 BB1C1C 为菱形,∴BC1⊥B1C,且 O 为 BC1 和 B1C 的中点, 又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面 ABO,∵AO?平面 ABO,∴B1C⊥AO, 又 B10=CO,∴AC=AB1, (2)∵AC⊥AB1,且 O 为 B1C 的中点,∴AO=CO, 又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB, ∴OA,OB,OB1 两两垂直, 以 O 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长度,

10 5 ? d ? ? .因此 d=-3. 3 2

数列{an}的通项公式为 an=13-3n. (2) bn ?

1 1? 1 1 ? = ? ? ?. ?13 ? 3n ??10 ? 3n ? 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?

的方向为 y 轴的正方向,

的方向为 z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

∵∠CBB1=60°,∴△CBB1 为正三角形,又 AB=BC, ∴A(0,0, ∴ =(0, ) ,B(1,0,0, ) ,B1(0, , ) , = ,0) ,C(0, ) , = ,0) =(﹣1, ,0) ,

于是 Tn=b1+b2+…+bn

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? …? ? ?? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ? ? 10 ? 3n 13 ? 3n ? ? n 1? 1 1? ? ?= = ? . 3 ? 10 ? 3n 10 ? 10?10 ? 3n ?
= 18.解:设 Ai 表示摸到 i 个红球,Bj 表示摸到 j 个蓝球, 则 Ai(i=0,1,2,3)与 Bj(j=0,1)独立.

=(1,0,

设向量 =(x,y,z)是平面 AA1B1 的法向量,

C1 C2 18 (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)= 3 3 4 ? . C7 35
(2)X 的所有可能值为 0,10,50,200,且 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)= P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=



,可取 =(1,



) ,

同理可得平面 A1B1C1 的一个法向量 =(1,﹣ ∴cos< , >= = ,



) ,

C 1 1 , ? ? C 3 105
3 3 3 7 2 3

3 3 3 7

C 2 2 , ? ? C 3 105

C C1 12 4 4 1 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= ? ? ? , 3 C7 3 105 35 1 2 4 6 ? ? ? . P(X=0)= 1 ? 105 105 35 7

∴二面角 A﹣A1B1﹣C1 的余弦值为

5

20.解:解:(1) 因 f(x)=a(x-5)2+6ln x,故 f′(x)=2a(x-5)+

6 . x

当 m ? [?1,1] 时, g (m) ? 0, g (?m) ? 0 ,即①式成立; 当 m ? 1 时,由 g (t ) 的单调性, g (m) ? 0 ,即 e ? m ? e ? 1 ;
m

令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1), 由点(0,6)在切线上可得 6-16a

1 . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x (x>0), 2 6 ? x ? 2 ?? x ? 3? f′(x)=x-5+ = . x x
=8a-6,故 a ? 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= 21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? m(e
mx

当 m ? ?1 时, g (?m) ? 0 ,即 e 综上, m 的取值范围是[-1,1]

?m

? m ? e ?1

9 +6ln 2,在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln3 2

22. 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE,∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E; (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上,∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形.
2 2 23 解 : ( Ⅰ ) 曲 线 C2 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 2 y ? 0 , 曲 线 C3 的 直 角 坐 标 方 程 为

?1) ? 2x
mx

若 m ? 0 ,则当 x ? (??, 0) 时, e 当 x ? (0, ??) 时, e
mx

? 1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;

? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0
mx

x2 ? y2 ? 2 3x ? 0 .
? x ? y ? 2 y ? 0, ? 联立 ? 2 2 ? ? x ? y ? 2 3x ? 0
2 2

若 m ? 0 ,则当 x ? (??, 0) 时, e 当 x ? (0, ??) 时, e
mx

? 1 ? 0, f ?( x) ? 0 ;

? 1 ? 0 , f ?( x) ? 0

? x ? 0, 解得 ? ? y ? 0,

? x? ? ? 或? ?y ? ? ?

3 , 2 3 . 2

所以, f ( x ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增 所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为 (0, 0) 和 ( (Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的 m, f ( x) 在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故 f ( x ) 在 x ? 0 处取 得最小值,所以对于任意 x1 , x2 ?[?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 的充要条件是

3 3 , ) 2 2

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? ? ( ? ? R, ? ? 0) ,其中 0 ? ? ? ? 因此 A 的极坐标为 (2sin ? , ? ) , B 的极坐标为 (2 3 cos ? , ? )

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ? ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,
t

m ? ?e ? m ? e ? 1, 即 ? ?m ? ?e ? m ? e ? 1,



所以 | AB |?| 2sin ? ? 2 3 cos ? |? 4 | sin(? ? 当? ?

?
3

)|

设函数 g (t ) ? e ? t ? e ? 1 ,则 g ?(t ) ? e ? 1
t

5? 时, | AB | 取得最大值,最大值为 4 6

当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 , 故 g (t ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增。 又 g (1) ? 0, g (?1) ? e ? 2 ? e ? 0 ,故当 t ? [?1,1] 时, g (t ) ? 0
6
?1

24 解:当 a =-2 时,不等式 f ( x) < g ( x) 化为 | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 ,

1 ? x? ??5 x, 2 ? 1 ? ? x ?1, 设函数 y = | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 , y = ? ? x ? 2, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?
其图像如图所示

从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时, y <0,∴原不等式解集是 {x | 0 ? x ? 2} . (Ⅱ)当 x ∈[ ?

a 1 , )时, f ( x) = 1 ? a ,不等式 f ( x) ≤ g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 , 2 2 4 a 1 a , )都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ≤ , 3 2 2 2
4 ]. 3

∴ x ? a ? 2 对 x ∈[ ?

∴ a 的取值范围为(-1,

7



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