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等差数列的n项和(2课时)1



助人为乐
在我校旁边的一个建筑工地上放了一堆钢 管,呈V字型堆放,如图。工地老板要求一个老师 傅清点一下钢管数。现在这位老师傅已经数了 一节课仍未数完,你们能有办法帮助他吗?
第 1 00 层

第4层 第3层 第2层 第1层

问题转化为求

1? 2 ? 3 ?

? 99

? 100 ? ?

高斯在10岁时 就能解决的问题

高斯算法
首项与末项的和:1+100=101, 第2项与倒数第2项的和:2+99=101, 第3项与倒数第3项的和:3+98=101, …… 第50项与倒数第50项的和:50+51=101. 于是所求的和为: (1 ? 100) ? 100 ? 5050 上述求解过程带给我们什么启示?

2

(1)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。 (2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示,将加法问 题转化为乘法问题,快速得到结果.

想一想 如何快速算出 1 ? 2 ? 3 ?

? 24 ? 25 ? ?

1 ?2 ?3 ? 25 ? 24 ? 23 ?
26 ? 26 ? 26 ?

? 24 ? 25, ? 2 ? 1,
? 26 ? 26,

(1)求1+2+3+…+(n-1)+n.

n( n ? 1) 2

(2)如何来求等差数列{an}的前n项的和Sn? 一般地,称 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an 为数列{an}

的前n项和,用Sn来表示,即
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an

等差数列{an}前n项和的公式

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

公式的记忆
a1 a1
n

n

an

a1

(n-1)d

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2

n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 的应用 2
例1计算:
(1)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n; (2)1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ??? ? (2n ? 1); n2 (3)2 ? 4 ? 6 ? ??? ? 2n; n(n ? 1) (4)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ??? ? (2n ? 1) ? 2n.
n( n ? 1) 2

小 结 论

-n

练练看

n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d的应用 2
解:设题中的等差数列为 {an } ,前n项和为 Sn 则 a1 ? ?10, d ? (?6) ? (?10) ? 4, Sn ? 54 由公式可得
? 10 n ? n(n ? 1) ? 4 ? 54 2

1. 等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?

解之得: n1 ? 9, n2 ? ?3(舍去)

∴等差数列-10,-6,-2,2…前9项的和是54

(2)不需要做

课堂练习

例2.在小于100的正整数中共有多少个数 被7除余1?这些数的和是多少?.

例题选讲
例3.已知一个等差数列的前10项的和是
310,前20项的和是1220,求前30项和,

你可以很快求出前40项和吗?由此可以
确定其前n项和的公式吗?

规律小结

课堂小结
1.等差数列的前n项和公式
n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2

公式2 Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

2.两种数学思想方法. (1)求和的一种重要方法------倒序相加法. (2)“知三求二”的方程思想.

等差数列前n项和第2课时

1 例1.已知数列{an}的前n项为S n ? n ? n, 2
2

求这个数列的通项公式.这个数列是等差 数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什 么?

合作探究
探究内容
一般地,如果一个数列{an}的前n项和为

Sn ? pn ? qn ? r,
2

其中p,q,r为常数,且p≠0,那么这个数列一 定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差 分别是什么?

重要结论 一般地,

Sn ? an ? bn(a, b为常数,n ? N *)
2

? {an }是等差数列.

复习
3.已知Sn,如何来求an.

an ?

S1 n=1 Sn ? Sn?1 n ? 2

等差数列判定方法

(1)定义法:

an?1 ? an ? 常数

(2)看通项法:

an ? kn ? b (其中k,b为常数)
(3)看前n项和法:

Sn ? an ? bn(a, b为常数,n ? N*)
2

例题选讲

例2.已知等差数列

2 4 5, 4 ,3 , ??? 7 7
的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.

在等差数列{an}中,

最大值 ①a1>0,d<0,则Sn存在_______.

an ? 0 可通过 ,求得n的值. an?1 ? 0
最小值 ②a1<0,d>0,则Sn存在_______.

an ? 0 可通过 ,求得n的值. an?1 ? 0

方法总结 求等差数列的前n项和的最值问 题主要有两种方法: (1)利用an取值的正负情况来研究数列 的和的变化情况.
1 2 d (2)利用Sn:由 Sn ? dn ? (a1 ? )n ,利用 2 2

二次函数求得Sn取得最值时n的值.

课堂练习

等差数列{an}中,首项a1<0,S3 = S11, 问:这个数列的前几项的和最小?



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