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高二数学第一章



高二数学立体几何强化训练 一、选择题 1.空间五个点,没有三个点共线,但有四个点共面,这样的五个点可以确定( )平面。 A.3 个 B.5 个 C.8 个 D.7 个 2.已知命题:“直线 a 上的两个点 A,B 在平面 α 内。”与它不等价的命题是 A.直线 a 在平面 α 内 B.平面 α 通过直线 C.直线 a 上只有两点在平面 α 内 D.直线 a 上的所有点都在平面 α

内 3.空间有 n(n≥3)条直线,其中任意两条都相交,那么 n 条直线一定是 A.共面 B.不共面但过同一点 C.过同一点或共面 D.既不过同一点又不共面 4.下列各个条件中,可以确定一个平面的是 A.三个点 B.两条不重合直线 C.一个点一条直线 D.不共点的两两相交的三条直线 5.l 是平面 M 的一条斜线,在 l 上任取两点,在 M 上任取三点,则五点最多可以确定面。 A.6 个 B.7 个 C.9 个 D.10 个 6.四个命题: (1)直线 a 在平面 α 内,a 也在平面 β 内,则 α,β 重合。 (2)直线 a,b 相交,直线 b,c 也相交,则直线 a,c 也必相交。 (3)直线 a,b 共面,直线 b,c 也共面,则直线 a,c 也必共面。 (4)a 在平面 α 外,则直线 a 与平面 α 内任何一点都可惟一确定一个平面。 以上四个命题中错误的命题个是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7.若平面 α 上有三点到平面 β 的距离都相等,则 α 与 β 的关系是 A.α 与 β 平行 B.α 与 β 相交 C.α 与 β 平行或相交 D.以上结论都不是 8.条件Ⅰ:两条直线不平行;条件Ⅱ:两条直线为异面直线。则Ⅰ是Ⅱ的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.分别与两条异面直线同时相交的两条直线 A.一定是异面直线 B.不可能是平行的 C.不可能是相交的 D.可以是平行的 10.异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,若 α∩β=l,则直线 l 必定是 A.分别与 a,b 相交 B.与 a,b 都不相交 C.至少与 a,b 中之一相交 D.至多与 a,b 中之一相交 11.判断下列命题有几个是不正确的 ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。 ②在空间不相交的两条直线一定是异面直线。 ③不同在一个平面内的两条直线一定是异面直线。 ④既不平行也不相交的两条直线所在的直线一定是异面直线 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 12.若空间四边形 ABCD 的两条对角线 AC,BD 的长度分别为 8,12,则平行于两对角线的截面四边形的 周长的取值范围 A. (16,24) B. (8,20) C. (16,20) D. (20,24) 13.如图 7-18,已知空间四边形 ABCD 中,∠ABC+∠CBD=∠DBA=90° ,则∠ADC 的大小

A.一定也是直角 B.一定是钝角 C.一定是锐角 二、基本题型 1.判断题(对的打"√",错的打"× ") (1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 ( ) (2)两线段 AB、CD 不在同一平面内,如果 AC=BD,AD=BC,则 AB⊥CD( ) (3)在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60o ( ) (4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直 ( ) 2.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中 ①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60o 角; ④DM 与 BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是 ( ) (A)①②③ (B)②④ (C)③④ (D)②③④ 3. 已知空间四边形 ABCD.(1)求证: 对角线 AC 与 BD 是异面直线;(2)若 AC⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形 EFGH 的形状;(3)若 AB=BC=CD=DA,作出异面直线 AC 与 BD 的公垂线段.翰林汇 4.完成下列证明,已知直线 a、b、c 不共面,它们相交于点 P,A?a,D?a,B?b,E?c 求证:BD 和 AE 是异面直 线 证明:假设__ 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面__内 (A?a,D?a,∴__?γ. (P?a,∴P?__. (P?b,B?b,P?c,E?c ∴__??,__??,这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 5 已知分别是空间四边形四条边的中点, (1)求证四边形是平行四边形(2)若 AC⊥BD 时,求证:为矩形; (3) 若 BD=2, AC=6, 求; (4) 若 AC、 BD 成 30o 角, AC=6, BD=4, 求四边形的面积; (5) 若 AB=BC=CD=DA=AC=BD=2, 求 AC 与 BD 间的距离. 6 空间四边形中, ,分别是的中点, ,求异面直线所成的角 7. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求(1)A1B 与 B1D1 所成角;(2)AC 与 BD1 所成角.翰林汇翰林汇 8.在长方体中,已知 AB=a,BC=b,=c(a>b),求异面直线与 AC 所成角的余弦值 9.如图,已知是平行四边形所在平面外一点, 、分别是、的中点(1)求证:平面; (2)若, , 求异面直线与所 成的角的大小 10.如图,正方形与不在同一平面内,、分别在、上,且 求证:平面

参考答案: 1.(1)× (2)× (3)√ (4)× 2. C 3. 证明:(1)∵ABCD 是空间四边形,∴A 点不在平面 BCD 上,而 C 平面 BCD, ∴AC 过平面 BCD 外一点 A 与平面 BCD 内一点 C, 又∵BD 平面 BCD,且 CBD.∴AC 与 BD 是异面直线. (2)解如图,∵E,F 分别为 AB,BC 的中点,∴EF//AC,且 EF=AC. 同理 HG//AC,且 HG=AC.∴EF 平行且相等 HG,∴EFGH 是平行四边形. 又∵F,G 分别为 BC,CD 的中点,∴FG//BD,∴∠EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH 是矩形. (3)作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求. 4. 答案:假设 BD、AE 共面于?,则点 A、E、B、D 都在平面 ? 内 ∵A?a,D?a,∴ a ??. ∵P?a,P? ? . ∵P?b,B?b,P?c,E?c. ∴ b ??,c ??,这与 a、b、c 不共面矛盾

∴BD、AE 是异面直线翰林 5. 证明(1) :连结,∵是的边上的中点,∴, 同理, ,∴, 同理, ,所以,四边形是平行四边形 证明(2) :由(1)四边形是平行四边形 ∵, ,∴由 AC⊥BD 得, ,∴为矩形. 解(3) :由(1)四边形是平行四边形 ∵BD=2,AC=6,∴ ∴由平行四边形的对角线的性质 . 解(4) :由(1)四边形是平行四边形 ∵BD=4,AC=6,∴ 又∵, ,AC、BD 成 30o 角,∴EF、EH 成 30o 角, ∴四边形的面积 . 解(5) :分别取 AC 与 BD 的中点 M、N,连接 MN、MB、MD、NA、NC, ∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,∴MB=MD=NA=NC= ∴,∴MN 是 AC 与 BD 的公垂线段 且 ∴AC 与 BD 间的距离为. 6. 解:取中点,连结,∵分别是的中点, ∴且, ∴异面直线所成的角即为所成的角, 在中, , ∴,异面直线所成的角为. 7. 解(1)如图,连结 BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴DD1 平行且相等 BB1. ∴DBB1D1 为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D 是全等的正方形的对角线. ∴A1B=BD=A1D,△A1BD 是正三角形,∴∠A1BD=60o, ∵∠A1BD 是锐角,∴∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角.∴A1B 与 B1D1 成角为 60o. (2)连 BD 交 AC 于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC.∵O 为 BD 中点,∴OE//BD1. ∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC. 在等腰△EAC 中,∵O 是 AC 的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o. 又∴∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成角,∴AC 与 BD1 成角 90o. 8. 解(1)如图,连结 BD,A1D, ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴DD1 平行且相等 BB1. ∴DBB1D1 为平行四边形,∴BD//B1D1. ∴A1B,BD,A1D 是全等的正方形的对角线. ∴A1B=BD=A1D,△A1BD 是正三角形, ∴∠A1BD=60o, ∵∠A1BD 是锐角, ∴∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角. ∴A1B 与 B1D1 成角为 60o. (2)连 BD 交 AC 于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC. ∵O 为 BD 中点,∴OE//BD1. ∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC. 在等腰△EAC 中,∵O 是 AC 的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o. 又∴∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成角,∴AC 与 BD 成角 90o.

9. 略证(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,

为平行四边形

解(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半,ON 平行且等于 PA 的一半, 所以就是异面直线与所成的角,由,得,OM=2,ON= 所以,即异面直线与成的角 10. 略证:作分别交 BC、BE 于 T、H 点



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