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广东仲元中学2007-2008学年度高一数学第一学期期中考试试题



广东仲元中学2007-2008学年度高一数学第一学期期中考试试 题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项: 1.在答第一卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上. 2.选择题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,

不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内, 如需改动,先划掉原来的答案,再写上新的答案.

第Ⅰ卷 选择题(共50分) 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题的四个选项中只有一 项是符合题目要求的. 1.给出四个关系式:① ? ? ?0?;② 0 ? ?0? ;③ ? ? ?0?;④ ? ? ?0? .其中表述正确的是( )
(A) ①② (A). 2.已知 A ? x x ? x ? 2 ? 0 , B ? x ? 2 ? x ? 2 ,则 A ? B 等于
2

?x ? 1 ? x ? 2?
1 1? x

?

(B) ①③ B.

?

(C) ①④

?

?

(D) ②④ ( )

?2?

C.

?? 1?
( )

D.

?? 1,2?

3.函数 f ( x) ? (A) ?? ?,1?
2

的定义域是

(B) ?? ?,1?

(C) ?1,?? ?

(D) ?? ?,1? ? ?1,??? ( )

4.若 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 3 是偶函数,则 a = (A)0 5.三个数 6
6

(B)1
0.7

(C)2. )
0.7

(D)3

,0.7 6 , log 0.7 6 的大小顺序是 (
0.7

(A) 0.7 ? log 0.7 6 ? 6 (C) log 0.7 6 ? 0.7 ? 6
6

(B) 0.7 ? 6
6

? log 0.7 6
0.7

0.7

(D) log 0.7 6 ? 6 )

? 0.7 6

6.下列函数在 ?0,??? 上不是增函数的是( ..

(A) y ? 2 x ? 1

(B) y ?

7.根据表格中的数据,可以断定方程 e ? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间是( x -1 0 1 2 3
x

2 x

(C) y ? 2 x ? 1
2

(D) y ? x ? x ? 1
2



ex
x?2

0.37 1

1 2 B. (0,1)

2.72 3 C. (1,2) (

7.39 4 )

20.09 5 D. (2,3)

A. (-1,0)

8.设定义在 R 上的函数 f ( x ) ? x x ,则 f(x) (A)既是奇函数,又是增函数 (C) 既是奇函数,又是减函数
x

(B) 既是偶函数,又是增函数 (D) 既是偶函数,又是减函数

9.若函数 y ? a ? m ? 1 的图象经过第一、三、四象限,则 (A) a>1 且 m>1 (B) a>1 且 m<0 (C) 0<a<1 且 m>0 ( D)0<a<1 且 m<1 10、函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在区间 ?? 2,?? ? 上是增函数,则 f (1) 的取值范围是(
2



A. f (1) ? 25

B. f (1) ? 25

C. f (1) ? 25

D. f (1) ? 25

第Ⅱ卷(非选择题

共100分)

二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 的值域是 12.设 a>0,且 a ? 2, a ? 3 , a
x y

3 x?2 y

=

13.不等式 log 3 x ? 1 的解集是 14.对于函数 f (x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④ f(

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0; x1 ? x 2
x

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2

当 f ( x) ? e 时,上述结论中正确结论的序号是

三.解答题(本大题6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (本题满分 12 分)已知集合 A ? x 3 ? x ? 7 , B ? x 2 ? x ? 10 ,

?

?

?

?

求(1) A ? B ; (2) A ? B ; (3) A ? (C R B) .

16. (本题满分 12 分)计算下列各式

? 7 ?2 ? 64 ? 3 0 (1) ? 2 ? ? 0.1?2 ? ? ? ? 3? ; ? 9? ? 27 ?
(2) lg14 ? 2lg

1

1

7 ? lg 7 ? lg18 . 3

x 2 ,( x ? 2)
17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) =

6 ? x,( x ? 2)
(1)求 f (?3), f (3) ; (2)画出函数 f ( x) 的图像,并写出单调区间.

18. (本题满分 14 分)某工厂生产数据如下表: 月份 产量(万件) 1 1 2 3
x

3 6

现有两种模型来刻画该产品的月产量万件与月份数的关系: y ? a ? b ? c 和二次函数

y ? a x 2 ? bx ? c (a≠0) ,若 4 月份产量是 10 万件,请问选哪个模型较好。

19. (15 分)已知二次函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 1 .
2

(1) 当 x ? ?? 2,1? 时,求函数的最值; (2) x ? ?? 2,3? 时,求函数的最值; (3)设 f (x) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最小值是 g (t ) ,求 g (t ) 的表达式.

20.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

px 2 ? 2 5 是奇函数,且 f (2) ? ? . q ? 3x 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)试讨论函数 f ( x) 的单调性,并用定义加以证明.

答案
一.选择题:ADACC BCABA 12. 二.填空题:11. ?1,?? ? ; 三.解答题: 15.(满分 12 份)解: (各 4 分)(1) A ? B = x 2 ? x ? 10 ;(2) A ? B = x 3 ? x ? 7 ; (3) A ? (C R B) = x x ? 7或x ? 10

8 ; 9

13. (0,3);

14 .

①③④

?

?

?

?

?

?
2

16.(满分 12 份)解: (各 6 分) (1)100; (2)原式 ? lg(2 ? 7) ? 2(lg 7 ? lg 3) ? lg 7 ? lg(2 ? 3 ) = lg 2 ? lg 7 ? 2lg 7 ? 2lg3 ? lg 7 ? lg 2 ? 2lg3 =0 17、解(1) f (?3) ? (?3) ? 9 , f (3) ? 6 ? 3 ? 3
2

(4分)

(2) Y

O

x

图像(8分) 由图象知函数 f ( x) 的单调递减区间为 (??,0] 和 [2, ??) ,单调递增区间为 [0, 2) .(12分) 18.解: (1)若选用指数型函数 y ? a ? b ? c ,则
x

1=ab+c 3=ab2+c 6=ab3+c ∴y?

8 3 ? a ? , b ? , c ? ?3 3 2

8 3 x ( ) ? 3 ,当 x=4 时,y=10.5 (6 分) 3 2
2

(2)若选用二次函数 y ? a x ? bx ? c (a≠0) ,则 1=a+b+c 3=4a+2b+c 6=9a+3b+c ∴y?

1 1 ? a ? ,b ? ,c ? 0 2 2

1 2 1 x ? x ,当 x=4 时,y=10(12 分) 2 2
2

所以,比较(1) ,用函数 y ? a x ? bx ? c (a≠0)作为模型较好.(14 分) (2) 19.(满分 15 份)解: f ( x) ? x ? 4 x ? 1 = ( x ? 2) ? 3 ,抛物线开口向上,对称轴为 x=2,
2 2

(1) 由于抛物线的对称轴在区间 ?? 2,1? 的右侧,因此函数在 ?? 2,1? 上单调递减, 所以,当 x=-2 时,函数取得最大值 f(-2)=13, 当 x=1 时,函数取得最小值 f(1)= -2……4 分 (2) 由于对称轴在区间 ?? 2,3? 内,所以当 x=2 时,函数取得最小值 f(2)= -3, 当 x=-2 时,函数取到最大值 f(-2)=13. ……………8 分 (3) 当 2 ? ?t , t ? 1? ,即 1 ? t ? 2 时, g (t ) ? f (2) ? ?3 (10 分) ; 当 t>2 时,函数 f ( x) 在 [t , t ? 1] 上是增函数, g (t ) ? f (t ) ? t ? 4t ? 1 ; (12 分)
2

当 t ? 1 ? 2 ,即 t<1 时, f ( x) 在 [t , t ? 1] 上是减函数,

g (t ) ? f (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? 3 ? t 2 ? 2t ? 2
∴ g (t ) =

(14 分).

t 2 ? 2t ? 2 ,t<1 -3 1? t ? 2
t 2 ? 4t ? 1 ,

t>2 ……………15 分 20. (满分 15 份)解: (1)∵ f (x) 是奇函数,∴对定义域内的任意 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x)(2 分) ,即

px 2 ? 2 px 2 ? 2 ?? ,整理得 q ? 3x ? ?q ? 3x ,∴q=0 (4 分) q ? 3x q ? 3x

又∵ f (2) ? ?

2x 2 ? 2 5 ,解得 p=2,∴ f ( x) ? ? 3x 3

(6 分)

(2) 由(1) f ( x) ?

2x 2 ? 2 2 1 (7 ? ? ( x ? ) ,定义域为 (??, 0) ? (0, ??) , 分) ? 3x 3 x

可以判断函 f(x)在 (??, ?1)和(1, ??) 为减函数,在(-1,0)和(0,1)上单调递增.(8 分) 证明: 由于函数 f (x ) 是奇函数,所以先证明函数 f (x ) 在 (0, ??) 上的单调性. 设 0 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

x x ?1 2 1 2 1 2 ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) ? ( x2 ? x1 ) 1 2 (10 分) 3 x1 3 x2 3 x1 x2

当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时 , 0 ? x1 x2 ? 1 ,

? x1 x2 ? 1 ? 0 , 又 x2 ? x1 ? 0 从 而 得 到

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .∴函数 f(x)在(0,1]上单调递增.(12 分)
当 1 ? x1 ? x2 时, x1 x2 ? 1 ,? x1 x2 ? 1 ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

?f(x)在(1, ??) 上单调递减.(13 分)
由于函数 f (x ) 是奇函数,其图像关于原点对称,所以函数 f (x ) 在[-1,0)上是增函数,在

(??, ?1) 上是减函数.(15 分)



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