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高中数学圆锥曲线专题复习-双曲线


高中数学圆锥曲线复习双曲线
一、考点回顾 1. 双曲线的定义 (1)第一定义:当 || PF 1 | ? | PF 2 当 || PF 1 | ? | PF 2 当|

||? 2a ?| F1F2 | 时, P 的轨迹为双曲线;

||? 2a ?| F1F2 | 时, P 的轨迹不存在;

PF1 ? PF 2 |? 2a ? F1F 2 时, P 的轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线

(2)双曲线的第二定义 平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常数 e ( e ? 1 )的点的轨迹为双曲线 2. 双曲线的标准方程与几何性质 标准方程

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(c,0), (?c,0) ,

y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(0, c), (0,?c)

焦点 性 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率

2c
| x |? a, y ? R
(a,0), (?a,0)
关于 x 轴、y 轴和原点对称

| y |? a, x ? R
(0,?a ), (0, a)

c e ? ? (1, ??) a

准线

x??

a2 c

y??

a2 c

渐近线

b y?? x a

a y?? x b

与双曲线

2 x2 y2 y2 ? 2 ? 1共渐近线的双曲线系方程为: x 2 ? 2 ? ? (? ? 0) 2 a b a b

2 2 2 等轴双曲线 x ? y ? ? a 的渐近线方程为 y ? ? x ,离心率为 e ?

2 .;

注意:焦点的位置 问题:双曲线的渐近线为 y ? ? 3 x ,则离心率为

2

点拨:当焦点在 x 轴上时, b ? 3 , e ? 13 ;当焦点在 y 轴上时, a ? 3 , e ? 13 2 3 a 2 b 2

二、考试热点分析
▲考点 1:考定义 例 1(1)已知 F 1 , F2 距离之差为 6,则 P 的轨迹是 1 (?5, 0), F2 (5, 0) ,一曲线上的动点 P 到 F 其方程为

1

(2)P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距为 2c,则 ?PF1 F2 的内切 a 2 b2
) (A ) ? a (B) ? b (C) ? c (D ) a ? b ? c

圆的圆心的横坐标为( 练习 1(1)设 P 为双曲线 x 2 为 ( )A. 6

?

y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则△ PF1F2 的面积 12
B.12 C. 12

3

3

D.24

(2)如图 2 所示, F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称,则 9 16
) A.9 B.16 C.18 D.27

P 1F ? P 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6 F 的值是(
考点 2:考标准方程或渐近线.准线方程 例 2(1)已知双曲线

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3 x ,它的一个焦点在抛物线 y ? 24 x 的准线 2 a b
2 2 )om(A) x ? y ? 1

上,则双曲线的方程为(
2 2

36 108

(B)

x2 y2 ? ?1 9 27

2 2 (C ) x ? y ? 1

108

36

2 2 (D) x ? y ? 1

27

9

x y ? 2 ? 1(a>0,b>0) 2 x2 b (2)已知双曲线 a 的两条渐近线均和圆 C:
的圆心,则该双曲线的方程为( 练习 2: (1)已知双曲线

? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C
x2 y2 ? ?1 6 C. 3 x2 y2 ? ?1 3 D. 6

x2 y2 ? ?1 4 )A. 5

x2 y2 ? ?1 5 B. 4

x2 y2 x2 y2 的离心率为 2 ,焦点与椭圆 ? ? 1 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 a2 b2 25 9
;渐近线方程为 。

(2)错误! 未找到引用源。 已知圆 C : x

2

? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点
.

和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为

(3)设

F1 、 F2 分 别 为 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) a 2 b2

的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点

P ,满足

PF 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( 2 ? F 1F 2 ,且 F2 到直线 PF
(A) 3 x ? 4 y

)

?0

(B) 3 x ? 5 y

?0



C) 4 x ? 3 y

?0

(D) 5 x ? 4 y

?0

考点 3:考几何性质 例 3.(1)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离 心率为 w ( ) (A)
2

2

(B)

3

(C) 3 ? 1 2

(D)

5 ?1 2

(2)已知 F1 、F2 为双曲线 C: x (A)u.c( ( 3 2

0 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, ∠ F1 P F2 = 60 , 则 P 到 x 轴的距离为 w_(

).

(B) 6 2

(C)

3

(D)

6

(3)设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足

PF1 : F1F2 : PF2

=4:3:2,则曲线 r 的离心率等

于_(

).

1 3 或 A. 2 2

2 B. 3 或 2

1 或 C. 2 2

2 3 或 D. 3 2

2

(4)已知 F1,F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B a2 b2
) (D). ( (B). (1,1 ?

两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( (A). (1 ?

2 ,??)

2)

(C). (1,

3)

3,2 2 )
P 在双曲线的右支上,且

练习 3 、 (1 )已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 a 2 b2

| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为
(2)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为 A、B a2 b2
)A.

两点,若∠AEB=60°,则该双曲线的离心率 e 是(

5 ?1 2

B.2

C.

5 ?1或 2 2

D.不存在

(3)设 e1 , e 2 分别为具有公共焦点 F1 与 F 2 的椭圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公共点,且满足
2 e12 ? e2 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 (e1e2 ) 2

的值为(

)

A.

1 2

B.1

C.2

D.不确定

考点 4:考直线与双曲线位置关系 例 4(1)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为

? 2, 0 ? ,右顶点为 ?

3,0

? .(Ⅰ)求双曲线 C 的方程 (Ⅱ)若直线

,求 k 的取值范围 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点)

(2)直线

y ? kx ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的同一支上?当 a 为何值

时,A、B 分别在双曲线的两支上?

练习四 3

已知直线

y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1 交于 A 、 B 点。

(1)求 a 的取值范围; (2)若以 点关于直线

A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值;(3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两

y?

1 x 对称?若存在,请求出 a 的值;若不存在,说明理由。 2

课后巩固 1.曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? n ? 9) 的 ( 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
B.焦点相同 C.离心率相等



A.焦距相等

D.以上都不对

2 2 2 设 F1 和 F2 为双曲线 x ? y ? 1 ( a 2 2

a

b

? 0, b ? 0 )的两个焦点,
B. 2

若 F1,F2 , P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线 C.

的离心率为 (

)

A.

3 2

5 2

D.3

3.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F 2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双 2 b2
) A. -12 B. -2 C. 0 D. 4

曲线上.则 PF1 ? PF2 =(

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点, 4.. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 点 P 为椭圆上的任意一点, 则 OP FP 的最大值为 k( 4 3
A.2 B.3
2

)

C.6

D.8 )

5.已知 F1 、F2 为双曲线 C: x c o*m(A)2

0 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, ∠ F1 P F2 = 60 , 则 | PF 1 | | PF2 |? w5_u.(

(B)4

(C) 6

(D) 8

6.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 P( 3, y) 0 2 b2
4

在该双曲线

上,则 PF 1 ? PF2 =

(

)

A.

?12

B.

?2

C .0

D. 4

7.(本小题满分 12 分)已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x=

1 ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直 2

线 l 的距离的 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由.

8.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 3 。 2 a b 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ文)已知直线 x ?

y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆

x 2 ? y 2 ? 5 上,求 m (Ⅱ理)设直线 l 是圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C
交于不同的两点

A, B ,证明 ?AOB 的大小为定值.

9.已知椭圆 C1 的方程为 右焦点.

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C 的左、右焦点分别为 C 的左、右顶点, 4
2 1 1 2 2

C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、

(1)求双曲线 C2 的方程; 且 l 与 C 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 y ? kx ? 2 与椭圆 C 及双曲线 C 都恒有两个不同的交点, 5

(2) 若直线 l :

(其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围.

高中数学圆锥曲线复习(2)---------双曲线参考答案
2 2 ▲考点 1:考定义例 1(1)双曲线的右支.其方程为 x ? y ? 1( x ? 0) (2) A (3) 练习 1

9

16

(1)B

(2)

C

6

考点 2:考标准方程或渐近线.准线方程例 2(1) B (2)A 练习 2: (1) (4,0)

(-4,0)

Y= ?

3x

(2)

(3)C

b2 考点 3:考几何性质例 3.(1) D (2) B (3)A(4)[解析] a ? 1 ? c 2 ? a 2 ? 2ac ? e2 ? 2e ? 1 ? 0 ? e ? 1 ? 2 ,选 B 2c

5(2) B (3) C 练习 3、 (1) 3

[解析] C.

设 | PF , 1 | ? | PF2 |? 2m , , 2 |? a ? m , ? | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a | PF 1 |? a ? m | PF

(a ? m)2 ? (a ? m)2 ? 4c2 ? a 2 ? m2 ? 2c 2 ? 12 ? 12 ? 2
e1 e2
考点 4:考直线与圆锥曲线位置关系 例4
2 2 1 题 .解(1)设双曲线方程为 x ? y ? 1 由已知得 a ? 3, c ? 2 ,再由 a 2 ? b2 ? 22 ,得 b 2 ? 1 2 2

a

b

故双曲线 C 的方

2 2 程为 x ? y 2 ? 1 .(2)将 y ? kx ? 2 代入 x ? y 2 ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 由直线 l 与双曲线交与不同的两点

3

3

得?

?1 ? 3k 2 ? 0 ? ? ? 6 2k ? ?

?

?

2

? 36(1 ? 32 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0

即 k2 ? 1 且 k

2

3

? 1.



设 A? xA , yA ? , B( xA , yB ), ,则

x A ? yB ?

6 2 ?9 ,由 OA ? OB ? 2 得 xA xB ? yA yB ? 2 , , x A yB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxb ? 2) ? (k 2 ? 1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

?3k 2 ? 9 ?9 6 2k 3k 2 ? 7 .于是 3k 2 ? 7 1 ? 2 ,即 ? 0 解此不等式得 ? k 2 ? 3. ② ? 22k ?2? 2 2 2 2 3k ? 1 3k 2 ? 1 1 ? 3k 1 ? 3k 3k ? 1 3 1 2 由①+②得 ? k ? 1 故的取值范围为 3 ? 3 ? (?1, ? ) ? ,1? ? ? 3 3 ? 3 ?

? (k 2 ? 1)

2 题.解: 把 y ? kx ? 1 代入 3x 2 ? y 2 ? 1 整理得: (3 ? a 2 ) x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ……(1) 当a

? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 2 由 ? >0 得 ? 6 ?a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x 2 故当 ? 3题

?

2 >0 a ?3
2

,所以 a? ?

3 或 a? 3

王新敞
奎屯

新疆

6 ?a? ? 3 或 3?a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3?a 3 时,A、B 两点在双曲线的两支上
解析

王新敞
奎屯

新疆

① 设 P(x,y)是所求曲线 C′上任意一点,P 点关于直线 L 的对称点 Q(x0,y0)在已知曲线 C 上。
解得 ? x0 ? y ? 1 代入 C 的方程得(y+1)2-(x-1)2=1,即得 C′的方程。 ? ? y0 ? x ? 1

? y0 ? y ? ?1 ∴? ? x0 ? x ? ? y 0 ? y ? x0 ? x ? 1 ? 2 ? 2

2) ①当 C 与 C′有公共点且在 L 上时, 此公共点也即是 C 与 L 的公共点。 ∴方程组 ? y ? kx ? 1 有实数解,∴方程 x2-(kx-1)2=1 ? 2 2 ?x ? y ? 1 有实根,∴(1-k2)x2+2kx-2=0 有实根。当 k2=1,即 k=±1 时,方程有实根 x=±1,C 与 L 有两个公共点; 当 k2≠1,即 k≠±1 时,△=4k2+8(1-k2) ≥0,解得∴当-

2 ≤k≤ 2 ,且 k≠±1。

2 ≤k≤ 2 时,C 与 L 有公共点,C 与 C′也有公共点。

②当 C 与 C′的公共点 P 不在 L 上时,则 P 点关于 L 的对称点 Q 也是 C 与 C′的公共点,所以 P、Q 两点均在 C 上,即 C 上有不同两点 P、Q 关于 L 对称。

7

设 P 、 Q 所 在 直 线 的 方 程 是 y= -

1 k

x+b(k ≠ 0) 。 由 ? y ? ? k x ? b 消 去 y 得 ( 1-

1 ? ? ?x 2 ? y 2 ? 1 ?

1 k2

) x2+

2b k

x-b2-1=0 ∴ △

4b 2 = 2 k

1 +4(b +1)(1k2
2

)>0 (1)又 PQ 的中点 M(xM,yM)在 L 上,且 x

M

??

2b k 2(1 ? 1 ) k2

?

kb y ? ? 1 x ? b ? ? bk , , M M k 1? k 2 1? k 2
2

2 2 2 ∴将 xM、yM 代入 L 的方程得 ? bk = k b -1,即 b= 1 ? k ,代入(1)式解得:k∈(-∞,-1)∪(-

1? k 2

1? k 2

2k 2

5 5

,0)∪(0,

5 5

)

∪(1,+∞)。∴k∈(-∞,-1)∪(-

5 5
3

,0)∪(0,

5 5

)∪(1,+∞)时,C 与 C′有不在 L 上的公共点。

由于①与②中,k 的解集的并集为实数集 R,∴不论实数 k 为何值,C 与 C′恒有公共点。 练习四. 课后巩固 1. A 2.B C .4.C 5w.B 6

7.解:(1)设 P(x,y),则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 | x ? 1 | 化简得 x -
2

2

y2 3

=1(y≠0)……4 分

2 2 (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0)与双曲线 x - y =1 联立消去 y 得

3

? 4k 2 x1 ? x2 ? 2 ? (3-k) x +4k x-(4k +3)=0 由题意知 3-k ≠0 且△>0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 ? k ?3 ? 2 4 k ?3 ?x x ? 1 2 2 ? k ?3 ?
2 2 2 2 2

2 2 2 y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4] =k2( 4k ? 3 ? 8k +4) = ?9k 2 2 2 k ?3 k ?3 k ?3

因为 x1、x2≠-1 所以直线 AB 的方程为 y=

y1 (x+1)因此 M 点的坐标为( 1 , 3 y1 ) x1 ? 1 2 2( x1 ? 1)
?81k 2 =0 k2 ?3 4k 2 ? 3 4k 2 4( 2 ? ? 1) k ?3 k2 ?3

3 y1 3 y2 3 3 9 y1 y2 3 =4 FM ? (? , ) ,同理可得 FN ? (? , ) 因此 FM FN ? (? )2 ? 2 2( x1 ? 1) 2 2( x2 ? 1) 2 2( x1 ? 1)( x2 ? 1) 9 ?

②当直线 BC 与 x 轴垂直时,起方程为 x=2,则 B(2,3),C(2,-3)AB 的方程为 y=x+1,因此 M 点的坐标为( 1 , 3 ),

2 2

3 3 3 3 3 3 3 FM ? ( ? , ) 同理可得 FN ? (? , ? ) 因此 FM FN ? (? ) 2 ? ? (? ) =0 2 2 2 2 2 2 2
综上 FM

FN =0,即 FM⊥FN 故以线段 MN 为直径的圆经过点 F…………12 分
2

2 8.【解析】 (Ⅰ)所求双曲线 C 的方程为 x 2 ? y ? 1 .

(Ⅱ文)设 A、B 两点的坐标分别为

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 x ? ? 1 得 x 2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), ∴ x ? x1 ? x2 ? m, y ? x ? m ? 2m , 由? 0 0 0 2 ? 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
8

∵点 M

? x0 , y0 ? 在圆 x2 ? y 2 ? 5 上,∴ m2 ? ? 2m ?

2

? 5 ,∴ m ? ?1 .
0

(Ⅱ理)点 P

? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上,圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y

??

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 x ? ? 1 及 x2 ? y 2 ? 2 得 3x 2 ? 4 x 2 ? 4 x x ? 8 ? 2 x 2 ? 0 , 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 0 0 0 0 0 2 ? ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

?

?

∵ 切 线
2 ? ? 1 6 x0

l

与 双 曲 线
2 ??4 x3 0

C

交 于 不 同 的 两 点

A 、 B , 且

2 0 ? x0 ?2

, ∴

2 3x0 ? 4 ?

, 0



? 4 ??

8 ?x ?02 2

? 设0 A 、 B ,

两 点 的 坐 标 分 别 为

? x1, y1 ? , ? x2 , y2 ?

, 则

x1 ? x2 ?

2 4 x0 8 ? 2 x0 ,∵ cos ?AOB ? OA ? OB , , x x ? 1 2 2 2 3x0 ?4 3x0 ?4 OA ? OB

且 OA ? OB ? x x ? y y ? x x ? 1 ? 2 ? x x ?? 2 ? x x ? , ? x x ? 1 2 1 2 1 2 0 1 0 2 1 2 2

y0

1 2 ? 4 ? 2 x0 ? x1 ? x2 ? ? x0 x1 x2 ? 2 ? ? 2 ? x0

?

2 2 2 2 2 x0 ? ?8 ? 2x02 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? ? ?? ? ? 0 .∴ ?AOB 的大小为 90 . ? 4 ? ? 2 2 2 2 2 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4 3x0 ? 4 2 ? x0 ? 3x0 ? 4 3x0 ? 4 ? ? ?

2 2 9. 解 : ( Ⅰ ) 设 双 曲 线 C2 的 方 程 为 x ? y ? 1 , 则 2 2

a

b

a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2得b 2 ? 1. 故 C2 的 方 程 为

2 x2 ? y 2 ? 1. … 4 分(II)将 y ? kx ? 2代入 x ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 3 4

① 将y ? kx ? 2代入 x ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3 2 ? 1 ? 3 k ? 0 , ? 由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得 ? …6 分 2 2 2 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.
1 即k 2 ? 且k 2 ? 1. 3

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即 k ? .
2

1 4

2

设A( x A , y A ), B( x B , y B ),则x A ? x B ?

6 2k ?9 , x A ? xB ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

? (k 2 ? 1) x A x B ? 2k ( x A ? x B ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1 ?9 6 2k ? 2k ? ?2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

由OA ? OB ? 6得x A x B ? y A y B ? 6, 而 x A x B ? y A y B ? x A x B ? (kx A ? 2 )(kxB ? 2 )

……… 8 分

1 1 13 2 3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 ? k 2 ? 1. 解此不等式得 k 2 ? 13 或k 2 ? 1 . ③由①、②、③得 ? k ? 或 ? 6 , 即 ? 0 . 2 2 4 3 15 15 3 3k ? 1 3k ? 1 13 3 1 1 3 13 故 k 的取值范围为 (?1,? ) ? (? ,? ) ? ( , ) ? ( ,1) ……… 12 分 15 3 2 2 3 15
于是

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