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1.1.3 2集合的基本运算(二)


第2课时

补集及综合应用

1.了解全集的含义及其符号表示.(易错点) 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会 求给定子集的补集.(重点、难点) 3.熟练掌握集合的交、并、补运算.(重点)

[设计问题,创设情境] 问题 1:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x-3)(x - 3 )=0,其结果会相同吗?

②若集合 A={x|0<x<2,x∈Z},B={x|0<x<2,x∈R},则集合 A、B 相等吗?
问题 2:①用列举法表示下列集合 : Z},B={x|0<x<2,x∈R},则集合 A、B 相等吗? ②若集合 A={x|0<x<2,x∈

1 )(x - 2 )=0}; 3 1 B={x∈Q|(x-2)(x+ )(x - 2 )=0}; 3 1 C={x∈R|(x-2)(x+ )(x - 2 )=0}. 3 ②问题①中三个集合相等吗?为什么? ③由此看,解方程时要注意什么? ②问题①中三个集合相等吗?为什么?
A={x∈Z|(x-2)(x+ ③由此看,解方程时要注意什么?

补集
1.全集 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 所有元素 ,那么就称这个集合为全集,通常 ____________ ∪ 记作_______ .

2.补集

全集与补集的关系 (1)全集只是一个相对的概念,只包含所研究问题 中所涉及的所有元素,补集只相对于相应的全集 而言.如我们在整数范围内研究问题,则 Z 为全 集,而当问题扩展到实数集时,则 R 为全集. (2)同一个集合在不同的全集中补集不同;不同的 集合在同一个全集中的补集也不同. (3)符号?UA 包含三层意思: ①A ?U;②?UA 表示一个集合,且?UA ?U; ③?UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合.

1.设 U=R,M={x|x>2 或 x<0},则? UM=( A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x<2} C.{x|x<0 或 x>2} D.{x|x≤0 或 x≥2}
解析: 数轴表示为

)

∴? UM={x|0≤x≤2}. 答案: A

2.(2012· 济宁高一检测)设全集 U={1,2,3,4,5},A ={1,3,5},B={2,4,5},则(?UA)∩(?UB)=( ) A.? B.{4} C.{1,5} D.{2,5} 解析: ∵?UA={2,4},?UB={1,3}, ∴(?UA)∩(?UB)=?,故选 A.

答案:

A

3.已知全集U,集合A={1,3,5,7},?UA= {2,4,6},?UB={1,4,6},求集合B.
解析: 方法一:A={1,3,5,7},?UA={2,4,6}, ∴U= {1,2,3,4,5,6,7}, 又? UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}. 方法二:借助 Venn 图,如图所示,由图可知 B= {2,3,5,7}.

在进行补集的简单运算时,应首先明确全集,而 利用 A∪? UA= U 求全集 U 是利用定义解题的常 规性思维模式,故进行补集运算时,要紧扣补集 定义及补集的性质来解题.

1.(1)设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0}, 若?SA={2,3},则m=________. (2)设U=R,A={x|a≤x≤b},?UA={x|x<1或x>3}, 则a=________,b=________.

集合交、并、补的综合运算
? ?3 - x > 0 , ? ? ? 已知全集 U=R,集合 A=?x?? ? ? ??3x+6>0 ? ? ?,集 ? ?

合 B={m|3>2m-1}, 求:(1)A∩B,A∪B; (2)?U(A∩B).

解析:

? ?3-x>0, ? ? ? (1) ∵ A= ?x?? ? ? ??3x+6>0

? ? ? = {x | - 2 < x ? ?

<3}, B={m|3>2m-1}={m|m<2}. 用数轴表示集合 A,B,如图.

∴A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}.

(2)由(1)知 A∩B={x|-2<x<2},如图所示.

∴?U(A∩B)={x|x≥2 或 x≤-2}.

求集合交、并、补运算的方法

补集思想的应用

设全集U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|- 2≤x≤1},若M 是 ?UP的真子集,求实数a的取值范 围. [思路点拨] 先求出集合P,利用真子集时应讨论M =?,M≠?两种情况,此为本题的易错点,是解题 的关键.

(1)如何求不等式解集的补集? ①将不等式的解集在数轴上标出; ②取数轴上剩余部分即为补集. (2)求不等式解集的补集时需注意什么问题? ①实点变虚点、 虚点变实点. 如 A={x|-1≤x<5}, 则?RA={x|x<-1,或 x≥5}. ②通过改变原不等式的不等号方向取补集时,要防 ? ? ? ? ? ? ?1 ?1 止漏解.如 A = ?x?x<0 ? , ? RA≠ ?x?x≥0 ? = {x|x ? ? ? ? ? ? >0},应先求出 A={x|x<0},再求?RA={x|x≥0}.

◎设全集 U={2,3, a2+2a-3}, A={|2a-1|,2}, ? UA={5},求实数 a 的值.

【错解】 因为? UA={5},所以 5∈ U 且 5? A, 所以 a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5,解得 a= 2 或 a=-4,即实数 a 的值是 2 或-4.

【错因】 本题解答错误在于忽略了集合 A 的元 素 |2a-1|是由 a 确立的,事实上,当 a=2 时,|2a -1|= 3,A={2,3},符合题意,而当 a=- 4 时, A= {9,2},不是 U 的子集.
【正解】 因为?UA={5},则 5∈U 且 5?A,且 |2a -1|= 3. 解得 a=2,即 a 的取值是 2.也可以采用错解中的 步骤,最后加上错因中的验证一步
.

课后作业
1.设U={x|-5≤x<-2或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x -15=0},B={-3,3,4},则?UA=________,?UB= ________; 2.已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3},B={x| -3≤x≤2},则(?UA)∩B=________,A∩?UB= ________. 3.设全集U={x|x是小于等于20的素数},A∩(?UB)= {3,5},(?UA)∩B={7,19},(?UA)∩(?UB)={2,17},求 集合A,B. 4.若集合A={x|ax2+3x+2=0}中至多有一个元素, 求实数a的取值范围.(8班)

5.P16 A组6,7,10

B组1(8班)

应用知能提升

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