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2.3.1等差数列的前n项和【人教A版】



§2.3.1

等差数列的前 项和 等差数列的前n项和

复习数列的有关概念

如果数列 {an} 的第n项 an 与n之间的关系可以用一个公式来 表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。 等差数列 {an} 的通项公式为

an = a1 + (n ?1)d

数列 {an} 的前n项和

Sn = a1 + a2 + a3 +?+ an?1 + an
? S1 (n = 1) an = ? ?S n ? S n ?1 (n ≥ 2)

公式法 已知 Sn求 an

探究发现

泰姬陵坐落于印度古都阿 格 , 是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 她宏伟壮观, 建 , 她宏伟壮观 , 纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷, 心醉神迷 , 成为世界七大奇 迹之一。 陵寝以宝石镶饰, 迹之一 。 陵寝以宝石镶饰 , 图案之细致令人叫绝。 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案, 图案 , 以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有100 100层 镶饰而成,共有100层(见左 奢靡之程度, 图 ) , 奢靡之程度 , 可见一 斑 。 你知道这个图案一共花 了多少宝石吗? 了多少宝石吗?

高 斯 的 故 事
高斯上小学时, 高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们 计算从1到 的自然数之和 的自然数之和。 出了一道 题:计算从 到100的自然数之和。那个 老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间, 老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间,所 以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知, 以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知,他 刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师,我做 刚坐下,马上就有一个学生举手说: 老师, 完了。 老师大吃一惊, 完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪最小的高 老师走到他身边,只见他在笔记本上写着5050, 斯。老师走到他身边,只见他在笔记本上写着 , 老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓励他, 老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓励他,老师买 了一本数学书送给他。 了一本数学书送给他。 思考:现在如果要你算, 思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出 它的值呢? 它的值呢?

教学过程

问题引导, 问题引导,探究发现 问题1: 1+2+3+ … +98+99+100=? ?
1+2+3+ … +98+99+100 101
1+100=2+99=3+98=???=50+51=101

50 ×(1+100)=5050

高斯 Gauss.C.F (1777~1855) 德国著名数学家

问题1:图案中, 层到第21层一共有多少 问题 :图案中,第1层到第 层一共有多少 层到第 颗宝石? 颗宝石?

这是求奇数个项的和的问 题,能不能直接用高斯的办 法呢求和呢? 法呢求和呢?

问题1:图案中, 层到第21层一共有多少 问题 图案中,第1层到第 层一共有多少 图案中 层到第 颗宝石? 颗宝石?

1 2 3

21 20 19

获得算法:

S 21
21 1

(1 + 21) × 21 = 2

教学过程
问题引导, 问题引导,探究发现

如何求等差数列{an }的前n项和Sn ? 问题3:

此种求和法 称为

倒序相加法

方法1:

s n = a1 + a 2 + ? + a n +) sn = an + an ?1 + ? + a1
2Sn=n(a1+an)
公式1 S n = n(a1 + an ) 2

方法2:

S n = a1 + (a1 + d ) + ? + [a1 + n ? 1)d ] (
+) S n = an + ( an ? d ) + ? + [ an ? ( n ? 1)d ]
n(a1 + an ) 公式1 S n = 2

2Sn=n(a1+an)

教学过程
问题引导, 问题引导,探究发现

问题4:若已知等差数列{an}的a1,d和n求Sn

n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
an = a1 + (n ? 1)d

n(n ? 1) 公式 2 Sn = na1 + d 2

求和公式的两种形式

n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
n(n ? 1) 公式 2 Sn = na1 + d 2
反思 反思:(1)“倒序相加求和”法 (2)两公式中涉及到a,an,Sn,n, d五个量,通 常巳 知其中三个,就可以求出另外两个(知三求二), 而且方法 就是解方程组,这是等差数列求和的基本问题。 (3)具体应用时还常结合等差数列的性质。

根据下列各题中的条件, 例1:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列{

(1 a1 = 5, an = 95, n =10; )
∴ S 10 10 × ( 5 + 95 ) = = 500 . 2

(2)a1 =100, d = ?2, n = 50;
S 50 50 50 ? 1) ( = 50 × 100 + × ( ? 2 ) = 2550 2

(3)a =14.5, d = 0.7, an = 32. 1
26 × (14 . 5 + 32 ) 32 ? 14.5 = 604 . 5 . n= + 1 = 26, ∴ S 26 = 2 0.7

n(a1 + an ) Sn = ?? (1) 2

n( n ? 1) S n = na1 + d ?? ( 2 ) 2

思考题:如何求下列和? 思考题:如何求下列和?
①1+2+3+…+100= ②1+3+5+…+(2n-1)=
5050 ;

n2



③2+4+6+…+2n= n(n+1) .

n(a1 + an ) Sn = ?? (1) 2

n( n ? 1) S n = na1 + d ?? ( 2 ) 2

前多少项和是54? 例2:等差数列-10,-6, -2,2,…前多少项和是54? 2:等差数列-10,-6 等差数列 ,- 设题中的等差数列是{ },前 项和为 项和为S 解:设题中的等差数列是{an},前n项和为 n. =-10, =- -(-10)= =-6-(- )=4, 则a1=- ,d=- -(- )= ,Sn=54. 由等差数列前n项和公式 项和公式, 由等差数列前 项和公式,得 解得 n1=9,n2=- (舍去). , =-3(舍去) 因此,等差数列的前9项和是 项和是54. 因此,等差数列的前 项和是

n(n ?1) ?10n + × 4 = 54 2

1.an=? an = 4n-14

2. Sn呢? Sn = 2n2-12n 15项

练习:等差数列5,4,3,2,…前多少项的和是-30?

n(a1 + an ) Sn = ?? (1) 2

n( n ? 1) S n = na1 + d ?? ( 2 ) 2

例3 在等差数列 {an }中,已知d = 20, n = 37, sn = 629,
求a1及an .
n( n ? 1) S n = na1 + d 方法1 方法 2

n ( a1 + a n ) a1= S n = 2

an=

方法2 方法

n ( a1 + a n ) Sn = 2
an = a1 + (n ?1)d

a1= an=

指出:在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、末项、 前n项和五个元素,如果已知其中三个,联列方程组,就可求其 余二个。知三求二

练 : 1 = 20, an = 54, Sn = 999, 求 及 ; 习 a d n

例4.根据下列各题的条件 求相应等差数列的未知数 .根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数

(1) a1 = 3, a n = 2 n + 1, S n = 195, 求 d , n
(2).a2 + a6 = 16, S6 = 39, 求d , an

练习、在等差数列 练习、在等差数列{an}中,已知 6=20,S11= 中 已知a , 在等差数列{a 中 已知a 在等差数列 n}中,已知 6+a9+a12+a15=34,S20= , 在等差数列{a 中 在等差数列 n}中,a5=14,a2+a9=31,求{an}前5项之和 , , 前 项之和

已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列, 例5 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列, 求证它们的比是3: : 求证它们的比是 :4:5. 证明: 将成等差数列的三条边的长从小到大排列, 证明: 将成等差数列的三条边的长从小到大排列, 它们可以表示为 a-d, a, a+d 由勾股定理,得到 由勾股定理,
2 2

(这里 这里a-d>0,d>0) 这里
2

(a ? d) + a = (a + d)

a = 4d 解得 从而这三边的长是 3d, 4d, 5d,
因此,这三条边的长的比是 : : 因此,这三条边的长的比是3:4:5

2000年11月14日教育部下发了 日教育部下发了《 例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”工程的通知》 小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提 出了实施“校校通”工程的总目标: 2001年起 出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起 10年时间 年时间, 用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园 据测算,2001年该市用于 校校通” 年该市用于“ 网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施, 500万元 经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划 每年投入的资金都比上一年增加50万元 增加50万元. 每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从 2001年起的未来10年内,该市在“校校通” 年起的未来10年内 2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程 中的总投入是多少? 中的总投入是多少? 如果开始时有1.275亿元可以支配, 1.275亿元可以支配 如果开始时有1.275亿元可以支配,那么按照 上面的方法划拨经费,可以再持续多少年? 再持续多少年 上面的方法划拨经费,可以再持续多少年?

例 、 知 个 差 列 an}前 项 和 310, 前 2 已 一 等 数 { 10 的 是 20项 和 1220. 这 条 能 定 个 差 的 是 由 些 件 确 这 等 数 列 前项 的 式 ? 的 n 和 公 吗



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