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二项分布及其应用同步练习



随机变量及其分布测试题

一、选择题 1.将一枚均匀骰子掷两次,下列选项可作为此次试验的随机变量的是( A.第一次出现的点数 B.第二次出现的点数 C.两次出现点数之和 D.两次出现相同点的种数 答案:C



2.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 只,那么 A.恰有 1 只坏的概率 B.恰有 2 只好的概率 C.4 只全是好的概率 D.至多 2 只坏的概率 答案:B

3 为( 10



3. 某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,设 X 表示击中目标的次数,则
P( X ≥ 2) 等于(



A.

81 125

B.

54 125

C.

36 125

D.

27 125

答案:A 4.采用简单随机抽样从个体为 6 的总体中抽取一个容量为 3 的样本,则对于总体中指定的个 体 a,前两次没被抽到,第三次恰好被抽到的概率为( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 5

D.

1 6

答案:D
0.8) ,则 D(2 X ? 1) 等于( 5.设 X ~ B(10,

) D.12.8

A.1.6 答案:C

B.3.2

C.6.4

6.在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一 枚导弹) ,由于天气原因,三枚导弹命中目标的概率分别为 0.9,0.9,0.8,若至少有两枚导
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弹命中目标方可将其摧毁,则目标被摧毁的概率为( ) A.0.998 B.0.046 C.0.002 D.0.954 答案:D
1? ? 7.设 X ~ N ? ?2, ? ,则 X 落在 ? ?∞, ? 3.5? ? ?0.5, ? ∞? 内的概率是( 4? ? A. 95.4% B. 99.7% C. 4.6% D. 0.3%



答案:D 8.设随机变量 X 的分布列如下表,且 EX ? 1.6 ,则 a ? b ? ( )

X
P .1
A.0.2 答案:C B.0.1 C. ?0.2

0 0

1

2 .1
b

3 0

a
D. ?0.4

9.任意确定四个日期,设 X 表示取到四个日期中星期天的个数,则 DX 等于( A.



6 7

B.

24 49

C.

36 49

D.

48 49

答案:B 10.有 5 支竹签,编号分别为 1,2,3,4,5,从中任取 3 支,以 X 表示取出竹签的最大号码, 则 EX 的值为( ) A.4 B.4.5 C.4.75 D.5 答案:B 11.袋子里装有大小相同的黑白两色的手套,黑色手套 15 支,白色手套 10 只,现从中随机 地取出 2 只手套,如果 2 只是同色手套则甲获胜,2 只手套颜色不同则乙获胜.试问:甲、乙 获胜的机会是( ) A.甲多 B.乙多 C.一样多 D.不确定 答案:C 12.节日期间,某种鲜花进货价是每束 2.5 元,销售价每束 5 元;节日卖不出去的鲜花以每 束 1.6 元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如下表所 示的分布:

X
P

2 00 0 00

3 00 0

4 00 0

5 0

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.20

.35

.30

.15

若进这种鲜花 500 束,则利润的均值为( ) A.706 元 B.690 元 C.754 元 答案:A 二、填空题

D.720 元

1 1 1 13.事件 A,B,C 相互独立,若 P( A · B) ? ,P( B · C ) ? ,P( A ·B · C ) ? ,则 P( B) ? 6 8 8 1 2




答案:

14.设随机变量 X 等可能地取 1,2,3,?,n,若 P( X ? 4) ? 0.3 ,则 EX 等于 答案:5.5

15.在 4 次独立重复试验中,随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率, 则事件 A 在一次试验中发生的概率 P 的取值范围是 .
?2 ? 1? 答案: ? , ?5 ?

16.某公司有 5 万元资金用于投资开发项目.如果成功,一年后可获利 12%;一旦失败,一年 后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果.

则该公司一年后估计可获收益的均值是 答案:4760

元.

三、解答题 17.掷 3 枚均匀硬币一次,求正面个数与反面个数之差 X 的分布列,并求其均值和方差.

1 1 1 1 解: X ? ?3 , ?1 ,1,3,且 P( X ? ?3) ? ? ? ? ; 2 2 2 8
1 ?1? 3 1 ?1? 3 1 P( X ? ?1) ? C ? ? ? ? ? , P( X ? 1) ? C3 ? ?? ? ? ; 2 ?2? 8 2 ?2? 8
1 3 2 2

1 1 1 1 P( X ? 3) ? ? ? ? , 2 2 2 8


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X
P
∴ EX ? 0,DX ? 3 .

?3

1 8

?1 3 8

1

3

3 8

1 8

1 1 18.甲、乙两人独立地破译 1 个密码,他们能译出密码的概率分别为 和 ,求 4 3 (1)恰有 1 人译出密码的概率;
(2)若达到译出密码的概率为

99 ,至少需要多少乙这样的人. 100

解:设“甲译出密码”为事件 A; “乙译出密码”为事件 B,

1 1 则 P( A) ? ,P( B) ? . 3 4 1 3 2 1 5 (1) P ? P( A · B) ? P( A · B) ? ? ? ? ? . 3 4 3 4 12
? 1? (2) n 个乙这样的人都译不出密码的概率为 ?1 ? ? . ? 4?
99 ? 1? ∴1 ? ?1 ? ? ≥ .解得 n ≥17 . 100 ? 4?
n n

达到译出密码的概率为

99 ,至少需要 17 人. 100

19.生产工艺工程中产品的尺寸偏差 X (mm) ~ N (0, 22 ) ,如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的 绝对值不超过 4mm 的为合格品,求生产 5 件产品的合格率不小于 80 % 的概率. (精确到 0.001) .

解:由题意 X ~ N (0, 22 ) ,求得 P( X ≤ 4) ? P(?4 ≤ X ≤ 4) ? 0.9544 . 设 Y 表示 5 件产品中合格品个数, 0.9544) . 则 Y ~ B(5,
∴ P(Y ≥ 5 ? 0.8) ? P(Y ≥ 4)
4 5 ? C5 · (0.9544)4 ? 0.0456 ? C5 · (0.9544)5

? 0.1892 ? 0.7919 ? 0.981 .

故生产的 5 件产品的合格率不小于 80%的概率为 0.981.

20.甲、乙、丙三名射击选手,各射击一次,击中目标的概率如下表所示 (0 ? p ? 1) :
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选 手 概 率







1 2

p

p

1 , 2, 3. 若三人各射击一次,恰有 k 名选手击中目标的概率记为 Pk ? P( X ? k ),k ? 0,

(1) 求 X 的分布列; (2)若击中目标人数的均值是 2,求 P 的值.

1 1 1 1 1 解: (1) P0 ? (1 ? p)2 ; P (1 ? P)2 ? 2 · p(1 ? p) ? ? p2 ? , 1 ? 2 2 2 2 2 1 1 1 P2 ? 2 · · p(1 ? p) ? p2 ? ? p2 ? p , 2 2 2 1 2 p , 2 ∴X 的分布列为 P3 ?

X
P

0

1

2

3

1 (1 ? p)2 2

1 1 ? p2 ? 2 2

1 ? p2 ? p 2

1 2 p 2

1 1? 1 1 ? 1 ? 1 ? (2) EX ? 0 ? (1 ? p)2 ? 1 ? ? ? p 2 ? ? ? 2 ? ? ? p 2 ? p ? ? 3 ? p 2 ? 2 p ? , 2 2? 2 2 ? 2 ? 2 ?

∴2 p ?

1 3 ? 2 ,∴ p ? . 2 4

21.张华同学上学途中必须经过 A,B,C,D 四个交通岗,其中在 A,B 岗遇到红灯的概率均

1 1 , 在 C, D 岗遇到红灯的概率均为 . 假设他在 4 个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 2 3 X 表示他遇到红灯的次数.
为 (1)若 x ≥ 3 ,就会迟到,求张华不迟到的概率; (2)求 EX.
2 2 2

1 1 ? 1? ?1? 1 ?1? 1 2 · ? ? · ? ? ? C2 · ? ?· · ? ; 解: (1) P( X ? 3) ? C2 ? 2? ? 3? ? 2? 3 3 6 1 ?1? ?1? P( X ? 4) ? ? ? · ? ? ? . 36 ? 2? ? 3?
2 2

故张华不迟到的概率为 P( X ≤ 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ? (2) X 的分布列为

29 . 36
4

X
P

0

1

2

3

1 9

1 3

13 36

1 6

1 36

1 1 13 1 1 5 ∴ EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 3 36 6 36 3
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22.某种项目的射击比赛,开始时在距目标 100m 处射击,如果命中记 3 分,且停止射击;若 第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在 150m 处,这时命中记 2 分,且停止射 击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已在 200m 处,若第三次命中则记 1 分,并停止射击;若三次都未命中,则记 0 分.已知射手甲在 100m 处击中目标的概率为 他的命中率与目标的距离的平方成反比,且各次射击都是独立的. (1)求这位射手在三次射击中命中目标的概率; (2)求这位射手在这次射击比赛中得分的均值. 解:记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 A,B,C ,三次都未击中目标为事件 D,依题 意 P( A) ?

1 , 2

1 k 1 k ,设在 x m 处击中目标的概率为 P( x) ,则 P( x) ? 2 ,且 ? , x 2 1002 2
5000 , x2

∴ k ? 5000 ,即 P( x) ?

5000 2 5000 1 1 7 7 49 . ? , P(C ) ? ? , P( D) ? ? ? ? 2 2 150 9 200 8 2 9 8 144 (1) 由于各次射击都是相互独立的, ∴ P( B) ?
∴该射手在三次射击中击中目标的概率 P ? P( A) ? P( A · B) ? P( A ·B · C)
? P( A) ? P( A· ) P( B) ? P( A· ) P( B· ) P(C)
? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 95 ? ?1 ? ? · ? ?1 ? ? · ?1 ? ? · ? . 2 ? 2 ? 9 ? 2 ? ? 9 ? 8 144

(2)依题意,设射手甲得分为 X,则 P( X ? 3) ?

1 , 2

1 2 1 1 7 1 7 49 , P( X ? 0) ? , P( X ? 2) ? ? ? , P( X ? 1) ? ? ? ? 2 9 9 2 9 8 144 144 1 1 7 49 255 85 . ∴ EX ? 3 ? ? 2 ? ? 1? ? 0? ? ? 2 9 144 144 144 48

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