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上海中学高三数学综合练习(三)



高三数学综合练习三
1.复数

1 ? 2i 的虚部是 3 ? 4i

2.已知函数?(2x)的定义域为[-1,1],则函数 y=?(log2x)的定义域为 3.自圆 x ? y ? 4上点A(2,0) 引此圆的弦 AB,则弦的中点的轨迹方程为
2 2

.

4.已知函数 f (

x) ? ?

?| lg | x ||, ( x ? 0) ,则方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? 0 的实根共有 ( x ? 0) ?0,

.

5.在 ?ABC中, 若?C ? 3?B, 则 的取值范围为 6.已知函数 y ?

ax ? 3 对定义域内的任意 x 的值都有 ? 1 ? f ( x) ? 4 ,则 a 的取值范围为 x2 ?1
(a ? 0) 的 图 象 的 顶 点 A 在 直 线 mx ? ny ? 1 ? 0 上 , 其 中
.

c b

7 . 函 数 f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? 1

m ? n ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

8.一个四面体的各个面都是边长为 5 , 10 , 13 的三角形,则这个四面体体积为 9.考察下列一组不等式:

2 3 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 2 ,

2 4 ? 5 4 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 53 ,

2 5 ? 55 ? 2 3 ? 5 2 ? 2 2 ? 53 ,?? .

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特 例,则推广的不等式可以是
2 2

.

10.关于 x 的方程 2 x ? 3ax ? a ? a ? 0 至少有一个模为 1 的复数根,则实数 a 的所有可能值 为 11. 已知不等式

1 1 1 1 2 ? ??? ? log a (a ? 1) ? 对大于 1 的自然数 n 都成立,则实数 n ?1 n ? 2 2n 12 3

a 的取值范围为 12.在一个给定的正(2n+1)边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点,任何一种选法的可能性是 相等的,则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为 . 二、选择题

13.已知 A ? x y ? 值范围是 A.(-1,2)

?

5x ? x 2 ? 4 , B ? x x 2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 , 若A ? B ? A ,那么实数 a 的取
( B. ?2, )

?

?

?

? 18 ? ? ? 7?

C. ? ? 1,

? ?

18 ? ? 7?

D. ? ? 1,

? ?

18 ? 7? ?

14. 已知 ?ABC 的三个顶点 A、 C 及平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与 ?ABC B、

的关系为 A. P 在 ?ABC 内部 C. P 在 AB 边所在直线上 B. P 在 ?ABC 外部

(

)

D. P 是 AC 边的一个三等分点 ( )

15.若 a ? 1, b ? 1, 且 lg(a ? b) ? lg a ? lg b, 则 lg(a ? 1) ? lg(b ? 1)的值 A.等于 1 B.等于 lg 2 C.等于 0 D.不是常数

16.对 b>a>0,取第一象限的点 Ak(xk,yk)(k=1,2,…,n),使 a,x1,x2,…,xn,b 成等差数列,且 a,y1,y2,…,yn,b 成等比数列,则点 A1,A2,…,An 与射线 L:y=x(x>0)的关系为 ( A 各点均在射线 L 的上方; B 各点均在射线 L 的上面; C 各点均在射线 L 的下方; D 不能确定 三、解答题 )

5 sin x 2 ? 1 与 g ( x) ? cos2 x ? a(1 ? cos x) ? cos x ? 3 的图像在 ?0, ? ? 内 17. 已知函数 f ( x) ? x 2 2 sin 2
至少有一个公共点,求的 a 的取值范围.

18.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C , 的对边,且

cos B b . ?? cos C 2a ? c

(1)求角 B 的大小;(2)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求 a 的值.

, , 19. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD , AB ? AD AC ? CD ?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (1)求异面直线 CD 和 PB 所成角大小; (2)求直线 CD 和平面 ABE 所成角大小;

P E

A
B
C

D

20.设关于 x 的方程 2 x ? ax ? 2 ? 0 的两根分别为 ? 、 ? ?? ? ? ? ,函数 f ( x) ?
2

4x ? a x2 ?1

(1)证明 f (x) 在区间 ?? , ? ? 上是增函数; (2)当 a 为何值时, f (x) 在区间 ?? , ? ? 上的最大值与最小值之差最小

21. 现有流量均为 300m3/s 的两条河流 A, 汇合于某处后, B 不断混合, 它们的含沙量分别为 2kg/m3 和 0.2 kg/m3.假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流在流往相邻两个观测点 的过程中,其混合效果相当于两股水流在 1 秒内交换 100 m3 的水量,其交换过程为从 A 股 流入 B 股 100 m3 的水量,经混合后,又从 B 股流入 A 股 100 m3 水并混合,问从第几个观测 点开始,两股河水的含沙量之差小于 0.01kg/m3.(不考虑泥沙沉淀)

22. 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, F1、F2 分别为左、右焦点,椭圆的一个顶点与两焦 → 点构成等边三角形,且|F1F2|=2; (1)求椭圆方程

(2)对于 x 轴上的某一点 T,过 T 作不与坐标轴平行的直线 L 交椭圆于 P、Q 两点,若存在 x 轴上的点 S,使得对符合条件的 L 恒有∠PST=∠QST 成立,我们称 S 为 T 的一个配对点, 当 T 为左焦点时,求 T 的配对点的坐标; (3)在(2)条件下讨论当 T 在何处时,存在有配对点?

答案及错误率 一. 填空题 1.

2 5

(0.26)

2 2 4 2. ? 2 ,? (0.09) 3.(x-1) ? y ? 1, ( x ? 2) (0.06) 4. 7

?

?

(0.43) 8. 2 2

5. ( 1 , 3 )( 0.26 ) 9. 2 ? 5 ? 2
n n n?k k

6,[-4,4]

( 0.23 )

7. 8

( 0.09 )

5 ? 2k 5n?k , n ? 3,1 ? k ? n (0.7)
(0.37) 11.

10. a ? 2 ? 2, a ? ?1 二.选择题 13.D (0.11) 14.D (0.4)
?

1? a ?

1? 5 2

(0.37) 12.

n+1 (0.97) 4n ? 2

(0.2) 15.C (0.03) 16.C (0.2)

17. [2, ??)

18 . (1) B ? 120 , (0.11)(2)a=1,c=3 或 a=3,c=1

(0.17)

19. (1) arccos

6 4

(0.11) (2) arcsin

7 7

(0.46)

20.(1)证明略 (0.86) (2)a=0, 差为 4 (0.63) 21.

3 1 bn ? bn ?1 ? an ?1 4 4 2 1 11 9 1 11 9 1 an ? an ?1 ? bn , an ? ? ( ) n ?1 , bn ? ? ( ) n ?1 , 第9个观测点。(0.68) 3 3 10 10 2 10 10 2
22.(1)

x2 y2 ? ? 1 (0.17) 4 3

(2)(-4,0) (0.86) (3) x0 ? (?2, 0) ? (0, 2), 配对点 (

4 , 0) x0

(100%)

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