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2014-2015学年度第二学期海南省嘉积中学高三模拟测试(二)数学科试题(文科)



2014-2015 学年度第二学期海南省嘉积中学高三模拟测试(二)

高三年级数学科试题(文科)
(考试时间:120 分钟
欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩!
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。) 1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x -2x-3≤0},则 A∩(?RB)=( A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) )
2

满分:150 分)

)

2.复数 z=i(i+1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( A.-1-i B.-1+i C.1-i

D.1+i )

3.执行如图所示的程序框图,则输出的 T 值为( A.30 B.54 C.55 D.91

π 4.将函数 y=sin(x- )的图象上所有点的横坐标伸长到原 3 π 来的 2 倍(纵坐标不变),再将所得的图象向右平移 个单位,得到的图象对应的解析式 3 是( ) π B.y=sin(2x- ) 6 1 π C.y=sin( x- ) 2 6 ) 1 π D.y=sin( x- ) 2 2

1 A.y=sin x 2

5. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( A. 1 6 1 B. 3 C. 2 3
2

D.1 )

6.“lgx,lgy,lgz 成等差数列”是“y =xz”成立的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知正方形 ABCD 的边长为 2,H 是边 DA 的中点.在正方 形 ABCD 内部随机取一点 P,则满足|PH|< 2的概率为( ) A. π 8 π 1 B. + 8 4 C. π 4 π 1 D. + 4 4

8.在△ABC 中,如果 sinA= 3sinC,B=30°,角 B 所对的 边长 b=2,则△ABC 的面积为( A.4 B.1 ) C. 3 D.2

0≤x≤2, ? ? 9.设不等式组?0≤y≤3, ? ?x+2y-2≥0, 则|AB|的最大值为( A. 13
2 2

所表示的平面区域为 S,若 A、B 为区域 S 内的两个动点,

) C.3 D. 5
2 2

B.2 5

10.过已知双曲线 - 2=1(b>0)的左焦点 F1 作⊙O2:x +y =4 的两条切线,记切点为 A,B, 4 b 双曲线的左顶点为 C,若∠ACB=120°,则双曲线的离心率为( A. 1 2
a b

x

y

)

B. 2
x

C. 3

D.2 )

11. 已知函数 f(x)=|2 -1|,当 a<b<c 时,f(a)>f(c)>f(b),那么正确的结论是( A.2 >2 B.2 >2
a c

C.2 <2

-a

c

D.2 +2 <2

a

c

12.1 已知正三棱锥 P-ABC,点 P、A、B、C 都在半径为 3的球面上,若 PA、PB、PC 两两互 相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为( A. 2 B. 3 C. 3 3 ) 2 3 D. 3

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知|a|=2,|b|=2,a 与 b 的夹角为 45°,且 λ b-a 与 a 垂直,则实数 λ =________. 14. 设函数 y=f(x)的导函数为 f′(x),若 y=f(x)的图象在点 P(1,f(1))处的切线方程为 x -y+2=0,则 f(1)+f′(1)=_______________. 15.已知抛物线 x =4y 上的动点 P 在 x 轴上的射影为点 M,点 A(3,2),则|PA|+|PM|的最小 值为________. 1 1 x y 16.设 x、y∈R,a>1,b>1,若 a =b =3,a+b=2 3,则 + 的最大值为___________.
2

x y
2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)已知正项数列{an}满足 4Sn=(an+1) . (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设 bn= 1

anan+1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.(本小题满分 12 分)解放军某部在实兵演练对抗比赛中,红、蓝两个小组均派 6 人参加实 弹射击,其所得成绩的茎叶图如图所示. (1) 根据射击数据,计算红、蓝两个小组射击成绩的均 值 与方差,并说明红军还是蓝军的成绩相对比较稳定; (2) 若从蓝军 6 名士兵中随机抽取两人,求所抽取的两 人 的成绩之差不超过 2 的概率.

19. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1=AC=2AB=2,且 BC1⊥A1C.

(1) 求证:平面 ABC1⊥平面 A1ACC1;

(2) 设 D 是 A1C1 的中点,判断并证明在线段 BB1 上是否存在点 E,使

DE∥平面 ABC1;若存在,求三棱锥 E-ABC1 的体积.

20.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C(2,0)作 直线与抛物线 y =4x 相交于 A、 B 两点, 如图, 设动点 A(x1, y1)、
2

B(x2,y2).
(1) 求证:y1y2 为定值;

(2) 若点 D 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求△ADB 面积的最小值.

21.(本小题满分 12 分).函数 f(x)=2ax-x +lnx,a 为常数. 1 (1) 当 a= 时,求 f(x)的最大值; 2

2

(2) 若函数 f(x)在区间上为单调函数,求 a 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答。 22. (本小题满分 10 分)已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的 切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1.

(1)求证:AC 平分∠BAD;

(2)求 BC 的长.

23.(本小题满分 10 分),已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cosθ ,以极点为原点,极轴为 x

3 ? ?x=5+ 2 t 轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为? 1 ? ?y=2t (1) 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程;

(t 为参数).

(2) 设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形的面 积。

24.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1) 当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集;

(2) 已知关于 x 的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},求 a 的值.

2014-2015 学年度第二学期高三模拟测试(二)

高三年级数学科答案(文科)
(考试时间:120 分钟
欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩!
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。) BACDB ABCAD DC

满分:150 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. 2 14. 4 15. 10-1 16.1

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) (1)∵4Sn=(an+1) , ∴4Sn-1=(an-1+1) (n≥2), 相减得 an-an-1=2, (3 分)又 4a1=(a1+1) , ∴a1=1, (5 分)∴an=2n-1. (6 分) (2)由(1)知,bn=
2 2 2

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 = ( - ). 2 2n-1 2n+1 1 n 所以 Tn=b1+b2+?+bn= = .(12 分) 2 2n+1 18.(本小题满分 12 分) (1)记红、蓝两个小组分别为甲、乙,则 - -

x 甲= (107+111+111+113+114+122)=113, x 乙= (108+109+110+112+115+124)=113,
1 6 1 6 (2 分)

1 6

S2 甲= =21. S2 .(4 分) 乙= =
- - 2 2 ∵ x 甲= x 乙,S甲<S乙, ∴红军的射击成绩相对比较稳定. (6 分) 1 88 6 3

(2)从蓝军 6 名士兵中随机抽取两人,共有 15 种不同的取法,其成绩情况如下: (108,109),(108,110),(108,112),(108,115),(108,124),(109,110),(109,112), (109,115) , (109,124) , (110,112) , (110,115) , (110,124) , (112,115) , (112,124) , (115,124). (9 分)

设 A 表示随机事件“所抽取的两人的成绩之差不超过 2”,则 A 的基本事件有 4 种: (108,109),(108,110),(109,110),(110,112), 4 故所求概率为 P(A)= . 15 19.(本小题满分 12 分) (1)证明:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,有 A1A⊥平面 ABC.∴A1A⊥AC,又 A1A=AC,∴A1C ⊥AC1. 又 BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面 ABC1,∵A1C?平面 A1ACC1,∴平面 ABC1⊥平面 A1ACC1. (6 分) (12 分) (11 分)

(2)存在,E 为 BB1 的中点.

(7 分)

取 A1A 的中点 F,连 EF,FD,当 E 为 B1B 的中点时,EF∥AB,DF∥AC1,

∴平面 EFD∥平面 ABC1,则有 ED∥平面 ABC1.

(9 分) (12 分)

1 1 1 当 E 为 BB1 的中点时,VE-ABC =VC -ABE= ×2× ×1×1= . 1 1 3 2 3 21.(本小题满分 12 分)

(1)当直线 AB 垂直于 x 轴时,y1=2 2,y2=-2 2,因此 y1y2=-8. 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 设直线 AB 的方程为 y=k(x-2), 由?
? ?y=k?x-2? ?y =4x ?
2

(2 分)

,得 ky -4y-8k=0,∴y1y2=-8. (6 分)

2

因此有 y1y2=-8 为定值.

(2)∵C(2,0),∴C 点关于原点的对称点 D(-2,0), 1 ∴DC=4,S△ADB= DC·|y1-y2|. 2 1 当直线 AB 垂直于 x 轴时,S△ADB= ×4×4 2=8 2; 2 当直线 AB 不垂直于 x 轴时, 4 由(1)知 y1+y2= ,因此 (8 分)

k

|y1-y2|= ?y1+y2? -4y1y2= 1 ∴S△ADB= ×4×|y1-y2|>8 2. 2 综上,△ADB 面积的最小值为 8 2. 22.(本小题满分 12 分).

2

16

k2

+32>4 2,

(11 分)

(12 分)

1 2 (1)当 a= 时,f(x)=x-x +lnx,则 f(x)的定义域为(0,+∞), 2 1 ? (2 x ? 1).( x ? 1) ∴f ′(x)=1-2x+ =

x

x

(2 分)

由 f ′(x)>0,得 0<x<1;由 f ′(x)<0,得 x>1; ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数. (4 分) ∴f(x)的最大值为 f(1)=0. 1 (2)∵f ′(x)=2a-2x+ . (5 分)

x

若函数 f(x)在区间上为单调函数, 则 f ′(x)≥0,或 f ′(x)≤0 在区间上恒成立. (7 分)

1 1 ∴2a-2x+ ≥0,或 2a-2x+ ≤0 在区间上恒成立.

x

x

1 1 即 2a≥2x- ,或 2a≤2x- 在区间上恒成立.

x

x

(8 分)

1 1 设 h(x)=2x- ,∵h′(x)=2+ 2>0,

x

x

1 ∴h(x)=2x- 在区间上为增函数.

x

7 ∴h(x)max=h(2)= ,h(x)min=h(1)=1, 2 7 ∴只需 2a≥ ,或 2a≤1, 2 7 1 ∴a≥ ,或 a≤ . 4 2 (12 分)

(10 分)

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答。 23.(本小题满分 10 分) (1)因为 OA=OC,所以∠OAC=∠OCA, 因为 CD 为半圆的切线,所以 OC⊥CD, 又因为 AD⊥CD,所以 OC∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以 AC 平分∠BAD. (2)连接 CE,由(1)知 BC=CE, 因为 ABCE 四点共圆,∠B=∠CED, 又由题意知∠ACB=∠CDE=90°, 所以△DCE∽△ABC, 所以 = (5 分)

DE CB ,所以 BC=2. CE AB
2

(10 分)

24.(本小题满分 10 分), (1) 对 于 C : 由 ρ = 4cosθ 3 ? ?x=5+ 2 t, ? 1 ? ?y=2t, 得 ρ = 4ρ cosθ , ∴ x + y = 4x ; 对 于 l : 由
2 2

消去参数 t 得 y=

1 3

(x-5),即 x- 3y-5=0.

(5 分)

|2- 3×0-5| 3 (2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为(2,0),半径为 2,则弦心距 d= = , 2 1+ 3 弦长|PQ|=2 3 2 2 2 -? ? = 7, 因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积为 S=2d·|PQ|=3 7. 2

(10 分) 25.(本小题满分 10 分) -2x+6,x≤2, ? ? =?2,2<x<4, ? ?2x-6,x≥4. (1)当 a=2 时,f(x)+|x-4| 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x),则 -2a,x≤0, ? ? h(x)=?4x-2a,0<x<a. ? ?2a,x≥a. 由|h(x)|≤2,解得 (5 分)

a-1
2

≤x≤

a+1
2

.

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

a-1 ? ? 2 =1, 所以? a+1 ? ? 2 =2,

于是 a=3.

(10 分)



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