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北京66中2012-2013学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)北师大版



2012-2013 学年北京 66 中高二(下)期中数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. 分) (3 (2010?湖南)复数 A.1﹣i B.1+i 的值为( ) C.﹣1﹣i D.﹣1+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化为 a+bi

(a、b∈R) ,可得选项. 解答: 解: . 故选 B. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,高考常考题,是基础题. 2. 分) (3 A.6 ( ) B.5 C.4 D.3

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 直接根据定积分的运算法则求解即可. 1 2 2 2 2 解答: 解:∫2 2xdx=x |1 =2 ﹣1 =3 故选 D. 点评: 本题是定积分的简单计算,是基础题. 3. 分)设 f(x)=ax +3x +2,若 f′(﹣1)=4,则 a 的值等于( (3 A. B. C.
3 2

) D.

考点: 导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 先求出导函数,再代值算出 a. 2 解答: 解:f′(x)=3ax +6x, ∴f′(﹣1)=3a﹣6=4,∴a= 故选 D. 点评: 本题是对导数基本知识的考查,属于容易题,在近几年的高考中,对于导数的考查基本围绕导数的 计算和导数的几何意义展开,是考生复习时的重点内容. 4. 分)若 (3 A.4 ,则实数 x 的值为( B.1 ) C.4 或 1 D.其它

考点: 组合及组合数公式.
1

专题: 计算题. 分析: 直接利用组合数公式的性质列式求解 x 的值. 解答: 解:由 ,得 ①或



解①得,x=1. 解②得,x=4. 所以 x 的值为 4 或 1. 故选 C. 点评: 本题考查了组合及组合数公式,考查了组合数公式的性质,是基础的运算题. 5. 分) (3 (2010?江西模拟)曲线 y=x ﹣2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题. 分析: 欲求在点(1,3)处的切线倾斜角,先根据导数的几何意义可知 k=y′|x=1,再结合正切函数的值求 出角 α 的值即可. / 2 2 解答: 解:y =3x ﹣2,切线的斜率 k=3×1 ﹣2=1.故倾斜角为 45°. 故选 B. 点评: 本题考查了导数的几何意义,以及利用正切函数的图象求倾斜角,本题属于容易题.
3

6. 分) (3 (2007?杭州二模)在 A.7 B.﹣7

的展开式中的常数项是( C.28

) D.﹣28

考 二项式系数的性质. 点: 专 计算题. 题: 分 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 0 求出展开式的常数项. 析: 解 展开式的通项为 答:解:

令 故选 A 点 本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题,属于基础题. 评: 7. 分)函数 f(x)=x ﹣3x +2x 的极值点的个数是( (3 A.0 B.1 C.2
3 2

) D.3
2

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 对函数求导,结合导数的符号判断函数的单调性,进而可求函数的极值的个数. 2 解答: 解:由题知 f(x)的导函数 f'(x)=3x ﹣6x+2, 当 x∈ 则函数 f(x)在
3 2

时,f'(x)<0,当 x∈ 上单调递减,函数 f(x)在

或(1,+∞)时,f'(x)>0, , (1,+∞)上单调递增,

∴函数 f(x)=x ﹣3x +2x 有 2 个极值点. 故答案为:C. 点评: 本题考查利用导数研究函数的极值.属于基础题. 8. 分)在(x+y) 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( (3 A.13,14 B.14,15 C.12,13
n

) D.11,12,13

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 根据题意,分三种情况讨论,①若仅 T7 系数最大,②若 T7 与 T6 系数相等且最大,③若 T7 与 T8 系数 相等且最大,由二项式系数的性质,分析其项数,综合可得答案. 解答: 解:根据题意,分三种情况: ①若仅 T7 系数最大,则共有 13 项,n=12; ②若 T7 与 T6 系数相等且最大,则共有 12 项,n=11; ③若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项,n=13; 所以 n 的值可能等于 11,12,13; 故选 D. 点评: 本题考查二项式系数的性质,注意分清系数与二项式系数的区别于联系;其次注意什么时候系数会 取到最大值. 9. 分) (3 (2012?昌图县模拟)若函数 f(x)=x +ax﹣2 在区间(1,+∞)内是增函数,则实数 a 的取值 范围是( ) A.[﹣3,+∞) B.(﹣3,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞) 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 计算题. 2 分析: 由已知,f′(x)=3x ≥0 在[1,+∞)上恒成立,可以利用参数分离的方法求出参数 a 的取值范围. 2 解答: 解:f′(x)=3x +a,根据函数导数与函数的单调性之间的关系,f′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成 2 2 2 立,即 a≥﹣3x ,恒成立,只需 a 大于﹣3x 的最大值即可,而﹣3x 在[1,+∞)上的最大值为﹣3, 所以 a≥﹣3.即数 a 的取值范围是[﹣3,+∞) . 故选 A. 点评: 本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系,参数取值范围求解.本题采用了参数分离的方法. 10. 分)已知一个命题 P(k) (3 ,k=2n(n∈N) ,若 n=1,2,…,1000 时,P(k)成立,且当 n=1000+1 时它也成立,下列判断中,正确的是( ) A.P(k)对 k=2013 成立 B.P(k)对每一个自然数 k 成立 C.P(k)对每一个正偶数 k 成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立
3
3

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 概率与统计. * 分析: 由于命题 p(k) ,这里 k=2n(n∈N ) ,当 n=1,2,…,1000 时,p(k)成立,而当 n=1000+1 时, 故 p(k)对于 1~1000 内的奇数均成立,对其它数却不一定成立,故可得结论. * 解答: 解:由于命题 p(k) ,这里 k=2n(n∈N ) ,当 n=1,2,…,1000 时,p(k)成立, 而当 n=1000+1 时,故 p(k)对于 1~1000 内的奇数均成立,对其它数却不一定成立 故 p(k)对于 k=2013 不一定成立,对于某些偶数可能成立,对于每一个偶数 k 不一定成立,对于 每一个自然数 k 不一定成立. 故选 D. 点评: 本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题,考查学生的推理能力,属于中档题. 二.填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11. 分)函数 f(x)=1﹣lnx 在 x=1 处的切线方程是 y=2﹣x . (4 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可得到切线方程. 解答: 解:∵f(x)=1﹣lnx,∴f′(x)=﹣ x=1 时,f′(1)=﹣1,f(1)=1 ∴函数 f(x)=1﹣lnx 在 x=1 处的切线方程是 y﹣1=﹣(x﹣1) ,即 y=2﹣x 故答案为:y=2﹣x. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题. 12. 分) (4 (文)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=﹣x+8,则 f(5)+f′(5)= 2 .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 根据导数的几何意义,结合切线方程,即可求得结论. 解答: 解:由题意,f(5)=﹣5+8=3,f′(5)=﹣1 ∴f(5)+f′(5)=2 故答案为:2 点评: 本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题. 13. 分)由 0,1,3,5,7,9 这六个数字组成 480 个没有重复数字的六位奇数. (4 考点: 计数原理的应用. 专题: 概率与统计. 分析: 先排第一位、第六位,再排中间,利用乘法原理,即可得到结论.
4

解答: 解:第一位不能取 0,只能在 5 个奇数中取 1 个,有 5 种取法;第六位不能取 0,只能在剩余的 4 个 奇数中取 1 个,有 4 种取法; 中间的共四位,以余下的 4 个数作全排列. 所以,由 0,1,3,5,7,9 这六个数字组成的没有重复数字的六位奇数有 5×4× 故答案为:480 点评: 本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 14. 分)若(2x﹣1) =a7x +a6x +…+a1x+a0,则 a7+a5+a3+a1= (4
7 7 6

=480 个.

1094 .

考点: 二项式定理. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 在所给的等式中,令 x=1 可得 a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①,再令 x=﹣1 可得﹣a7 +a6 ﹣55+a4﹣a3+a2﹣a1 +a0 7 =﹣3 ②.把①减去②,两边再同时除以 2 求得 a7+a5+a3+a1 的值. 解答: 解:在所给的等式中,令 x=1 可得 a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①,再令 x=﹣1 可得﹣a7 +a6 ﹣55+a4﹣a3+a2 7 ﹣a1 +a0 =﹣3 ②. 把①减去②,两边再同时除以 2 求得 a7+a5+a3+a1= =1094,

故答案为 1094. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,是给变量赋值的问题,关键是根据要求的结果,选择合适的数值 代入,属于中档题. 15. 分)已知 x>0,观察下列几个不等式: (4 ; ; ; ;…;归纳

猜想一般的不等式为

, 是正整数) . (n

考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 根据题意,对给出的几个等式变形可得,x+ ≥1+1,x+

≥2+1,x+

≥3+1,…,类推可得变化

规律,左式为 x+ 解答:

,右式为 n+1,即可得答案.

解:根据题意,对给出的等式变形可得,x+ ≥1+1,x+

≥2+1,x+

≥3+1,…,

则一般的不等式为 x+

≥n+1, 是正整数) (n ;

故答案为 x+

≥n+1(n 是正整数) .

5

点评: 本题考查归纳推理,解题的关键在于发现左式中 的变化规律.

16. 分)记 f (x)=[f(x)]′,f (x)=[f (x)]′,…,f (x)=[f (4 (x)]′(n∈N+, (1) (2) (2013) n≥2) .若 f(x)=xcosx,则 f(0)+f (0)+f +L+f (0)的值为 1007 . 考点: 导数的运算. 专题: 计算题. (1) (2) (5) (1) (2) (5) 分析: 先求出 f (x) ,f (x) ,…f (x) ,由 f(0) ,f (0) ,f (0) ,f (0) ,…可发现规律, 从而可得到答案. (1) (2) 解答: 解:由 f(x)=xcosx,得 f (x)=cosx﹣xsinx,f (x)=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx, (3) (4) (5) f (x)=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx,f (x)=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx,f (x)=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx,…, (1) (2) (2013) 则 f(0)+f (0)+f +…+f (0)=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=(1﹣3)+(5﹣7)+…+(2009 ﹣2011)+2013=﹣2×503+2013=1007, 故答案为:1007. 点评: 本题考查导数的运算,考查学生的归纳推理能力. 三.解答题(4 道题,共 36 分) 17. 分)已知函数 f(x)=x ﹣ x ﹣2x+5 (6 (1)求函数的单调区间. (2)求函数在[﹣1,2]区间上的最大值和最小值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题. 分析: (1)先确定函数的定义域然后求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x) <0; (2)先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最大值与最小值. 2 解答: 解: (1)f'(x)=3x ﹣x﹣2(2 分) 由 f'(x)>0 得 或 x>1, 分) (4
3 2

(1)

(2)

(1)

(n)

(n﹣1)

故函数的单调递增区间为(﹣∞,﹣ )(1,+∞)(5 分) , ; 由 f'(x)<0 得 故函数的单调递减区间为( (2)由(1)知 而区间[﹣1,2]端点的函数值 (6 分) ,1) 分) (7 是函数的极大值,f(1)=3.5 是函数的极小值; (10 分) (12 分)

故在区间[﹣1,2]上函数的最大值为 7,最小值为 3.5(14 分) 点评: (1)利用导数判断函数的单调性的步骤是: (1)确定 的定义域; (2)求导数 fˊ(x)(3)在函 ; 数 的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0(4)确定 的单调区间.若在函数式中含字母
6

系数,往往要分类讨论. (2)这是一道求函数的最值的逆向思维问题.本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小

18. (10 分)用数学归纳法证明:当 n 为正整数时,1 +2 +3 +…+n =

3

3

3

3



考点: 数学归纳法. 专题: 证明题. 分析: 用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时,去证明等式成立; (2)假设当 n=k 时,等时成立,用上归纳假 设后,去证明当 n=k+1 时,等式也成立即可. 解答: 证明: (1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1, ∴等式成立…2 分 (2)假设当 n=k 时,等时成立,即 1 +2 +3 +…+k =
3 3 3 3

…4 分

那么,当 n=k+1 时,有 1 +2 +3 +…+k +(k+1) =

3

3

3

3

3

+(k+1) …6 分

3

=(k+1) ?( =(k+1) ?
2

2

+k+1)

=

=

…8 分

这就是说,当 n=k+1 时,等式也成立…9 分 * 根据(1)和(2) ,可知对 n∈N 等式成立…10 分 点评: 本题考查数学归纳法,用好归纳假设是关键,考查逻辑推理与证明的能力,属于中档题. 19. (10 分)六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (l)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲不站左端,乙不站右端. 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: (l)现在中间的 4 个位中选一个,排上甲,方法有 4 种;其余的人任意排,方法有 分步计数原理求得结果.
7

种,再根据

(2)把甲乙看成一个整体,这样 6 个人变成了 5 个人,全排列共有

?

种站法. ? (种). ) 种.把排

(3) 先把其余的 4 个人全排列, 然后再把甲乙插入其余 4 人形成的 5 个空中, 方法共有 (4)先把甲乙排好,有 种方法,再从其余的 4 人中选出 2 人放到甲乙中间,方法有

好的这 4 个人看做一个整体,再与其他的 2 个人进行排列,方法有 结果.

种.根据分步计数原理,求得

(5)当甲在中间时,先排甲,有 4 种方法,再排乙,有 4 种方法,最后,其余的人任意排,有 方法,根据分步计数原理,方法共有 4×4× 有 =120 种排法.相加即得所求.



=384 种.当甲在右端时,其余的 5 个人任意排,共

解答: 解: (l)现在中间的 4 个位中选一个,排上甲,方法有 4 种;其余的人任意排,方法有 有 ? =480 (种) . ?

种,故共

(2)把甲乙看成一个整体,这样 6 个人变成了 5 个人,全排列共有

=240 (种)站法.

(3)先把甲乙二人单独挑出来,把其余的 4 个人全排列,然后再把甲乙插入其余 4 人形成的 5 个空 中, 方法共有 ? =480 (种). ) 种方法,再从其余的 4 人中选出 2 人放到甲乙中间,方法有 种. 种.

(4)先把甲乙排好,有

把排好的这 4 个人看做一个整体,再与其他的 2 个人进行排列,方法有 根据分步计数原理,求得甲、乙之间间隔两人的排法共有 ? ?

=144 种. 种

(5)当甲在中间时,先排甲,有 4 种方法,再排乙,有 4 种方法,最后,其余的人任意排,有 方法, 根据分步计数原理,方法共有 4×4× =384 种. =120 种排法.

当甲在右端时,其余的 5 个人任意排,共有

故甲不站左端,乙不站右端的排法有 384+120=504 种. 点评: 本题主要考查排列组合的实际应用,本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排,特殊位置要优 先排.相邻的问题用捆绑法,不相邻的问题用插空法,体现了分类讨论的数学思想,是一个中档题 目.

20. (10 分)已知函数 f(x)=x﹣alnx+ 在 x=1 处取得极值. (I)求 a 与 b 满足的关系式;
8

(II)若 a∈R,求函数 f(x)的单调区间. 考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. ′ 分析: (Ⅰ)利用 f (1)=0 即可求得 a 与 b 的关系. (Ⅱ)先求导得 f (x)=
′ 解答: 解: (Ⅰ)f (x)=1﹣ ﹣ ′

,然后对参数 a 分 a>2,a=2,a<2 讨论即可.




∵函数 f(x)=x﹣alnx+ 在 x=1 处取得极值,∴f (1)=0,∴1﹣a﹣b=0,即 b=1﹣a. (Ⅱ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , 由(Ⅰ)可得 f (x)=
′ ′

=

=



令 f (x)=0,则 x1=1,x2=a﹣1. ′ ′ ①当 a>2 时,x2>x1,当 x∈(0,1)∪(a﹣1,+∞)时,f (x)>0;当 x∈(1,a﹣1)时,f (x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(0,1)(a﹣1,+∞) , ;单调递减区间为(1,a﹣1) . ′ ②当 a=2 时,f (x)≥0,且只有 x=1 时为 0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ′ ′ ③当 a<2 时,x2<x1,当 x∈(0,1﹣a)∪(1,+∞)时,f (x)>0;当 x∈(1﹣a,1)时,f (x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(0,1﹣a)(1,+∞) , ;单调递减区间为(a﹣1,1) . 点评: 本题考查了含有参数的函数的单调性,对参数恰当分类讨论是解决问题的关键.

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