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高三数学复习限时训练集合第118-178份含答案


高三数学复习限时训练(178)
1、 数列 1+(1+2)+(1+2+4)+?+(1+2+?+2n 1)的前 n 项和为________.


1? 2、 在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln? ?1+n?,则 an=________. 3、 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类比 T16 以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________ 成等比 T12 数列. 4、 等差数列前 p 项的和为 q,前 q 项的和为 p,(p≠q)则前 p+q 项的和为________. 2 ?an+2?,n∈N*,则数列{b }的通项公式 b = ,bn=? ? n n an+1 ?an-1?

5、 数列{an}满足 a1=2,an+1= ________.

6、 设 a1,a2,?,a50 是从-1,0,1 这三个整数中取值的数列,若 a1+a2+a3+?+a50=9, 且 (a1+1)2+(a2+1)2+?+(a50+1)2=107,则 a1,a2,?,a50 中数字 0 的个数为________. 7、数列{an}的通项公式 an=3n2-(9+a)n+6+2a(其中 a 为常数),若 a6 与 a7 两项中至少有 一项是 an 的最小值,则实数 a 的取值范围是________.
2nπ 2nπ? 8、 数列{an}的通项 an=n2? ?cos 3 -sin 3 ?,其前 n 项和为 Sn,则 S30=________

9、设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=(1+λ)-λan,其中 λ≠-1,0. (1) 证明:数列{an}是等比数列; 1 (2) 设数列{an}的公比 q=f(λ),数列{bn}满足 b1= ,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求数列 2 {bn} 的通项公式; 1 ? (3) 记 λ=1,cn=an? ?b -1?,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
n

1

10、已知数列{an}的首项为 a(a≠0),前 n 项和为 Sn,且有 Sn+1=tSn+a(t≠0),bn=Sn+1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 当 t=1 时,若对任意 n∈N*,都有|bn|≥|b5|,求实数 a 的取值范围; (3) 当 t≠1 时,若 cn=2+ ?bi,求能够使数列{cn}为等比数列的所有数对(a,t).
i=1 n

(本练习题选自苏州市 2012 届高三数学第二轮复习材料应用题专题)

2

高三数学复习限时训练(178)参考答案
1、 2n 1-n-2 解析:an=2n-1,1+(1+2)+(1+2+4)+?+(1+2+?+2n 1)=(2+22+23 + +?+2n)-n=2(2n-1)-n=2n 1-n-2 2、 2+lnn 解析:累加可得.
+ -

3、

T8 T4

T12 T8

p?p-1? q?q-1? 4、 -p-q 解析:由求和公式知 q=pa1+ d,p=qa1+ d,因为 p≠q,两式相 2 2 p+q-1 减得到-1=a1+ d,两边同时乘以 p+q,则 2 ?p+q??p+q-1? -(p+q)=(p+q)a1+ d,即 Sp+q=-(p+q). 2 2 +2 an+1+2 an+1 an+2 解析:由条件得 bn+1= = =2 =2bn 且 b1=4,所以数列{bn}是 2 an+1-1 an-1 -1 an+1
- +

5、 2n

+1

首项为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn=4· 2n 1=2n 1. 2 2 6、 11 解析:(a1+1)2+(a2+1)2+?+(a50+1)2=107,则(a1 +a2 2+?+a50)+2(a1+a2+?+ 2 2 a50)+50=107,∴ a2 1+a2+?+a50=39,故 a1,a2,?,a50 中数字 0 的个数为 50-39=11. 9+a 7、 [24,36] 解析:an=6n-(9+a),由题知 5.5≤ ≤7.5,∴ 24≤a≤36. 6
? 2nπ 2nπ? 8、 470 解析:由于?cos 3 -sin 3 ?以 3 为周期,故 ? ?

12+22 2? ? 42+52 282+292 S30=?- +3 + - +62?+?+?- +302? 2 2 2 ? ? ? ? ? ?
10 10 5 9×10×11 ?3k-2?2+?3k-1?2 9k- ? = = ? ?- -25=470,分组求和是 +?3k?2?= ? ? 2? ? 2 2 ? ? k=1 k=1

解决本题的关键. 9、 解:(1) 由 Sn=(1+λ)-λan?Sn-1=(1+λ)-λan-1(n≥2). 相减得:an=-λan+λan-1,∴ an λ = (n≥2),∴ 数列{an}是等比数列. an-1 1+λ

bn-1 λ 1 1 (2) f(λ)= ,∴ bn= ? = +1, 1+λ 1+bn-1 bn bn-1
?1? 1 1 ∴ ?b ?是首项为 =2,公差为 1 的等差数列,∴ =2+(n-1)=n+1. b b ? n? 1 n

∴ bn=

1 .(n∈N*) n+1
n

1?n-1 ? 1 ? ?1?n-1 (3) λ=1 时,an=? ?2? ,∴ cn=an?b -1?=?2? n, 1? ?1?2 ?1?n-1 ∴ Tn=1+2? ?2?+3?2? +?+n?2? , ①

3

1 1 1?3 1 ?1?n T =? ?+2? ?2+3? ?2? +?+n?2? , 2 n ?2? ?2?



1? ?1?2 ?1?3 1 ?1?n-1-n?1?n ①-②得: Tn=1+? + + +?+ ?2? ?2? ?2? ?2? ?2? 2 1? ?1?2 ?1?3 1 ?1?n-1 ?1?n ∴ Tn=1+? ?2?+?2? +?2? +?+?2? -n?2? = 2

?1?n? ?1?n 2? ?1-?2? ?-n?2? ,
1?n-2 n+2 ?1?n 所以:Tn=4-? ?2? -2n?2? =4- 2n-1 . 10、 解:(1) n=1 时,由 S2=tS1+a,解得 a2=at, 当 n≥2 时,Sn=tSn-1+a,所以 Sn+1-Sn=t(Sn-Sn-1),即 an+1=ant, 当 n=1 时,由 S2=tS1+a 得 a2=ta1,又因为 a1=a≠0, an+1 综上,有 =t(n∈N*),所以{an}是首项为 a,公比为 t 的等比数列, an 所以 an=atn 1. (2) 当 t=1 时,Sn=na,bn=na+1,bn+1-bn=[(n+1)a+1]-[na+1]=a, 此时{bn}为等差数列; 当 a>0 时,{bn}为单调递增数列,且对任意 n∈N*,an>0 恒成立,不合题意;


? ?b4≥|b5|, 当 a<0 时,{bn}为单调递减数列,由题意知 b4>0,b6<0,且有? ?-b6≥|b5|, ? ?|5a+1|≤4a+1, ? 2 2 2 2 - ,- ?. 即? 解得- ≤a≤- .综上,a 的取值范围是? 11? ? 9 9 11 ? ?|5a+1|≤-6a-1,

a a atn a 2 n (3) 因为 t≠1,bn=1+ - ,所以 cn=2+?1+1-t?n- ? ? 1-t(t+t +?+t )=2+ 1-t 1-t at ?1+ a ?n-a?t-t ?=2- at +1-t+a· n+ ,由题设知{cn}是等比数列,所以有 ? 1-t? ?1-t?2 ?1-t?2 1-t ?1-t?2
n+1 n+1

? ?2-?1-t? =0, ?1-t+a ? ? 1-t =0,
2

at

?a=1, ? 解得? 即满足条件的数对是(1,2).(或通过{cn}的前 3 项成等比 ? ?t=2,

数列先求出数对(a,t),再进行证明)

高三数学复习限时训练(118)
2 1、已知直线 y ? 2 x ? k 被抛物线 x ? 4 y 截得的弦长 AB 为 20, O 为坐标原点.

(1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ ABC 面积最大?
4

2、已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0) 、 Q(2,0) 、 R(0,1) ,且 CP 的斜率为 ?1. (1)试求 ? C 的方程; (2)过原点 O 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,l1 交 ? C 于 E , F 两点,l2 交 ? C 于 G , H 两 点,求四边形 EGFH 面积的最大值.

5

3、 已知⊙C1: x 2 ? ( y ? 5) 2 ? 5 ,点 A(1,-3) (1)求过点 A 与⊙C1 相切的直线 l 的方程; (2)设⊙C2 为⊙C1 关于直线 l 对称的圆,则在 x 轴上是否存在点 P,使得 P 到两圆的切 线长之比为 2 ?荐存在,求出点 P 的坐标;若不存在,试说明理由.

6

高三数学复习限时训练(118)参考答案
1、解: 1)将 y ? 2 x ? k 代入 x 2 ? 4 y 得 x ? 8x ? 4k ? 0 ,----------------------2 分
2

由△ ? 64 ? 16 k ? 0 可知 k ? ?4 , 另一方面,弦长 AB ? 5 ? 64 ? 16k ? 20 ,解得 k ? 1 ;----(2)当 k ? 1 时,直线为 y ? 2 x ? 1 ,要使得内接△ABC 面积最大, --------6 分

? ? 则只须使得 y C


1 ? 2 xC ? 2 , ----------4

---------10

2. 解:(1)设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 则 C 点的坐标为 (?

D E ,? ) ,且 PC 的斜率为 ? 1 , 2 2
[

因为圆 C 通过不同的三点 P(m,0) , Q(2,0) , R(0,1)

? 1? E ? F ? 0 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? D 2?m ? ? ? ? 2 2 所以有 ? E ? ? ?0 ? 2 ? ?1 ? D ? ?m ? ? 2

…………4 分

? D ?1 ? E ?5 ? 解之得 ? ? F ? ?6 ? ? m ? ?3
2

…………6 分

所以圆 C 的方程为 x ? y ? x ? 5 y ? 6 ? 0, .
2

1 5 25 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? …………7 分 2 2 2 . 1 5 (2)圆心 C (? , ? ) , 设圆心到 l1 , l2 的距离分别为 d1 , d 2 , 2 2 13 2 2 2 , 则 d1 ? d 2 ? OC ? …………9 分 2
或者: 又

? EF ? ? GH ? 2 2 2 2 ? ? ? d1 ? R , ? ? ? d2 ? R , …………12 分 ? 2 ? ? 2 ?

2

2

7

2 2 两式相加,得: EF ? GH ? 74 ? 2 EF ? GH , …………14 分

?S ?

1 37 EF ? GH ? 2 2

,

即 ( S四边形EFGH ) max ?

37 2

…………15 分

3、解: (1) C1 (0, ?5), r1 ? 5 , 因为点 A 恰在 ? C1 上,所以点 A 即是切点,

?3 ? 5 1 ? 2,所以k1 ? ? , 1 2 1 所以,直线 l 的方程为 y ? 3 ? ( x ? 1),即x ? 2 y ? 5 ? 0 ;………………(8 分) 2 KC1 A ?
(2)因为点 A 恰为 C1C2 中点,所以, C2 (2, ?1) , 所以, ? C2: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 , 设 P(a,0),
2 PC12 ? 5 PC2 ?5 ? 2 ? 2 ② , ……………………(11 分) ①,或 2 2 PC2 ? 5 PC1 ? 5

由①得,

a 2 ? 20 ,解得a ? ?2或10,所以,P(?2, 0)或(10 , 0) , (a ? 2)2 ? 4

a 2 ? 4a ? 2 ,求此方程无解。 a 2 ? 20 综上,存在两点 P(-2,0)或 P(10,0)适合题意.………………(16 分)
由②得,

高三数学复习限时训练(119)
1、如图,在 ?ABC 中,| AB |?| AC |? ,| BC |? 2 ,以 B 、 C 为焦点的椭圆恰好过 AC 的中点
7 2

P.
(1)求椭圆的标准方程;
2 2 (2)过椭圆的右顶点 A 1 作直线 l 与圆 E : ( x ? 1) ? y ? 2

相交于 M 、 N 两点,试探究

y A P x B O C

点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧吗?若 能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由.

8

2、已知圆 M: 2 x ? 2 y ? 4 y ? 23 ,直线 l0 :x+y=8 , l0 上一点 A 的横坐标为 t , 过
2 2

点 A 作圆 M 的两条切线 l1 , l 2 , 切点分别为 B ,C. (1)当 t =0 时,求直线 l1 , l 2 的方程; 值; (3) 是否存在点 A,使得 BC 长为 10 ?若存在, 求出点 A 的坐标, 若不存在,请说明理由.
y

(2)当直线 l1 , l 2 互相垂直时,求 t 的

B A M O D C x
9

10

高三数学复习限时训练(119)参考答案

1、解(1)∵ | AB |?| AC |?

7 ,| BC |? 2 ∴ | BO |?| OC |? 1, 2

| OA |? | AC |2 ? | OC |2 ?

49 3 5 ?1 ? 4 2

∴ B(?1, 0), C (1, 0), A(0, 依 椭

3 5 1 3 5 ) ∴ P( , ) 2 2 4
圆 的 定 义 有 :

9 7 1 3 5 1 3 5 2a ?| PB | ? | PC |? ( ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? ( ? 0)2 ? ? ? 4 4 4 2 4 2 4
∴ a ? 2 , 又 c ? 1 ,∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ∴椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………7 分 4 3

(求出点 p 的坐标后,直接设椭圆的标准方程,将 P 点的坐标代入即可求出椭圆方程, 也可以给满分.) 椭圆的右顶点 A 1 (2,0) ,圆 E 圆心为 E (1, 0) ,半径 r ?

2.

假设点 M 、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧, 则 ?MEN ? 90? ,圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ? 当直线 l 斜率不存在时, l 的方程为 x ? 2 , 此时圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ? 1 (符合) 当直线 l 斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 0 , ∴圆心 E (1, 0) 到直线 l 的距离 d ?

2 r ?1 2

|k| k 2 ?1

? 1 ,无解

综上:点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1 : 3 的两段弧,此时 l 方程为 x ? 2 …16 分

x 2 ? ( y ? 1) 2 ?
2、解: (Ⅰ)圆 M:

5 25 2 圆心 M(0 , 1) , 半径 2

11

d?
A(0, 8) , 设切线的方程为 y=k x+8 , 圆心距

9 k 2 ?1

?

5 2,

k??


73 5 y??
所求直线 l1 , l2 的方程为

73 x?8 5
| AM |? 2 | MB |? 2 ? 5 2 ?5

(Ⅱ) 当 l1 ⊥l2 时, 四边形 MCAB 为正方形, ∴ 设 A(a , 8-a), M(0 , 1) 则 ∴ a=3 或 a=4 (Ⅲ)若 BC ? 10 , 则

a 2 ? (7 ? a ) 2 ? 5

a 2 ? 7a ? 12 ? 0
y

BD ?

10 2 ,

MB ?

5 2
∴ MD ? 10
B A M O D C x

MA ?
MB2=MD· MA ∴

5 10 4

5 ? 10 4 2 ∵圆心 M 到直线 l0 的距离为

7

∴ 点 A 不存在

高三数学复习限时训练(120)
1.圆心为 ?0,1? 且与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切的圆的方程是___________. 2.设

x0 是方程 2 x ? x ? 8 ? 0 的解,且 x0 ? ?k , k ? 1? , k ? Z ,则 k ? ___________.

3. 设 a , b 为不重合的两条直线, ? , ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 a // ?且b // ? ,则 a // b ;②若 a ? ?且b ? ? ,则 a // b ;③若 a // ?且a // ? ,则

? // ? ;
号为____________.

④若 a ? ?且a ? ? ,则 ? // ? ;上面命题中 ,所有真命题的序

x2 y 2 F,F2 分别是椭圆 a 2 ? b2 ? 1( a 4.设 1

? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, 使


线段

PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是

12

5.已知集合 A ? ?0,1? ,设函数 f ?x? ? 2 取值范围是___________. 6.已知正项等比数列

?x

? a?x ? A? 的值域为 B ,若 B ? A ,则实数 a 的

?an ?满足 a6 ? a7 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得

am an ? 2a2

,则

1 4 ? m n 的最小值为___________.

? 1 ? 3 tan70? ? 1的括号中,填写一个锐角,使得等式成立, 7.在等式 sin?__________
这个锐角是_____________ _. 8.函数 y ? log2 3x ? ax ? 5 在 [?1,??) 内单调递增,则 a 的取值范围是___________.
2

?

?

?

?

9 . 在 ?A B C中 , ?A, ?B, ?C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 重 心 为 G , 若

aGA ? bGB ?

3 cGC ? 0 3 ,则 ? A =____________.

10 . 已 知 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 f ?x ? , 且 对 于 任 意 实 数 a, b ? R , 满 足

f ?ab? ? af ?b? ? bf ?a? ,

f ?2? ? 2, a n ?

f 2n f 2n n ? N ? , bn ? n? N? n 2n ,

? ??

?

? ??

?

?b ? ?a ? 考察下列结论:① f ?0? ? f ?1? ;② f ?x ? 为偶函数;③ n 为等比数列;④ n 为等差
数列;其中正确命题的序号为____________.

13

高三数学复习限时训练(120)参考答案
1. x ? ? y ? 1? ? 2
2 2

2. 2

3.②④

3 ,1) 4. 3 [
8. (?8,?6]

? 1 ? ?? 2 ,0? ? 5. ?

3 6. 2

7. 10

?

? 9. 6

10.①③④

高三数学复习限时训练(121)
1、已知 ABCD 是半径为 2 圆的内接正方形,现在圆的内部随机取 一点 P,点 P 落在正方形 ABCD 内部的概率为 . 2、右图是一个算法流程图,则执行该算法后输出的 s= . 3、 设 A 为奇函数 f ( x) ? x 3 ? x ? a(a 为常数) 图像上一点, 在A 处 的切线平行于直线 y ? 4 x ,则 A 点的坐标为 . i≥3

开始
i ? 1,s ?1

是 否
s ?s·9

4、已知 a ? b ? t (a ? 0, b ? 0) , t 为常数,且 ab 的最大值为 2 , 则t = .

5、将 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位( ? ? 0 ) ,使得平移后的

输出 s

图像仍过点 (

?
3

,

3 ), 则 ? 的最小值为 2

.

i ? i+ 1

结束

6、在集合{x|

2012 ∈Z,x∈Z} 中取三个不同元素排成一列,使其成等比数列,则此等比数 x .

列的公比为

7、 设 ? 、 ? 、 ? 表示是三个不同的平面,a、b、c 表示是三条不同的直线: (1)若 a∥ ? ,b∥ ? ,a∥b,则 ? ∥ ? ;(2)若 a∥ ? ,b∥ ? , ? ? ? ? c, a ? ? , b ? ? , 则 a // b ; (3)若 a ? b, a ? c, b ? ? , c ? ? ? a ? ? ;(4)若 ? ? ? , ? ? ? , 则 ? // ? 或 ? ? ? ; (5)若 a、b 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 a⊥b. 其中正确命题的序号是 8、过点 C(3,4)且与 x 轴, y 轴都相切的两个圆的半径分别为 r1, r2 ,则 r1 r2 =
14

. .

9、设实数 a ? 1 ,使得不等式 x x ? a ? 件的实数 a 的范围是 函数 (a, b, c, k 都是常数) (1) y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0) (3) y ? a x (0 ? a ? 1) .

3 ? a ,对任意的实数 x ? ?1,2? 恒成立,则满足条 2

10、 集合 M ? ? f ( x) 存在实数 t 使得函数 f ( x) 满足 f (t ? 1) ? f (t ) ? f (1) (2) y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) (4) y ?

?,下列

k ( k ? 0) x

(5) y ? sin x

15

高三数学复习限时训练(121)
1.

2

?

2.81 8.25

3. (1,2)或(-1,-2) 9. 1 ? a ?

4. 2 2

5.

? 6

6. ?

1 ,?2 2

7.(2)

3 5 或 a? 2 2

10.(2)(4)

高三数学复习限时训练(122)
1.如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 B—B1EF 的体积为 2.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? 0, a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 , 则 a3 ? a5 = 。 。

3.已知在等差数列 {an } 中,满足 a1 ? ?11,7a11 ? 9a3 ? 0 ,则该数列前 n 项和 Sn 的最小值 是 。
3

4.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x ?10x ? 3 上,且在第二象限内,已知 曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 5.已知 cos ? ? 。

1 13 ? , cos(? ? ? ) ? , 且0 ? ? ? ? ? ,则β = 。 7 14 2 1 2 6 .已知函数 f ( x) ? loga (2 x ? a) 在区间 [ , ] 上恒有 f ( x) ? 0 ,则实数 a 的取值范围 2 3
是 。 7 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f ( x) 满 足 f ( 2? x ) ? f ( 2? x ), 当 ? 2? x ? 时 0,
x ,若 an ? f (n)(n ? N * ) ,则 a2011 = f (x ) ? 2



8.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a ? 2 cos( x ?
2

?

1 25 ) ? sin 2 x 的最大值为 ,则实数 a 的值 4 2 2 1 ? 2 ;② ?ABC 中, A ? B 是 ln x





9.给出下列五个命题:①当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ?

sin A ? sin B 成立的充分必要条件;③函数 y ? a x 的图像可以由函数 y ? 2a x (其中

a ? 0且a ? 1 ) 的图像通过平移得到; ④已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和, 若 S7 ? S5 ,

16

则 S9 ? S3 ;⑤函数 y ? f (1 ? x) 与函数 y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 1 对称。 其中正确命题的序号为 。 ,则 4

10 . 设 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? c(a ? 0) 的 值 域 为 ?0, ??? , 且 f ( 1 ) ?

u?

a c ? 2 的最大值是 c ?4 a ?4
2



高三数学复习限时训练(122)参考答案
1、

1 3 1 2

2、5

3、-36

4、(-2,15) 5、 9、②③④

7、-

8、 12 ? 2 2

? 1 6、 ( ,1) 3 3 7 10、 4

高三数学复习限时训练(123)
1.右图程序运行结果是 ______________

2.设 OM ? (1, ), ON ? (0,1), O 为坐标原点, a←1 b←1 z ? y ? x 的最小值是 i←3 WHILE i≤6 3.函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 (a ? 0,且a ? 1) 的图象恒过定点 A , a←a+b b←a+b 若点 A 在一次函数 y ? mx ? n 的图象上,其中 mn ? 0 , i←i+1 1 2 END WHILE 则 ? 的最小值为 m n PRINT a 程序运行结果是 4.设 O 是△ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB, 则?AOB与?AOC 的面积之比为 5.不等式 x ? 2 x ? 3 ? a ? 2a ? 1 在 R 上的解集是 ? ,则实数 a 的取值范围是
2 2

1 2

动点 p ( x, y ) 满足 0 ? OP ? OM ???? ? ? 1,0 ? OP ? ON ? 1,则

??? ?

??? ? ????

6.在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面积由小 到大构成等 比数列 {an } , 已知 a2 ? 2a1 , 且样本容量为 300, 则小长方形面积最大的一组的频数为

17

7.已知数列 { an }、{ bn }都是等差数列, S n , Tn 分别是它们的前 n 项和,并且 S n ? 7n ? 1 ,
Tn n?3

则 a 2 ? a5 ? a17 ? a22 = b8 ? b10 ? b12 ? b16 8.实数 x, y 满足 tan x ? x, tan y ? y ,且 x ? y ,则

sin( x ? y ) sin( x ? y) ? ? x? y x? y

9 .已知 0 ? k ? 4, 直线 l1 : kx ? 2 y ? 2 k ? 8 ? 0和直线 l2 : 2x ? k 2 y ? 4k 2 ? 4 ? 0 与两坐标 轴;围成一个四边形, 则使得这个四边形面积最小的 k 值为 10.设 f ( x) 是定义在 (0,1) 上的函数,且满足:①对任意 x ? (0,1) ,恒有 f ( x) >0;②对任 意 x1 , x2 ? (0,1) ,恒有

f ( x1 ) f (1 ? x1 ) ? ? 2 ,则关于函数 f ( x) 有 f ( x2 ) f (1 ? x2 )

⑴对任意 x ? (0,1) , 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ; ⑵对任意 x ? (0,1) , 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ;

⑶ 对 任 意 x1 , x2 ? (0,1) , 都 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ⑷ 对 任 意 x1 , x2 ? (0,1) , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 上述四个命题中正确的有
11. 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 内任取一点 P , 则点 P 到点 A 的距离小于或等于 a 的概率为 .

12.设函数 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0?( x), f 2 ( x) ? f1?( x),?, f n?1 ( x) ? f n?( x), n ? N , 则

f 2011 ( ) ? 3
13.如图,椭圆

?



x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , 过 焦点 F1 的直线交椭圆于 A, B 16 9

两点 ,若 ?ABF2 的内切圆的面积为 ? , A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x2 , y2 ) , 则 y2 ? y1 的值为 y
A B



y

A M

O

N

x

F1
B

O

F2

x

18

(第 13 题)

(第 14 题)

14.如图,已知动点 A, B 分别在图中抛物线 y 2 ? 4 x 及椭圆

x2 y2 ? ? 1 的 实线上运动, 4 3


若 AB ∥ x 轴,点 N 的坐标为 (1,0) ,则 ?ABN 的周长 l 的取值范围是

19

高三数学复习限时训练(123)
1、 34 2、?x ? 0, 使得 sin x ? ?1 10、②④ 11、 3、 8 12、 ?

{a | ?1 ? a ? 3} 6、 4、 1 5、 160 7、
1 2
13、

0 9、1/8 [文]

? 6

31 5

8、

8 7 7

14、[理]

10 ?l?4 3

2

高三数学复习限时训练(124)
1、在 ?ABC 中, A, B, C 所对边分别为 a, b, c .已知 m ? (sin C ,sin B cos A ), n ? (b, 2c) , 且 m ? n ? 0 .(1)求 A 大小; (2)若 a ? 2 3, c ? 2, 求 ?ABC 的面积 S 的大小.

??

?

2、如图,半径为 1 圆心角为

︵ 3? 圆弧AB上有一点 C. 2

︵ (1)当 C 为圆弧 AB中点时,D 为线段 OA 上任一点,求 | OC ? OD | 的最小值. ︵ (2)当 C 在圆弧 AB 上运动时,D、E 分别为线段 OA、OB 的中点, 求 CE · DE 的取值范围. C

D E B

A

20

21

3、如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池

? ABCD ? 的池底水平铺设污水净化管道

( Rt?FHE , H 是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的
接口 H 是 AB 的中点, E , F 分别落在线段 BC , AD 上.已知 AB ? 20 米, AD ? 10 3 米, 记 ?BHE ? ? . (1)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (2)问:当 ? 取何值时,污水 净 化效果最好?并求出此时管道的长度.

22

高三数学复习限时训练(124)参考答案
(b, 2c) =0. 1、解: (I)∵ m ? n ? 0 ,∴ (sin C,sin B cos A)?
∴ b sin C ? 2c sin B cos A ? 0. ???2 分

b c ? , ∵ sin B sin C ∴ bc ? 2cb cos A ? 0. ?????4 分
∵ b ? 0, c ? 0, ∴ 1 ? 2 cos A ? 0.

1 cos A ? ? . 2 ∴

???6 分

∵0 ? A ??,∴

A?

2? . 3
2

?????8 分
2 2

2 0 (II)△ ABC 中,∵ a ? c ? b ? 2cb cos A, ∴ 12 ? 4 ? b ? 4b cos120 .

∴ b ? 2b ? 8 ? 0.
2

??????10 分∴ b ? ?4(舍),b ? 2.

???12 分

1 1 3 S ? bc sin A ? ? 2 ? 2 ? ? 3. 2 2 2 ∴△ ABC 的面积 ?????14 分
2、证明: (1)取 CD 的中点记为 E,连 NE,AE.

解: (1)以 O 为原点,以 OA 为 x 轴正方向,建立图示坐标系, 设 D(t,0) (0≤t≤1) ,C( ? ∴ OC ? OD =( ?

2 2 , )………………………2′ 2 2

2 2 ? t, ) 2 2 1 1 2 2 ∴ | OC ? OD | 2 = ? 2t ? t ? = t ? 2t ? 1 (0≤t≤1)…4′ 2 2
当t ?

2 2 时,最小值为 …………………………6′ 2 2
3 π) 2

(2)设 OC =(cosα ,sinα ) (0≤α ≤

1 1 )—(cosα ,sinα )=( ? cos ?,? ? sin ? )………8′ 2 2 1 1 0) 又∵D( , ,E(0, ? ) 2 2 1 1 ∴ DE =( ? ,? )…………………………10′ 2 2

CE ? OE ? OC =(0, ?

23

∴ CE · DE = ∵

1 1 2 ? 1 (cos ? ? ? sin ? ) = sin(? ? ) ? …………12′ 2 2 2 4 4

? ? 7? ≤? ? ≤ …………………………13′ 4 4 4
1 2 1 2 ]…………………………14′ ? , ? 4 2 4 2
10 10 FH ? cos ? , sin ?

∴ CE · DE ∈[

EH ?
3、 解: (1)

???? 2 分

EF ?

10 sin? cos?

????????????4 分

由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 ,

AF ?

10 ? 10 3 tan ?

? ? 3 ? ?[ , ] ? tan ? ? 3 6 3 ??????????5 分 3 ,
L? 10 10 10 ? ? ? ? ? ?[ , ] cos ? sin ? sin ? ? cos ? , 6 3 .??????7 分 L?
(3)

10 10 10 sin ? ? cos ? ? 1 ? ? 10( ) cos ? sin ? sin ? ? cos ? = sin ? ? cos ?

设 sin ? ? cos ? ? t

? ? t 2 ?1 ? ?[ , sin ? ? cos ? ? 6 3 2 则 由 于

]
, 所 以

t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [ 4 t?
减,于是当

?

20 3 ?1 L? , 2] t ?1 2 ,

[


3 ?1 , 2] 2 内单调递

? ? 3 ?1 ? ? ,? ? 6 3时 2 时

的最大值 20( 3 ? 1) 米.

高三数学复习限时训练(125)
1、已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos(2 x ?

2? ) ? 2 cos 2 x. 3

(1)求 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (2)若 x0 ? [0,

?

2

]且f ( x0 ) ? 2 ,求 x0 的值。

24

2、 定义在 R 上的单调函数 y ? f ( x) 满足 f (2) ? 3 ,且对任意 x, y ? R 都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y).

(1)试求 f (0) 的值并证明函数 y ? f ( x) 为奇函数;

(2)若 f (m ? 3x ) ? f (3x ? 9 x ) ? 3 对任意 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围。

25

3、、如图,已知中心在原点 0、焦点在 x 轴上的椭圆 T 过点 M(2,1),离心率为 C 顶点在原点,对称轴为 x 轴且过点 M. (1)直线 l1 经过椭圆 T 的左焦点且平行于 OM 时,求直线 l1 的方程; (2)若斜率为

;抛物线

的直线 l 不过点 M,与抛物线 C 交于 A、 B 两个不同的点,求证:直线 MA,MB

与 X 轴总围成等腰三角形.

26

高三数学复习限时训练(125)参考答案
1、(1) ? (2)0、

? 3

2、(1)f(0)=0(2)m< 2 2 ? 1

3、凤凰台大联考第 18 题

高三数学复习限时训练(126)
5π π 1、某学校需要一批一个锐角为 θ 的直角三角形硬纸板作为教学用具( ≤θ≤ ),现准备定 24 3 制长与宽分别为 a、b(a>b)的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC.(如 图所示) (1)当 θ=

? 时,求定制的硬纸板的长与宽的比值; 6

(2)现有三种规格的硬纸板可供选择, A 规格长 80cm, 宽 30cm, B 规格长 60cm, 宽 40cm, C 规格长 72cm,宽 32cm,可以选择哪种规格的硬纸板使用. E D C

A

θ

B

2、如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点为 A,上顶 a 2 b2

点为 B, P 为椭圆上在第一象限内一点. (1)若 S?PF1F2 ? S?PAF2 ,求椭圆的离心率; (2)若 S ?PF1F2 ? S ?PAF2 ? S ?PBF1 ,求直线 PF 1 的斜率 k ; (3)若 S?PAF2 、 S?PF1 F2 、 S?PBF1 成等差数列,椭圆的离心率 e ? ? ,1? 1 的斜 ? ? ,求直线 PF

1 ?4 ?

率 k 的取值范围. y B P F2 A x

F1 O

27

28

高三数学复习限时训练(126)参考答案
1、解:(1)由题意∠AED=∠CBE=θ ∵b=BE·cos30 =AB·sin30 ·cos30 = a 4 3 ∴ = b 3
0 0 0

3 4

a

…………………………4′ ∴ b 1 = sin2θ a 2 1 , ]…………………10′ 2

1 (2)∵b=BE·cosθ =AB·sinθ ·cosθ = AB·sin2θ 2 5π π ∵ ≤θ ≤ 24 3 5π 2π ∴ ≤2θ ≤ 12 3 ∴

b 3 ∈[ a 4

30 3 3 A 规格: = < , 不符合条件. …………………………11′ 80 8 4 40 2 1 B 规格: = > 60 3 2 , 不符合条件. …………………………12′ , 1 ],符合条件. …………………………13′ 2

32 4 3 C 规格: = ∈[ 72 9 4

∴选择买进 C 规格的硬纸板. …………………………14′

2. 解: (1) ∵ S?PF1 F2 = S?PAF2 ∵ S?PF1 F2 = S?PBF1 ∴

∴F 1F2 ? F2 A ∵a-c=2c

∴e=

1 …………………………2′ 3

(2)设 PF 的直线方程为 y ? k ( x ? c) , 1

1 b ? kc 1 2kc …………………………4′ PF1 · ? PF1 · 2 2 k ?1 2 k 2 ?1
2 2 …………………………7′ 3

∴b-kc=2kc ∴b=3kc ∵a=3c∴b=2 2 c (3)设 S?PF1 F2 =t,则 S ?PAF2 ? ∴k=

a?c t …………………………8′ 2c

b ? kc
∵P 在第一象限 ∴ k ?

b c

S ?PBF1 S ?PF1 F2

?

k 2 ? 1 ? b ? kc 2kc 2kc 2 k ?1

∴ S ?PBF1 ?

b ? kc · t …………………………9′ 2kc a?c b ? kc t? · t ∴2t= 2c 2kc ∴ 4kc ? ak ? ck ? b ? kc ∴ k (6c ? a) ? b

29

∴k ?

b …………………………11′ 6c ? a b b ? ∴ 6c ? a c 1 ∴ ? e ?1 5 1 又由已知 ? e ? 1 4 1 ∴ ? e ? 1 …………………………12′ 4 b2 a2 ? c2 2 ∴k ? = 36c 2 ? 12ac ? a 2 36c 2 ? 12ac ? a 2
=

m ?1 1 ? e2 1 ? e2 = (令 m ? 6e ? 1 ,∴ e ? )……13′ 2 2 6 36e ? 12e ? 1 (6e ? 1)

m ?1 2 ) 1 36 ? m2 ? 2m ? 1 6 = = 36 m2 m2 1 35 2 ( ? ? 1) = 36 m 2 m 1 1 ? e ?1 ∵ ∴ ?m?5 4 2 1 1 15 2 ?2 ∴ ? ∴0 ? k ? 5 m 4 1? (
∴0 ? k ?

15 …………………………16′ 2

高三数学复习限时训练(127)
1、 已知直线 l1、l2 分别与抛物线 x2=4y 相切于点 A、B,且 A、B 两点的横坐标分别为 a、b(a、b∈R). (1) 求直线 l1、l2 的方程; (2) 若 l1、l2 与 x 轴分别交于 P、Q,且 l1、l2 交于点 R,经过 P、Q、R 三点作⊙C. ① 当 a=4,b=-2 时,求⊙C 的方程; ② 当 a,b 变化时,⊙C 是否过定点?若是,求出所有定点坐标;若不是,请说明理由.

30

2、在平面直角坐标系 xoy 中,已知定点 A(-4,0) ,B(4,0) ,动点 P 与 A、B 连线低斜率之积为 ? (1)求点 P 的轨迹方程;

1 。 4

(2)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C,半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线上,且在 y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得弦长为

3r 。

①求圆 M 的方程;

②当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程;如 果不存在,说明理由。

31

高三数学复习限时训练(127)参考答案
a? x x a a ? b? 1、解:(1) A? ?a, 4 ?,B?b, 4 ?,记 f(x)= 4 ,f′(x)=2,则 l1 的方程为 y- 4 =2(x-a),
2 2 2 2

a a2 b b2 即 y= x- ;同理得 l2 的方程为 y= x- .(6 分) 2 4 2 4

a ? ?b ? ?a+b ? (2) 由题意 a≠b 且 a、 b 不为零, 联立方程组可求得 P? Q?2,0?, R ?2,0?, ? 2 ,ab?.(8 分) 2 抛物线的焦点 F(0,1),∵ KPF=- ,∴ KPF· KPA=-1,故 l1⊥PF,同理 l2⊥RF.(10 分) a ∴ 经过 P、Q、R 三点的⊙C 就是以 FR 为直径的圆, a+b? ∴ ⊙C:x?x- +(y-1)(y-ab)=0, 2 ? ? 当 a=4,b=-2 时,⊙C:x2+y2-x+7y-8=0,(14 分) 显然当 a≠b 且 a、b 不为零时,⊙C 总过定点 F(0,1).(16 分)

x2 y2 ? ? 1 (x≠4、-4) 2、 (1) 16 4 ② y ? 3或 4x ? 3 y ? 9 ? 0

(2)① ( x ? ) ? ( y ? r ? 3) ? r
2 2

r 2

2

高三数学复习限时训练(128)
?x ? 1 ? 0 ? 1、设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值是 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
2、右图是一个算法的流程图,则输出的值是 3、已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ? ), 若f ( ) ? . .

?

4

13? 3 , 则f ( )? 4

.

4、已知 l ,m,n 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题: ①若 l ∥m,n⊥m,则 n⊥ l ;②若 l ∥m,m ? α ,则 l ∥α ; ③若 l ? α ,m ? β ,α ∥β ,则 l ∥m; ④若α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β = l ,则 l ⊥γ 其中真命题是 .(写出所有真命题的序号) 。 0 5、如图,在△ABC 中,∠ABC=90 ,AB=6,D 在斜边 BC 上,且 CD=2DB, 则 AB ? AD 的值为_______________. 6、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? pn, a7 ? 11.若ak ? ak ?1 ? 12 ,则
2

正整数 k 的最小值为

.

32

7、若不等式 4x 2 ? 9 y 2 ? 2 k xy 对一切正数 x,y 恒成立,则整数 k 的最大值为

.

1 ? 2 ? ( )x , x ? 0 ? ? 2 8、 已知直线 y ? mx(m ? R) 与函数 f ( x ) ? ? 的图象恰有三个不同的公共点, ? 1 x 2 ? 1, x ? 0 ? ?2
则实数 m 的取值范围是 .

x2 y2 9、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e, a b
若椭圆上存在点 P,使得

PF1 ? e ,则该离心率 e 的取值范围是 PF2
MN 取最小值时,CN= BN

.

10、如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,过正方形中心 O 的直线 MN 分别交 正方形的边 AB,CD 于点 M,N,则当 .

33

高三数学复习限时训练(128)参考答案
1、-3 2、4 3、 3 4、①④ 5、24 6、6 7、3 8、 ( 2 ,+∞)

9、[ 2 ? 1,1)

10、

5 ?1 2

高三数学复习限时训练(129)
1、 用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色, 则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是____。 2、 已知向量 a,b 的夹角为 120°,且︱a︱=3,︱a︱=1,则︱a-2b︱=________. 3、 若抛物线 y2=2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3 , 则 M 到该抛物线焦点的距离为 _____。 4、 若直线 y=kx-3 与 y=2lnx 曲线相切,则实数 K=_________。

? ? )=0, f( )=2, 则实数ω 的最小值为______。 3 2 1 6、 已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2*a4=4, a1+a2+a3=14, 则满足 an+an+1+an+2> 的最 9
5、 已知函数 f(x)=2sin(ω x+Ψ )( ω >0),若 f( 大正整数 n 的值为________。

? ?3 x ? 4 y ? 3 ? 0 ? ? 7、 已知集合 P= ?( x, y ) | ?4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? ?y ? 0 ? ?

? ? 2 2 2 ? ,Q={(x,y)|(x-a) +(y-b) ≤r (r>0), 若“点 M∈P” ? ?

是“点 M∈Q”的必要条件,则当 r 最大时 ab 的值是_______。 8、 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5 ,AA1=3, M 为线段 BB1 上的一动点,则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为______。

9、 定义:若函数 f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应的函数与 f(x)的值域相同,则称变换 T 是 f(x)的同值变换。下面给出了四个函数与对应的变换: (1) f(x)=(x-1)2, T1 将函数 f(x)的图像关于 y 轴对称; (2) f(x)=2x-1-1,T2 将函数 f(x)的图像关于 x 轴对称;

34

(3) f(x)=

x ,T3 将函数 f(x)的图像关于点(-1,1)对称; x ?1

(4) f(x)=sin(x+

? ),T4 将函数 f(x)的图像关于点(-1,0)对称。 3
x 2 ? ax ? 11 (a∈R),若对于任意 x ?1

10、其中 T 是 f(x)的同值变换的有_______。已知函数 f(x)= 的 X∈N*,f(x)≥3 恒成立,则 a 的取值范围是______。

35

高三数学复习限时训练(129)参考答案
1、

1 4

2、 19

3、

3 2

4、 2 e

5 、3

6、4

7、

1 4

8、 3

9、①③④

10[- ,?? )

8 3

高三数学复习限时训练(130)
1、设函数
f ( x ) ? sin(

?x
4

?

?
6

) ? 2 cos 2

?x
8

?1



(1)求 f ( x) 的最小正周期.

(2)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x

? 1 对称,求 当 x ? [0, 3 ] 时 y ? g ( x)

4

的最大值.

2、如图,点 A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点,动点 M 在圆周上,将纸片折起,使点 M 与点 A 重合,设 折痕

m
2

交 线 段 CM 于 点 N . 现 将 圆 形 纸 片 放 在 平 面 直 角 坐 标 系

xoy

中,设圆 C :

? x ? 1?

? y 2 ? 4a 2 ? a ? 1? , A ?1, 0 ?

,记点 N 的轨迹为曲线 E .⑴证明曲线 E 是椭圆, 并写出当 a ? 2 时该椭圆的

标准方程;⑵设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B ,点 A 关于直线 l 的对称点为点 Q ,若椭圆 E 的离心率
?1 3? e?? , ? ? 2 2 ? ,求点 Q 的纵坐标的取值范围.

36

37

高三数学复习限时训练(130)参考答案
? ? ? ? ? x cos ? cos x sin ? cos x 4 6 4 6 4

1、 (1) f ( x) =

sin

? ? 3 ? 3 ? sin x ? cos x 3 sin( x ? ) 4 3 . ………………故 f ( x) 的最小正周期为 4 2 4 = = 2
T? 2?

?

?8
……………

4

(2)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点

(2 ? x, g ( x))

………………………

由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 3 sin[ ? x ? ] 3 cos( x ? ) 4 3 = 2 4 3 = 4 3 … 0? x?


?

?

?

?

?

?

?

3 ? ? ? 2? ? x? ? 4 时, 3 4 3 3 ,

…………………

因此 y ? g ( x) 在区间

4 ? 3 [0, ] g max ? 3 cos ? 3 上的最大值为 3 2 ……………

2、解: (1)连结NA, 由题意知,直线m是线段MA的中垂线, ∴NA=NM, 而圆C的半径为 2 a ∴NC+NA=NC+NM=CM= 2 a (常数) ∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数 2 a , 所以,点N的轨迹是以定点C, A为焦点,长轴长为 2 a 的椭圆 ……………………4分 当 a ? 2 时,由于 c ? 1 ,所以所求椭圆 E 的方程为 ……………………2分

x2 y 2 ? ?1 4 3
38

……………

x2 y2 ? ?1 2 2 a 2 ? 1 ,其上顶点B (0, a ? 1) (2)椭圆E的方程为 a?
所以,直线 l 的方程为 y ?

a 2 ? 1( x ? 1) ,
Q( x0 , y0 )

……

记点 A(1,0) 关于直线 l 的对称点

1 ? y0 ?? ? ? x0 ? 1 a2 ?1 ? 4 a2 ?1 ? y0 ? a 2 ? 1( x0 ? 1 ? 1) y0 ? ? 2 a2 则有 ? 2 , 解得: …
?1 3 ? 1 1 3 e?? , ? ? ? 2 2 ? ? ,得 2 a 2 , 由

4 a2 ?1 1 1 1 1 3 y0 ? ?4 2 ? 4 t? 2 ?t ? 2 a a a ,令 a ,因为 a ? 1, 则 4 4, ∴
∴ u ? ?t ? t ,∴
2

u ?[

3 1 , ] 16 4 ,

所以,点 Q 的纵坐标的取值范围是

3 ? y0 ? 2

高三数学复习限时训练(131)
1、 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,向量 m=(sinA,1), n=(1,- 3cosA),且 m⊥n. (1)求角 A; π (2)若 b+c= 3a,求 sin(B+ )的值. 6

39

2、如图,已知四面体 ABCD 的四个面均为锐角三角形,E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、 DA 上的点,BD∥平面 EFGH,且 EH=FG. (1) 求证:HG∥平面 ABC; (2) 请在面 ABD 内过点 E 作一条线段垂直于 AC,并给出证明.

3、已知椭圆 C:

x2 y2 1 3 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ). a2 b2 2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 F 是椭圆 C 的右焦点,M 为椭圆上一点,以 M 为圆心,MF 为半径作圆 M . 问点 M 满足什么条件时,圆 M 与 y 轴有两个交点? 并求两点间距离的最大值.

40

41

高三数学复习限时训练(131)参考答案
1、解: (1)因为 m⊥n,所以 m·n=0,即 sinA- 3cosA=0.所以 sinA= 3cosA,得 tanA π = 3.又因为 0<A<π,所以 A= . 3 3 (2) (法 1)因为 b+c= 3a,由正弦定理得 sinB+sinC= 3sinA= . 2 2π 2π 3 3 3 3 因为 B+C= ,所以 sinB+sin( -B)= .化简得 sinB+ cosB= , 3 3 2 2 2 2 从而 3 1 3 π 3 sinB+ cosB= ,即 sin(B+ )= . 2 2 2 6 2

(法 2)由余弦定理可得 b2+c2-a2=2bccosA,即 b2+c2-a2=bc ①.又因为 b+c= 3a ②, 联立①②,消去 a 得 2b2-5bc+2c2=0,即 b=2c 或 c=2b.若 b=2c,则 a= 3c,可得 B 2、 (1) 证明:因为 BD∥平面 EFGH,平面 BDC∩平面 EFGH=FG,所以 BD∥FG. 同理 BD∥EH,又 EH=FG, 所以四边形 EFGH 为平行四边形, 所以 HG∥EF. 又 HG?平面 ABC,EF? 平面 ABC, 所以 HG∥平面 ABC. (6 分) (2) 解:在平面 ABC 内过点 E 作 EP⊥AC,且交 AC 于点 P, 在平面 ACD 内过点 P 作 PQ⊥AC,且交 AD 于点 Q, 连结 EQ,则 EQ 即为所求线段. (10 分) 证明如下:

? ? PQ⊥AC ?? EP∩PQ=P? ?
EP⊥AC

? AC⊥平面EPQ? ? EQ? 平面EPQ?

?? EQ⊥AC.

(14 分)

3、(1)∵椭圆

x2 y2 1 3 + =1(a>b>0)的离心率为 ,且经过点 P(1, ), a2 b2 2 2
2 2 2 2 2 2

? a a-b = 1 ?3a -4b =0 ? ?a =4 2 9 ∴? ,即 ? 1 ,解得 ? , ?b =3 + =1 1 9 ? a 4b ? + =1 ? a 4b
2 2 2 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1. 4 3 x02 y02 + =1, 4 3

(2)易求得 F(1,0)。设 M(x0,y0),则

圆 M 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02, 令 x=0,化简得 y2-2y0y+2x0-1=0,⊿=4y02-4(2x0-1)2>0??①. x02 4 将 y0 =3(1- )代入①,得 3x02+8x0-16<0,解出 -4<x0< . 4 3
2

(3)设 D (0,y1),E(0,y2),其中 y1<y2.由(2),得 DE= y2- y1= 4y02-4(2x0-1) = -3x02-8x0+16 = -3(x0+ 4 2 64 )+ , 3 3

42

当 x0=-

4 8 3 时,DE 的最大值为 . 3 2

高三数学复习限时训练(132)
1.若奇函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 在 R 上无极值,则

a?c 的取值范围是 a?c

2.已知点 A、B、C 满足 | AB |? 3, | BC |? 4, | CA |? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ?

CA ? AB 的值是

. .

3.若一个圆锥有三条母线两两垂直,则它的侧面展开图的圆心角为

4.设集合 P ? {x,1}, Q ? { y,1, 2}, P ? Q, x, y ?{1, 2,3,?,9} ,且在直角坐标平面内,从所 有满足这些条件的有序实数对 ( x, y ) 所表示的点中任取一个, 其落在圆 x2 ? y 2 ? r 2 内

的概率恰为 ,则 r 的一个可能的正整数值是

2 7

2



5.已知等腰梯形 PDCB 中(如图 1) ,PB=3,DC=1,PD=BC= 2 ,A 为 PB 边上一点,且 PA=1,将△PAD 沿 AD 折起,使平面 PAD⊥平面 ABCD(如图 2) . (1)证明:平面 PAD⊥平面 PCD; (2)试在棱 PB 上确定一点 M,使截面 AMC 把 几何体分成的两部分 VPDCMA:VMACB=2:1.

43

44

6.设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过点 A 与 AF 垂直的直 a 2 b2
??? ? ? 8 ??? PQ . 5

线分别交椭圆 C 与 x 轴正半轴于点 P、Q,且 AP ? (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:

x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.

45

高三数学复习限时训练(132)参考答案
1.0; 2.-25 ; 3.

2 6 ; 4.30(或 31 或 32) . ? 3

5、解 (1)∵依题意知 CD⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴CD⊥平面 PAD. 又∵CD ? 平面 PCD, ∴平面 PAD⊥平面 PCD. (2)由(1)知 PA⊥平面 ABCD, ∴平面 PAB⊥平面 ABCD. 在棱 PB 上取一点 M,在平面 PAB 内作 MN⊥AB,垂足为 N,则 MN⊥平面 ABCD,

1 1 1 h S?ABC h ? ? ? 2 ?1? h ? , 3 3 2 3 1 1 (1 ? 2) 1 ?1?1 ? ,要使 VPDCMA:VMACB=2:1, 又 VP-ABCD= S ABCD PA ? ? 3 3 2 2 1 h h 1 则 ( ? ) : ? 2 :1 ,解得 h ? ,即 M 为 PB 的中点. 2 3 3 2
设 MN=h,则 VM-ABC= 6.解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,Q(x0,0) , P(x1,y1) ,由 F(-c,0) ,A(0,b)得 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 , ?b) .

??? ?

??? ?

???? b2 AQ ,∴ cx0 ? b2 ? 0 ,即 x0 ? . c ??? ? 8 ??? ? 又∵ AP ? PQ , 5 8 b2 8b 2 5b ? x1 , 0 ? y1 ) ,∴ x1 ? , y1 ? . ∴ ( x1 ? 0, y1 ? b) ? ( 5 c 13c 13 2 8b 2 5b ( ) ( )2 又∵点 P 在椭圆上,∴ 13c ? 13 ? 1 ,整理得 2b2 ? 3ac , 2 2 a b
∵ FA ? 又∵ b
2

??? ?

? a 2 ? c 2 ,∴ 2(a 2 ? c2 ) ? 3ac ,即 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,解得 e ?
1 2


1 , 2

故椭圆的离心率为 (2)由(1)知 2b
2

c 1 3a b2 3a a ? ,故 ? , c ? ,于是 Q( , 0 ) 、 2 a 2 c 2 2 a a 1 F( ? , 0 ) ,△AQF 的外接圆圆心为( , 0 ) ,半径 r ? | FQ |? a . 2 2 2 ∵△AQF 的外接圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切, 1 | a ? 3?0 ?3| ∴ 2 ? a ,解得 a=2,∴ b ? 3, c ? 1,

? 3ac ,

12 ? 3

2

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
46

高三数学复习限时训练(133)
1、函数 y ? xe 的最小值是_____.
x
频率 组距 0.38 0.32

2、计算 (lg

1 ? 1 ? lg 25) ? 100 2 = ______. 4

4、某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果分成五组:每一组 ?13,14) ;

0.16

0.08 0.06 O

19 题 图 第二组 ?14,15) ,?,第五组 ?17,18? .右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图若成

13

14

15

16

17

18



绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好, 则该班在这次百米测试中成绩良好的人数等于 _____人. 3、已知 ? ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0}, A ? {( x, y) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0} ,若向 区域 ? 上随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为_____.

5、过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ? 1 的直线,该直线与双曲线的 a2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是______. 2

两条渐近线的交点分别为 B,C.若 AB ?

6、对于函数 f ( x ) ,在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值称为 f ( x ) 的"下确界",则函数 f ( x) ? 1 ? 4 x ?

1 5 , x ? (??, ) 的"下确界"等于______. 5 ? 4x 4

7、已知 2 b 是 1-a 和 1+a 的等比中项,则 a+4b 的取值范围是______. 8、对于 ? ABC ,有如下四个命题: ①若 sin 2A ? sin 2B , 则 ? ABC 为等腰三角形 , ②若 sin B ? cos A , 则 ? ABC 是直角三 角形
2 2 2 ③若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ? ABC 是钝角三角形④若

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

, 则

? ABC 是等边三角形;

其中正确的命题个数是___.

9、设 G 是 ?ABC 的重心,且 (56sin A)GA ? (40sin B)GB ? (35sin C)GC ? 0 , 则角 B 的大小为______.
2 * 10、数列 ?an ? 满足 a1 ? , an?1 ? an ? an ? 1(n ? N ) ,则 m ?

3 2

2012 i ?1

?a

1
i

的整数部分是_____.

47

高三数学复习限时训练(133)参考答案
1、 ?

1 e

2、-20

3、27

4、

2 9

5、 5

6、 ? 2

5? ? 7、 ? ? 1, ? 4? ?

8、1

9、

60 10、1 9.答案解析:由重心 G 满足 GA ? GB ? GC ? 0 知, 56sin A ? 40sin B ? 35sin C 同时由正弦定理, sin A
1 56 ? sin B sin C ,故可令三边长 a ? k ,b ? k ,c ? k ? 56 40 35 1 1 40 35

??? ? ??? ? ??? ?

1

1

1

取 k ? 5 ? 7 ? 8 ,则 a ? 5, b ? 7, c ? 8 ,借助余弦定理求得 cos B ? 10.答案解析:由题 an?1 ? an (an ?1) ? 1 ,则 有m ?

1 . 2

1 an?1 ? 1

?

1 1 1 1 1 ,故 ? ? ? ? an ? 1 an an an ? 1 an?1 ? 1

1 1 1 37 ,由于 a3 ? ? ? 2? ? 2 且 an?1 ? an ,故 16 a1 ? 1 a 2013 ? 1 a 2013 ? 1

1 a 2013 ? 1

? (0,1) ,所以 m ? (1, 2) ,其整数部分是1 .

高三数学复习限时训练(134)
1.函数 y= log 2 (2 x ? x2 ) 的单调递增区间是 .

2.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6),骰子 朝上的面的点数分别为 x,y,则 log2 x y ? 1的概率为 .

3.设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 15 ,集合 A ? ? x y ? f ( x)? , B ? ? y y ? f ( x)? , 则 A? B ?
2

.
2

4. 以知 F 是双曲线 x ? y ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的
4 12

最小值为 . 5. 圆柱形容器的内壁底半径是 10 cm, 有一个实心铁球浸没于容器的水中, 若取出这个铁球, 测得容器的水面下降了 5 cm,则这个铁球的表面积为
3

cm2 .

6.设 x 、y 均为正实数,且 3 ? 3 ? 1,以点 ( x, y ) 为圆心, R ? xy 为半径的圆的面积
2? x 2? y

最小时圆的标准方程为

.

48

7. 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 3 , 前 3 项和 S

3

?

13 . 函数 3

f ( x) ? A sin(2 x ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? ? )

在 x ? ? 处取得最大值,且最大值为 a3 ,则函数 f ( x ) 的解析式为
6

.

8.如图,在△OAB 中,已知 P 为线段 AB 上的一点, ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 若 BP ? 3PA , | OA |? 4 , | OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角 为 60°,则 OP ? AB =
??? ? ??? ?

.
[来源:学|科|网 Z|X|X|

9.如图,所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” , 它们是由

1 ? n≥2? ,每 n 1 1 1 1 1 1 个数是它下一行左右相邻两数的和,如 ? ? , ? ? , 1 2 2 2 3 6
整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为
1 1 1 ,…,则第 10 行第 4 个数(从左往右数)为 ? ? 3 4 12

. .

b? ? D (其中 a ? b ) 10.若函数 f ( x) 为定义域 D 上单调函数,且存在区间 ? a, ,使得当 x ? ? a, b? 时, f ( x) 的值域恰为 ? a, b? ,则称函数 f ( x) 是 D 上的正函数,区间 ? a, b? 叫做等域 0 ? 上的正函数,则实数 m 的取值范围 区间.如果函数 g ( x) ? x2 ? m 是 ? ??,
.

49

高三数学复习限时训练(134)参考答案
1. (0,1) (写成 (0,1] 也对) 2.

1 12

3. ?? 5,4?

4.

9 -9

5. 100? . 。

6. ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 2567. f ( x) ? 3sin(2 x ?

?
6

) 。 8.

9.

1 840

3 ( ?1,? ) 4 . 10.
.

高三数学复习限时训练(135)
1、某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该 厂连续生产 n 个月的累计产量为 f ( n) ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 吨,但如果月产量超过 96 吨, 2 8 2 2 n ? n ? 1 万元,若每月都赢利,求出 5 5

将会给环境造成危害. (1)请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期; (2)若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳 a 万元的环保税,已知每吨产品 售价 0.6 万元,第 n 个月的工人工资为 g (n) ?

a 的范围.

2、 设抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y , 过点 M M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点, 作抛物线 C 的两条切线 MA, MB ,切点分别为 A , B . (1)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,求过 M , A, B 三点的圆的方程,并判断直线 l 与此圆的位置 关系; (2)求证:直线 AB 恒过定点 (0, m) .

50

51

高三数学复习限时训练(135)参考答案
f (1), n ?1 1.解: (1)第 n 个月的月产量= ? . ?????2 分 ? ? f (n) ? f (n ? 1), n ? N , n ? 2 1 1 ? f (n) ? n(n ? 1)(2n ? 1),? f (1) ? 1, 当n ? 2时, f (n ? 1) ? (n ? 1)n(2n ? 3) , 2 2 2 ? f (n) ? f (n ? 1) ? 3n ? 2n . ????????????????????5 分 16 令 f (n) ? f (n ? 1) ? 96, 即3n 2 ? 2n ? 96 ? 0, 解得:- ? n ? 6, 3 ????????????????????????? 7分 ? n ? N ,? nmax ? 6.

(2)若每月都赢利,则 (3n ? 2n) ? a ? g (n) ? 0, n ? N , n ? 6 恒成立.
2

3 5

1 1 (n ? 2) 2 ? , n ? 1, 2,3, 4,5, 6, 恒成立,????????????????10 分 5 5 1 1 1 2 令 h(n) ? (n ? 2) ? , n ? 1, 2,3, 4,5, 6,? n ? 2时h( n)最小,且h(2) ? ????12 分 5 5 5 1 所以 0 ? a ? .??????????? 5
即a ? 2、解:(1)当 M 的坐标为 (0, ?1) 时,设过 M 点的切线方程为 y ? kx ? 1 ,代入 x2 ? 4 y ,
2 整理得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,令 ? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? 0 ,解得 k ? ?1 ,

代入方程得 x ? ?2 ,故得 A(2,1), B(?2,1) ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2分 6分

因 为 M 到 AB 的 中 点 (0,1) 的 距 离 为 2 , 从 而 过 M , A, B 三 点 的 圆 的 方 程 为

x2 ? ( y ?1)2 ? 4 . 易知此圆与直线 l : y ? ?1 相切.

( 2 )证法一:设切点分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 过抛物线上点 A ? x1 , y1 ? 的切线方程为

( y ? y1 ) ? k ( x ? x1 ) ,代入 x2 ? 4 y ,整理得 x2 ? 4kx ? 4 ? kx1 ? y1 ? ? 0 x . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? kx1 ? y1 ? ? 0 ,又因为 x12 ? 4 y1 ,所以 k ? 1 . 2 x x2 (或解: 由已知得 y ? , 求导得 y ? , 切点分别为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 故过点 A ? x1 , y1 ? 2 4 x 的切线斜率为 k ? 1 ) 2 x x x2 从而过抛物线上点 A ? x1 , y1 ? 的切线方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) 即 y ? 1 x ? 1 2 2 4 2 x x x 又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ? 1 x0 ? 1 ① 即 y0 ? 1 x0 ? y1 . . . . 10 分 2 2 4 x x2 同理可得过点 B ? x2 , y2 ? 的切线为 y ? 2 x ? 2 , 2 4 x x2 又切线过点 M ? x0 , y0 ? ,所以得 y0 ? 2 x0 ? 2 ② . . . . 12 分 2 4 x 即 y0 ? 2 x0 ? y2 2

52

即点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 均满足 y0 ?

x0 x ? 2 ? y0 ? y ?

x x0 ? y 即 x0 x ? 2 ? y0 ? y ? ,故直线 AB 的方程为 2
14 分

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

又 M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,故 x0 x ? 2 ? y ? m? 对任意 x0 成立,所 以 x ? 0, y ? m ,从而直线 AB 恒过定点 (0, m) 消去 y ,得 x2 ? 4kx ? 4 ? y0 ? kx0 ? ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . ? ? (4k )2 ? 4 ? 4 ? y0 ? kx0 ? ? 0 即: k 2 ? x0k ? y0 ? 0 .
2 2 ? x0 ? x0 ? 4 y0 ? x0 ? x0 ? 4 y0 2 2 , k2 ? 此时 x1 ? , x2 ? k1 k2 2 2 2 1 2 1 所以切点 A, B 的坐标分别为 A( , 2 ) , B ( , 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . k2 k2 k1 k1 2 2 ? y1 ? y2 x1 ? x2 x0 x1 ? x2 k1 k2 k1 ? k2 因为 k AB ? ? ? ? x0 , ? ? , x1 ? x2 4 2 2 2 k1k2 1 1 ? 2 2 2 ? 2 y0 y1 ? y2 k1 k2 (k ? k )2 ? 2k1k2 x0 , ? ? 1 2 ? 2 2 2 2(k1k2 ) 2

.. . . . . . . . . . . . . . . . .
2

16 分

证法二: 设过 M ? x0 , y0 ? 的抛物线的切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (k ? 0) , 代入 x ? 4 y , 8分

从而 k1 ?

10 分

2 x0 ? 2 y0 ) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 分 2 2 x0 ? 2 y0 x0 AB y ? ? ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 ? y0 ? y ? .. 故直线 的方程为 . . . . . . . . . 14 分 2 2

所以 AB 的中点坐标为 ( x0 ,

又 M ? x0 , y0 ? 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,故 x0 x ? 2 ? y ? m? 对任意 x0 成立,所 以 x ? 0, y ? m ,从而直线 AB 恒过定点 (0, m)

高三数学复习限时训练(136)
1 1.已知集合 A ? {1,cos ? } , B ? {0, ,1} ,若 A ? B ,则锐角 ? ? 2


53

2.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为 纯 虚 数,则 实 数 a 的 值为 z2



3.某校高三年级学生年龄分布在 17 岁、18 岁、19 岁的人数分别为 500、400、200,现通 过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为 m 的样本,已知每位学生被抽到的概率都 为 0.2 ,则 m ? .

4.命题 p:函数 y ? tan x 在 R 上单调递增,命题 q: ?ABC 中, ?A ? ?B 是 sin A ? sin B 的 充要条件,则 p ? q 是 命题. (填“真”“假”) .

? ? ? ? ? ? 5.平面向量 a 与 b 的夹角为 120? , a ? (0,2) , | b |? 1 , 则 a ? b ?

? x 2 ? 3x ? 1, x ≥ 0 6.设 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 x?0 ??2 x ? 7,



7.将函数 y ? sin(2 x ? 8.设函数 f ( x) ?

2? ) 的图像向左平移至少 3

个单位,可得一个偶函数的图像. .

1 ,则 f (a) ? f (c) ? ? 1 ,若 a, b, c 成等差数列(公差不为零) x?b

9.设 a、b 是两条不同的直线, ? 、? 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 a⊥b,a⊥α,b ? α,则 b∥α; ②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β;

③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a ? α; ④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β. 其中正确命题的序号有 .

10. 在 ?ABC 中, AB ? 3 AC , AD 是 ?A 的平分线, 且 AD ? mAC , 则实数 m 的取值范围是. 11.设函数 f ( x) ? sin x ?
2 ? m ( x ? R, m ? R ) 最大值为 g ( m) ,则 g ( m) 的最小值为 3 ? sin x

. 12.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 0 ? q ?

1 ,且对任意正整数 k , ak ? (ak ?1 ? ak ? 2 ) 仍是该 2


数列中的某一项,则公比 q 的取值集合为

(本练习题目选自南通通州区 3 月高三统测卷)

54

高三数学复习限时训练(136)参考答案
? 3 5 7. ? 12
1. 2.

8 3

3.220

4.真

5. 3

6. ?a | a ? 0 或 a ? 4? 11.

8.2

9.①②③④

3 10. (0, ) 2

3 4

12. { 2 ? 1}

高三数学复习限时训练(137)
1. 已知集合 A ? x x ? y ? 1 , B ? ?x, y ? y ?
2 2

?

?

?

x ,则 A ? B 的子集个数为


?



2. 命题“ ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是
2

3. 若 i 是虚数单位,设 点位于第 4.以双曲线

1? i ? a ? ?b ? 1?i?a, b ? R ? ,则复数 z ? a ? bi 在复平面内对应的 2?i

限像 . . E D B C

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为焦点的抛物线标准方程是 4 5

2 5. 已知命题 p : x ? x ? 2, q : x ? Z 且 “ p且q ” 与 “非 q ” 同时为假命题,x 的值为

6.直线 ax+y-a=0 与圆 x2+y2=4 的位置关系是 7.函数 y ? x ? 2sin x 在 [0, ? ] 上的递增区间是 8.若 f ( x) ? ( x ? 8)e ,则 f ( x) 的单调递减区间为
2 x

. . A . .

F

4 9.若函数 y ? ? x3 ? bx 有三个单调区间,则 b 的取值范围是 3
2 2

10.若点 O 和点 F 分别为椭圆 x ? y ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则
4 3

??? ? ??? ? OP ? FP 的最大值为

. .

11. 若直线 y ? mx 是 y ? ln x +1 的切线,则 m ? 12.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A, D 为椭圆的

两个焦点,其余四个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率的值是_______. 13. 已知函数 f ( x ) ?

1 3 7 x ? a 2 x 2 ? ax ? b ,当 x ? ?1 时函数 f ( x) 的极值为 ? ,则 3 12


f (2) ?

14.在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下列命题中正确的 _____________(写出所有正确命题的编号).
55

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数; ④存在恰经过一个整点的直线。
(本练习采用南通崇川区 3 月高三统测卷全部填空题)

56

高三数学复习限时训练(137)参考答案
1.1 2. ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 3. 第四象限
2

4. y ? ?12 x
2

5.0,1

6.相交 11.1

7. (0, 12.

?
3

)

8. ( ?4, 2) 13.

9. (0, ??) 14.①④

10. 6

3 ?1

5 3

高三数学复习限时训练(138)
1、已知圆 C 经过两点 P(?1,?3), Q(2,6) ,且圆心在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,直线 l 的方程为

(k ? 1) x ? 2 y ? 5 ? 3k ? 0 。
(1) 求圆 C 的方程; (2) 证明:直线 l 与圆 C 恒相交; (3) 求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长。

2、A, B 是椭圆 C :

x2 y2 M 是椭圆上异于 A, B 的任意一点, ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点, a2 b2
1 ,且右准线 l 的方程为 x ? 4 。 (1)求椭圆 C 的方程; 2

若椭圆 C 的离心率为

(2)设直线 AM 交 l 于点 P , 以 MP 为直径的圆交直线 MB 于点 Q , 试证明: 直线 PQ 与

x 轴的交点 R 为定点,并求出 R 点的坐标。

57

(本练习采用南京六合中学 3 月高三月考试卷)

58

高三数学复习限时训练(138)参考答案
1、解: (1)设圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . …………………………2 分
? ?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0 ? D ? ?4 ? ? 由条件,得 ? 4 ? 36 ? 2 D ? 6 E ? F ? 0 ,解得 ? E ? ?2 , ? D ? F ? ?20 E ? ?( ? ) ? 2 ? ( ? ) ? 4 ? 0 ? 2 2

? 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 .

………………………………6 分

(2)由 ? k ? 1? x ? 2 y ? 5 ? 3k ? 0 ,得 k ? x ? 3? ? ? x ? 2 y ? 5? ? 0 ,
?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 令? ,得 ? ,即直线 l 过定点 ? 3, ?1? ,……………………………8 分 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? y ? ?1

由 32 ? ? ?1? ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ?1? ? 20 ? 0 ,知点 ? 3, ?1? 在圆内,
2

? 直线 l 与圆 C 恒相交.
(3)圆心 C ? 2,1? ,半径为 5,由题意知,

………………………………10 分

2 2 直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 52 ? ?? 2 ? 3? ? ?1 ? 1? ? ? 4 5 .………………14 分 ? ?

?c 1 ?a ? 2 ? 2 ? ?a ?a ? 2 2.解: (1)由题意: ? ? 4 ,解得 ? . ?b ? 3 ?c ? ?a 2 ? b2 ? c 2 ? ?

? 椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

………………………………6 分

(2)由(1)知, A ? ?2,0? , B ? 2,0? ,设 M ? x0 , y0 ? , R ? t ,0? ,则 直线 AM 的方程为 y ?
y0 ? x ? 2? , x0 ? 2

令 x ? 4 ,得 y ?

? 6 y0 ? 6 y0 ,即点 P 的坐标为 ? 4, ? , …………………………9 分 x0 ? 2 ? x0 ? 2 ?

由题意, MQ ? PQ ,? kMQ ? kPQ ? ?1 ,

6 y0 2 y0 4?t y x ?2 ?? , …………………………12 分 ? 0 ? 0 ? ?1 ,即? x ? 2 x ? 2 6 x0 ? 2 4 ? t ? 0 ?? 0 ?
59



2 x0 y2 3 2 2 ? 0 ? 1,? y0 ? ? 4 ? x0 ?, 4 3 4

??

4?t 3 1 ? ? ,?t ? ? . 6 4 2
…………………………………16 分

? 1 ? ? 直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点 ? ? ,0 ? . ? 2 ?

高三数学复习限时训练(139)
2. 若椭圆

x2 y2 ? ? 1(0 ? m ? 9) 的焦距为 2 3 ,则 m ? 9 m



3. 抛物线 y 2 ? 2 x 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的横坐标是



4. 下面四个条件中,使 a ? b 成立的充分而不必要的条件是 ① a ? b ?1 ②a ? b ?1 ③a ? b
2 2

。 (填写序号)
3

④a ? b
3

5. 如图所示的 “双塔” 形立体建筑, 已知 P ? ABD 和 Q ? CBD 是两个高相等的正三棱锥, 四点 A, B, C , D 在同一平面内,要使塔尖 P, Q 之间的距离为 50m, 则底边 AB 的长为 m。

6. 若 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则以下命题正确的是 序号) ①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m // ? , ? // ? ,则 m // ? ;

.(填写

60

③若 m ? ? , m // n , ? // ? ,则 n ? ? ; ④若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

x2 y2 ? ? 1(0 < b <4),P 为椭圆 C 上的动点, F1 、 F2 为 C 的两焦 6、已知椭圆 C 的方程 16 b 2
点;当点 P 不在 x 轴上时,过点 F1 作∠ F1 PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 M;当点 P 在 x 轴上时,定义 M 与 P 重合。 (1) 求 OM 的长; (2) 已知点 E(2,1) ,问是否存在满足下列所有条件的点 Q:①Q 点横坐标与纵坐标均 为整数;② OQ < OM ;③⊿OEQ 的面积等于 2;若存在,求出点 Q 的坐标, 不存在则说明理由。

61

( 本练习题目来自南京师大附中月考卷与清浦中学寒假作业)

62

高三数学复习限时训练(139)参考答案
1 2

1.6

2.

3.②

4. 50 3

5.③④

6(1)4(2)6 个点(-2,1) , (0,2) , (2,3) , (-2,-3) , (0,-2) , (2,-1)

高三数学复习限时训练(140)
1.若实数列 1,a,b,c,4 是等比数列,则 b 的值为
2 2

. .

2.方程

x y + = 1 的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的取值范围是 m 4-m

3.设 ? , ? 为互不重合的平面, m, n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ? ? , 则m ? n ; ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则

? ∥? ;
③若 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? ;④若 m ? ? , ? ? ? , m // n, 则n // ? . 其中所有正确命题的序号是
2 2

. 开始 P ← 0 n ← 1 P ←P? . n ← n+1 . P<0.99 N 输出 n 结束
1 n(n ? 1 )

4.已知椭圆

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的中心为 O,右焦点为 F.右顶点为 A, 2 a b | FA | 右准线与 x 轴的交点为 H,则 的最大值为 . | OH |

?ax 2 ? bx ? c x ? ?1 5.已知函数 f ( x) ? ? ,其图象在点(1, f (1) )处的 f ( ? x ? 2) x ? ? 1 ?
切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则它在点 (?3, f (?3)) 处的切线方程为 6.右图是一个算法的流程图,最后输出的 n= 7.设 z ? ? .

Y

? x ? y, x ? 2 y, ? y,
x ? 2 y,

若-2≤x≤2,-2≤y≤2,则 z 的最小值为

8.已知函数 f ( x) ? x sin x , x ?R,则 f ( ) , f (1) , f( ? ) 的大小 5 3 关系为 .
*

?

?

9 . 已 知 数 列 {bn } 满 足 b1 ? 1 , b2 ? x ( x ? N

) ,

63

bn?1 ?| bn ? bn?1 | (n ? 2, n ? N * ) .若前 100 项中恰好含有 30 项为 0,则 x 的值为



10 . 在 △ABC 中 , ?A ?

π , D 是 BC 边 上 任 意 一 点 ( D 与 B 、 C 不 重 合 ) ,且 6


??? ? ???? ??? ? ???? | AB |2 ?| AD |2 ?BD ? DC ,则 ?B 等于

(本练习题目选自南京师大附中寒假自主学习情况调研试卷)

高三数学复习限时训练(140)参考答案
1.2 6 . 100 10.75° 2. m ? 0 7. ?1 3.①③ 4. 1 4 5.2x+y+3=0 9. 6 或 7

π π 8 . f( )<f(1)<f(- ) 5 3

高三数学复习限时训练(141)
1、 复数

5i 的实部是_________; 1 ? 2i
开始

2、过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的 直线方程是 .

S ? 0,i ? 1

3、等比数列 ?an ? 中, a3 ? 20 , a6 ? 160 ,则 an ? 4、如果执行如图的流程图,那么输出的 S ? .

i ≤ 10
≤10Y 是 S ?S+ i

N


5、已知中心在坐标原点的椭圆经过直线

输出 S

x ? 2 y ? 4 ? 0 与坐标轴的两个交点,
则该椭圆的离心率为 .

i?i?2

结束

6、已知向量 a ,b 满足 | a |? 1, | b |? 2 ,a ? (a ? b) ,则向 量a ,b

64

夹角的大小为

. .

7、如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π ,则这个圆柱的体积是

?-x+3a, x<0 ? 8、函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是 ?a , x≥0 ?

9、给出四个命题: ①函数 y ? sin | x | 是周期函数,且周期为 2 ? , ②函数 y ?

(1 ? 2 x ) 2 1 1 ? x 与y? 都是奇函数; 2 2 ?1 x ? 2x
?
3 ) 的图象关于点 (

③函数 y ? 2 cos( 2 x ? ④

?
12

,0) 对称;

中,若 sinA,sinB,sinC 成等差数列,则

其中所有正确的序号是 10、已知命题 p :对一切 x ? [ 0 ,1 ] , k ? 4 x ? k ? 2 x?1 ? 6(k ? 5) ? 0 ,若命题 p 是假命题, 则实数 k 的取值范围是 . (本练习题目来自南京师大附中学期初调研试卷)

65

高三数学复习限时训练(141)参考答案
1.2
?

2.

x ? 2 y ?1 ? 0

2 3 . 5?

n ?1

4 . 25

5.

3 2

6. 120 7.

? 4

8. [ ,1)

1 3

9. ②、③、④

10. [5, 6]

高三数学复习限时训练(142)
1.已知圆 C: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 ,圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,圆心在第二象 限,半径为 2 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上的截距相等,求直线 l 的方 程。

2.已知数列 f ? n? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n2 ? 2n . (Ⅰ)求数列 f ? n? 通项公式; (Ⅱ) 若 a1 ? f ?1? , 求证数列 ? an ? 1 ? 是等比数列, 并求数列 ?an ? an?1 ? f ? an ? ? n ? N *? , 的前 n 项和 Tn .

?

?

?

?

66

67

3.已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,相互垂直的两条直线 l1 . l2 都过点 A(a, 0) . (Ⅰ)当 a ? 2 时,若圆心为 M (1, m) 的圆和圆 C 外切且与直线 l1 .l2 都相切,求圆 M 的 方程; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求 l1 . l2 被圆 C 所截得弦长之和的最大值,并求此时直线 l1 的方程.

(本练习题目来自南京师大附中学期初调研试卷)

68

高三数学复习限时训练(142)参考答案
1、解: (Ⅰ)由 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? 3 ? 0 知圆心 C 的坐标为 (? ∵圆 C 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称 ∴点 (?

D E ,? ) 2 2

D E , ? ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 2 2

D 2 ? E 2 ? 12 ? 2 --②???4 分 即 D+E=-2,--①且 4
又∵圆心 C 在第二象限 由①②解得 D=2,E=-4 ∴所求圆 C 的方程为: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ???????7 分 (Ⅱ)? 切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设 l : x ? y ? ? ∴ D ? 0, E ? 0

? 圆 C: (x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? 2 ? 圆心 c(?1, 2) 到切线的距离等于半径 2 ,


?1 ? 2 ? ? ? 2 2
???????12 分 ???????14 分 ??????? 4 分

?? ? ?1或? ? 3 。
所求切线方程 x ? y ? 1或x ? y ? 3 ? 0

2、解: (Ⅰ)n≥2 时, f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 . n=1 时, f (1) ? S1 ? 3 ,适合上式, ∴ f (n) ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ? n ? N *? . (Ⅱ) a1 ? f ?1? ? 3 , an?1 ? 2an ? 1 ? n ? N *? . 即 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) .

??????? 6 分 ??????? 8 分

∴数列 ? an ? 1 ? 是首项为 4、公比为 2 的等比数列.

an ?1 ? (a1 ?1) ? 2n?1 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ?1 ? n ? N *? .?????? 14 分
Tn= (22 ? 23 ? ? ? 2n?1 ) ? n = 2n ? 2 ? 4 ? n .
69

??????? 16 分

3、解: (Ⅰ)设圆 M 的半径为 r ,易知圆心 M (1, m) 到点 A(2,0) 的距离为 2r ,
2 2 2 ? ?(1 ? 2) ? m ? 2r ∴? 2 2 2 ? ?(1 ? 2) ? m ? (2 ? r )

…………………………………………………………

…4 分 解 得

r?2



m?? 7





M









( x ? 1) 2 ? ( y ? 7 ) 2 ? 4

…………………6 分

(Ⅱ)当 a ? ?1 时,设圆 C 的圆心为 C ,l1 . l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为 E , F ,弦长 分别为 d1 , d 2 ,因为四边形 AECF 是矩形,所以 CE ? CF ? AC ? 1 ,即
2 2 2

2 2 ? ? d1 ? ? ? d2 ? ? ?4 ? ? ? ? ? ? ? 4?? ? ? ?1 ? ? ?2? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?







得 从而 d1 ? d 2 ?

…………………………9 分
2 2 ? d12 ? d 2 ? 2 14 ,等号成立 ? d1 ? d 2 ? 14 ,

? d1 ? d 2 ? 14 时,?(d1 ? d 2 ) max ? 2 14 ,


l1



l2





C

























2 14

…………………………………12 分

此时 d1 ? 14 ,显然直线 l1 的斜率存在,设直线 l1 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,则
k k ?1
2

? 4?(

14 2 ,? k ? ?1 , ) 2





线

l1











x ? y ?1 ? 0



x ? y ?1 ? 0

…………………………14 分

高三数学复习限时训练(143)
?? ? ?? ? x x 2 x 1、已知向量 m =( 3 sin ,1), n =( cos , cos ),f(x)= m ? n . 4 4 4 2? ? x ) 的值; (1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos( 3
70

(2)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c 且满足 a cos C ? 的取值范围.

1 c ? b, 求函数 f ( B ) 2

2 、 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , ?ACB ? 90 ,
0

E, F , G 分别是 AA1 , AC, BB1 的中点,且 CG ? C1G .
(Ⅰ)求证: CG // 平面BEF ; (Ⅱ)求证:平面 BEF ? 平面 AC 1 1G .

71

3、如图,椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,

F1 , F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点, M 是

椭圆短轴的一个端点,过 两点,

F1 的直线 l 与椭圆交于 A, B

?MF1F2 的面积为 4 , ?ABF2 的周长为

8 2. ( 1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 Q 的坐标为
(1, 0) ,是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个
圆, 使得该圆与直线

PF1 , PF2 都相切, 如存在, 求出 P

点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.

(本练习题目选自江苏省如皋中学 3 月考试卷)

72

高三数学复习限时训练(143)参考答案

2、证:(Ⅰ)连接 AG 交 BE 于 D ,连接 DF , EG . ∵ E , G 分别是 AA1 , BB1 的中点,∴ AE ∥ BG 且 AE = BG ,∴四边形 AEGB 是矩形. ∴ D 是 AG 的中点????????????????????????????(3 分) 又∵ F 是 AC 的中点,∴ DF ∥ CG ?????????????????????(5 分) 则由 DF ? 面BEF , CG ? 面BEF ,得 CG ∥ 面BEF ???????????(7 分) (注:利用面面平行来证明的,类似给分)

73

3. (Ⅰ) 由题意知:

1 ? 2c ? b ? 4, 2

bc ? 4, 4a ? 8 2,

a ? 2 2 ,解得 b ? c ? 2
??? 6 分

∴ 椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 8 4

(Ⅱ)假设存在椭圆上的一点 P( x0 , y0 ) ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆相切, 则Q 到直线 PF1 , PF2 的距离相等, F1 (?2,0),

F2 (2,0)

PF 1:
PF2 :
d1 ?

( x0 ? 2) y ? y0 x ? 2 y0 ? 0 ( x0 ? 2) y ? y0 x ? 2 y0 ? 0
| y0 | ( x0 ? 2) 2 ? y 0
2
2

??? 8 分

?

| 3 y0 | ( x0 ? 2) 2 ? y 0
2
2

? d2

??? 9 分

化简整理得: 8x0 ? 40x0 ? 32 ? 8 y0 ? 0 ∵ 点在椭圆上,∴ x0 ? 2 y0 ? 8 解得: x0 ? 2 或 x0 ? 8 (舍)
2 2

??? 10 分

?? 14 分

x0 ? 2 时, y0 ? ? 2 , r ? 1 ,
∴ 椭圆上存在点 P ,其坐标为 (2, 2 ) 或 (2,? 2 ) ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1相切

???

16 分

高三数学复习限时训练(144)
? ? ? 1、 已知向量 a ? (sin ? , ?2) 与 b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, ) . 2
(1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?
10 ? , ? ? (0, ) ,求 cos? 的值. 10 2

74

2、设命题 p :方程

x2 y2 ? ? 1 表 示 双 曲 线 , 命 题 q : 圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 与 圆 a?6 a?7

( x ? a) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 16相交。若“ ? p 且 q ”为真命题,求实数 a 的取值范围。

75

3、已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的一动点 P 到右焦点的最短距离为 2 ? 2 ,且右 a 2 b2

焦点到右准线的距离等于短半轴的长. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P ? 4,0 ? , A, B 是椭 圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点, 连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E , 证明直线 AE 与 (3)在(2)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 x 轴相交于定点 Q ;
???? ? ???? OM ? ON 的取值范围.

(本练习题目选自南京师大附中周练试卷)

76

高三数学复习限时训练(144)参考答案
? ? 1.解: (1)∵ a ? b ,∴ sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,

又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,且 ? ? (0, ) , 2 2 5 5 ∴ sin ? ? , cos ? ? . 5 5 (2)∵ ? ? (0, ) , ? ? (0, ) , 2 2

?

…………………………6 分

?

?

10 ? ? ∴ ? ? ? ? (? , ) ,又 sin(? ? ? ) ? , 10 2 2 3 10 ∴ cos(? ? ? ) ? , …………………………10 分 10 ∴ cos ? ? cos ?? ? (? ? ? )? ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
? 5 3 10 2 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

…………………………14 分

2.解:若 p 真,即方程

x2 y2 ? ? 1表示双曲线, a?6 a?7
………………………………5 分
2 2

则 ? a ? 6?? a ? 7 ? ? 0 ,??6 ? a ? 7 .
2

若 q 真,即圆 x2 ? ? y ? 1? ? 9 与圆 ? x ? a ? ? ? y ? 1? ? 16 相交, 则 1 ? a2 ? 4 ? 7,??3 5 ? a ? 3 5 . 若“ ? p 且 q ”为真命题,则 p 假 q 真, ………………………………10 分

? ?a ? ?6或a ? 7 ,即 ?3 5 ? a ? ?6 , ?? ? ??3 5 ? a ? 3 5

? 符合条件的实数 a 的取值范围是 ?3 5 ? a ? ?6 .

………………………………14 分

?a ? c ? 2 ? 2 ? ? ?a ? 2 3.解: (1)由题意知 ? a 2 , 解得 ? , ? ? ?c ?b ?b ? 2 ?c 2 x y2 故椭圆 C 的方程为 ? …………………………4 分 ?1 . 4 2 (2)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ( x ? 4) .
? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 y 2 得 (2k 2 ? 1) x2 ? 16k 2 x ? 32k 2 ? 4 ? 0 . ? ? 1. ? ?4 2 设点 B( x1 , y1 ) , E ( x2 , y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) .



77

y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1 y (x ? x ) 令 y ? 0 ,得 x ? x2 ? 2 2 1 . y2 ? y1

直线 AE 的方程为 y ? y2 ?

将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入, 2 x x ? 4( x1 ? x2 ) 整理,得 x ? 1 2 . ② x1 ? x2 ? 8 由①得 x1 ? x2 ?

16k 2 32k 2 ? 4 , x1 x2 ? 代入② 2 2k ? 1 2k 2 ? 1
…………………………10 分

整理,得 x ? 1 . 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0) . (3)当过点 Q 直线 MN 的斜率存在时,
? y ? m ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? ?4 2

设直线 MN 的方程为 y ? m( x ? 1) , M ( xM , yM ) , N ( xN , yN ) . 得 (2m2 ? 1) x2 ? 4m2 x ? 2m2 ? 4 ? 0 .

4m2 2m2 ? 4 3m2 , , . x x ? y y ? ? M N M N 2m2 ? 1 2m2 ? 1 2m2 ? 1 ???? ? ???? 2m2 ? 4 3m2 m2 ? 4 1 7 1 则 OM ? ON ? xM xN ? yM yN ? . ? ? ? ?? ? ? 2 2 2 2 2m ? 1 2m ? 1 2m ? 1 2 2 2m ? 1 1 7 1 1 因为 m2 ? 0 ,所以 ?4 ≤ ? ? ? 2 ?? . 2 2 2m ? 1 2 ???? ? ???? 1 所以 OM ? ON ? [?4, ? ) . 2 当过点 Q 直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 .
∴ xM ? xN ?
6 6 ) , N (1, ? ). 2 2 ???? ? ???? 1 此时 OM ? ON ? ? . 2 ???? ? ???? 1 所以 OM ? ON 的取值范围是 [?4, ? ] . 2

解得 M (1,

…………………………16 分

高三数学复习限时训练(145)
1 1、设向量 a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=( sinθ,1). 2 π (1)若 θ∈(0, ),求 a· b-c· d 的取值范围; 4 (2)若 θ∈[0,π),函数 f(x)=|x-1|,比较 f(a· b)与 f(c· d)的大小.

78

2、如图,线段 AB=8,点 C 在线段 AB 上,且 AC=2,P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕着 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D,设 CP ? x, ?CPD 的面积为 f ( x ) . (1)求 x 的取值范围; (2)求 f(x)的的最大值.

79

3 3、已知 A(-2,0),B(2,0)为椭圆 C 的左、右顶点,E(1, )是 C 上的一点.F 为 C 的右焦 2 点。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 P(不同于 A、B) ,与椭圆在点 B 处的切 线交于点 D.当直线 l 绕点 A 转动时,试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系, 并加以证明.

本练习选自<2012 届南京师大附中高三数学二轮复习统测(四)

2012.3.14>

80

16. (1)a· b-c· d=2cos2θ,

???????????????????4 分

π π ∵θ∈(0, ),∴2θ∈(0, ),∴a· b-c· d∈(0,2) . ????????6 分 4 2 (2)∵a· b=2+2cos2θ≥1,c· d=1+2sin2θ≥1,而 f(x)=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,所以 f(a· b)与 f(c· d)的大小关系,等价于 a· b 与 c· d 的大小关系. ????????8 分 由(1)知,a· b-c· d=2cos2θ,∵θ∈[0,π),∴2θ∈[0, 2π). π 3π π 3π ①当 2θ∈[0, )∪( ,2π),即 θ∈[0, )∪( ,π)时,a· b-c· d>0,即 a· b>c· d,所以 f(a· b) 2 2 4 4 >f(c· d); ?????????????????? ?10 分 π 3π π 3π ②当 2θ= 或 ,,即 θ= 或 时,f(a· b)=f(c· d); 2 2 4 4 12 分 π 3π π 3π ③当 2θ∈( , ),即 θ∈( , )时,f(a· b)<f(c· d). 2 2 4 4 14 分 (1)由题意知,在Δ CDP 中,CD=2,CP=x,PD=6-x, ??????????? ???????????

?0 ? x ? 6, ?0 ? 6 ? x ? 6, ? 由? 得,x∈(2, 4).∴f(x)的定义域为(2, 4). ???????????4 分 2 ? x ? 6 ? x , ? ? ?2 ? (6 ? x) ? x,
(2) f(x)= ? x2 ? 6 x ? 8
2 ∴f(x)= ?( x ? 3) ? 1 ≤1.

???????????10 分 f(x)的的最大值为 1. ???????????14 分 ???????????4 分

18. (1)

x2 y2 + =1 4 3

( 2

???????????10 分
81

???????????12 分

高三数学复习限时训练(146)
1.如图,在 △ ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 ,

???? ??? ? D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC ?



C D


2.已知 a=log30.5,b=30.2,c=sin2,则 a,b,c 按从小到大的排列顺序是

2 3.若△ ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? ,则 sin A ? cos A ? A . 3
4.下列四个命题:
2

B

2 ①命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” ;

②若命题 p: “ ? x∈R,使得 x2+x+1<0. ”则 ? p : “ ?x ∈R,x2+x+1≥0” ; ③对于平面向量 a,b,c,若 a≠b,则 a· c≠b· c; ④已知 u,v 为实数,向量 a,b 不共线,则 ua+vb=0 的充要条件是 u=v=0. 其中真命题有 (填上所有真命题的序号) . 5. 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, 且 AD//BC,

?ABC ? 90? ,侧棱 PA ? 底面 ABCD,若 AB=BC=
与平面 PAC 所成的角为 .

1 AD ,则 CD 2

P A B C D

82

1 1 1 6.数列 1, , ,…, 的前 n 项和为 1+2 1+2+3 1+2+…+n 7.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与双曲线



x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 A, B 两点,且 F 是抛 2 a
. .

物线的焦点,若 ?FAB 是直角三角形,则双曲线的离心率为
?x+2,x≤0, 8.己知函数 f(x)=? 则不等式 f ( x) ? x 2 的解集为 ?-x+2,x>0,
2

9.实系数方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两根为 x1 、 x2 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,则 范 是 .

b?2 的取值 a ?1


* * a a ? 9 ,若 10 .将正奇数排列如下表其中第 i 行第 j 个数表示 ij (i ? N , j ? N ) ,例如 32

aij ? 2009

,则 i ? j ?

. 7 13

1 3 9 15 ?? 5 11 17 19

(本练习题目选自 2012 届南京师大附中高三数学二轮复习周统测(四) )

83

高三数学复习限时训练(146)参考答案
1. ?

5 2.acb 3. 2

15 3

4. ①②④

2n 5. 90o 6. n+1

7. 6

8. [ ?1,1]

9. ( ,1)

1 4

10. 60

高三数学复习限时训练(147)
1、 已知集合 A ? ? ?x ? N |
? 8 ? ? N ? ,试用列举法表示集合 6? x ?

A=
。 .

2、 方程 lg x ? 8 ? 2 x的根x ? (k , k ? 1), k ? Z , 则k ?

3、 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 4, S4 ? 20 ,则数列 ?an ? 的公差 d = 4 、 在△ ABC 中,已知 A 、 B 、 C 成等差数列,则 tan
______________

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值为 2 2 2 2

5 、 在 等 腰 直 角 三 角 形 ABC 中 , D 是 斜 边 BC 的 中 点 , 如 果 AB 的 长 为 2 , 则 ??? ? ??? ? ???? . ( AB ? AC) ? AD 的值为 6、 函数 f ( x) ? 2
x 2 ?2 x

在区间[-1,2]上的值域是

.

7、将边长为 2,锐角为 600 的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成二面角 A ? BD ? C ,点
E , F 分别为 AC, BD 的中点,给出下列四个命题: ① EF // AB ;
②直线 EF 是异面直线 AC 与 BD 的公垂线; ③当二面角 A ? BD ? C 是直二面角时, AC 与 BD 间的距离为 ④ AC 不垂直于截面 BDE .其中不正确的是 上).

6 ; 2

(将不正确命题的序号全填

8、 已知 f ( x) ? x2 ? 3xf ?(2), 则f ?(2) =

.

9、 若数列 ?an ? 是等差数列,其前 n 项的和为 Sn ,则 bn ?
类比以上性质,等比数列 ?cn ? , cn ? 0, n ? N ,则 dn =
?

Sn , n ? N ? , ?bn ? 也是等差数列, n
, ?dn ? 也是等比

数列.

84

10、若点 ( x0 , y0 ) 在直线 ax ? by ? 0(a, b为常数) 上,则 ( x0 ? a) 2 ? ( y 0 ? b) 2 的最小值
为_______________。 11、已知 是 是抛物线 . 的导函数 ,且 的值为整数,当 . 时, 上一点, 是圆(x-3)
2

+y2=1 上的动点,则

的最小值

12、函数

的值为整数的个数有且只有 1 个,则 =

高三数学复习限时训练(147)参考答案
1、 A ? ?2,4,5? 2、
3

3、 3

4、

3

5、 4

6、 [

1 ,8] 2
12、4

7、 ①④

8、-2

9、

n

c1c2 ??? cn

10、.

a 2 ? b2

11、

高三数学复习限时训练(147)参考答案
1、 A ? ?2,4,5? 2、
3

3、 3

4、

3

5、 4

6、 [

1 ,8] 2
12、4

7、 ①④

8、-2

9、

n

c1c2 ??? cn

10、.

a 2 ? b2

11、

85

高三数学复习限时训练(148)
1、 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = 则 a10 的值为________. b5

Sn n * 对任意 n∈N 恒成立, Tn 2n-1

3 2、 设函数 f ( x) ? x ? x ,若 0 ? ? ?

?
2

时, f (m cos ? ) ? f (1 ? m) ? 0 恒成立,则实数 m

的取值范围是 3、已知函数 f ( x) ? ?

?a x

( x ? 0)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,则 a 的取值范围是 x1 ? x2

?(a ? 3) x ? 4a ( x ? 0)

,满足对任意 x1 ? x2 ,都有 .

4、 已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, 底面 ABCD 为直角梯形, 且满足 AD⊥AB, BC∥AD, AD=16,AB=8,BB1=8,E,F 分别是线段 A1A,BC 上的点. (1) 若 A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面 A1FD. (2) 若 BD⊥A1F,求三棱锥 A1AB1F 的体积.

86

5、 设 A、 B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、 右顶点, 椭圆长半轴长等于焦距, 且x ? 4 a 2 b2

是它的右准线, (1) 求椭圆方程; (2) 设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任一点,若直线 AP、BP 分别与椭圆交于异于 A、 B 两点 M、N,证明:点 B 在以 MN 为直径的圆内.
y M A O N B P x

本练习题目采自启东中学 3 月份月考试卷卷

87

高三数学复习限时训练(148)参考答案
1. 19 17 2. (-∞,1) 3. 0 ? a≤

1 4

4. (1) 过 E 作 EG∥AD 交 A1D 于 G,连接 GF. A1E 5 EG 5 ∵ = ,∴ = ,∴EG=10=BF. A1A 8 AD 8 ∵BF∥AD,EG∥AD,∴BF∥EG.

∴四边形 BFGE 是平行四边形. ∴BE∥FG.(4 分) 又 FG?平面 A1FD,BE?平面 A1FD, ∴BE∥平面 A1FD.(6 分) (2) ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, A1A⊥平面 ABCD, BD?平面 ABCD, ∴A1A⊥BD. 由已知,BD⊥A1F,AA1∩A1F=A1, ∴BD⊥平面 A1AF. ∴BD⊥AF.(8 分) ∵梯形 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥AB,BC∥AD, AD ∴在 Rt△BAD 中,tan∠ABD= =2. AB FB BF 在 Rt△ABF 中,tan∠BAF= = . AB 8 π ∵BD⊥AF,∴∠ABD+∠BAF = , 2 BF 1 ∴ = ,BF=4.(10 分) 8 2 ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,∴平面 AA1B1B⊥平面 ABCD, 又平面 ABCD∩平面 AA1B1B=AB,∠ABF=90° , ∴FB⊥平面 AA1B1B,即 BF 为三棱锥 FA1B1A 的高.(12 分) ∵∠AA1B1=90° ,AA1=BB1=8,A1B1=AB=8, ∴S△AA1B1=32. 1 128 ∴V 三棱锥 A1AB1F=V 三棱锥 FA1B1A= ×S△AA1B1×BF= .(14 分) 3 3

88

? a ? 2c ? 5、解: (1)由 ? a 2 ? ?4 ?c
? 方程为

得?

?c ?1 ? ?a ? 2

b? 3

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………………………… 6 分 4 3
3 (4 ? x0 2 ) ,又 4

2 (2)? A( ?2 ,0) ,B(2,0) ,令 M ( x0 , y0 ) ? M 在椭圆上,? y0 ?

M 异于 A、B 点,? ?2 ? x0 ? 2 ,令 P (4, y ) ? P、A、M 三点共线,?

y ? y0 4 ? x0 , ? y0 ? 0 x0 ? 2
10 分

?y?

6 y0 x0 ? 2

???? ? ??? ? 6y 6 y0 BM ? ( x0 ? 2, y0 ), BP ? (2, ) …………… ? P( 4 , 0 ) x0 ? 2 x0 ? 2

3 2( x0 2 ? 4) ? 6 ? (4 ? x0 2 ) 20 ? 5 x 2 ???? ? ??? ? 6 y0 2 0 4 ? ? ? BM ? BP ? 2( x0 ? 2) ? x0 ? 2 x0 ? 2 2( x0 ? 2)
???? ? ??? ? ? ?2 ? x0 ? 2 ,? x0 ? 2 ? 0 , 20 ? 5x02 ? 0 ? BM ? BP >0,…………………… 14 分

? ?PBM ? 90? , ?NBM ? 90? , ? B 在以 MN 为直径的圆内 ……………………… 16 分

高三数学复习限时训练(149)
1、已知二次函 数 f (x)=x2+mx+n 对任意 x∈R,都有 f (-x) = f (2+x)成立,设向量 1 → → → → a = ( sinx , 2 ) , b = (2sinx , ), c = ( cos2x , 1 ), d =(1,2), 2 (Ⅰ)求函数 f (x)的单调区间; →→ →→ (Ⅱ)当 x∈[0,π]时,求不等式 f ( a ·b )>f ( c ·d )的解集.

89

2、如图,在 C 城周边已有两条公路 l1 , l2 在点 O 处交汇,现规划在公路 l1 , l2 上分别选择 A, B 两处为交汇点(异于点 O)直接修建一条公路通过 C 城,已知 OC= ( 2 ? 6)km ,

?AOB ? 750 , ?AOC ? 450 ,设 OA ? xkm, OB ? ykm
(1) 求y关于x的函数关系式并指出它的定义域; (2) 试确定点 A、B 的位置,使 ?ABC 的面积最小;

B C

l1 O l2

A

90

3、如图,2012 年春节,摄影爱好者 S 在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱,测得立柱 顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为 30 ? , 已知 S 的身高约为 3 米 (将眼睛距地面的 距离按 3 米处理) (1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2) 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转. 摄影者有 一视角范围为 60 ? 的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部摄入 画面?说明理由.
M O N S

B

A

(本练习题目选自南师附中统测卷与苏北四市三模卷)

91

高三数学复习限时训练(149)参考答案
(-x)+(2+x) 1.解; (1)设 f(x)图象上的两点为 A(-x,y1) 、B(2+x, y2) ,因为 =1 2 f (-x) = f (2+x),所以 y1= y2 由 x 的任意性得 f(x)的图象关于直线 x =1 对称, ∴x≥1 时,f(x)是增函数 ;x≤1 时,f(x)是减函数。 1 →→ (2)∵ a ·b =(sinx,2)· (2sinx, )=2sin2x+1≥1, 2 →→ c ·d =(cos2x,1)· (1,2)=cos2x+2≥1, →→ →→ ∵f(x)在是[1,+∞)上为增函数,∴f ( a ·b )>f ( c ·d ) ? f(2sin2x+1)> f(cos2x+2)

? 2sin2x+1>cos2x+2 ? 1-cos2x+1>cos2x+2 ? 3? ,k∈z ? cos2x<0 ? 2kπ+ <2x<2kπ+
? 3? <x< 4 4 ? 3? →→ →→ 综上所述,不等式 f ( a ·b )>f ( c ·d )的解集是:{ x| <x< } 。 4 4
∵0 ≤x≤π ∴

2 ? 3? , k∈z ? kπ+ <x<kπ+ 4 4

2

2、⑴因为 △ AOC 的面积与 △ BOC 的面积之和等于 △ AOB 的面积, 所以 x( 2 ? 6)sin 45? ? y( 2 ? 6)sin 30? ? xy sin 75? ,???????????4 分 即
2 1 x( 2 ? 6) ? y ( 2 ? 6) ? 2 2 1 2 6? 2 2 2x xy ,所以 y ? ( x ? 2) . 4 x?2 6? 2 3 ? 1 x2 xy = ? 8 2 x?2

1 2

1 2

1 2

????6 分

⑵ △ AOB 的面积 S ? xy sin 75? ? =

?????????8 分 ?????12 分

3 ?1 4 3 ?1 (x ? 2 ? ? 4) ≥ ? 8 ? 4( 3 ? 1) . 2 x?2 2

当且仅当 x ? 4 时取等号,此时 y ? 4 2 . 故 OA ? 4km , OB ? 4 2km 时,△ OAB 面积的最小值为 4( 3 ? 1)km2 . ????14 分 3、.(1) 如图,不妨将摄影者眼部设为 S 点,做 SC 垂直 OB 于 C, ?CSB ? 30 , ?ASB ? 60 ,
? ?

又 SA ? 3, 故在 Rt ?SAB 中,可求得 BA=3,即摄影者到立柱的水平距离为 3 米……… 3 分 由 SC=3, ?CSO ? 30 , 在 Rt ?SCO 中,可求得 OC ? 3,
?

又 BC ? SA ? 3, 故 OB ? 2 3, 即立柱高为 2 3 米. -------------------------- ------ ------ - 6 分
? (2) (注:若直接写当 MN ? SO 时, ?MSN 最大,并且此时 ?MSN ? 60 ,得 2 分)

92

连结 SM,SN, 在△ SON 和△ SOM 中分别用余弦定理,

(2 3 ) 2 ? 12 ? b 2 2 ? 2 3 ?1
cos?MSN ?

??

(2 3 ) 2 ? 12 ? a 2 2 ? 2 3 ?1

? a 2 ? b 2 ? 26

a 2 ? b 2 ? 2 2 11 22 11 1 ? ? 2 ? ? 2 2ab ab a ? b 13 2

? ?MSN ? 60?

故摄影者可以将彩杆全部摄入画面. ……………………………………………………… 14 分

高三数学复习限时训练(150)
1、复数 z ? (1 ? 3i)i ( i 是虚数单位),则 z 的实部是 . . 2、已知集合 A ? ?x ?1≤ x ≤ 2?, B ? ?x x ? 1? ,则 A ? (?R B) =

3、在学生人数比例为 2 : 3 : 5 的 A, B , C 三所学校中,用分层抽样方法招募 n 名志愿者, 若在 A 学校恰好选出了 6 名志愿者,那么 n ? .

4 、 设 f ?x? ? x 2 ? 2x ? 3?x ? R? , 则 在 区 间 [ ? ? , ? ] 上 随 机 取 一 个 数 x , 使 f ?x ? ? 0 的 概 率 为 。

5、设函数 f ?x ? ? x 2 ? ln x ,若曲线 y ? f ?x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程为 y ? ax ? b ,则

a?b ?



A1

C1 B1

6、已知向量 a ? (?2,1), b ? (1,0) ,则 2a ? 3b ?

?

?

?

?

。 A . B

7、设双曲线的渐近线方程为 2 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的离心率为 8、双曲线

C

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、 a 2 b2

右 ” 四个区域(不含边界) ,若点 (1, 2) 在 “ 上 ” 区域内,则双曲线离心率 e 的取值范围 是 .

9、如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均等于 1,且 ?A1 AB ? ?A1 AC ? 60? ,则该三棱 柱的体积是 .
2 2

10、 .过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 C : ?x ? 8? ? ? y ? 1? ? 2 的切线 l1 , l2 ,若 l1 , l2 关于直 线 l 对称,则点 P 到圆心 C 的距离为 。

93

11、已知函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 2 ,且直线 y ? k ( x ? 1) ? 1与 f ( x) 的图象有 5 个交点,则这些交点的纵坐标之和为 . 12、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? 5an ? 13 ? n ? N * ? ,则数列 ?an ? 的前 100 项的和 3an ? 7 13、已知 △ ABC 的三边长 a, b, c 满足 b ? 2c ? 3a, c ? 2a ? 3b ,则

. .

b 的取值范围为 a

14、在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是第一象限内曲线 y ? ? x3 ? 1 上的一个动点,点 P 处 的切线与两个坐标轴交于 A, B 两点,则 △ AOB 的面积的最小值为
(本练习题目选自苏州市 2012 届高三第二学期初调研试卷全部填空题)

.

94

高三数学复习限时训练(150)参考答案
1. ?3 ; 2. {x |1 ? x ? 2} ; 3. 30 ;4.

2

?

;5. 1; 6. 53 7.

13 13 或 8. 1, 5 ; 2 3

?

?

9.

2 4

10、.

3 5

11.5; 12.200

13. ?

? 3 5? , ? ? 4 3?

14.

33 2 4

高三数学复习限时训练(151)
1.已知全集 U=R,集合 A= ? ??,0? , B ? ??1, ?3, a? ,若 (CU A) ? B ? ? ,则实数 a 的取 值范围是
2

. . .

2.若 ( x ? i) 是实数( i 是虚数单位) ,则实数 x 的值为 3.根据如图所示的伪代码,可知输出 S 的值为

4 . 已 知 a, b ? {1, 2, 3, 4, 5, , 6}直 线 l1 : x ? 2 y ?1 ? 0, l2 : ax ? by ?1 ? 0, 则 直 线 l1 ? l2 的 概 率

95



. .

5. 设正三棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍, 且该正三棱锥的高为 3 , 则其表面积等于 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6.在△ABC 中,若 AB ? AC ? AB ? CB ? 2 ,则边 AB 的长等于 .
a b

2 2 7. 已知椭圆的方程为 x ? y ? 1(a ? b ? 0) , 过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 2 2

P、Q 两点,椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若 ?PQM 为正三角形,则椭圆的离心率等 于 .

8.若函数 f ( x ) ?

1 3 x ? x 在 a,10 ? a 2 上有最小值,则实数 a 的取值范围是 3
x y x ?1

?

?

. .

9.若实数 x 、 y 满足 4 ? 4 ? 2

? 2 y ?1 ,则 S ? 2x ? 2 y 的取值范围是

10 .定义在 R 上的 f ( x ) ,满足 f (m ? n2 ) ? f (m) ? 2[ f (n)]2 , m, n ? R, 且 f (1) ? 0 ,则

f (2012)的值为



1 1 ? x ? , x ? [0, ) ? ? 2 2 11. 已知函数 f ( x) ? ? 若存在 x1 , x2 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 1 x ? 1 ?2 , x ? [ , 2) ? ? 2
则 x1 f ( x2 ) 的取值范围是 .

12. 设数列 {an } 是首项为 0 的递增数列, (n? N ) ,f n ( x) ? n i s

1 ( x ? an ) , x ?[an , an?1 ] , n

满 足 : 对 于 任 意 的 b ?[0,1), f n ( x) ? b 总 有 两 个 不 同 的 根 , 则 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 .
(本练习题选自江苏省如皋中学月考试卷)

高三数学复习限时训练(151)参考答案
1、 a ? 0 2、0 3、21 4、

1 12

5、 9 3

6、2 7、

3 3

8、 ? 2 ? a ? 1

9、 2 ? s ? 4

10、1006

11、

[

2? 2 1 , ) 4 2

12、 a n ?

n(n ? 1)? 2

96

本练习选自<2012 届南京师大附中高三数学二轮复习统测(四)

2012.3.14>

16. (1)a· b-c· d=2cos2θ,

???????????????????4 分

π π ∵θ∈(0, ),∴2θ∈(0, ),∴a· b-c· d∈(0,2) . ????????6 分 4 2 (2)∵a· b=2+2cos2θ≥1,c· d=1+2sin2θ≥1,而 f(x)=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,所以 f(a· b)与 f(c· d)的大小关系,等价于 a· b 与 c· d 的大小关系. ????????8 分 由(1)知,a· b-c· d=2cos2θ,∵θ∈[0,π),∴2θ∈[0, 2π). π 3π π 3π ①当 2θ∈[0, )∪( ,2π),即 θ∈[0, )∪( ,π)时,a· b-c· d>0,即 a· b>c· d,所以 f(a· b) 2 2 4 4 >f(c· d); ?????????????????? ?10 分 π 3π π 3π ②当 2θ= 或 ,,即 θ= 或 时,f(a· b)=f(c· d); 2 2 4 4 12 分 π 3π π 3π ③当 2θ∈( , ),即 θ∈( , )时,f(a· b)<f(c· d). 2 2 4 4 14 分 (1)由题意知,在Δ CDP 中,CD=2,CP=x,PD=6-x, ??????????? ???????????

97

?0 ? x ? 6, ?0 ? 6 ? x ? 6, ? 由? 得,x∈(2, 4).∴f(x)的定义域为(2, 4). ???????????4 分 2 ? x ? 6 ? x , ? ? ?2 ? (6 ? x) ? x,
(3) f(x)= ? x2 ? 6 x ? 8
2 ∴f(x)= ?( x ? 3) ? 1 ≤1.

???????????10 分 f(x)的的最大值为 1. ???????????14 分 ???????????4 分

x2 y2 18. (1) + =1 4 3

( 2

???????????10 分

???????????12 分

98

高三数学复习限时训练(152)
1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c (1)若 sin( A ?

?

1 ) ? 2cos A ,求 A 的值;(2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值。 6 3

2、已知锐角 ?ABC 中的三个内角分别为 A, B, C .

CA ? CA?AB ,求证 ?ABC 是等腰三角形; (1)设 BC ?
? ( 2 )设向量 s ? 2 sinC ,?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

?

? ? ? ? 1 C ? 3 , t ? ? cos 2C , 2cos 2 ? 1? , 且 s ∥ t , 若 sin A ? ,求 2 3 ? ?

?

sin( ? B )的值. 3

?

99

7? 3? ) ? cos( x ? ) ,x ? R. 4 4 (1) 求 f ( x) 的最小正周期和最小值; 4 4 ? (2) 已知 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? , 0 ? ? ? ? ? .求 f ( ? ) 的值. 5 5 2
3、已知函数 f ( x) ? sin( x ?

4、已知 m ? (2cos x ? 2 3sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x ) ,并求 f ( x ) 的最小正周期; ( 2 )已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f ( x) ? f ( ) 对所有

??

?

?? ?

A 2

x ? R 恒成立,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围.

100

高三数学复习限时训练(152)参考答案
1、解:(1)? sin( A ? (2)? cos A ?

?
6

) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A,? A ?

?
3

1 , b ? 3c,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 8c 2 , a ? 2 2c 3

由正弦定理得:

2 2c c 2 2 2 ,而 sin A ? 1 ? cos A ? ? , sin A sin C 3

? sin C ?

1 。 (也可以先推出直角三角形) 3
? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ??
??? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ?? ?? ??? , 又 AB ? BC ? CA ? 0 , B ?C ) A ? 0 B
2 2

2 、 (1) 因 为 B C? C A ? CA ? , A 所以 B

C ( ?A

所以CA ? ?( AB ? BC), 所以 ? ( AB ? BC) ? ( BC ? AB) ? 0, 所以AB ? BC ? 0 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 | AB |2 ?| BC |2 ,即 | AB |?| BC | ,故△ABC 为等腰三角形.
(2)∵ s ∥ t , ∴ 2 sin C (2 cos

(4 分) (6 分)

?

?

2

C ? 1) ? ? 3 cos 2C ,∴ sin 2C ? ? 3 cos 2C ,即 2
2? ? ,∴ C ? . 3 3
(8 分)

tan 2C ? ? 3 , ? C 为锐角,∴ 2C ? ? 0, ? ? ,∴ 2C ?

∴ A?

?? 2? ?? 2? ?? ? ? ?? ? ? B ? ? ? ? sin ? A ? ? . ? B ,∴ sin ? ? B ? ? sin ?? 3? 3 ?3 ? ? 3? ? ?? 3

(10 分)

2 2 1 又 sin A ? ,且 A 为锐角,∴ cos A ? , 3 3

(12 分)

?? ? ? 1? 2 6 ?? ? ? ∴ sin ? ? B ? ? sin ? A ? ? ? sin A cos ? cos A sin ? . 6 3 3 3 3 ? ? ? ?
3、(1) 解析: f ( x) ? sin x cos

(14 分)

7? 7? 3? 3? ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4

? 2 sin x ? 2 cos x ? 2sin( x ? ) , 4

?

…………………………4 分 ………………7 分

∴ f ( x) 的最小正周期 T ? 2? ,最小值 f ( x)min ? ?2 . (2) 证明:由已知得 cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

4 4 , cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 5 5

两式相加得 2cos ? cos ? ? 0 ,∵ 0 ? ? ? ? ? ∴ f (? ) ? 2sin( ? ) ? 2 . 2 4

?
2

,∴ cos ? ? 0 ,则 ? ?

?
2

.……… 12 分

?

?

……………………………… 14 分

4、解: (I)由 m ? n ? 0 得 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0

?? ?

101

即 y ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

?
6

) ? 1 ,其最小正周期为 ? . ?????6 分

(II)因为 f ( x) ? f ( ) 对所有 x ? R 恒成立 所以 f ( ) ? 3 ,且 A ?

A 2

A 2

?
6

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z

因为 A 为三角形内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 A ? 由正弦定理得 b ?

?
3

. ?????9 分

4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin(B ? ) 3 3 3 3 3 6
2? ? 1 ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] , 3 6 2
????14 分

? B ? (0,

所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4]

高三数学复习限时训练(153)
1、 若全集 U ? R , 集合 A ? x x ? 1 ? 0 ,B ? x x ? 3 ? 0 , 则集合 (CU A) ? B = 2、已知复数 z ? (a 2 ? 4) ? 3i , a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ z 为纯虚数”的___ __
?

?

?

?

?

. 条件.

3、 投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m , n ,设 a ? (m, n) ,则满足 a ? 5 概率为 .

?



4、若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 10 x 的焦点 重合,则双曲线的标准方程为 。
2 5、已知正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面边长为 1 cm ,侧面积为 3 cm ,则棱锥的体积为

cm3 .
6、已知角 ?、? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,?、? ? (0,? ), 角 ? 的 终边与单位圆交点的横坐标是 ? 1 ,角 ? ? ? 的终边与单位圆交点的纵坐标是 4 ,则 3 5

cos? =
2


2

7 、设圆 C : x ? y ? 4 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A, B ,则 AB 的最小值为 ▲ . 8、正项等比数列 ?an ? 满足 a6 ? a7 ? 2a5 ,若存在两项 am , an ,使得 am an ? 2a2 ,则
102

1 4 ? 的最小值为 m n
9、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )被围于 a2 b2

y B O A x D

由 4 条直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 内,任取椭圆上一点 P , 若 OP ? m ? OA ? n ? OB ( m 、 n ? R ) ,则 m 、 n 满足的一个等式是_________. C 10、已知函数 f ?x ? 的定义域为 R ,且对任意 x ? R 都有 f ?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x ? 1? ,若

f ?? 1? ? 2, f ?1? ? 3 则 f ?2012? ? f ?? 2012? ?
11、已知 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 a 2 b2


x2 ? y 2 ?

? ? 1 2 b 相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 4

12、记 min?a, b? ? ?

?a(a ? b) ,已知函数 f ?x? ? min x 2 ? 2tx ? t 2 ? 1, x 2 ? 4x ? 3 为偶函 ?b(a ? b)

?

?

数( t 为实常数) ,则函数 y ? f ( x) 的零点为

(写出所有零点)

高三数学复习限时训练(153)参考答案
1、 ?? 1,3? 2、充分不必要 3、

13 36

4、 x ?
2

y2 3 ? 1 5、 9 4

6、 3 + 8 2
15

7、

4

8、

3 2

9、 m ? n ?
2 2

1 2

-5 10、

11、

5 3

12、 ? 1,?3

103

高三数学复习限时训练(154)
1、已知 z1 ? 1 ? i, z2 ? 1 ? i, 且

1 1 1 ? ? ,则 z ? z z 2 z1



2 2 2、已知集合 A ? { y y ? log 2 (2 ? x )}, B ? {x x ? x ? 2 ? 0} ,则 A ? B =



3、有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: [11.5,15.5) 2 , [15.5, 19.5) 4 , [19.5, 23.5) 9 , [23.5, 27.5) [27.5, 31.5) 11 ,[31.5, 35.5) 12 , [35.5, 39.5) 7, [39.5, 43.5) 18, 3 . . .

根据样本的频率分布估计,数据[31.5,43.5)的概率约是 4、函数 y ? x ? 2 cos x 在 (0, ? ) 上的单调递减区间为 5、若圆锥的侧面积为 2? ,底面面积为 ? ,则该圆锥的体积为 6、设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0? ,将 y ? f ?x ? 的图像向右平移 图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 .

? 个单位长度后,所得的 3

7、 设直线 x=t 与函数 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M,N,则当 MN 达到最小 时 t 的值为 8、 已知 sin ? ? .

1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2? 的值为 ?? ? sin ? ? ? ? 4? ?



9、函数 f ( x ) 的定义域为 R, f (?1) ? 2, 对任意的 x ? R, f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解 集为 . .

2 10、已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=

104

11、设 A、B 分别为椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的公共 和双曲线 a 2 b2 a 2 b2

顶点, P 、 M 分别是双曲线和椭圆上不同于 A、 B 的两动点, 且满足 AP ? BP ? ? ( AM ? BM ) , 其中 ? ? R, ? ? 1, 设直线 AP、BP、AM、BM 的斜率分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 ,则 k1 + k2 =5, 则 k3 + k4 = .

??? ? ??? ?

???? ? ???? ?

(本练习题与 153 分别选自江苏省扬州中学和江苏省华罗庚中学 4 月考试卷)

高三数学复习限时训练(154)参考答案
1. - i 2. [-1,1] 3.

1 3

4. (

? 5?
6 , 6

) (开闭都可)

5.

3 ? 3

6.6

7.

2 2

8.

?

14 2

9. (?1, ??)

10. 1

11. -5

高三数学复习限时训练(155)
1、 设圆 C : 则 AB 的最小值为 x ? y ? 4 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A, B ,
2 2



105

2、 过直线 l : y ? 3x上一点P作圆C : ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 2 的两条切线,若两切线关于
2 2

则点 P 到圆心 C 的距离为 直线 l 对称,



3、已知⊙A: x 2 ? y 2 ? 1,⊙B: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,P 是平面内一动点,过 P 作⊙A、 ⊙B 的切线,切点分别为 D、E,若 PE ? PD ,则 P 到坐标原点距离的最小值为 .

4、已知 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 a 2 b2


x2 ? y 2 ?

? ? 1 2 b 相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 4

5、过双曲线

x2 y 2 a2 2 2 x ? y ? ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点 ,作圆: 的切 F ( ? c ,0)( c ? 0) 4 a 2 b2
??? ? ? ??? ? 1 ??? (OF ? OP) ,则双曲线的离心率 2

线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? 为 .

7、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 , 弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆的周长为 25 16
.

? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 则 | y2 ? y1 | =

8、 已知正方形 ABCD 的坐标分别是 (?1, 0) , (0,1) , (1, 0) , (0, ?1) ,动点 M 满足:

kMB ? kMD ? ?

1 则 MA ? MC ? 2



(本练习题选自 2012 届苏州市高三第二轮复习材料解析几何专题)

106

高三数学复习限时训练(155)参考答案
1 、设圆 C : x2 ? y 2 ? 4 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A, B ,则 AB 的最小值为 ▲ . 答:4

2、 过直线 l : y ? 3x上一点P作圆C : ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 2 的两条切线,若两切线关于
2 2

则点 P 到圆心 C 的距离为 直线 l 对称,
答: 10 提示:由圆的平面几何知识可得 CP ? l





3、已知⊙A: x 2 ? y 2 ? 1,⊙B: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,P 是平面内一动点,过 P 作⊙A、 ⊙B 的切线,切点分别为 D、E,若 PE ? PD ,则 P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ . 答:

11 5

提示:利用切线长公式求出点 P 的轨迹为直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 ,故 P 到坐标原点距离的最 小值为

11 5

4、已知 F 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF 与圆 a 2 b2
▲ .

x2 ? y 2 ?
答:

? ? 1 2 b 相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 4

5 3

提示:设左焦点 E,连接 PE,由圆的切线可得 OQ ? PF,而 OQ∥PF,故

PE ? PF ,? b 2 ? (2a ? b) 2 ? 4c 2 ,? e ?

5 。 3

5、过双曲线

x2 y 2 a2 2 2 x ? y ? ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左焦点 ,作圆: 的切 F ( ? c ,0)( c ? 0) 4 a 2 b2
??? ? ? ??? ? 1 ??? (OF ? OP) ,则双曲线的离心率 2

线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? 为 .

e?

10 2

107

7、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 , 弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆的周长为 25 16
.

? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 则 | y2 ? y1 | =
答:

5 3
1 1 r(BA ? BF2 ? AF2 ) ? F2 F1 y 2 ? y1 2 2

提示:利用 S ?BAF2 ?

8、 已知正方形 ABCD 的坐标分别是 (?1, 0) , (0,1) , (1, 0) , (0, ?1) ,动点 M 满足:

kMB ? kMD ? ?
答: 2 2

1 则 MA ? MC ? 2





提示:设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,∵ k MB ? kMD ? ?

1 y ?1 y ?1 1 ? ? ? . 整理,得 ,∴ 2 x x 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0 ) ,发现动点 M 的轨迹方程是椭圆,其焦点恰为 A, C 两点,所以 2

MA ? MC ? 2 2

高三数学复习限时训练(156)
1、如图,一圆形纸片的圆心为 O , F 是圆内一定点, M 是圆周上一动点,把

108

纸片折叠使点 M 与点 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD ,设 CD 与 OM 交于点 P ,则点

P 的轨迹是
2、 椭圆

.(填写“椭圆双曲线抛物线圆”中的一种)
2

x x2 y 2 ? y 2 ? 1的公共焦点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点, 则 ? ? 1 和双曲线 3 6 2

?PF1 F2 的面积为
2 2 3、 设椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A , 椭圆 C 上两点 P, Q 在 x 轴上的射影分别为 a b

左焦点 F 直线 PQ 的斜率为 1 和右焦点 F2 ,
?AF1B

的外接圆为圆

M

3 , 过点 A 且与 AF1 垂直的直线与 x 轴交于点 B , 2 1 2 . 若 直 线 3x ? 4 y ? a ? 0 与 圆 M 相 交 于 E, F 两 点 , 且 4
方程为

? ? ?? ? ? ? ? 1 2 ,则椭圆 M E? M F? ? a 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交 a 2 b2 于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 .
4、 以椭圆
2 2 y2 5、 已知 F1, F2 分别是双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点,P 为双曲线左支上任意一点, 若 PF2 a b PF1

的最小值为 8a ,则双曲线的离心率的取值范围为 6、 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( ? 为锐角)的右焦点 F,P 是右支上任意一点,以 P cos2 ? sin 2 ?

为圆心,PF 为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于 PF,则 ? = 7、已知椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆 a 2 b2

交于 P、Q 两点,椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若 ?PQM 为正三角形,则椭圆的离心率 等于

8、设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 恒过定点 A(1, 2) ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 a 2 b2

(本练习题选自 2012 届苏州市高三第二轮复习材料解析几何专题)

高三数学复习限时训练(156)参考答案
109

1、如图,一圆形纸片的圆心为 O , F 是圆内一定点, M 是圆周上一动点, 把纸片折叠使点 M 与点 F 重合, 然后抹平纸片, 折痕为 CD , 设 CD 与 OM 交于点 P , 则点 P 的轨迹是 物线”和“圆”中的一种情况) . (填写“椭圆”、 “双曲线”、 “抛

椭圆
x x2 y 2 ? y 2 ? 1的公共焦点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点, 则 ? ? 1 和双曲线 3 6 2

2

2、 椭圆

?PF1 F2 的面积为
答: 2

提示:先利用定义求 PF1,PF2,再用余弦定理求得 cos P ?

1 ,最后用面积公式 3

2 2 3、 设椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A , 椭圆 C 上两点 P, Q 在 x 轴上的射影分别为 a b

左焦点 F 直线 PQ 的斜率为 1 和右焦点 F2 ,
?AF1B

的外接圆为圆

M

3 , 过点 A 且与 AF1 垂直的直线与 x 轴交于点 B , 2 1 2 . 若 直 线 3x ? 4 y ? a ? 0 与 圆 M 相 交 于 E, F 两 点 , 且 4

? ? ?? ? ? ? ? 1 2 ,则椭圆方程为 M E? M F? ? a 2
2 2 答: x ? y ? 1 16 12

2 ? ? b2 ? 提示:由条件可知 P? ? c,? b ? , Q? ? c, ? ? ? ? a ? a ? ? ? ?

1 3 ,所以得: e ? 。 2 2 a ? 2c, b ? 3c ,所以, A 0, 3c , F1 ?? c,0?, B?3c,0? ,从而 M ?c,0? 。 ???? ???? a 1 半径为 a,因为 ME ? MF ? ? a 2 ,所以 ?EMF ? 120? ,可得:M 到直线距离为 2 2
因为 k PQ ?

?

?

2 2 从而,求出 c ? 2 ,所以椭圆方程为: x ? y ? 1 ;

16

12

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交 a 2 b2 于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .
4、 以椭圆

110

答: (

2 ,1) 2

提示:焦准距

b2 ?c c

2 2 y2 5、 已知 F1, F2 分别是双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的左、 右焦点,P 为双曲线左支上任意一点, 若 PF2 a b PF1

的最小值为 8a ,则双曲线的离心率的取值范围为 答: (1,3]
2

.

提示:

2 PF2 2 ? PF1+a ? = ? PF1 ? 4a ? 8a ,故 PF 1 ? 2a ? c ? a PF1 PF1 PF1

6、 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( ? 为锐角)的右焦点 F,P 是右支上任意一点,以 P cos2 ? sin 2 ?

为圆心,PF 为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于 PF,则 ? = 答:

提示:先利用双曲线的第二定义求出离心率,在求 ?

? 6

x2 y 2 7、已知椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆 a b
交于 P、Q 两点,椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若 ?PQM 为正三角形,则椭圆的离心率 等于 答: ▲
3 提示:利用 FM ? 3

3PF 可得

8、设椭圆 C : ▲ 答: 5 ? 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 恒过定点 A(1, 2) ,则椭圆的中心到准线的距离的最小值 a 2 b2

2 2 提示:令 a ? m, b ? n ,消元可得:椭圆的中心到准线的距离= f ( m) ,再求之

111

高三数学复习限时训练(157)
1、如果 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点,若 Q 在直线 l 25 9 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 上,且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ,则点 Q 总在定直线 上.

2、 已知椭圆

x2 y 2 y2 2 ( ) 与双曲线 a ? b ? 0 ? ? 1 C : x ? ? 1 有公共的焦点,C2 2 a 2 b2 4 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 . 若 C1 恰好将线段 AB 三等 C1 :
分, 则 b2 =__________________.

2 3、 已知集合 A={0,1},B={a ,2a},其中 a∈R.定义 A×B={x|x=x1+x2,

x1∈A,x2∈B},若集合 A×B 中的最大元素为 2a+1,则 a 的取值范围是________. 4、设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5?2 则 a, b, c 三者的大小关系
1

5、对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(-1,2), 解关于 x 的不等式 ax2-bx+c>0”.给出如下一种解法: 解 由 ax2+bx+c>0 的解集为(-1,2),得 a(-x)2+b(-x)+c>0 的解集为(-2,1), 即关于 x 的不等式 ax2-bx+c>0 的解集为(-2,1). 参考上述解法,若关于 x 的不等式 关于 x 的不等式 1? ?1 ? x+b ? <0 的解集为?-1,- ?∪? ,1?,则 3? ?2 ? x+a x+c ?

k



kx bx+1 + <0 的解集为________. ax+1 cx+1

6 、 若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 a , b 恒 成 立 的 是 ① ab ? 1 ; ⑤ ② a? b?

2;

2 2 ③ a ?b ? 2;

3 3 ④a ?b ? 3;

1 1 ? ?2 a b

x 7、对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 8、若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________.

112

(本练习题选自 2012 届苏州市高三数学第二轮复习材料不等式专题)

例 8 .已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是_______(答案 用区间表示) 例9 .当 a>0且 a≠1时,函数 f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx-y+n =0上,则4m+2n 的最小值为________. 解析 易知 f(x)恒过点(2,1).由于(2,1)在 mx-y+n=0 上,则 2m+n=1.又 4m+2n=22m 1 1 + +2n≥2 22m n=2 2,当且仅当 m= ,n= 时等号成立. 4 2 答案 2 2 例 10 .已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 中 y0 点 M(x0,y0)满足 y0>x0+2,则 的取值范围是________. x0
? ?x0+2y0+1=0, y0 解析 设 =k,则 y0=kx0.由题意,得? x0 ?y0>x0+2, ?

1 ? ?x0=-1+2k, 1-k 5k+1 1 1 y0 所以? 从而有 >2,即 <0,解得- <k<- .所以 ∈ 2 5 x0 1+2k 2k+1 ? ??k-1?x0>2,

?-1,-1?. 5? ? 2
1 1? 答案 ? ?-2,-5?

113

高三数学复习限时训练(157)参考答案
1、如果 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点,若 Q 在直线 l 25 9 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 上,且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ,则点 Q 总在定直线 上.

答: x ? ?

25 4

提示:取特殊的左准线,并取特殊点( -

25 ,0 )验证之 4

x2 y 2 y2 2 ( ) 与双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1 a ? b ? 0 C2 : x ? ? 1 有公共的焦点,C2 a b 4 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,
2、 已知椭圆 则 b2 =__________________. 答:

1 2

提示:直线 AB 为 y ? 2 x 代入椭圆求弦长 MN=

a 1 2 2 2 ,再用 a ? b ? 5 可得 b ? 3 2

2 3、 已知集合 A={0,1},B={a ,2a},其中 a∈R.定义 A×B={x|x=x1+x2,

x1∈A,x2∈B},若集合 A×B 中的最大元素为 2a+1,则 a 的取值范围是________. 解析 答案 A×B={a2,2a,a2+1,2a+1}.由题意,得 2a+1>a2+1,解得 0<a<2. (0,2)

4、 .设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5?2 则 a, b, c 三者的大小关系 解析 a= log3 2=
1 2

1

1 1 , b=In2= ,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5

答案 c ? a ? b 5、 .对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为(-1,2), 解关于 x 的不等式 ax2-bx+c>0”.给出如下一种解法: 解 由 ax2+bx+c>0 的解集为(-1,2),得 a(-x)2+b(-x)+c>0 的解集为(-2,1), 即关于 x 的不等式 ax2-bx+c>0 的解集为(-2,1). x+b 1? ?1 ? k 参考上述解法,若关于 x 的不等式 + <0 的解集为? ?-1,-3?∪?2,1?,则 x+a x+c

114

bx+1 kx 关于 x 的不等式 + <0 的解集为________. ax+1 cx+1 1 +b x bx+1 1 1 kx k 1 -1,- ?∪? ,1?, 解析 不等式 + <0 可化为 + <0,所以有 ∈? 3? ?2 ? 1 1 x ? ax+1 cx+1 +a +c x x bx+1 kx 即 x∈(-3,-1)∪(1,2),从而不等式 + <0 的解集为(-3,-1)∪(1,2). ax+1 cx+1 答案 (-3,-1)∪(1,2) 6、若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 出所有正确命题的编号). ① ab ? 1 ;
3 3 ④ a ? b ? 3;

(写

② a? b? ⑤

2;

③ a 2 ? b2 ? 2 ;

1 1 ? ?2 a b

解析 令 a ? b ? 1 ,排除②④;由 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1,命题①正确;

1 1 a?b 2 ? ? 2 ,命题⑤正 a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确; ? ? a b ab ab
确。 答案 ①,③,⑤ x 7、 .对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 x x x 1 解析 ∵ 2 ≤a 恒成立,∴a≥?x2+3x+1?max,而 2 = ≤ 1 ? ? x +3x+1 x +3x+1 x+ +3 2 x 1 1 1 = (x>0),当且仅当 x= 时,等号成立,∴a≥ . 5 x 5 1 答案 a≥ 5 8、 .若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. ?x+y?2 3 解析 由 x2+y2+xy=1,得(x+y)2-xy=1,即 xy=(x+y)2-1≤ ,所以 (x+y)2≤1, 4 4 2 3 2 3 2 3 故- ≤x+y≤ ,当 x=y 时“=”成立,所以 x+y 的最大值为 . 3 3 3 答案 2 3 3 1 1 x· +3 x

高三数学复习限时训练(158)
115

1、当 a>0且 a≠1时,函数 f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx-y+n=0 上,则4m+2n 的最小值为________.

2、已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 中点 M(x0,y0)满足 y0 y0>x0+2,则 的取值范围是________. x0

3、 若不等式(-1)n 1(2a-1)< ( ) 对一切正整数 n 恒成立, 则实数 a 的取值范围是________.


3 2

n

x 1+cos x+8sin2 2 4、已知 x∈(0,π),则函数 f(x)= 的最小值为________. sin x

5、已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)<0,则关于 x 的不等式 f(mx2)-2f(x)>f(m2x)-2f(m)(0<m< 2)的解集为________.

6、若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a

+b,

2a+2b+2c=2a

+b+c

,则 c 的最大值为________.

(本练习题选自 2012 届苏州市高三第二轮复习材料不等式专题)

116

高三数学复习限时训练(158)参考答案
1、当 a>0且 a≠1时,函数 f(x)=loga(x-1)+1的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx-y+n=0 上,则4m+2n 的最小值为________. 解析 易知 f(x)恒过点(2,1).由于(2,1)在 mx-y+n=0 上,则 2m+n=1.又 4m+2n=22m 1 1 + +2n≥2 22m n=2 2,当且仅当 m= ,n= 时等号成立. 4 2 答案 2 2 2、已知点 P 在直线 x+2y-1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上,PQ 中 y0 点 M(x0,y0)满足 y0>x0+2,则 的取值范围是________. x0
? ?x0+2y0+1=0, y0 解析 设 =k,则 y0=kx0.由题意,得? x0 ? ?y0>x0+2,

1 ? ?x0=-1+2k, 1-k 5k+1 1 1 y0 所以? 从而有 >2,即 <0,解得- <k<- .所以 ∈ 2 5 x0 1+2k 2k+1 ??k-1?x0>2, ?

?-1,-1?. 5? ? 2
1 1? 答案 ? ?-2,-5? 3、 若不等式(-1)n 1(2a-1)< ( ) 对一切正整数 n 恒成立, 则实数 a 的取值范围是________.


3 2

n

解析 当 n 为奇数时,原不等式即为(2a-1)< ( ) ,又对一切正整数 n 恒成立,所以 2a

3 2

n

3 n 3 n 3 5 -1< ?a< ,当 n 为偶数时,原不等式即为-(2a-1)< ( ) ,即 2a-1>- ( ) 又 2 4 2 2
5 5 3 n 5 - , ?. 对一切正整数 n 恒成立, 所以 2a-1>- ( ) , 从而 a>- , 所以 a 的取值范围是? 8 4? ? 8 2 5 5 - , ? 答案 ? ? 8 4? x 1+cos x+8sin2 2 4、已知 x∈(0,π),则函数 f(x)= 的最小值为________. sin x x x x x 1+cos x+8sin2 2cos2 +8sin2 cos 4sin 2 2 2 2 解析 f(x)= = = + sin x x x x 2sin cos sin cos 2 2 2 x 2 ≥2 x 2 cos x 4sin 2 · x sin cos 2 x 2 x 2

117

x cos 4sin 2 =4,当且仅当 = x sin cos 2 x 1 tan = ,这时 f(x)min=4. 2 2 答案 4

x 2 x 1 x π ,即 tan = 时取“=”,因为 0< < ,所以存在 x 使 x 2 2 2 2 2

5、已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)<0,则关于 x 的不等式 f(mx2)-2f(x)>f(m2x)-2f(m)(0<m< 2)的解集为________. 解析 由题意,得 f(x)是奇函数且在 R 上为增函数,所以由 f(mx2)+f(2m)>f(m2x)+f(2x), 得 f(mx2+2m)>f(m2x+2x),即 mx2+2m>m2x+2x,也即 ( x ? 2 又 0<m< 2,所以 x<m,或 x> . m 答案

2 ) (x-m)>0. m

? 2? ? x x ? m或x ? ? m? ?
+b,

6、若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a


2a+2b+2c=2a


+b+c

,则 c 的最大值为________.

解析 ∵2a b=2a+2b≥2 2a· 2b=2 2a b(当且仅当 a=b 时取等号), ∴(2a b)2-4×2a b≥0,∴2a b≥4 或 2a b≤0(舍).
+ + + +

又∵2a+2b+2c=2a


+b+c

,∴2a b+2c=2a b· 2c,
+ +

2a b + ∴2c= a+b (2a b≥4). 2 -1 x 1 又∵函数 f(x)= =1+ (x≥4)单调递减, x-1 x-1 4 4 4 ∴2c≤ = ,∴c≤log2 =2-log23. 3 3 4-1 答案 2-log23

高三数学复习限时训练(159)
1、在 V ABC 中, ?B ? 60o , AC ? 3, 则 AB ? 2 BC 的最大值为_________.

1 1 2cos2 ( x ? ) ? x 2 2 2、 函数 f ( x ) ? 的对称中心的坐标为_________. x ?1
3、 在锐角△ABC 中, tan A = t ? 1, tan B = t ? 1,则 t 的取值范围是_________.

118

4、 在△ABC 中,设 AD 为 BC 边上的高,且 AD ? BC,b,c 分别表示角 B,C 所对的边长, 则

b c ? 的取值范围是____________. c b

uu u r uu u r uur uu u r uu r uur 5、 在等边 V ABC 中,点 P 在线段 AB 上,满足 AP ? ? AB, 若 CP ? AB ? PA ? PB, 则实数 ? 的值

是_________.
uuu r uuu r uuu r r 6、 在 V ABC 中有如下结论:“若点 M 为 V ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC ? 0 ”,设 a,b,

c 分 别 为 V ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 , 点 M 为 V ABC 的 重 心 . 如 果 u u ur u u ur3 u u ur r aMA ? b M? B cM ? 0C ,则内角 A 的大小为_________;若 a=3,则 V ABC 的面积为 3 _________. uuu r uu u r uuu r 7、 点 O 为△ABC 的外心,已知 AB ?3,AC ? 2,若 AO ?xAB ? yAC ,x + 2y ? 1,则 cosB ? _________. B

y
?3

3 2
O

? 0 .5

A

1 x

C

? 3

??? ? ??? ? ??? ? ???? 8、 如图,平面内有三个向量 OA, OB, OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120° , OA 与 OC 的夹
??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 角为 150° ,且 OA ? OB ? 1 , OC ? 2 3 .若 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ? R) ,则 ? ? ? 的

值为_________.
(本练习题选自 2012 届苏州市高三第二轮复习材料向量与三角函数专题)

119

高三数学复习限时训练(159)参考答案
1、在 V ABC 中, ?B ? 60o , AC ? 3, 则 AB ? 2 BC 的最大值为_________. 答案: 2 7 解析:?

AB BC AC ? ? ?2 sin C sin A sin B

2 ? AB ? 2 BC ? 2sin C ? 4sin A ? 2sin( ? ? A) ? 4sin A ? 2 7 sin( A ? ? ) 3

?( AB ? 2BC)max ? 2 7 .
1 1 2cos2 ( x ? ) ? x 2 2 9、 函数 f ( x ) ? 的对称中心的坐标为_________. x ?1
答案: (1, ?1)

1 1 2cos2 ( x ? ) ? x cos( x ? 1) 2 2 解析: f ( x ) ? ? ?1 x ?1 x ?1 cos x cos( x ? 1) ? 1 的对称中心为 (1, ?1) . 而函数 f ( x ) ? 是奇函数对称中心为 (0, 0) , 所以 x x ?1
10、 在锐角△ABC 中, tan A = t ? 1, tan B = t ? 1,则 t 的取值范围是_________.

答案:t> 2 解析: tan A >0, tan B >0,且 tan C= 11、

2t ? 0 ,解得 t> 2 . t ?2 在△ABC 中,设 AD 为 BC 边上的高,且 AD ? BC,b,c 分别表示角 B,C 所对的
2

b c 边长,则 ? 的取值范围是____________. c b
答案:[2, 5 ] 解 析 :

2?

b c b2 ? c a 2 ? 2bc cos A a 2 bc sin A ? ? ? ? ? 2cos A ? ? sin A+2 cos A c b bc bc bc bc
120

2

= 5 sin( A ? ? ) ? 5 .
uu u r uu u r uur uu u r uu r uur 在等边 V ABC 中, 点 P 在线段 AB 上, 满足 AP ? ? AB, 若 CP ? AB ? PA ? PB, 则实数 ?

12、

的值是_________. 答案: ? ?

2 ?2 2

解析:如图:取 AB 中点 D ,设 AD ? BD ? 1, PD ? x 则 CP ? AB ? (CD ? DP) ? AB 即 2x ? ( x ? 1)( x ?1) , ? x ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

2 ? 1, ? ?

2 ?2 . 2

13、

uuu r uuu r uuu r r 在 V ABC 中有如下结论:“若点 M 为 V ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC ? 0 ”,设

a , b , c 分 别 为 V ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 , 点 M 为 V ABC 的 重 心 . 如 果 uuu r uuur 3 uuur r a M A? b M B ? c MC ?0 ,则内角 A 的大小为_________;若 a=3,则 V ABC 的面积为 3 _________. π 9 3 答案: , 6 4 uuu r uuu r r uuu r uuu r r uuuu r 3 uuu 3 uuu cMC = aMA ? bMB ? c( MA ? MB ) 解析:由 aMA ? bMB ? 3 3 r r r 3 uuu 3 uuu c) MA ? (b ? ) MB ? 0 = (a ? 3 3 uuu r uuu r 3 3 π 又 MA 与 MB 不共线,则 a= c=b,由余弦定理可求得 cosA= ,故 A= . 3 2 6 1 1 1 9 3 又 S△= bcsinA= ×3×3 3× = . 2 2 2 4 14、

uuu r uu u r uuu r 点 O 为△ABC 的外心,已知 AB ?3,AC ? 2,若 AO ? xAB ? yAC ,x + 2y ? 1,则

cosB ? _________. 答案: cos B ?

7 9

解析:如图 D 为 AC 中点

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AC AO ? x AB ? y AC ? x AB ? 2 y 2
? x ? 2 y ? 1 ? B, O, D 三点共线,所以 AB ? BC ? 3 ? cos B ?
7 . 9

15、

??? ? ??? ? ??? ? ???? 如图, 平面内有三个向量 OA, OB, OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 120° ,OA 与 OC 的
121

??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 夹角为 150° ,且 OA ? OB ? 1 , OC ? 2 3 .若 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ? R) ,则 ? ? ?

的值为_________. 答案:-6

y
B
? 0 .5

1 3 ), 解析: 建立平面直角坐标系, 则 OA ? (1,0) ,OB ? (? , 2 2 ?3 ???? ??? ? ??? ? OC ? (?3,? 3) , 代 入 OC ? ?OA ? ?OB(?,? ? R) 可 得 :

3 2
O

A

1 x

1 ? ? ? ? ? ?3 ? 2 ? ,可解得 ? ? ?4, ? ? ?2 ,故 ? ? ? ? ?6 . ? ? 3 ? ?? 3 ? ? 2

C

? 3

高三数学复习限时训练(160)
uu u r uu u r uuu r 1、 在□ABCD 中,AB ? 5,AD ? 4,点 P 在△BCD 内(包括周界) ,设 AP ? xAB ? y AD ,
则一切点(x,y)形成区域的面积为_________. 2、 已 知 平 面 向 量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满 足
D P A C

? ?1 , 且 ? 与

? ? ? 的夹角为 120°,则 ? 的取值范围是_________.
uuu r uuu r uuu r 3、 如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC ? 3 BD , | AD | = 1,
uuu r uuu r 则 AC ? AD = _________.

B

uur uuu r 4、 在△ABC 中,已知 AB ? 3,O 为△ABC 的外心,且 OA ? BC ? 1,则 AC ? ________.

5、 已知平面上三点 A, B, C ,满足 | AB |? 2,| BC |? 3 ,

??? ?

??? ?

122

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? | CA ? | 4则 , AB ? BC ? 2BC ? CA ? 3CA ? AB ? _________.
6、 直线 l 与函数 y ? sin x( x ? [0, ? ]) 的图像相切于点 A , 切 l // OP ,O 为坐标原点,P 为 图像的极值点, l 于 x 轴交于 B 点,过切点 A 做 x 轴的垂线,垂足为 C ,则

??? ? ??? ? BA ? BC ? ________
7、 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C . (1)求角 A 的大小; (2)若角 B ?

?

6

, BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

(本练习题选自 2012 届苏州市高三数学第二轮复习材料向量与三角函数专题)

123

高三数学复习限时训练(160)参考答案
uu u r uu u r uuu r 1、 在□ABCD 中,AB ? 5,AD ? 4,点 P 在△BCD 内(包括周界) ,设 AP ? xAB ? y AD ,
则一切点(x,y)形成区域的面积为_________.

1 答案: 2

D P A

C

?1 ? x ? y ? 2 1 ? 解析:由题意得: ? 0 ? x ? 1 由线性规划作图得 S阴影 = . 2 ?0 ? y ? 1 ?
2、 已知平面向量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满足 取值范围是_________. 答案: (0,

B

? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为 120°,则 ? 的

2 3] 3

解析:如图所示,令 AB ? ? 、 AC ? ? , 则 BC ? ? ? ? 。 ∵ ? 与 ? ? ? 的夹角为 120°,∴ ?ABC ? 60 。
0

??? ?

??? ?

??? ?

又 AC ?

? ? 1 ,由正弦定理得

?
sinC

?

1 ,即 sin60?

? ?

sinC 2 2 ? 3sinC ? 3。 sin60 ? 3 3
2 3] . 3

又∵ ? ? 0, ∴ ? 的取值范围是(0,

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 3、 如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC ? 3 BD , | AD | = 1,则 AC ? AD = _________.

答案: 3 解析:如图建系 B( xB ,0), C( xc ,0), D(0,1)

??? ? ??? ? BC ? ( xC ? xB , yC ), BD ? (? xB ,1)
??? ? ??? ? ? BC ? 3 BD
? ? xC ? xB ? 3( ? xB ) ?? ? xC ?( 1 ? 3 x ) B , yC ? y ? 3 ? ? C ??? ? ??? ? ? AC ? ((1 ? 3) xB , 3), AD ? (0,1)
x

A B D C
y

3

??? ? ???? ? AC ? AD ? 3
124

uur uuu r 4、 在△ABC 中,已知 AB ? 3,O 为△ABC 的外心,且 OA ? BC ? 1,则 AC ? ________.

答案: 7 解 析 :

??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ?2 1 ???? 2 1 ??? OA ? BC ? OA ? ( AC ? AB ) ? OA ? AC ? OA ? AB ? ? AC ? AB 2 2 ??? ? ??? ? 5、 已知平面上三点 A, B, C ,满足 | AB |? 2,| BC |? 3 ,

? AC ? 7

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? | CA |? 4, 则 AB ? BC ? 2BC ? CA ? 3CA ? AB ? _________.
答案:-36 解 析 :

? A ?

2

? B

?

?

(

?

B

?

?

6、 直线 l 与函数 y ? sin x( x ? [0, ? ]) 的图像相切于点 A , 切 l // OP ,O 为坐标原点,P 为 图像的极值点, l 于 x 轴交于 B 点,过切点 A 做 x 轴的垂线,垂足为 C ,则

??? ? ??? ? BA ? BC ? ________
答案:

?2 ?4
4
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
(1)

解析:? BA ? BC ? ( BC ? CA) ? BC ? BC ? CA ? BC ? BC 又 kop ?

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ?2

?

1

= cos x0

2 BC AC ? OD PD
? sin x0 ?

而 AC ? sin x0 , OD ?

?
2

, PD ? 1

2 BC

?

(2)由 (1)2 ? (2)2 ? 1 得 BC ?
2

?2 ?4
4

.

7、 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C . (1)求角 A 的大小; , BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积. 6 解析: (1)∵ (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , (2)若角 B ? ∴ (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C . 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A .
125

?

∴ 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) .
3 ? ,因为 0 ? A ? ? 则 A ? . 2 6 π 2? (2)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? , 6 3 1 设 AC ? x ,则 MC ? x ,又 AM ? 7. 2 在 ?AMC 中由余弦定理得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 , x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2 1 2? 解得 x ? 2, 故 S?ABC ? x2 sin ? 3. . 2 3

则 2sin B cos A ? 3 sin B ,∴ cos A ?

高三数学复习限时训练(161)
1、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 (2b ? 3c)cos A ? 3acos C . (1)求角 A 的大小; (2)若角 B ?

?

6

, BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的面积.

126

2、已知函数 f ( x ) ? 1 ? sin x cos x,

g ( x ) ? cos2 ( x ?

?
12

)

(1)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值; (2) 求使得函数 h( x ) ? f ( 最大值.

?x
2

) ? g(

?x
2

) (? ? 0) 在区间 [ ?

2? ? , ] 上是增函数的 ? 的 3 3

127

3 、在平行四边形 OABC 中,已知过点 C 的直线与线段 OA, OB 分别相交于点 M , N ,若

??? ? ???? ? ??? ? ???? ? OM ? sin? ? OA, ON ? cos ? ? OB 其中, ? ? (0, ) 2 (1)求 sin 2? 的值;
(2)记 ?ABC 的面积为 S1 ,平行四边形 OABC 的面积为 S ,试求

S1 之值. S

4、在 ?ABC 中,满足: AB ? AC , M 是 BC 中点 (1)若 | AB |?| AC | ,求向量 AB ? 2 AC 与向量 2 AB ? AC 的夹角的余弦值; (2)若 O 是线段 AM 上任意一点,且 | AB |?| AC |? 2 ,求 OA? OB ? OC ? OA 的最小值; ( 3 ) 若 点 P 是 BC 边 上 的 一 点 , 且 AP ? AC ? 2 AP ? AB ? 2 , | AP |? 2 , 求

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? | AB ? AC ? AP | 的最小值.

(本练习题选自 2012 届苏州市高三数学二轮复习材料向量与三角函数专题)

128

高三数学复习限时训练(161)参考答案
1、解析: (1)∵ (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , ∴ (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C . 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A . ∴ 2sin B cos A ? 3sin( A ? C) .
3 ? ,因为 0 ? A ? ? 则 A ? . 2 6 π 2? (2)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? , 6 3 1 设 AC ? x ,则 MC ? x ,又 AM ? 7. 2 在 ?AMC 中由余弦定理得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 , x x 即 x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2 1 2 2? 解得 x ? 2, 故 S?ABC ? x sin ? 3. . 2 3

则 2sin B cos A ? 3 sin B ,∴ cos A ?

sin 2 x 2、解析:(1) f ( x ) ? 1 ? , g ( x) ? 2 2? 2 x0 ? k? ? ? 2 x0 ? ? k? ? 2 6 3 5? 1 ? cos( ) 3 ?3 或 g ( x0 ) ? 2 4 1 3 ∴ g ( x0 ) ? 或 4 4

1 ? cos(2 x ? ) 6 2 1 ? cos( 2? ) 3 ?1 2 4

?

?

?

? g ( x0 ) ?

1 ? cos(? x ? ) sin ? x 6 ? 3 ? 1 sin(? x ? ? ) (2) h( x ) ? 1 ? ? 2 2 2 2 3 2 ? ? ?x ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? 且 所以 ? ? 3 3 2 3 3 2 2 1 ∴ ? 的最大值 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3、解析: (1)由题意得 OC ? AB ? OB ? OA
所以 MC ? OB ? (1 ? sin ? ) ? OA ,又 MN ? cos ? ? OB ? sin ? ? OA 又因为 M , N , C 三点共线,得

?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

cos ? sin ? ? ,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? (1) 1 1 ? sin ?
2 2 2

(1)式两边平方,得 1 ? 2sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ,即 sin 2? ? 4sin 2? ? 4 ? 0

129

解得: sin 2? ? 2 2 ? 2或-2 2-2(舍去) (2)由题意得, S1 ?

? ???? 1 ???? 1 2 ?1 | OM | ? | ON | sin ?AOB = sin 2? ? S?AOB ? S 2 2 2



S1 2 ?1 . ? S 2

4、 (1)设向量 AB ? 2 AC 与向量 2 AB ? AC 的夹角为 ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2a 2 ? 2a 2 4 ( AB ? 2 AC ) ? (2 AB ? AC ) ? ??? ? ??? ? ??? ? ,令 | AB |?| AC |? a , cos ? ? ? cos ? ? ??? 5a ? 5a 5 | AB ? 2 AC | ? | 2 AB ? AC |
(2)? | AB |?| AC |? 2,? | AM |? 1 设 | OA |? x 则 | OM |? 1 ? x ,而 OB ? OC ? 2OM

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

???? ?
2

所以 OA ? (OB ? OC ) ? 2OA ? OM ? 2 | OA | ? | OM | cos ? ? ?2 x ? 2 x ? 2( x ? ) ?
2

??? ? ??? ? ????

??? ? ???? ?

??? ?

???? ?

当且仅当 x ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 时 OA ? (OB ? OC) 的最小值是 ? 2 2
所以 ?BAP ?

1 2

1 2

(3)设 ?CAP ? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ?? ??? ? ?s ? ? AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 , | AP |? 2 ? 2 |A C | c o

2

? ?, ? ? ?? 1 2 ? A|C ? | cos ?

??? ? ??? ? ? 1 2 | AB | cos( ? ? ) ? 1 ?| AB |? 2 2sin ? ??? ? ???? ??? ? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ?2 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ? | AB ? AC ? AP | ? AB ? AC ? AP ? 2 AB ? AC ? 2 AC ? AP ? 2 AB ? AP

?
?

1 1 ? ?4?4?2 2 cos ? 4sin 2 ?
sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? ? 10 cos2 ? 4sin 2 ?

?

sin 2 ? cos2 ? 45 sin 2 ? cos2 ? 45 45 49 ? ? ? 2 ? ? ? 1? ? 2 2 2 2 cos ? 4sin ? 4 cos ? 4sin ? 4 4 4
??? ? ??? ? ??? ? 7 sin 2 ? cos2 ? 2 | AB ? AC ? AP |min ? . ? ? tan ? ? 时, 2 2 2 cos ? 4sin ? 2

当且仅当

130

高三数学复习限时训练(162)
1、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若S 4 ? 8, S8 ? 20, 则a11 ? a12 ? a13 ? a14 ? __ __.

2、等比数列 {an } 中,an>0,且 an+2=an+an+1,则数列的公比 q=



3、设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? N? ) ,若数列 {bn } 有连 续四项在集合 {?53, ?23,19,37,82} 中,则 q ? .

4、已知数列 {an } 满足 a1 ?

a 25 , an?1 ? an ? 2n ,则当 n=________时, n 取得最小值. 4 n

5、函数 y ? x2 (x>0)的图像在点 ? ak , ak 2 ? 处的切线与 x 轴交点横坐标为 ak ?1 , 其中 k ? N * . 若 a1 ? 16, 则 a1 ? a3 ? a5 的值是_______________.

n? ? ? 2 n? 6、数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? ?1 ? cos 2 ? n ? 1, 2,3,...? . ? an ? sin 2 ? 2 ?
则 an ? 7、数列 {an } 中, a1 ? 为 . .

nan 1 , an?1 ? (n ? N ? ) ,则数列 {an } 的前 2012 项的和 2 (n ? 1)(nan ? 1)

8、已知等差数列 5,4 时的 n 的值为

2 4 ,3 ,??,记第 n 项到第 n+6 项的和为 Tn,则 Tn 取得最小值 7 7


131

(本练习题选自 2012 届苏州市高三数学二轮复习材料数列专题)

132

高三数学复习限时训练(162)参考答案
1、设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若S 4 ? 8, S8 ? 20, 则a11 ? a12 ? a13 ? a14 ? __ __. 答案:18 解析: 4a1 ? 6d ? 8, 4a1 ? 28d ? 20, 则解得: 4a1 ? 46d ? 18 . 2、等比数列 {an } 中,an>0,且 an+2=an+an+1,则数列的公比 q= 答案: .

1? 5 解析: q2 ? q ? 1 ,又有 q ? 0 ,解得. 2 3、设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? N? ) ,若数列 {bn } 有连 续四项在集合 {?53, ?23,19,37,82} 中,则 q ? . 3 答案: ? 2 解析: an 的连续四项只能为 ?24,36, ?54,81 .
4、已知数列 {an } 满足 a1 ? 答案:3 解析:迭加得 an ? n ? n ?
2

a 25 , an?1 ? an ? 2n ,则当 n=________时, n 取得最小值. 4 n

5、函数 y ? x2 (x>0)的图像在点 ? ak , ak 2 ? 处的切线与 x 轴交点横坐标为 ak ?1 , 其中 k ? N * . 若 a1 ? 16, 则 a1 ? a3 ? a5 的值是_______________. 答案:21
2 解析:切线 y ? ak ? 2ak ( x ? ak ) ,解得 ak ?1 ?

25 an 25 ? n? ? 1 ,n=3 时取得最小值. , 4 n 4n

? 6、数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? ?1 ? cos ? 则 an ? .

ak ,∴ a1 ? a3 ? a5 = 16 ? 4 ? 1 ? 21 . 2 2 n? ? 2 n?
? an ? sin 2 ? 2

? n ? 1, 2,3,...? .

? n 2 ?2 n为偶 答案: an ? ? 解析:对 n 分奇偶讨论得. n ?1 ? n为奇 ? 2 nan 1 7、数列 {an } 中, a1 ? , an ?1 ? (n ? N ? ) ,则数列 {an } 的前 2012 项的和 2 (n ? 1)(nan ? 1)
为 .

2012 答案: 2013
8、已知等差数列 5,4 时的 n 的值为 答案:5 解析: an ?

2 4 ,3 ,??,记第 n 项到第 n+6 项的和为 Tn,则 Tn 取得最小值 7 7



40 ? 5n , a5 ? a6 ? ? ? a11 ? 0 ,∴n=5 时, Tn 最小为 0. 7

133

高三数学复习限时训练(163)
1、已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

1 ? an ? n ? N * ? ,则 a1 ? a 2 ? a3 ? ... ? a2009 ? a2010 ? _____. 1 ? an

2、数列 {a n }满足a1 ? 1, a n ?1

1 m 2 2 对 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a 2 ?? ? a n , 若 S 2 n?1 ? S n ? 2 30 an
.

任意 n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值是

3、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 (a2 ?1)3 ? 2010(a2 ?1) ? 1 ,

(a2009 ?1)3 ? 2010(a2009 ?1) ? ?1,下列为真命题的序号为 ① S2009 ? 2009 ;② S2010 ? 2010 ;③ a2009 ? a2 ;④ S2009 ? S2 .



4、设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和,记 Tn ?
.

17 Sn ? S2 n , n ? N? , an ?1

设 Tn0 为数列 {Tn } 的最大值,则 n0 ?

5、已知数列{an}满足:a1=1,a2=x(x∈N*),an+2=|an+1-an|,若前 2 010 项中恰好有 666 项为 0,则 x=____________.

6 、 已 知 函 数 f ? x ? ? cos x, g ? x ? ? sin x, 记 Sn ? 2? f ?
k ?1

2n

? ? k ? 1? ? ? 1 ?? n ? 2n ? 2

?g?
k ?1

2n

? ? k ? n ? 1? ? ? ? , 2n ? ?

Tm ? S1 ? S2 ? ... ? Sm ,若 Tm ? 11, 则 m 的最大值为________.

(本练习题选自 2012 届苏州市高三数学二轮复习材料数列专题)

134

高三数学复习限时训练(163)参考答案
1、已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 答案:-6 解析:周期为 4. 2、数列 {a n }满足a1 ? 1, a n ?1

1 ? an ? n ? N * ? ,则 a1 ? a 2 ? a3 ? ... ? a2009 ? a2010 ? _____. 1 ? an

1 m 2 2 对 ? 4 ? 1, 记S n ? a12 ? a 2 ?? ? a n , 若 S 2 n?1 ? S n ? 2 30 an
.

任意 n ? N * 恒成立,则正整数 m 的最小值是 答案:10 解析:可得 {

1 1 1 m 1 2 ? ,又得 {S2n?1 ? Sn } 递减,∴ S3 ? S1 ? ? ? , } 为等差, an 2 4n ? 3 5 9 30 an

∴正整数 m 的最小值为 10.

3、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 (a2 ?1)3 ? 2010(a2 ?1) ? 1 ,

(a2009 ?1)3 ? 2010(a2009 ?1) ? ?1,下列为真命题的序号为 ① S2009 ? 2009 ;② S2010 ? 2010 ;③ a2009 ? a2 ;④ S2009 ? S2 .
答案:②③



解析:∵ f ( x) ? x3 ? 2010x 为奇函数,∴ a2 ?1 ? a2009 ?1 ? 0,? S2010 ? 2010 ,∴②正确; 又 ∵ f ( x ) 为 增 函 数 , ∴ a2 ? a2009 , ∴ ③ 正 确 . S2009 ? S2 ? 2007a1006 , ∵

f (a2009 ?1) ? f (?1) ,∴ a2009 ? 0 ,∵ a2 ? a2009 ,∴ {an } 递减,∴ a2006 ? 0 .∴④错误. 17 Sn ? S2 n 4、设{an}是等比数列,公比 q ? 2 ,Sn 为{an}的前 n 项和,记 Tn ? , n ? N? , an ?1 设 Tn0 为数列 {Tn } 的最大值,则 n0 ? .
答案:4 解析: Tn ?

1 16 [17 ? ( 2)n ? ] ,当且仅当 n ? 4 取最小值. n 2 ?1 2

5、已知数列{an}满足:a1=1,a2=x(x∈N*),an+2=|an+1-an|,若前 2 010 项中恰好有 666 项为 0,则 x=____________. 答案:8 或 9 解析:将 a2 ? x ,依次取 1、2、3、4、5、6、?,分别写出数列,可以看到数列均从某一 项开始出现 110110110? ,而当 x=8 或 9 时,能满足题中要求. 2n ? ? k ? 1? ? ? 1 6 、 已 知 函 数 f ? x ? ? cos x, g ? x ? ? sin x, 记 Sn ? 2? f ? ?? n
k ?1

?

2n

? 2

?g?
k ?1

2n

? ? k ? n ? 1? ? ? ? , 2n ? ?

Tm ? S1 ? S2 ? ... ? Sm ,若 Tm ? 11, 则 m 的最大值为________.

答案:5 解析: ? f ?
k ?1 2n

1 1 ? ? k ? 1? ? ? ? ? k ? n ? 1? ? ? ? =-1, S n ? 2 ? n , Tm ? 2m ? 1 ? m ,∴m 的最 ? ?1 ,? 2n 2 2 ? ? ? 2n ?

大值为 5.

135

高三数学复习限时训练(164)
1.下列结论正确的是 ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 2.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 各个表面的 12 条对角线中,与 BD1 垂直的有____ _ 条. .

3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7,这个正四棱锥的侧面积是

4.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3 ,则棱锥 O—ABCD 的体积为 .

5.如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA ,OB ,OC 两两垂直, 且 OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA , OB ,OC 作一个截面平 分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1 , S2 , S3 ,则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 .

6. 若 m 、 n 为两条不重合的直线, ? 、 ? 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题 是________. ①若 m 、 n 都平行于平面 ? ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 ? ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 ? 、 ? 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ? ? ,则 n ? ? ; ④ m 、 n 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. 7.α、β 为两个互相垂直的平面,a、b 为一对异面直线,下列四个条件中是 a⊥b 的充分条 件的有 .

①a//α,b ? β;②a⊥α,b//β;③a⊥α,b⊥β;④a//α,b//β 且 a 与 α 的距离等于 b 与 β 的距离. 4 8.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 π ,半径为 18 cm 的扇形,则圆锥母线与底面所成角 3 的余弦值为________.

(本练习题选自 2012 节苏州市高三数学第二轮复习材料立体几何专题)

136

高三数学复习限时训练(161)参考答案
1.下列结论正确的是 ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案:④,简单几何体基本概念与性质 2.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 各个表面的 12 条对角线中,与 BD1 垂直的有____ _ 条. 答案:6,异面直线垂直判断 3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7,这个正四棱锥的侧面积是 答案:24,正四棱锥的结构特征、侧面积的计算方法 4.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3 ,则棱锥 O—ABCD 的体积为 . .

答案: 8 3 ,球与其它几何体的组合问题. 5.如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA ,OB ,OC 作一个截面平分三棱锥的 体积, 截面面积依次为 S1 , 则 S1 , S2 ,S3 , S2 ,S3 的大小关系为 .

答案:考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方 体验证结论,特殊化,令边长为 1,2,3 得 S3 ? S2 ? S1 . 6. 若 m 、 n 为两条不重合的直线, ? 、 ? 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题 是________. ①若 m 、 n 都平行于平面 ? ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 ? ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 ? 、 ? 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ? ? ,则 n ? ? ; ④ m 、 n 在平面 ? 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. 答案:①为假命题,②为真命题,在③中 n 可以平行于 β,也可以在 β 内,是假命题,④中, m、n 也可以不互相垂直,为假命题;故答案为②. 7.α、β 为两个互相垂直的平面,a、b 为一对异面直线,下列四个条件中是 a⊥b 的充分条 件的有 .

①a//α,b ? β;②a⊥α,b//β;③a⊥α,b⊥β;④a//α,b//β 且 a 与 α 的距离等于 b

137

与 β 的距离. 答案:③,本题主要考查空间线面之间的位置关系,特别是判断平行与垂直的常用方法. 4 8.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 π ,半径为 18 cm 的扇形,则圆锥母线与底面所成角 3 的余弦值为________. 2 答案: 3

高三数学复习限时训练(165)
1、 .已知圆锥的底面半径为 R, 高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是_____. 2、 .如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封) ,其轴截面是边长为 2 的正方形,P 是 BC 重点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经 过的最短路程为
P

A M B

C

3.正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面 α,则正四面体上的所有点在平面 α 内的射影 构成的图形面积的取值范围是 .

4. 已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,当该棱锥的体积最大时,它的高为_____. 5.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、 PB 、 PC 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设

M 是底面 ABC 内一点,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱锥

1 M ? PAB 、 三棱锥 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且 2

1 a ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为________. x y
6.如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端 点除外) 上一动点. 现将 ?AFD 沿 AF 折起, 使平面 ABD ? 平面 ABC . 在平面 ABD 内 过点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 ▲ .

138

(本练习题选自 2012 届苏州市高三数学二轮复习材料立体几何专题)

139

高三数学复习限时训练(161)参考答案
1.已知圆锥的底面半径为 R,高为 3R,在它的所有内接圆柱中,全面积的最大值是_____. 答案: ? R 2 ,将全面积表示成底面半径的函数,即可求出函数的最大值

9 4

3R ? h r ? ? h ? 3R ? 3r , 3R R 3 3 2 9 ∴ S ? 2? rh ? 2? r 2 ? 2? r ?3R ? 3r ? ? 2? r 2 ? ?4? (r 2 ? Rr) ? ?4? (r ? R) ? ? R2 。 2 4 4 3 9 ∴当 r ? R 时,S 取的最大值 ? R 2 。故选 B。 4 4
设内接圆柱的底面半径为 r,高为 h,全面积为 S,则有 2.如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封) ,其轴截面是边长为 2 的正方形,P 是 BC 重点,现有一只蚂蚁位于外壁 A 处,内壁 P 处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的 最短路程为

答案:

? 2 ? 9 ,倒置一个完全相同的圆柱在原圆柱上方,再展开如图,则可得最短路程为

?2 ?9
3.正四面体 ABCD 的棱长为 1,棱 AB∥平面 α,则正四面体上的所有点在平面 α 内的射影 构成的图形面积的取值范围是 答案: ? .

? 2 1? , ? ,当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时,不管怎么转动,投影的三 ? 4 2?

角形的一个边始终是 AB 的投影,长度是 1,而发生变化的是投影的高,体会高的变化,得 到结果 ∵正四面体的对角线互相垂直,且棱 AB∥平面 α, ∴当 CD⊥平面 α,这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积,根据正四面体的性质,面

1 3 2 3 1 ? ? ; 积此时最大,是 ? 2 2 3 2

2 2 , 面积是 。 2 4 ? 2 1? ∴正四面体上的所有点在平面 α 内的射影构成的图形面积的取值范围是 ? , ? 。 ? 4 2?
当面 ABC⊥平面 α 面积最小时构成的三角形底边是 1, 高是正四面体的高 4. 已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,当该棱锥的体积最大时,它的高为_____. 答案:本试题主要考察椎体的体积,考察函数的最值问题 .设底面边长为 a,则高
140

h ? SA2 ? (

2a 2 a2 ) ? 12 ? 2 2

所 以 体 积 V?

1 2 1 1 6 4 , 设 a h ? 12a ? a 3 3 2

1 y ? 12a 4 ? a 6 ,则 y ' ? 48a3 ? 3a5 ,当 y 取最值时, y ' ? 48a3 ? 3a5 ,解得 a=0 或 a=4 2
时,体积最大,此时 h ? 12 ?

a2 ?2. 2
P

5.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、 PB 、 PC 两两垂直,且

PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱锥 M ? PAB 、 三
棱锥 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,
A M B C

1 2



1 a ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为________. x y
1 1 1 1 1 a ,又 ? ? 8 ,得 a ? (8 ? )( ? x) ? 5 ? 8 x ? 恒 2 x 2 2x x y

答案:1 ,由题意可知, x ? y ?

1 是 a 取最小值 1 4 6.如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端
成立,再由基本不等式可知当 x ? y ? 点除外)上一动点.现将 ?AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD ? 平面 ABC .在平面 ABD 内 过点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 ▲ .

答案: ? ,

?2 1? ? ?5 2?

此题的破解可采用二个极端位置法:

高三数学复习限时训练(166)
1. 如图, 已知直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面是直角梯形,AB ? BC ,AB // CD ,E ,
141

F 分别是棱 BC , B1C1 上的动点,且 EF // CC1 , CD ? DD1 ? 1 , AB ? 2, BC ? 3 .
(Ⅰ) 证明: 无论点 E 怎样运动, 四边形 EFD1D 都为矩形; (Ⅱ)当 EC ? 1 时,求几何体 A ? EFD1D 的体积.

2、 .在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的 中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,构成一个三棱锥. (1)判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)求多面体 E-AFMN 的体积.
A D

B M N F E

M

F N

A

B

E

C

142

3.如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

2 4. 如图,三角形ABC中,AC=BC= AB ,ABED是边长为1的正方形, 2
平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点. (Ⅰ)求证:GF//底面ABC; (Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC; (Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.

E F G B C

D

A

143

高三数学复习限时训练(161)参考答案
1. 如图, 已知直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面是直角梯形,AB ? BC ,AB // CD ,E ,

F 分别是棱 BC , B1C1 上的动点,且 EF // CC1 , CD ? DD1 ? 1 , AB ? 2, BC ? 3 .
(Ⅰ)证明:无论点 E 怎样运动,四边形 EFD1D 都为矩形; (Ⅱ)当 EC ? 1 时,求几何体 A ? EFD1D 的体积.

答案: (Ⅰ)在直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, DD 1 // CC1 , ∵ EF // CC1 ,∴ EF // DD1 , 又∵平面 ABCD // 平面 A1B1C1D1 ,平面 ABCD ? 平面 EFD1D ? ED , 平面 A 1B 1C1D 1 ? 平面 EFD 1 D ? FD 1, ∴ ED // FD1 ,∴四边形 EFD1D 为平行四边形, ∵侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 DE ? 平面 ABCD 内, ∴ DD1 ? DE ,∴四边形 EFD1D 为矩形; (Ⅱ)证明:连结 AE ,∵四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 为直四棱柱, ∴侧棱 DD1 ? 底面 ABCD ,又 AE ? 平面 ABCD 内,∴ DD1 ? AE , 在 Rt ?ABE 中, AB ? 2 , BE ? 2 ,则 AE ? 2 2 ; 在 Rt ?CDE 中, EC ? 1 , CD ? 1 ,则 DE ? 2 ; 在直角梯形中 ABCD , AD ?

BC 2 ? ( AB ? CD ) 2 ? 10 ;

∴ AE 2 ? DE 2 ? AD 2 ,即 AE ? ED ,又∵ ED ? DD1 ? D ,∴ AE ? 平面 EFD1D ; 由(Ⅰ)可知,四边形 EFD1D 为矩形,且 DE ? 2 , DD1 ? 1 , ∴矩形 EFD1D 的面积为 SEFD1D ? DE ? DD1 ? ∴几何体 A ? EFD1D 的体积为 VA? EFD1D ?

2,

1 1 4 S EFD1D ? AE ? ? 2 ? 2 2 ? . 3 3 3

144

2.在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,M、N 分别为 AB、CF 的中 点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合,构成一个三棱锥. (1)判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给出证明; (2)求多面体 E-AFMN 的体积.
A D

B M N F E

M

F N

A

B

E

C

答案: ( 1 )因翻折后 B 、 C 、 D 重合(如图) ,所以 MN 应是 ?ABF 的一条中位线, 则

MN ? AF ? ? MN ? 平面AEF ? ? MN ? 平面AEF . AF ? 平面AEF ? ?
(2)因为

AB ? BE ? AB ? 平面 BEF, 且 AB ? 6, BE ? BF ? 3 ,∴ VA? BEF ? 9 , AB ? AF
∴ VE ? AFMN ?

?



VE ? AFMN S AFMN 3 ? ? , VE ? ABF S?ABC 4

27 . 4

3.如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD (2)求点 B 到平面 FED 的距离. 答案: (1)证明:? 点 E 为弧 AC 的中点

??ABE ?

?

2

, 即BE ? AC

又? FC ? 平面BED,BE ? 平面BED

? FC ? BE
又? FC、AC ? 平面FBD,FC ? AC=C

? BE ? 平面FBD ? FD ? 平面FBD
? EB ? FD

145

(2)解: FC= BF2 -BC2 = 5a2 ? a2 ? 2a

S Rt ?EBD ?

1 1 BE ? BD ? a ? 2a ? a 2 2 2

在 Rt?FBE中,FE ? 由于: FD ? ED ? 5a 所以 S?FDE ?

BE2 ? BF 2 ? 6a

1 1 6a 2 21 2 FE ? hFE ? ? 6a ? 5a 2 ? ( ) ? a 2 2 2 2

由等体积法可知:

1 1 S Rt ?EBD ? FC ? S ?FDE ? h 3 3
即 a ? 2a ?
2

4 21 21 2 a a ? h ,所以 h ? 21 2 4 21 a 21

即点 B 到平面 FED 的距离为

2 4. 如图,三角形ABC中,AC=BC= AB ,ABED是边长为1的正方形, 2
平面ABED⊥底面ABC,若G、F分别是EC、BD的中点. (Ⅰ)求证:GF//底面ABC; (Ⅱ)求证:AC⊥平面EBC; (Ⅲ)求几何体ADEBC的体积V.

E F G B C
E
B

D

A

答案: (I)证法一:取 BE 的中点 H,连结 HF、GH, (如图) ∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点∴HG//BC,HF//DE,

D F GM
N

H
又∵ADEB 为正方形 ∴DE//AB,从而 HF//AB ∴HF//平面 ABC,HG//平面 ABC, HF∩HG=H, ∴平面 HGF//平面 ABC∴GF//平面 ABC

B
A

A C

F

E

证法二:取 BC 的中点 M,AB 的中点 N 连结 GM、FN、MN(如图)

146

1 BE, 2 ∵G、F 分别是 EC 和 BD 的中点∴ 1 NF // DA, 且NF ? DA 2 GM // BE, 且GM ?
又∵ADEB 为正方形 ∴BE//AD,BE=AD

E F G B M N

D

∴GM//NF 且 GM=NF∴MNFG 为平行四边形 ∴GF//MN,又 MN ? 平面ABC ,∴GF//平面 ABC

A

证法三:连结 AE,∵ADEB 为正方形,∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 中点, ∴GF//AC,又 AC ? 平面 ABC,∴GF//平面 ABC

C

(Ⅱ)∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,∴GF//平面 ABC 又∵平面 ABED⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC ∴BE⊥AC 又∵CA +CB =AB ∴AC⊥BC,
2 2 2

∵BC∩BE=B,

∴AC⊥平面 BCE

(Ⅲ)连结 CN,因为 AC=BC,∴CN⊥AB, 又平面 ABED⊥平面 ABC,CN ? 平面 ABC,∴CN⊥平面 ABED. ∵三角形 ABC 是等腰直角三角形,∴ CN ? ∵C—ABED 是四棱锥,∴VC—ABED=

1 1 AB ? , 2 2

1 S ABED ? CN ? 3

高三数学复习限时训练(167)
1、据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方 成反比,比例常数为 k (k ? 0) .现已知相距 18 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污染 强度分别为 a , b , 它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数 之和.设 AC ? x ( km ) . (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.

147

2、已知矩形纸片 ABCD 中, AB ? 6cm, AD ? 12cm ,将矩形纸片的右下角折起,使得该 角的顶点 B 落在矩形的边 AD 上,且折痕 MN 的端点 M , N 分别位于边 AB, BC 上,设

?MNB ? ? , sin ? ? t , MN 长度为 l . (1)试将 l 表示为 t 的函数 l ? f (t ) ,并给出这个函数的定义域;
(2) 判断这个函数的单调性,并给出证明; (3)求 l 的最小值.

D

C

N

?

A

M6cm

B

(本练习题选自苏州市 2012 届高三数学第二轮复习材料应用题专题)

148

高三数学复习限时训练(167)参考答案
1、解: (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 中 k 为比例系数,且 k ? 0 . 从而点 C 处受污染程度 y ?

kb ka ,点 C 受 B 污染源污染程度为 ,其 2 (18 ? x) 2 x

ka kb ? . x 2 (18 ? x) 2 k kb ? , 2 x (18 ? x) 2

(2)因为 a ? 1 ,所以, y ?

y ' ? k[

18 ?2 2b ? ] ,令 y ' ? 0 ,得 x ? , 3 3 x (18 ? x) 1? 3 b

又此时 x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. 2、解析:(1)设将矩形纸片的右下角折起后,顶点 B
' 落在边 AD 上的 B 处,则 ?B NM ? ? , ?B MA ? 2? ,从而有:

'

'

NB ? l cos? , MB ? MB' ? l sin ? , AM ? MB' cos 2? ? l sin ? cos 2? .
∵ AM ? MB ? 6 ,∴ l sin ? cos 2? ? l sin ? ? 6 ,得:

(2 分)

l?

6 3 3 ? ? 3, 2 sin ? (cos 2? ? 1) sin ? (1 ? sin ? ) t ? t

(4 分)

∵ l cos ? ? 12, l sin ? ? 6, ? ? [0,

?
2

] ,∴

?
12

?? ?

?
4

,从而有

6? 2 2 ?t ? . 12 2
(6 分)

∴ l ? f (t ) ?

3 6? 2 2 , ]. ,定义域为 [ 3 t ?t 12 2

(2) l ? f (t ) ?

3 6? 2 2 6? 2 3 3 , ]. , ] 时, , t ?[ 令 z ?t ?t ? 0 , 当 t ?[ 3 t ?t 12 2 1 2 3 3 3 2 , ] 时, z ? t ? t 3 是减函数, 为减函数;当 t ? [ 3 t ?t 3 2
(10 分) (12 分)

z ? t ? t 3 是增函数,从而 l ? f (t ) ?
从而 l ? f (t ) ?

3 为增函数. t ? t3

证明可以用定义方法或导数方法,这里从略.

149

(3)由(2)知,当 t ?

3 9 3 3cm . (16 分) 时, MN 长度 l ? f (t ) ? 取得最小值 3 t ?t 2 3

高三数学复习限时训练(168)
1、 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(x)=f(x+2)恒成立,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则 当 x∈[2,3]时,函数 f(x)的解析式为____________. x 在区间(1,+∞)内是减函数,则实数 m 的取值范围是________. x-m

2、函数 y=

1 3、 若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1 4、定义在(-1,1)上的函数 f(x)=-5x+sinx,如果 f(1-a)+f(1-a2)>0,则实数 a 的取值范围 为________. |x-2|-1 的定义域为________. log2?x-1? 1 1 ,若 f(2)= ,则 f(2 012)=________. 2 f?x?

5、 函数 f(x)=

6、 函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)=

7、 设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则实数 a 的值为________.

8、 已知 t 为实常数,函数 y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=________.
?3x,x≤1, ? 9、 已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x,x>1, ?

10 、 一种新型电子产品投产,计划两年后使成本降低 36% ,那么平均每年应降低成本 ________.

11、 方程 x2-2mx+m2-1=0 的一根在(0,1)内,另一根在(2,3)内,则实数 m 的取值范围是 ________.

150

12、 若函数 f(x)=ax-x-a (a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

(本练习题选自苏州市 2012 届高三数学第二轮复习材料函数专项训练)

高三数学复习限时训练(168)参考答案
1、f(x)=(x-2)2 解析:函数满足 f(x)=f(x+2),函数周期为 2.则 x∈[2,3],x-2∈[0,1],f(x) =f(x-2)=(x-2)2. 2、 (0,1] 解析:y= 得. 3、 1 1 2x 解析:f(-x)= -x +a= +a,f(-x)=-f(x) 2 2 -1 1-2x ?
x 2x ? 1 +a??2a= 1 - 2 =1,故 a=1;也可用特殊值代入,但要 x+a=- x x 2 ?2 -1 ? 1-2 1-2 1-2x

x m =1+ ,由反比例函数性质可得到 0<m≤1;也可以用导数求 x-m x-m

检验. 4、1<a< 2
2

解析:函数为奇函数,在(-1,1)上单调递减,f(1-a)+f(1-a2)>0,得 f(1-

-1<1-a<1, ? ? 2 a)>f(a -1).∴ ?-1<1-a <1 ? ?1-a<a2-1

,?1<a< 2.

|x-2|-1≥0, ? ? 5、 [3,+∞) 解析:?x-1>0, ? ?x-1≠1

x-2≥1或x-2≤-1, ? ? ??x>1, ? ?x≠2

?x≥3.

1 1 6、 2 解析:函数满足 f(x+2)= ,故 f(x+4)= =f(x),函数周期为 4,f(2 012)= f?x? f?x+2? 1 f(0),又 f(2)= ,∴ f(0)=2. f?0? a+?-1? 7、3 解析:画图可知 =1,a=3,也可利用 f(0)=f(2)求得,但要检验. 2 8、 1 解析:由 y=|x2-2x-t|得 y=|(x-1)2-1-t|,函数最大值只能在 y(0),y(1),y(3)中 取得,讨论可得只有 t=1 时成立. 9、log32 解析:本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值.
? ? ?x≤1, ?x>1, 由? x ?x=log32 或? 无解,故应填 log32. ?3 =2 ?-x=2 ? ?

10、 20% 解析:设该产品初始成本为 a,每年平均降低百分比为 p,则 a(1-p)2=0.64a, ∴ p=0.2.

151

11、 m∈(1,2)

f?0?>0, ? ?f?1?<0, 解析:令 f(x)=x -2mx+m -1,则? f?2?<0, ? ?f?3?>0.
2 2

解得 1<m<2.

12、 a>1 解析:设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点, 就是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由图象可 知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合要求,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图 象过点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实 数 a 的取值范围是 a>1.

高三数学复习限时训练(169)
1、 lg22+lg2lg5+lg50=________. 2、y=loga(2-ax)(a>0,a≠1)在[0,1]上是关于 x 的减函数,则 a 的取值范围是________. 1 3、 不等式 2x2+2x-4≤ 的解集为________. 2 4、 函数 y=ax 2+1(a>0,a≠1)的图象必过定点坐标为________.


5、 函数 f(x)=-x2+2ax-1+a2 在区间(-∞,2]上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 6、 函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 f(x)的值域为________. 7、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数, 则 f(-25),f(11),f(80)的大小关系是________. 8、 某公司将进价 8 元/个的商品按 10 元/个销售,每天可卖 100 个,若这种商品的销售价 每个上涨 1 元,销售量就减少 10 个,为了获得最大利润,此商品的销售价应定为每个 ________元. 9、 已知函数 f(x)=ax+2a+1,当 x∈[-1,1]时,f(x)有正值也有负值,则实数 a 的取值范 围是________________. 10、 函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线 x=1 对称,则 b=________.

11、设函数 f(x)=-|x|x2+bx2+c,则下列命题中所有正确命题的序号是________. ①当 b<0 时,f(x)在 R 上有最大值;②函数 f(x)的图象关于点(0,c)对称;③方程 f(x) =0 可能有 4 个实根;④一定存在实数 a,使 f(x)在[a,+∞)上单调减.

152

2x-1 n 12、 对一切正整数 n,不等式 > 恒成立,则实数 x 的取值范围是________. |x| n+1

(本练习题选自苏州市 2012 届高三数学第二轮复习材料函数专项训练)

高三数学复习限时训练(167)参考答案
1、2 解析:lg22+lg2lg5+lg50=lg2(lg2+lg5)+lg5+lg10=lg2lg(2· 5)+lg5+1=2.
? ?a>1, 2、 a∈(1,2) 解析:y=loga(2-ax)是[0,1]上关于 x 的减函数,∴ ? ?1<a<2. ?2-a>0 ?

3、 [-3,1] -3≤x≤-1. 4、 (2,2)

1 - 解析:2x2+2x-4≤ ?2x2+2x-4≤2 1?x2+2x-4≤-1?x2+2x-3≤0? 2

5、 a≥2 解析: 二次函数 f(x)=-x2+2ax-1+a2 开口向下, 对称轴 x=- 31? 6、? ?1,27?

2a =a, 则 a≥2. -2

2 2? 1 1 解析: f(x)为偶函数, 则 b=0, 又 a-1+2a=0, ∴ a= , f(x)= x2+1 在? ?-3,3? 3 3

31? 上的值域为? ?1,27?. 7、 f(-25)<f(80)<f(11) 解析:∵ f(x-4)=-f(x),∴ f(x-4)=f(x+4),∴ 函数周期 T =8.∵ f(x)为奇函数,在区间[0,2]上是增函数,∴ f(x)在[-2,2]上是增函数.则 f(-25)=f(- 1),f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),f(80)=f(0).∵ f(-1)<f(0)<f(1),∴ f(-25)<f(80)<f(11). 8、 14 解析: 设每个销售定价为 x 元, 此时销售量为 100-10(x-10), 则利润 y=(x-8)[100 -10(x-10)]=10(x-8)(20-x)≤10? 1? 9、 ? ?-1,-3? x-8+20-x?2 2 ? ? =360,当且仅当 x=14 时取等号.

1 解析:由题意得 f(1)· f(-1)<0,即(3a+1)(a+1)<0,-1<a<- . 3

10、 6

2 =1, ?-a+ 2 解析:? a+b ? 2 =1

?b=6.

11、 ①③④ 解析:函数 f(x)=-|x|x2+bx2+c 为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=-x3+bx2+c,
153

2b? b<0, ∴ f′(x)=-3x? +∞)恒成立, ∴ x=0 时, f(x)在 R 上有最大值, ?x- 3 ?≤0 对 x∈[0, f(0)=c; 由于 f(x)为偶函数, ②不正确; 取 b=3, c=-2③正确; 若 b<0, 取 a=0, 若 b≥0, 2b 取 a= ,故一定存在实数 a,使 f(x)在[a,+∞)上单调减. 3 n 1 n 12、 x≥1 解析: =1- <1,当 n 无限变大时, 的值趋近于 1,不等式要恒 n+1 n+1 n+1 2x-1 1 2x-1 n 1 成立,显然 x> , > 等价于 ≥1 且 x> ,故 x≥1. 2 |x| x 2 n+1

高三数学复习限时训练(170)
1、 二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 _______ _ . x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

ax-b 2、 已知关于 x 的不等式 ax+b<0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式 >0 的解集是 x-2 ________. 3、 若变量 x,y 满足约束条件{3≤2x+y≤9,?6≤x-y≤9, 则 z=x+2y 的最小值为 ________. 4、已知 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 x· y 的最大值为________. 1 4 5、若 x>0,y>0 且 + =1,则 x+y 的最小值是________. x y 6、当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. y 7、已知变量 x,y 满足约束条件{x-y+2≤0,?x≥1,?x+y-7≤0, 则 的取值范围是_ x ______ . 8、函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时,Q(x-2a, -y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1) 写出函数 y=g(x)的解析式; (2) 当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.


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(本练习题选自苏州市 2012 届高三数学第二轮复习材料不等式专项训练)

高三数学复习限时训练(170)参考答案
1、 (-∞,-2)∪(3,+∞) ax-b ax+a x+1 2、(-1,2) 解析:由已知得 a<0,b=-a, >0 即为 >0,得 <0,得-1< x-2 x-2 x-2 x<2. 3、 -6 解析:作出可行域,求出凸点坐标分别为(3,-3),(4,-5),(5,-1),(6,- 3),则最优解为(4,-5);或让直线 t=x+2y 平行移动,当直线过点(4,-5)时,目标函数 取最小值. 4、 1 16 1 1 + 解析:∵ x,y∈R ,∴ 1=x+4y≥2 x· 4y,∴ xy≤ ,当且仅当 x=4y,即 x= , 16 2

1 y= 时取等号. 8 1 4? 1 4 y 4x + =5+ + ≥5+2 5、 9 解析:∵ x>0,y>0, + =1,∴ x+y=(x+y)? x y ? ? x y x y y 4x 9,当且仅当 = ,即 x=3,y=6 时取等号. x y 4? ? 4? 6、 m≤-5 解析:x2+mx+4<0,x∈(1,2)可得 m<-? ?x+x?,而函数 y=-?x+x?在(1,2) 上单调增,∴ m≤-5. 9 ? 7、 ? ?5,6? 5 9? 解析:变量 x,y 满足约束条件构成的区域是以(1,3),(1,6),? ?2,2?三点为顶 y 4x · = x y

y y 9 ? ,6 点的三角形区域(含边界), 表示区域内的点与原点连线的斜率,∴ ∈? x x ?5 ? 8、 解: (1) 设 P(x0, y0)是 y=f(x)图象上的点, Q(x, y)是 y=g(x)图象上的点, 则?
? ?x0=x+2a, ∴ ? 又 y0=loga(x0-3a),∴ -y=loga?x+2a-3a? , ?y0=-y. ? ? ?x=x0-2a, ?y=-y0. ?

∴ y=loga

1 1 (x>a),即 y=g(x)=loga (x>a). x-a x-a

155

?x-3a>0, ? (2) ∵ ? ∴ x>3a,∵ f(x)与 g(x)在 x∈[a+2,a+3]上有意义,∴ 3a<a+ ? ?x-a>0,

2,0 < a < 1 , ∵ |f(x) - g(x)|≤1 恒 成 立 , ∴ |loga(x - 3a)(x - a)|≤1 恒 成 立 . ∴
?-1≤loga[?x-2a?2-a2]≤1, ? 1 ? ?a≤(x-2a)2-a2≤ .对 x∈[a+2,a+3]时恒成立,令 h(x) a ?0<a<1 ?

=(x-2a)2-a2,其对称轴 x=2a,2a<2,而 2<a+2,∴ 当 x∈[a+2,a+3]时,h(x)min=h(a +2),h(x)max=h(a+3). a≤h?x?min, a≤4-4a, ? ? ? ? 9- 57 ∴ ?1 ??1 ?0<a≤ . 12 ? ? ?a≥h?x?max ?a≥9-6a

高三数学复习限时训练(171)
1、 设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2,则 y=f(x) 的表达式是________________. 2 、 如 图 , 函 数 y = f(x) 的 图 象 在 点 P 处 的 切 线 是 l , 则 f(2) + f′(2) =

________. 3、 曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为________. 2 4、 设点 P 是曲线 y=x3- 3x+ 上的任意一点,在 P 点处切线倾斜角为 α,则角 α 的取值 3 范围是________. 5、 已知函数 f(x)=lnx+2x2+ax+1 是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是________ 6、 已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m =________ . 7、若方程 x3-3x+a=0 有 3 个不同的实根,则实数 a 的取值范围是________. 8、 已知函数 f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则实数 a=________. 9、设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点,两函数的图 象在点 P 处有相同的切线. (1) 用 t 表示 a,b,c; (2) 若函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求实数 t 的取值范围.

156

157

10、已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x),g′(x)是 f(x),g(x)的导函 数,若 f′(x)g′(x)≥0 在区间[-1,+∞)上恒成立. (1) 求实数 b 的取值范围; (2) 当 b 取最小值时,讨论函数 h(x)=f(x)-g(x)在[-1,+∞)上的单调性.

(本练习题选自苏州市 2012 届高三数学第二轮复习材料导数及其应用专项训练)

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高三数学复习限时训练(167)参考答案
1、 f(x)=x2+2x+1 2、 9 4.5 9 9 9 9 解析:f′(2)= =- ,切线方程为 y=- x+ ,∴ f(2)= . 8 8 8 2 4 -4

3、y=x-1 解析:y′=3x2-2,k=y′x=1=1,则切线方程 y-0=1· (x-1), ∴ x-y-1=0. π? ?2π ? π 2 4、 ? ?0,2?∪? 3 ,π? 解析:y′=3x - 3≥- 3,∴ tanα≥- 3,0≤α<π 且 α≠2,结 合正切函数图象可得答案. 1 1 5、 a≥-4 解析: ?x∈(0, +∞), f′(x)= +4x+a≥0 恒成立, 由基本不等式 +4x+a≥4 x x 1 +a,当且仅当 x= 时取等号,∴ a+4≥0,∴ a≥-4. 2 6、 32 解析: f(x)=x3- 12x+8 , f′(x)= 3(x- 2)(x+ 2),则 f(x)的单调增区间是 [-3,- 2]∪[2,3],减区间是[-2,2],f(-3)=17,f(2)=-8,f(3)=-1,f(-2)=24,∴ M=24,m =-8. 7、 (-2,2) 解析:设 f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3(x+1)(x-1),f(x)在 x=-1 取极大值,在
? ? ?f?-1?>0, ?a+2>0, x=1 时取极小值,? ?? ?-2<a<2. ?f?1?<0 ?a-2<0 ? ?

8、 4 解析:若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立;当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3 3 1 -3x+1≥0 可化为,a≥ 2- 3, x x 3?1-2x? 1 3 1 ?1,1? 0, ?上单调递增, 设 g(x)= 2- 3, 则 g′(x)= , 所以 g(x)在区间? 在区间 4 2 ? ? ?2 ? x x x 1? 上单调递减,因此 g(x)max=g? ?2?=4,从而 a≥4; 3 1 3 1 当 x<0 即 x∈[-1,0)时, f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3, 设 g(x)= 2- 3, 则 g′(x) x x x x 3?1-2x? = >0,显然 g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4, x4 综上,a=4. 9、 解:(1) 因为函数 f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以 f(t)=0,即 t3+at=0.因为 t≠0,所 以 a=-t2.g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab.又因为 f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所 以 f′(t)=g′(t)而 f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx,所以 3t2+a=2bt.将 a=-t2 代入上式得 b =t.因此 c=ab=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3. (2) y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3, y′=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t), 因为函数 y=f(x)
? ? ?y′x=-1≤0, ??-3+t??-1-t?≤0, -g(x)在(-1,3)上单调递减,所以? 即? 解得 t≤-9 或 ?y′x=3≤0. ??9+t??3-t?≤0, ? ?

t≥3.所以 t 的取值范围为(-∞,-9]∪[3,+∞). 10、 解:(1) ∵ f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,∴ f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b. ?x∈[-1,+∞),f′(x)g′(x)≥0,即?x∈[-1,+∞),(3x2+a)(2x+b)≥0,∵ a
159

>0,∴3x2+a>0,∴ ?x∈[-1,+∞),2x+b≥0,即∴ ?x∈[-1,+∞),b≥-2x, ∴ b≥2,则所求实数 b 的取值范围是[2,+∞). 1 7 x- ?2+a- . (2) b 的最小值为 2,h(x)=x3-x2+ax-2x,h′(x)=3x2-2x+a-2=3? ? 3? 3 7 当 a≥ 时,h′(x)=3x2-2x+a-2≥0 对 x∈[-1,+∞)恒成立,h(x)在[-1,+∞)上单调 3 1± 7-3a 7 增,当 0 < a < 时,由 h′(x) = 3x2 - 2x + a - 2 = 0 得, x = >- 1 ,∴h(x) 在 3 3 1- 7-3a? ? ?1- 7-3a 1+ 7-3a?上单调减, ?1+ 7-3a ? 在? 在? ?-1, ?上单调增, ? , ,+∞? 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 上单调增.

高三数学复习限时训练(172)
1? 1、 幂函数 f(x)的图象过点? ?4,2?,那么 f(8)=________.

2、 命题“ x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是________. 3、 已知函数 f(x)={-x+1,x<0,?1,x≥0, 则不等式 x+(x+1)f(x+1)≤1 的解集是 ________. x 4、函数 f(x)= 的最大值为________. x+1 1 1 5、 函数 f(x)= ln( x2-3x+2+ -x2-3x+4)+ 的定义域为________. 2 x 6、方程 2 x+x2=3 的实数解的个数为________.


7、对于满足 0≤a≤4 的实数 a,使 x2+ax>4x+a-3 恒成立的 x 取值范围是________. 8、 若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ 15 x-9(a≠0)都相切, 则实数 a=________. 4

9. 已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值等于________. 10、 设 a>1,对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a2]满足方程 logax+logay=3,这时 a 的取 值范围为________. 11、 如果条件 p:|x-4|≤6,条件 q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 充分条件,求实数 m 的取值范围.
160

p是

q 的必要而不

161

12、 设二次函数 f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x=0 的两实根 x1 和 x2 满足 0<x1<x2<1. (1) 求实数 a 的取值范围; 1 (2) 试比较 f(0)· f(1)-f(0)与 的大小 ,并说明理由. 16

13、水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数 据,某水库的蓄水量 V(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为
1 t ? 2 ?(?t ? 14t ? 40)e 4 ? 50, t ? ?0,10? V (t ) ? ? ? ?4(t ? 10)(3t ? 41) ? 50, t ? ?10,12?

(1) 该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1<t<i 表示第 i 月份(i=1,2,?, 12),同一年内哪几个月份是枯水期? (2) 求一年内该水库的最大蓄水量(取 e≈2.7 计算).

(本练习题选自苏州市 2012 届高三数学第二轮复习材料函数专项训练)

162

高三数学复习限时训练(172)参考答案
1、 2 4 1 1 1 2 解析:f(x)=xα,f(

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