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几何画板使用教程


3D 几何画板使用教程 http://exjh.com

3D 几何画板
使用教程

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介绍
这是一个几何画板工具。 几何画板是一个数学平台,能解决平面几何,平面解析几何的大多数问题。但是,遇到
立体几何问题就无能为力了。可喜的是,几何画板提供了创建自定义工具的功能,正是

利用这个功能,我做成了这个立体几何平台——3D 几何画板。 在这套工具问世之前,网上已经出现的一些表现立体几何的工具。其中有美国保罗的 3d 工具和霍焰老师制作的立体几何平台,还有 Infinte 网友的 3d 平台。保罗的工具可
以有中心投影和正投影两种显示方式,但是测量功能欠缺;霍焰老师的工具测量功能齐

全,但是只能提供正投影的显示方式,立体感稍稍不足;Infinte 网友的工具界面友好, 另外具备表面的材质编辑功能和灯光功能,但是测量功能较少。这些工具各有所长,用 法各异,但都是通过几何画板本身的自定义工具功能,通过计算用平面图象表现立体效 果。 沿着这些工具的思路,我决定自己制作一套几何画板工具,综合它们的优点,并力求为 高中立体几何的学习服务。我的这套工具集成了较多的测量与作图功能,如直接测量面
与面的夹角,作公垂线等。另外,相比前面提及的工具,我还增加的空间旋转等功能,

以满足立体几何教学的需要。 这套工具一共分成 3 个部分: 1 基本工具。主要是实现立体图形的构造,测量功能。利用这个工具基本可以解决高中 立体几何题了。 2 旋转工具。功能是实现空间点绕轴的旋转。利用这套工具可以制作立体图形的展开动 画。 3 着色工具。这套工具包含线段虚实工具(即将被平面遮挡的线段自动调至较浅颜色), 平面着色工具以及二元函数的绘制工具。 利用这三个部分的工具,可以解决高中立体几何的大多数问题了。 讲讲我制作这套工具的经过吧。我在 2007 年初有了制作这套工具的想法,解决的 3d 核心的计算问题后,于 1 月初制成最初版本。当时只能通过参数坐标值绘出点。后来参 考的霍焰老师的工具,解决的反求空间点的难题。之后制作出这套工具的第一版,并发 上了人民教育出版社的论坛。到了大概 10 月份,我有了重写这套工具的想法,于是把

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先前的工具全部重新制作,改进了 3d 核心的算法,并增加的许多工具。以后的两个多 月时间里,我利用空余的时间又陆续增添的一些工具,终于达到现在的规模。 最后,希望我的工具能给更多的人带来方便!

2008-2-5

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安装工具的方法
将三个工具文件复制到几何画板目录下的 tool folder 目录(如果没有,新建)中即可, 如图。

工具原理
现在讲讲工具的核心算法——3d 换算。

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这套工具利用中心投影的算法。如图蓝色的点代表摄像机(即观察者在空间的实际位置), 平面代表屏幕,只要在空间点与摄像机间作一连线,求出此线与平面交点,并求出交点 在平面的坐标系(较小的坐标轴代表这个坐标系的 x 平移 center 点即可。(希望大家能听懂我的话吧) 这就是全套工具。 y 轴)上的坐标值,按此值显示

下面就该讲讲这套工具的用法了 为了节省篇幅,我只讲讲工具的基本用法,有些用法相似的就不赘述了。

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第一部分 ——基本工具

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一 建立坐标系
坐标系是这套工具的基础,它提供了对视角,缩放比例,点的空间位置的控制。 因此,每次使用这套工具,第一步必须新建坐标系。 用法:点击 基本工具——建立三维坐标系,再在画板上单击,即 可建立坐标系。 建立坐标系之后,必须初始化。为此,点击“初始化”按钮。 这时可以见到如图情况

下面我对界面进行说明。 左上方提供对视角及缩放比例的控制。右方的坐标格是正交视图,右上方显示空间点在
xoy 平面的投影(实际上是图形的仰视图),右下方显示空间点在 yoz 上的投影(实际 上是侧视图)。利用“正交视图定点”工具(后面讲述),可以方便地在这两个图控制

空间点的位置。 先看左上方。
第一个滑杆控制坐标值的缩放比例(对应 k 值),拖动它,发现坐标轴端点的数值变了,

这说明单位长度的坐标值变了。

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第二个滑杆是控制立体图形的扭曲程度(对应 Lens 值),实际上对应原理图中摄像机 离原点的距离。这个值越大,图形越接近正投影的效果(同斜二测画法的结果相似)。 之后是两个扇形的滑杆,拖动扇形弧的端点,可以发现空间坐标发生旋转,左边的扇形 控制水平旋转,右边的控制竖直旋转。 这是水平旋转的效果。

还有几个按钮,大家一看就知道什么意思了。但要提醒的是,切换到俯视图(或正视图, 侧视图后,只需点“初始化”,即可重新切换到立体图(透视图))。 注意:新建坐标系后,图中的参数名称(Lens,alpha,beta,k),以及点的名称(center) 绝对不能改,其他参数的名称也不能与它们一样,否则后面的工具无法使用。

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二 三棱锥和三棱柱
三棱锥和三棱柱是立体几何的常见图形,这个工具提供的新建它们的快捷方法。 三棱柱用法:选中 基本工具——三棱柱,先在右上方的仰视图画 出一个三角形,再在右下方的侧视图确定高。 之后的效果如图。

三棱锥用法: 基本工具——三棱锥,然后在仰视图画出底面三角形, 并确定另外一点的位置,再在侧视图确定高。 画成后效果如图

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大家可能已经发现立体图中的点都附带上一条线段,这是后面的工具要用的,千万不能 删除!(除非你不需要再用工具)

三 长方体
长方体是立体几何最常见的图形,下面讲述新建方法。 用法:先新建三个参数分别代表长宽高, 再点击 基本工具——长 方体,顺次点击这三个参数即可,改变参数值即可改变长宽高。 新建后的情况如图。

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有时由于长宽高过大,会出现这样的情况。

这时只需调节 k 值(通过拖动对应的滑杆),即可缩小图形。如图形较小,用同样方法 也可解决。

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四 正交视图定点
这是很重要的一个工具,利用它可以直接在右侧正交视图(仰视图和侧视图)中确定点 的位置,工具自动计算出点在中央立体图的位置 用法:点击基本工具——正交视图定点,先在右上方确定点在仰视 图的位置,再在右下方确定点的高度 之后的效果如图。

可以利用右方灰色的栅格,定出特殊坐标(例如:坐标值是整数的点),如图。但事前

要算出每格代表多少坐标值。

也可以在正交视图新建几何图形(例如:圆),把点定在图形上,这样空间点就被约束 在图形上了。利用这种方法,以及几何画板自身的轨迹功能,可以画出空间曲线,如图:

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xyz 坐标定点
用法:新建三个参数作为 xyz 值,再选基本工具——xyz 坐标定点, 顺次点击参数即可。

六 点的匹配
在继续之后的教学前,必须讲讲如何匹配点。这一章非常重要,希望大家注意。 基本工具中剩下的工具,都是通过直接匹配立体图中的点(而不是它在正交视图的投影), 通过计算出空间点的坐标,再完成其余的操作(如:计算点与点的距离)。 但是,只知道点在立体图中的相对位置,是无法计算出点的空间坐标的(因为不同位置 的两个空间点在某些角度看上去是完全可以重叠的,这样就无法判断看到的是哪个点)。 怎么办呢?在这个问题上,我运用了霍焰老师的方法(在此感谢霍焰老师想出了这么好 的方法!)画出空间点时,令它附带一根线段(就像刚才大家看到的那样),线段的倾 斜程度代表点的 z 坐标,而线段的中点就是那个空间点。这样,我们反求空间点的坐标 时,只需确定它附带的线段,再度量它的斜率,然后作出线段的中点(这个点与空间点 重合,作出中点可以省去匹配空间点的一步),通过计算中点在屏幕的位置(实际上是

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得出它相对于屏幕坐标平面的坐标值),结合通过斜率得出的 z 值,即可计算出它的空 间坐标。
讲了这么多,也许大家并不知道我讲什么。但没关系,我想告诉大家的是当以后的工具 提到匹配某个点时,不是匹配(点击)这个点本身,而是匹配(点击)它附带的线段。

鼠标靠近那条线段时,线段会变成蓝色,如图:

这时只需点击一下,就算匹配了这个点。 匹配点的方法:点击它附带的小线段。

七 线段上定点
这个工具可以直接在立体图作出线段上的一点,可以在立体图移动它的位置,工具自动 计算出点的三维坐标。

用法:匹配(如果不知道匹配是什么意思,请认真看第六章)线段 的两个端点即可。 注意:如果旋转视角,点的坐标会改变,这时必须重新调节坐标。

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八 中点
作线段中点。 用法:选中工具,匹配所求线段两个端点。

九 定比分点
作出线段的定比分点(如三等分点)。 用法:1 新建一个参数,表示比例; 个端点。 下面讲讲参数的意义: 如图,参数 t4 的意义是 AC/AB=0.6。 2 选中工具,匹配所求线段两

十 点在正交视图投影
有时需要获得空间点在右侧正交视图的位置。 用法:选中工具,匹配空间点。 之后会出现如下图形。

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浅蓝色的点和线段就是中点在正交视图的位置。

十一 公垂线
用法:选中工具,先匹配线段 1 的两端点,再匹配线段 2 的两端点。 效果如图:

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十二 平行线
用法:先匹配直线上两点,再匹配线外一点

这个工具实际上是计算线上的两点组成的向量,再将线外一点按这个向量平移。

十三 平面的单位法向量
用法:选中工具,匹配平面上三点。 如图:

粗线就是法向量,其长度为 1。

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十四 匹配点的技巧
讲了这么多,我都觉得有点烦了。相信大家听了这么多,对于一些工具先匹配哪个点, 后匹配哪个点也不能全部记住(我也记不住)。怎么办呢?不用烦恼,我在制作工具的 时候,写了工具提示,可以提示各位用时匹配点的顺序。提示在哪里?就在屏幕的左下 方。如图

这样,以后应用工具看着提示做就行了。以后的工具用法我也可以简写了。

十五 线面交点
求出线面交点和面面交线。

面面交线

用法:选中工具,按照工具提示,匹配相应的点就行了。

十六 获取点的坐标
将点的坐标显示出来。 用法:选中工具,按照工具提示,匹配相应的点就行了。 以后的工具用法都是选中工具,按照工具提示,匹配相应的点就行了,我也懒的打了。 看看效果吧。

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十七 距离工具
有三个:点到点的距离,点到线的距离,点到平面的距离。大家都知道用法了吧。

十八 夹角工具
也有三个:线面,面面,线线夹角工具。大家都知道用法了吧。 其中线线夹角实际上是向量的夹角,所以要注意向量的方向,有钝角时换算成锐角就行 了。这个工具效果如图:

十九 垂线工具
有两个:分别是作出点到直线的垂线,点到平面的垂线,并显示出垂足。

二十 向量工具
有两个:求出向量坐标,求出向量数量积(内积)。

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二十一 面积 体积工具
求出三角形面积和三棱锥体积。

至此,基本工具包里的工具就介绍完了。利用这些工具,可以解决高中立体几何的大部 分问题。下面介绍旋转工具。

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第二部分 ——旋转

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一 介绍
这套工具有两个:定轴旋转和定点旋转。 定轴旋转的意思是确定空间的两个点,以这两个点的连线为轴,算出另一个点绕轴旋转 后得出的新点。
定点旋转的意思是确定空间的一个点,以及一个向量,使旋转轴经过这个点,方向沿着

向量的方向,再算出另一个点绕这根轴旋转后得出的新点。 利用这两个工具,可以做出几何体的展开动画。

二 定轴转动
用法:1 选中旋转——定轴旋转控制台;2 将要作为轴的直线上的 两点附带的线段分别命名为轴始点,轴终点;3 选中旋转——定轴 转动,匹配需要进行旋转操作的点。 新建控制台后的情况如图:

其中,参数定轴旋转角度控制之后的旋转角度,正常情况名称“定轴旋转角度”不能更
改。但是如果在作出一个旋转效果后,想再作一个独立的旋转效果(即旋转角度独立控 制),那么必须将先前的参数改名,再新建一个控制台。改名后原来的旋转效果不受影

响,而新的旋转效果会自动匹配新的角度。
如果想以另一根轴旋转,则必须将原来作为轴的线段改为其他名字,再将新轴上的两点

分别改名为轴始点,轴终点。
其实也可以不给轴起名,这时应用工具时需要匹配作为轴的两点,但要注意如果希望多

个点绕同一个方向旋转,每次必须匹配同一个点作为始点,同一个点作为终点。 利用定轴转动可以制作图形的展开动画,下面简单讲讲方法。 首先,新建定轴旋转控制台。作出顶面 4 个点绕各自边的旋转效果,再连接相应线段, 如图:

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这样,四个侧面的展开效果就出来了。 那么,顶面的展开怎样制作呢?我们希望它的一边能与一个侧面连在一起,并随它一起 旋转。
怎么做到呢?我们假设顶面与面 A1B1B2A2 一起旋转,首先我们作出 C2,D2 绕轴 A1B1

的旋转效果,如图:

然后,我们再作 c2’,d2’绕轴 a2’,b2’的旋转效果,如图:

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隐藏边 b2’c2’,

c2’d2’,

d2’a2’即可,如图:

这样展开效果就做好了。

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三 定点转动
用法:1 先新建定点旋转控制台;2 将要作为轴的点附带的线段命 名为轴点;3 选中旋转——定点转动,匹配要旋转的一点。 定点旋转控制台如图:

最左边的控制旋转角度。右边的两个控制轴向量的方向。
做成后效果如图(虚线是旋转轨迹,是我后来添加的):

图中粉红色的箭头代表轴的方向,蓝色的点是旋转后的结果。 至此,旋转工具包就介绍完了。

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第三部分 ——着色工具

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一 介绍
着色工具包包含四个方面的工具:线段的着色,即按距离的远近决定线段颜色的深浅; 线的虚实,即将被平面遮挡的线段显示为浅色或虚线;面的着色,根据面与光源的位置 给面着上不同的颜色;二元函数绘制工具,绘制二元函数图象。

二 线段着色
有两个工具,分别是把线段着成彩色和黑白的工具。彩色工具根据离摄像机的远近自动 调节线段的饱和值。 彩色工具用法:1 选中颜色滑块工具,新建一个颜色滑块;2 选中 着色工具——彩色,匹配线段两端点;3 调节颜色滑块直到得到理 想的效果。 效果如图:

灰度工具用法:也是先新建灰度控制台,再匹配线段两个端点,最 后调节控制台参数。

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效果如图:

三 线段虚实
包含五个工具:凸多面体的虚实效果;一个三角面的遮挡判断;一个四边面的遮挡判断; 多个三角面的遮挡判断;多个四边面的遮挡判断。 凸多面体虚实效果用法:1 首先确定要出现虚实效果的棱所在的两 个面 2 选中工具,先匹配线段两个端点,再分别匹配两个面上的一 点。 注意:匹配点是有顺序的,请看图(图中要出现虚实效果的线段是粉红色的那根);

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以下这幅图讲原理。文字太多,懒得去打,于是直接插入以前作为教程的图算了。

以下讲线段被一个平面遮挡的虚实效果。 用法:1 选中着色工具——控制台,新建一个控制台;2 选中着色 工具——三角面(四边面)遮挡,匹配所需点即可。 这是控制台:

其中饱和度调节被遮挡部分的深浅,通常调至 0.2 到 0.4 效果较好。比例参数是为了实 现多个平面的遮挡效果而加上的,这里不用。

三角面,四边面遮挡效果:

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注意,四边面要保证组成面的四个点共面,才能得出正确的效果。 以下讲述多个平面的虚实效果。这个工具用法比较复杂。 用法:1 选中着色工具——控制台,新建一个控制台,并把要实现 虚实效果的线段两个端点附带的线段分别命名为始点,终点; 2 中着色工具——三角面遮挡判断(或者四边面遮挡判断),匹配三 角面(或四边面)各顶点,这时出现名为“虚实判断”的计算结果。
3 用相同的方法得出所有面的计算结果(都是叫做“虚实判断”), 并把这些结果相乘,将结果命名为虚实混合。4 选中最终虚实工具, 这时发现多了一个点(图中的 a 点),选中这个点和控制台最下方



滑杆上的点(就是控制比率参数的点),创建轨迹。 完成后的效果如图:

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四 材质灯光控制
材质灯光控制工具是剩下的两个工具——面着色和二元函数绘制工具的基础。因此在介 绍这两个工具之前必须讲讲材质灯光控制工具各项参数的意义。 用法:选中着色工具——材质灯光控制工具,在画板中新建。 新建后的效果如图:

参数这么多,是不是觉得有点不知所措呢。不要紧,现在我来讲讲各项参数的意义。 灯泡初始化:新建后必须点一下这个按钮,使各项参数复位。 隐藏灯泡:图中黄色的圆形就是灯泡(光源),单击这个按钮可以隐藏它。 红绿蓝:对应最上面的那三个滑杆,控制面的颜色,结果可以在右边的颜色块看到。 对比度:控制亮面与暗面的差异程度,值越大对比越明显。

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左边的对比度是 1,右边是 0.5 倍增器:也就是灯泡的亮度,值越大越亮。

左边倍增器是 1.84,右边是 2.87。 灯的距离:控制灯泡离 Center 点的距离,当距离较大时,光线接近于平行光。调大距 离的同时必须调大倍增器的数值,以保持亮度。
衰减:灯光亮度会随距离减少(遵循平方反比规律),此参数控制衰减速度。值越小衰

减越快。

左边值是 21,右边是 3。 分段数:控制二元函数的分段数,值越大图象越光滑。

左边分段数是 12,右边是 102。

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正反判断:面的背面会被自动显示成白色,调节这个参数可以把背面着色,而正面成白 色。这个参数只有两个值 1 和-1。 中间的两段弧控制灯的水平和竖直角度。 n0:这个参数为工具进行迭代运算时用,不要动它。

五 面的着色
包括三角面和四边面着色工具。 用法:1 新建材质灯光控制工具(如果已经有就不用新建)2 选中着 色工具——三角面着色(或四边面着色),匹配面的各顶点。 注意:1 如果要制作多个面的效果,每次匹配的方向必须一致(必须都是顺时针匹配或 逆时针匹配),否则无法使所有正对着的面都着上色。 2 如果发现面是白色的,把正反控制滑杆拉到另一边,即可显示。 这是效果:

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六 函数发生器
包含三个工具:函数发生器 1 ,2 和 3。1 采用点的轨迹的方法,通过空间点的轨迹描 绘出图象,2 采用迭代的方法,通过四边面的迭代得出图象。3 采用轨迹方法,不过是 描绘四边面的轨迹。发生器 1 和 3 用前都需要把轨迹的采样提高。方法是选中编辑菜单, 再按住 shift 键,选择“高级参数选项”,在采样栏里调高“新轨迹样本数量”和“最 大轨迹样本数量”。样本数量越大图象越精确,但是样本数量过大会拖慢速度。 函数发生器 1 用法:1 新建一个参数命名为 delta,以决定分段数; 2 选中函数发生器 1,在右上方的仰视图确定定义域。3 修改计算 Cz,输入新的解析式。 Delta 的值以 20 左右为宜,值增大时要同时增加采样率,再重建轨迹,才能保证准确 度。 重建轨迹的方法:先删除图象,选中定义域方框底边上的点(图中的 B9),以及立体 图中的运动点,再点构造菜单下的轨迹选项。

修改解析式的方法:双击 Cz,会出现如下计算:

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Cy,Cx 分别表示自变量 y 的解析式就行了。

,x,这时的解析式就是 z=sqrt(x^2+y^2)。修改成需要

下面讲述函数发生器 2 的用法 函数发生器 2 用法:1 新建一个材质灯光控制,2 工具— —函数发生器 2,在右上方仰视图确定定义域。 修改解析式的方法:双击 Z(x),出现如图计算: 选中着色

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这里 Y(x)代表自变量 y;X(x)代表自变量 x,这里的解析式是 z=0*(x+y),自然结果是 一个平面。修改时只需将 x 用 X(x)代替,y 用 Y(x)代替(括号内一定要是 x,如不能是 Y(x^2))。

现在我把解析式修改成 z=sin(50*sqrt(x^2+y^2))了,得出类似波纹的效果。

函数发生器 3 用法:同函数发生器 2 一样 函数发生器 3 修改解析式的方法与 2 一样。

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由于轨迹采样所限,发生器 3 无法得出像上图那样的高精度图象,但它在与 2 相同的分 段数时显示速度明显较快。

至此,这套工具的所有内容就介绍完了,希望大家看完后对我的这套工具有所了解,希

望我的这套工具能够给更多的人带来方便。

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