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§2-1函数的概念及表示方法 教案



§2-1.函数 函数
一, 教学内容
2.1 函数的概念及表示方法 2.3 函数的奇偶性;小结 2.5 二次函数的性质,图像 2.7 对数与对数运算,对数函数及性质 2.2 函数的单调性与最值 2.4 一次函数的性质,图像 2.6 指数与指数幂的运算,指数函数及其性质 2.8 幂函数

§2.1 函数的概念及表示方法
重点,难点:

: 1. 对应,函数,映射 2. 函数的三要素:定义域,值域,对应法则 3. 定义域,值域计算的基本方法 4. 计算的基本方法 5. 分段函数与复合函数 1. 函数 设 A,B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数,记作: y = f ( x), x ∈ A . 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域;与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数 值的集合 { f ( x) | x ∈ A} 叫值域. [注意 ①构成函数的三要素:__________, _________, _________. 注意] 注意 ②A,B 都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在. ③函数符号 f ( x) 的含义: f ( x) 表示一个整体,一个函数,而记号" f "可以看做是对 " x "施加某种法则(或运算) ,如 f ( x) = x 2 2 x + 3 , 当 x = 2 时,可看做对"2"施加了这样的运算法则:先平方,再减去它与 2 的积,再加 上 3; 当 x 为某一个代数式(或某一个函数记号)时,则左右两边的所有 x 都用同一个代数式 (或函数记号)代替,如 f (2 x 1) = (2 x 1)2 2(2 x 1) + 3 = [ g ( x)]2 2 g ( x) + 3 等等. ④ f ( x) 与 f (a) 的区别于联系. f (a) 表示当 x = a 时,函数 f ( x) 的值,是一个常量;而 f ( x) 是自变量 x 的函数,在一 般情况下,它是一个变量, f (a) 是 f ( x) 的一个特征值.如一次函数 f ( x) = 3 x + 5 ,当 x = 8 时, f ( x) = 3 × 8 + 5 = 29 是一个常量. 圆半径 r 与圆面积 S 的函数关系为 S = π r 2 的定义域为 {r | r > 0} . 例1 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3),f(- 2 ),f(a),f(a+1) ⑤定义域,在实际问题中受到实际意义的制约.如函数 y = x 的定义域为 { x | x ≥ 0} ;

例2 函数 y=

3x 2 与 y=3x 是不是同一个函数?为什么? x

【方法,技巧】同一函数的判断: 一般地,考查,判断几个函数是否相同,离不开函数的三要素,但是值域由定义域和对 应法则所确定的,因此在实际的解题过程中,往往只要判断函数的定义域,对应法则两个方 面即可. 两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时,才是同一个函数,这说明: (1)定义域不同,两个函数也就不同;
-1-

(2)对应关系不同,两个函数也是不同; (3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一个函数.因为函 数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.例如,y=2x+1 与 y=x+1 例3 判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? A. f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 C.f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 0 [注意]0 无意义! 2. B. f ( x ) = x; g ( x ) = D. f ( x ) = | x | ;g ( x ) =

x2
x2

区间及写法 设 a,b 是两个实数,且 a<b,则: {x|a≤x≤b}=[a,b] 叫闭区间; {x|a<x<b}=(a,b) 叫开区间; {x|a≤x<b}=[a,b),{x|a<x≤b}=(a,b] 都叫半开半闭区间. ①符号: "∞"读"无穷大""-∞"读"负无穷大""+∞"读"正无穷大" ; ; ②区间左端点值要小于区间右端点值;区间符号里面两个字母(或数字)之间用", " 隔开; 例4 练习用区间表示:R,{x|x≥a},{x|x>a},{x|x≤b},{x|x<b} 例5 用区间表示:函数 y= x 的定义域 3. 由函数的解析式求定义域 函数的解析式求定义域 例6 求下列函数的定义域(用区间表示) f(x)=
x3 x 2
2

,值域是

. (观察法)

;

f(x)= 2 x 9 ;

f(x)= x + 1 -

x 2 x

例7 f(x)=

x2 + 3 x + 4 ; x3

f(x)= 9 x +

1 x4

例8 f ( x ) = 1 x + 4. 函数的值域 函数的值域

1 ; x+4

f ( x) =

1 1 + 1/ x

2 : 例9 求 值 域 ( 用 区 间 表 示 ) y = x 2 x + 4 ; y =

f ( x) =

x2 x+3

5 ; f ( x) = x 2 3x + 4 ; x+3

【方法,技巧】求函数值域的方法: (1)观察法.一些简单的函数,可通过定义域及对应法则,用观察的方法来确定函数的值域. 例10 求下列函数的值域:(1) f ( x) = 2 x + 1, x ∈ {1, 2,3, 4,5} ;(2) y =

x +1

(2)配方法.通过函数解析式配方,由非负实数的意义确定函数的值域.
2 例11 求函数 y = x 4 x + 6 的值域 2 [解析] y = x 4 x + 6 定义域为 R,是二次函数,首先考虑配方法.

-2-

函数的定义域为 R,∵ y = x 4 x + 6 = ( x 2) + 2, x ∈ R 时, ( x 2) ≥ 0 ∴该函数的
2 2 2

值域为 { y | y ≥ 2} = [2, +∞)

(3)分离常数法. 当自变量有一定的取值范围时, 利用不等式的性质求出因变量的取值集合. 例12 求函数 y =

2x 1 (1 ≤ x ≤ 2) 的值域. x +1 3 3 3 1 , 1 ≤ x ≤ 2,∴ 2 ≤ x + 1 ≤ 3,∴1 ≤ 又 ≤ ,∴ ≤ y ≤ 1 , 故所求 [解析] ∵ y = 2 x +1 x +1 2 2
值域~~. (4)换元法.通过换元化简函数解析式,从而顺利地求出函数的值域.

例13 求函数 y = x +

2 x 1 的值域. 【较难】

t2 +1 1 + t2 [解析]设 t = 2 x 1 则 x = 且 t ≥ 0 ,问题转化为求 y = + t (t ≥ 0) 的值域. 2 2 1+ t2 1 1 Qy = + t = (t + 1) 2 (t ≥ 0) ,又∵ t ≥ 0,∴ (t + 1)2 ≥ 1, ∴y 值的范围为 y ≥ 2 2 2
[注意]辅助元的取值范围,如在本例题中,要确定 t 的取值范围,如忽视了这一点,就会错 误. 5. 练习一

1. 函数 f ( x ) = A.(0,1)

1 ( x ∈ R ) 的值域 1 + x2
B.(0,1]

B C.[0,1) [2,+ ∞ ) D.[0,1]

2. 求函数 y = x 2 x + 3 的值域 3. 求函数 y =

x x 的值域为 x x +1
2 2

x2 x + 1 1 1 解 : Qy = = 1 2 , 2 x x +1 x x +1 1 3 1 3 3 Q x 2 x + 1 = x 2 x + + = ( x )2 + ≥ 4 4 2 4 4 1 4 1 1 1 1 ∴0 < 2 ≤ ,∴ 1 < 2 1 ≤ ,∴ ≤ 1 2 < 1 ,即值域为~~ 3 3 x x +1 3 x x +1 x x +1 【较难】 4. 求函数 y = x 2 x 1 的值域. t2 +1 t2 +1 t2 1 1 ,∴ y = t (t ≥ 0) = t + = (t 1)2 2 2 2 2 2 1 1 ∵由图像可知 t = 0, ymin = ,∴值域 ( , +∞) 2 2 2 5. 已知函数 f ( x ) = x ,求 f ( x 1) ;
解:令 2 x 1 = t ,∴ x = 解: f ( x 1) = ( x 1) 2 = x 2 2 x + 1
2 (换元法) 6. 已知函数 f ( x 1) = x ,求 f ( x ) ;

解:设 t = x 1,∴ x = t + 1 ∴ f (t ) = (t + 1) 2 = t 2 + 2t + 1 ,即 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1
2 7. 若 x ∈ R, f ( x )是y = 2 x , y = x 这两个函数中教小者,则 f ( x ) 的最大值_____B____ (图像法) A.2 B.1 C.-1 D.无最大值

2 8. 若函数 y = f ( x ) 的定义域是 { x | 0 < x < 1} ,则 y = f ( x ) 的定义域是_____B_____

-3-

A.(-1,0) B.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) D.[0,1] 9. 若函数 y = f (3 x 1) 的定义域是[1,3],则 y = f ( x ) 的定义域是_____C_____ A.[1,3] B.[2,4] C.[2,8] D.[3,9] 10. 求 下 列 函 数 的 定 义 域 (1) y = 2 + (3) y = ( x 1) +
0
2

3 ; (2) y = 3 x x2

x 1 ;

2 x +1

11. 求函数 y = x 4 x + 6(0 ≤ x < 5) 的值域. .答案:[2,11) 12. 下列四组中的函数 f(x)与 g(x),表示相同函数的一组为____C______. A. f ( x) =| x |, g ( x) = ( x ) ;
2

B. f ( x) =

x +1

x 1, g ( x) = x 2 1 x2

C. f ( x) = x , g ( x) =
0

x ; x

D. f ( x) = x, g ( x) =

映射 一般地,设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f : A → B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping) .记作" f : A → B " 这时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作 f(x).于是 y=f(x),x 称作 y 的原象,映射 f 也可记为 f : A → B,x → f ( x) . 其中 A 叫做映射 f 的定义域(函数定义域的推广) ,由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域,通常记作 f(A). 关键: A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. 这里应注意这么几点: ①映射是一种特殊的对应关系,它是建立在以集合 A 到集合 B 上的对应关系,象桥梁 一样横跨在集合 A 到集合 B 上,是有方向的; ②要形成一个映射,对应法则必须满足,集合 A 中的任何一个元素,通过对应法则 f, 在集合 B 中必须要有它的象.如果集合 A 中有一个元素通过对应法则 f,不能在集合 B 中 找到自己的象,也就是说,集合 A 中只要有一个元素不能对应出去,那么这样的对应就不 能形成映射;而且对于集合 A 中的每一个元素,通过对应法则 f,在集合 B 中必须有唯一的 象.只要集合 A 中有一个元素在集合 B 中的象不唯一,那么这样的对应也就不能形成映射. 至于集合 B 中的元素是否在集合 A 中有原象,那并不重要. 如果映射 f 是集合 A 到集合 B 的映射,并且对于集合 B 中的任一元素,在集合 A 中都 有且只有一个原象,这时说集合的元素之间存在一一对应关系, 并把这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的一一映射. 6.
函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性; 区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数 学对象. 注意:有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示,在函数中这个式子叫解析式 映射是特殊的对应即由集合 ,集合 和对应法则 f 三者构成的一个整体,映射的特殊之处在于必须是 多对一和一对一的对应; ***若映射定义中的一般集合 X,Y 为数集,我们称映射 f 为函数,所以函数是一种特殊的映射,函数也可 用如下定义. -4-

例14 判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射?是不是函数? 开平方 1 4 9 (1) 1 -1 2 -2 3 -3 4 5 6 (2) 8 9 10 4 5 6 (3) 2倍 8 10 12 1 -1 2 -2 3 -3 (4) 平方 1 4 9 10 16

[解析] (1) (2)不是映射,也不是函数; (3)一一映射,函数; (4)映射,不是一一映射, 是函数 例15 练习:判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},对应法则 f :" 加1" ;
*

一一映射

A = N , B = {0,1} ,对应法则 f : x → x除以2得的余数 ; 映射,不是一一映射, 是函数 1 1 1 X = {1,2,3,4}, Y = {1, , , } f : x → x取倒数 ; 2 3 4 例16 已知函数 f : R → R,x → 3 x 5 (1)求 x=2,5,8 时的象 f(2),f(5),f(8); (2) 求 f(x)=35,47 时的原象. 例17 已知映射 f : R → R+ , x → x 2 + 1 (1)求 x=-3,-2,0,2,3 时的象; (2)求 f(x)=10,5,1 时的原象. 例18 已知 A = { X | 0 ≤ x ≤ 4} , B = { y | 0 ≤ x ≤ 2} ,按照对应法则 f,不能成为从 A 到 B 的映射的
是: B ) ( A.
f :x→ y= 1 x 2

B.

f :x→ y= x2

C.

f :x→ y= x

D. f : x → y =| x 2 | 7. 函数的表示方法 (1)图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. (2)列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值. 具体实例如:二次函数等;股市走势图; 列车时刻表;银行利率表. (3)解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明;给自变量求函数值. 8. 求函数解析式常用的方法: 求函数解析式常用的方法: (1)代入法.如已知 f ( x ) = x 2 1 ,求 f ( x + x 2 ) 时,则有 f ( x + x 2 ) = ( x + x 2 ) 1 (2)待定系数法.例如,已知 f ( x) = ax + b 是一次函数,且 f [ f ( x)] = 4 x + 3 ,求 f ( x ) 解:设 f ( x) = ax + b ,则 f [ f ( x )] = f ( ax + b ) = a ( ax + b ) + b = a 2 x + ab + b = 4 x + 3
a2 = 4 a = 2 ,故所求函数为 f ( x ) = 2 x + 1或f ( x ) = 2 x 3 a = 2 ∴ ,解得 ,或 b =1 ab + b = 3 b = 3

*(3)拼凑法.例,已知 f ( x 1) = x + 2 x,求f ( x) 解: (硬凑法) f ( x 1) = ( x 1)2 + 4( x 1) + 3 所以 而 x 1 ≥ 1,所以f ( x) = x 2 + 4 x + 3( x ≥ 1) *(4)换元法.例如,已知 f ( x 1) = x + 2 x,求f ( x) 解:令 t = x 1,则t ≥ 1,且 x = t + 1 ,

-5-

f (t ) = (t + 1)2 + 2(t + 1) = t 2 + 4t + 3 ,∴ f ( x) = x 2 + 4 x + 3( x ≥ 1)
*(5)方程组法.已知 f ( x ) 满足 af ( x ) + f ( 1 ) = ax,x ∈ R且x ≠ 0,a为常数,且a ≠ ±1 ,求 f ( x ) 的
x

解析式. [解析]:欲求 f ( x ) ,必须消去已知方程中的 f ( 1 ) ,不难想到再寻找一个方程,可由 x 和 1 的
x 1 替换已知式子中的 x,便可以得到另一个方程,然后联立解之. 倒数关系,用 x a 2 a x 2 解: f ( x) = 2 x ,即 f ( x) = a (a x 1) ( x ∈ R且x ≠ 0) a 1 ( a 2 1) x
x

9. 练习二 1. 已知 f ( x) = x 2 + 2 ,则 f ( x 2 ) =___________; f ( x + x 2 ) =______________; 2. 已 知 f ( x) = 1 ( x ∈ R, 且x ≠ 1) ; g ( x ) = x 2 + 2( x ∈ R ) , 求 f [ g ( x )] 的 解 析 式 ;
1+ x 案: f [ g ( x )] = 2 1 x +3



3. 已知 y = f ( x) 是一次函数,且有 f [ f ( x)] = 9 x + 8 ,求此一次函数的解析式; 解:设一次函数解析式为 f ( x) = ax + b 解得一次函数解析式为 f ( x) = 3x + 2 或 f ( x) = 3x 4 4. 已知 f ( x + 1) = x + 2 x,求f ( x) 的最小值; 解: (硬凑法) f ( x + 1) = x + 2 x = ( x )2 + 2 x + 1 1 = ( x + 1) 2 1 所以 f ( x) = x 2 + 1,由于 x + 1 ≥ 1,所以f ( x) = x 2 1( x ≥ 1) , x = 1时,f ( x)min = 0 ∴ 2 5. 已知 f ( x) + f ( x ) = x + 2 x ,求 f ( x ) 的表达式; 解:(方程组法) f ( x) = 1 x 2 2 x
3

1 6. 已知 f ( x) 2 f ( ) = 3x + 2,求f ( x) x 2 解: f ( x) = x 2 x

-6-


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