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2014届北京市朝阳区高三第一学期期中考试数学试题(含答案)



2014 届朝阳期中数学

北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷(理工类)
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1.已知集合 A ? {0,1, 2} , B ? {1, m} .若 A ? B ? B ,则实数 m 的值是 A. 0 B. 2
x

2013.11

C. 0 或 2

D. 0 或 1 或 2

2.命题 p :对任意 x ?R , 2 ? 1 ? 0 的否定是 开 始 A. ?p :对任意 x ?R , 2 ? 1 ? 0
x

T=0,i=1 B. ?p :不存在 x0 ? R , C. ?p :存在 x0 ? R , D. ?p :存在 x0 ? R ,

2 ?1 ? 0
x0

2 ?1 ? 0
x0

T=T+i2 i=i+1 i>5? 否


2x0 ? 1 ? 0

3.执行如图所示的程序框图,则输出的 T 值为 A.91 B. 55 C.54 D.30

输出 T 4.若 0 ? m ? 1 , 则 A. logm (1 ? m) ? logm (1 ? m) C. 1 ? m ? (1 ? m) 5.由直线 x ? 0 , x ?
2

结 束 缚 B. log m (1 ? m) ? 0 D. (1 ? m) 3 ? (1 ? m) 2
1 1

?? , y ? 0 与曲线 y ? 2sin x 所围成的图形的面积等于 3 3 1 A. 3 B. C. 1 D. 2 2 6.已知平面向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = ( ?4, ?2) ,则下列结论中错误的是 ..
A.向量 c 与向量 b 共线 B.若 c ? ?1a ? ?2b ( ?1 , ?2 ?R ) ,则 ?1 ? 0 , ?2 ? ?2 C.对同一平面内任意向量 d ,都存在实数 k1 , k 2 ,使得 d ? k1b + k2c D.向量 a 在向量 b 方向上的投影为 0

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7.若函数 f ( x ) ? x ? k 的图象与函数 g ( x) ? x ? 3 的图象至多有一个公共点,则实数 k 的
2

取值范围是 A.

. B. [9, ??)

. C.

(??,3]

(0, 9]

D. (??,9]

8.同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak : (1)所有元素都是正整数; (2)最小元素为 1; (3) 最大元素为 2014; (4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N

?

?

? 的等差数列.那么

A33 ? A61 中元素的个数是
A.96 B.94 C.92 D.90

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.在公比小于零的等比数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , a5 ? 32 ,则数列 ?a n ?的前三项和 S 3 ? 10.函数 y ? x ? .

4 ( x ? ?3) 的最小值是 x?3

. . ;若平行四边形 .

11.曲线 f ( x) ? e x 在点 (x0 , f ( x0 )) 处的切线经过点 P(1 , 0) ,则 x0 ? 12.已知平面向量 a 与 b 的夹角为

? , a ? 3 , b ? 1 ,则 a ? b ? 6

??? ? ???? ABCD 满足 AB ? a ? b , AD ? a ? b ,则平行四边形 ABCD 的面积为
13 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ? 是 .
x

? ? x 2 ? 2 x , x ? 0, ? x ? 2 x,
2

x ? 0.

若 f (3 ? a ) ? f (2a) , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
2

14.已知函数 f ( x) ? a ( 0 ? a ? 1 ) ,数列 {a n } 满足 a1 ? f (1) , a n ?1 ? f (a n ) , n ?N .
?

则 a2 与 a3 中,较大的是

; a20 , a25 , a30 的大小关系是



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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

π 2 sin(2 x ? ) ? 4cos 2 x . 4

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最小值; (Ⅱ)若 ? ? [0, ] ,且 f (? ) ? 3 ,求 ? 的值.

π 2

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16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos (Ⅰ)若 bc ? 5 ,求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 b ? c 的最大值.

A 2 5 . ? 2 5

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17.(本小题满分 13 分) 已知等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , n ?N* ,且 a3 ? a6 ? 4 , S5 ? ?5 . (Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)若 Tn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,求 T5 的值和 Tn 的表达式.

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18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? a ? 3 , a ?R .
2

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴无交点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 在 [?1,1] 上存在零点,求 a 的取值范围; ( Ⅲ ) 设 函 数 g ( x) ? bx? 5 ? 2 b, b ?R . 当 a ? 0 时 , 若 对 任 意 的 x1 ? [1, 4 ] 总 存 在 ,

x2 ? [1, 4 ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 b 的取值范围.

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19.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (3 ? m) x ? 3m ln x , m?R . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)设 A( x1 , f ( x1 )) , B ( x2 , f ( x2 )) 为函数 f ( x) 的图象上任意不同两点,若过 A , B 两点的直线 l 的斜率恒大于 ?3 ,求 m 的取值范围.

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20. (本小题满分 13 分) 如果项数均为 n n ? 2, n ? N

?

?

? 的两个数列 {a } , {b } 满足 a
n
n

k

? bk ? k (k ? 1,2,?, n),

且集合 {a1 , a 2 ,?, a n , b1 , b2 ,?, bn } ? {1,2,3,?,2n} ,则称数列 {a n }, {bn } 是一对 “ n 项相关 数列”. (Ⅰ)设 {a n }, {bn } 是一对“4 项相关数列” ,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 和 b1 ? b2 ? b3 ? b4 的值,并 写出一对“ 4 项相关数列” {a n }, {bn } ; (Ⅱ)是否存在 “ 15 项相关数列” {a n }, {bn } ?若存在,试写出一对 {a n }, {bn } ;若不存在, 请说明理由; (Ⅲ)对于确定的 n ,若存在“ n 项相关数列” ,试证明符合条件的“ n 项相关数列”有偶数 对.

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北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期中统一考试

数学试卷答案(理工类)2013.11
一、选择题:

题号 答案

(1) C

(2) C

(3) B

(4) D

(5) A

(6) C

(7) D

(8) B

二、填空题:

题号 答案

9

10

11

12

13

14

6

1

2

1

3

?3 ? a ? 1

a2

a25 ? a30 ? a20

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: f ( x) ?

π 2 sin(2 x ? ) ? 4cos 2 x 4 π π 1 ? cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos ? 2 ? cos 2 x ? sin ? 4 ? 4 4 2

? sin 2x ? cos 2x ? 2cos 2x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2
π ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 . 4
(Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期为

2π ?π, 2
???6 分

函数 f ( x) 的最小值为 2 ? 2 . (Ⅱ)由 f (? ) ? 3 得 2 sin(2? ? ) ? 2 ? 3 . 所以 sin(2? ?

π 4

π 2 )? . 4 2

π π π 5π , ? 2? ? ? 2 4 4 4 π π π 3π 所以 2? ? ? 或 2? ? ? . 4 4 4 4 π 所以 ? ? 0 或 ? ? . 4
又因为 ? ? [0, ] ,所以
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???13 分

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16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos

A 2 5 ,0 ? A? ?, ? 2 5

所以 sin

A 5 . ? 2 5

所以 sin A ? 2sin 因为 bc ? 5 , 所以 S ?ABC ?

A A 4 cos ? . 2 2 5

1 bc sin A ? 2 . 2
A 5 ? , 2 5

???6 分

(Ⅱ)因为 sin

所以 cos A ? 1 ? 2 sin 2
2 2 2

A 3 ? . 2 5
2

因为 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 .

bc ?

5 5 5 (b ? c ) 2 2 ,所以 b ? c ? 5 .当且仅当 b ? c ? 时等号成立. ?b ? c? ? ? 16 16 4 2
???13 分

所以 b ? c 的最大值为 5 17. (本小题满分 13 分)

?a1 ? 2d ? a1 ? 5d ? 4 ? 解: (Ⅰ)等差数列 {a n } 的公差为 d ,则 ? 5(5 ? 1) ?5a1 ? 2 d ? ?5 ?
解得, a1 ? ?5 , d ? 2 ,则 an ? 2n ? 7 , n ?N . (Ⅱ)当 n ? 4 时, an ? 2n ? 7 ? 0 ,当 n ? 3 时, an ? 2n ? 7 ? 0 . 则 T5 ? ?(a1 ? a2 ? a3 ) ? a4 ? a5 ? 13
?

???5 分

n ? 3 时, Tn ? 6n ? n2 ; n ? 4 时, Tn ? Sn ? 2S3 ? n 2 ? 6n ? 18 .
? 6n ? n 2 , n ? 3, n ?N? . 即 Tn ? ? 2 ? n ? 6n ? 18, n ? 4,
18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)若函数 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴无交点,则方程 f ( x) ? 0 的判别式 ? ? 0 , 即 16 ? 4(a ? 3) ? 0 ,解得 a ? 1 .
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???13 分

???3 分

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(Ⅱ) f ( x ) ? x ? 4 x ? a ? 3的对称轴是 x ? 2 ,所以 y ? f ( x ) 在 [?1,1] 上是减函数,
2

y ? f ( x ) 在 [?1,1] 上存在零点,则必有:
? f (1) ? 0 ?a ? 0 ,即 ? , ? ?a ? 8 ? 0 ? f ( ?1) ? 0
解得: ?8 ? a ? 0 ,故实数 的取值范围为 ?8 ? a ? 0 ; ???8 分

(Ⅲ)若对任意的 x1 ? [1, 4] ,总存在 x2 ? [1, 4] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,只需函数 y ? f ( x ) 的 值域为函数 y ? g ( x ) 值域的子集.当 a ? 0 时, f ( x ) ? x ? 4 x ? 3 的对称轴是 x ? 2 ,所以
2

y ? f ( x ) 的值域为 [?1,3] , 下面求 g ( x) ? bx ? 5 ? 2b , x ? [1,4] 的值域,
①当 b ? 0 时, g ( x ) ? 5 ,不合题意,舍 ②当 b ? 0 时, g ( x) ? bx ? 5 ? 2b 的值域为 [5 ? b,5 ? 2b] ,只需要

?5 ? b ? ? 1 ,解得 b ? 6 ? ?5 ? 2b ? 3
③当 b ? 0 时, g ( x) ? bx ? 5 ? 2b 的值域为 [5 ? 2b,5 ? b] ,只需要

?5 ? 2b ? ?1 ,解得 b ? ?3 ? ?5 ? b ? 3
综上:实数 b 的取值范围 b ? 6 或 b ? ?3 19. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 依题意, f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , ???14 分

f ?( x) ? x ? (3 ? m) ?
(ⅰ)若 m ? 0 ,

3m x 2 ? (3 ? m) x ? 3m ( x ? 3)( x ? m) ? . ? x x x

当 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. (ⅱ)若 m ? 3 ,

f ?( x) ?

( x ? 3) 2 ? 0 恒成立,故当 x ? 0 时, f ( x) 为增函数. x

(ⅲ)若 0 ? m ? 3 ,

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当 0 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 当 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. (ⅳ)若 m ? 3 , 当 0 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数; 当 x ? m 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函数. 综上所述, 当 m ? 0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? 3, ?? ? ;当 0 ? m ? 3 时,函数 f ( x) 的单调递增 区间是 ? 0, m ? , ? 3, ?? ? ;当 m ? 3 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? 0, ?? ? ;当 m ? 3 时, 函数 f ( x) 的单调递增区间是 ? 0, 3 ? , ? m, ?? ? . (Ⅱ)依题意,若过 A, B 两点的直线 l 的斜率恒大于 ?3 ,则有 ???6 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?3 , x1 ? x2

当 x1 ? x2 ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?3( x1 ? x2 ) ,即 f ( x1 ) ? 3x1 ? f ( x2 ) ? 3x2 ; 当 0 ? x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?3( x1 ? x2 ) ,即 f ( x1 ) ? 3x1 ? f ( x2 ) ? 3x2 . 设函数 g ( x) ? f ( x) ? 3x ,若对于两个不相等的正数 x1 , x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?3 恒成立, x1 ? x2

1 2 x ? mx ? 3m ln x 在 ? 0, ?? ? 恒为增函数, 2 3m 即在 ? 0, ?? ? 上, g ?( x) ? x ? m ? ? 0 恒成立. x
则函数 g ( x) ? 解法一: (1)当 m ? 0 时,当 x ? 0 , g ?( x) ? ?? ,说明此时 g ?( x) ? 0 不恒成立; 或 g ?(

m 1 m m 3m ? 2m ? 3 ? ? 2m ? 2 ? 0 , 说 明 此 时 )? ?m? ? m m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1

g ?( x) ? 0 不恒成立;
(2)当 m ? 0 时, g ?( x) ? x ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; (3)当 m ? 0 时,若 g ?( x) ? x ? m ?

3m 3m ? 0 恒成立,而当 x ? 0 时, x ? ? 2 3m , x x

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( 当且仅当 x ? 3m 时取等号)即 2 3m ? m ? 0 成立,即

m (2 3 ? m ) ? 0 ,解得

0 ? m ? 2 3 ,即 0 ? m ? 12 ,显然 m ? 12 符合题意.
综上所述, 0 ? m ? 12 时,过 A, B 两点的直线 l 的斜率恒大于 ?3 . 解法二: ? 0, ?? ? 上,g ?( x) ? x ? m ? 在

3m 3 等价于 m( ? 1) ? ? x , x ? ? 0, ?? ? 在 ? 0 恒成立, x x

成立,即 m(1 ? ) ? x 在 x ? ? 0, ?? ? 成立. (ⅰ)当 x ? 3 时,上式显然满足; (ⅱ)当 0 ? x ? 3 时,上式等价于 m ?

3 x

x2 x2 ,设 h( x) ? ,此时 h( x ) 为减函数, x ?3 x ?3

h( x) ? ? ??, 0 ? ,只需 m ? 0 ;
(ⅲ) x ? 3 时, 当 上式等价于 m ?

x2 x2 ( x ? 3)2 ? 6( x ? 3) ? 9 , h( x ) ? 设 , h( x) ? 则 x ?3 x ?3 x ?3

? x ?3?

9 ? 6 ,当 x ? 3 时, h( x) ? 12 (当且仅当 x ? 6 时等号成立). x ?3 3m ? 0 成立. 过 A, B 两点的直线 l 的斜率 x

则此时 m ? 12 . 在 ? 0, ?? ? 上,当 0 ? m ? 12 时, g ?( x) ? x ? m ? 恒大于 ?3 . 解法三: 在 ? 0, ?? ? 上, ?( x) ? x ? m ? g 恒成立,则有 (1) ? ? 0 时,即 m ? 12 m ? 0 ,所以 0 ? m ? 12
2

3m 2 等价于 h( x) ? x ? mx ? 3m ? 0 在 x ? (0,??) ? 0 恒成立, x

或(2) ? ? 0 时,需

m ? 0 且 h( x) ? 3m ,即 3m ? 0 显然不成立. 2
??????14 分

综上所述, 0 ? m ? 12 . 20. (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)依题意, a1 ? b1 ? 1, a2 ? b2 ? 2, a3 ? b3 ? 3, a4 ? b4 ? 4 ,相加得,

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? (b1 ? b2 ? b3 ? b4 ) ? 10 ,又 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 36 ,
则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 23 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 13 .

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“4 项相关数列” {a n } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1(不唯一)???3 分 参考: ( 项相关数列”共 6 对: “4

{a n } :8,5,4,6; {bn } :7,3,1,2
或 {a n } :7,3,5,8; {bn } :6,1,2,4 或 {a n } :3,8,7,5; {bn } :2,6,4,1 或 {a n } :2,7,6,8; {bn } :1,5,3,4 或 {a n } :2,6,8,7; {bn } :1,4,5,3 或 {a n } :8,4,6,5; {bn } :7,2,3,1 (Ⅱ)不存在. 理由如下: 假设存在 “15 项相关数列” {a n }, {bn } , 则 a1 ? b1 ? 1, a 2 ? b2 ? 2,?, a15 ? b15 ? 15 ,相加,得

(a1 ? a2 ? ? ? a15 ) ? (b1 ? b2 ? ? ? b15 ) ? 120
又由已知 a1 ? a 2 ? ? ? a15 ? b1 ? b2 ? ? ? b15 ? 1 ? 2 ? ? ? 30 ? 465 ,由此

2(a1 ? a 2 ? ? ? a15 ) ? 585 ,显然不可能,所以假设不成立。
从而不存在 “15 项相关数列” {a n }, {bn } ???7 分

(Ⅲ)对于确定的 n ,任取一对 “ n 项相关数列” {a n }, {bn } , 令 ck ? 2n ? 1 ? bk , d k ? 2n ? 1 ? a k (k ? 1,2,?, n) , 先证 {cn }, {d n } 也必为 “ n 项相关数列” . 因为 c k ? d k ? (2n ? 1 ? bk ) ? (2n ? 1 ? a k ) ? a k ? bk ? k (k ? 1,2,?, n), 又因为 {a1 , a2 ,?, an , b1 , b2 ,?, bn } ? {1, 2,3, 4,?, 2n} ,很显然有

{( 2n ? 1) ? a1 , (2n ? 1) ? a2 ,?, (2n ? 1) ? an , (2n ? 1) ? b1 , (2n ? 1) ? b2 ,?, (2n ? 1) ? bn }

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? {1,2,3,?,2n} ,
所以 {cn }, {d n } 也必为 “ n 项相关数列” . 再证数列 {cn } 与 {a n } 是不同的数列. 假设 {cn } 与 {a n } 相同,则 {cn } 的第二项 c2 ? 2n ? 1 ? b2 ? a2 ,又 a 2 ? b2 ? 2 ,则

2b2 ? 2n ? 1,即 b2 ?

2n ? 1 显然矛盾. 2 ,
┅┅┅┅┅┅ 13 分

从而,符合条件的 “ n 项相关数列”有偶数对.

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