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导数及其应用例题详解



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第十五单元--导数及其应用说课稿 肖婕

一、导数(导数的本质:变化率)

2、函数的平均变化率定义:一般的,已知函数 y= f(x) ,x0、x1 是其定义域内不同 的两点,记△x= x1- x0 ,△y= y1- y0 。则当△x≠0 时,商
y1 ? y0 ? y = 称作函数 x1 ? x0 ? x
B(x2,y2)

y= f(x)在区间[x0,x0+ △x ](或[x0+ △x,x0])的平均变化率
?y △y 相对于度量标准△x 的变化率 因此: ? x 就是度量数

y

A(x1,y1) O 例如:①、一火车从青岛开往北京,以 v=300km\h 匀速行驶,途经 A(t1,s1) 、 两站,求火车 A 站到 B 站的距离 S 的相对于时间从 A 点到 B 点的变化率为 t 的 s=300t A(t1,s1) ,B(t2,s2) ,从 A 点到 B 点的变化率为: x

B(t2,s2) 变化率

s 2 ? s1 300t 2 ? 300t1 = t 2 ? t1 t 2 ? t1

?

300(t 2 ? t1 ) ? 300 ,其平均变化率即为火车行驶的速度 300 t 2 ? t1

②、单价 85 元的篮球,花费 f 相对于个数 x 的变化率为 A(x1,f1) ,B(x2,f2) , (其中,x1,x2∈N)从 A 到 B 的变化率为:
f 2 ? f 1 85 x 2 ? 85x1 85( x 2 ? x1 ) ? ? ? 85 ,其平均变化率即为篮球的单价 85 x 2 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1

③、超市离你家有些远,你花 1 元坐公交去的,在超市买同样规格牌子的杯子,价钱一样,买一个是 10 元,两个是
20 元,,你买的个数与总的花费 s 之间的关系:s=2+10x

A(x1,S1) ,B(x2,S2) , (其中,x1,x2∈N)从 A 到 B 的变化率为:
s 2 ? s1 (2 ? 10 x 2 ) ? (2 ? 10 x1 ) 10( x 2 ? x1 ) ? ? ? 10 ,其平均变化率即为杯子的单价 10 x 2 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1

④、一水池抽水速度 f 一定,水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量 S,
则:g=S-ft。

A(t1,g1) ,B(t2,g2) ,从 A 时刻到 B 时刻的变化率为:

g 2 ? g1 s ? t 2 ? t1 =

ft 2 ? ( s ? ft1 ) ? f (t1 ? t 2 ) ? ? ? f ,其平均变化率为-f t 2 ? t1 t 2 ? t1

⑤、当弹簧原长度 10cm(未挂重物时的长度) ,弹簧挂重物时的长度 y 与重物的重量 x 的关系
1

2

Y=2x+10, (k 为任意正整数) (x∈[0,2500g]

A(x1,y1) ,B(x2,y2) , (其中,x1,x2∈[0,500g])从 A 到 B 的变化率为:
y 2 ? y1 (2 x 2 ? 10) ? (2 x ? 101 ) 2( x 2 ? x1 ) ? ? ? 2 ,其平均变化率为 2 x 2 ? x1 x 2 ? x1 x 2 ? x1

有以上例子可以归纳出直线的变化率:即为直线的斜率 2、直线的平均变化率: (1) :一次函数的平均变化率: (推导过程) Y=kx+b(k≠0)
?y y2 ? y1 ? ?k ?x x2 ? x1

有图可以看出,一次函数的平均变化率:即为直线的斜率 k 直线的斜率 k 是均匀变化, 即直线中△y 与△x 是同比例增加, 因此直线在任何两点的变化率不变。

例如:①、y=2x

?y y2 ? y1 2 x2 ? 2 x1 ? ? ?2 ?x x2 ? x1 x2 ? x1

所以:直线 y=2x 的变化率为直线 y=2x 的斜率 2. ②、y=-x+1
?y y2 ? y1 ? x2 ? 1 ? (? x1 ? 1) x1 ? x2 ? ? ? ? ?1 ?x x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

所以:直线 y=-x+1 的变化率为直线 y=-x+1 的斜率-1

(2)特别的:常值函数 y=c,
y2 ? y1 ?y c?c 0 ? ? ? ?0 x2 ? x1 ?x x2 ? x1 x2 ? x1

平均变化率:

2

3

3、曲线的平均率:

(1)在曲线任上取两点 A,B 求变化率,取得点不同,变化率的数值不一定相等同,因此,曲线 中求得的变化率为曲线的平均变化率。

(2)变化率的含义:有图可以看出。变化率反应了

? ?y ? 1) ? 0,?y与?x的变化趋势相同,反应 的是增加的快慢 ? ?图( ? x ? ? ? ? ?1、y对x变化的快慢? ?y ? ? 图(2) ? 0,?y与?x的变化趋势相反,反应 的是减少的快慢 ? ?x ? ? ? ? ? ? 2 、变化趋势的快慢 -------------------------------------------------------?
例如:求 y=x2,分别求各题的平均变化率 ①、A(2,4)到 B(3,9) ②、D(-3,9)到 C(-1,2)

①、

y1 ? y 2 9 ? 4 5 ? ? ? 5 >0,△y 与△x 变化的趋势相同,同时增加,反映的是从 A 到 B x1 ? x 2 3 ? 2 1

曲线增加的快慢

y1 ? y2 2?9 ?7 ? ? ? ?3.5 <0,△y 与△x 变化的趋势相反,△y 减少,△x 增加, ②、 x1 ? x2 ? 1 ? (?3) 2
反映的是从 A 到 B 曲线减少的快慢 4、导数(瞬时变化率)

3

4

(1)导数:

y2 ? y1 ?y ? x2 ? x1 ?x

中,当△x→0

?y 时, ?x

→某一常数,表示某点瞬时变化率,即

为某点处的导数。 即
?y ,即△x 无限趋近于 0 时, ?y 无限趋近于一 ? l (常数) ?x ?x ? ?? 0 ?x

lim

个常数
?y ? 0 ,△y 与△x 的变化趋势相同,有①图象可以看出: ?x 反应的是增加快慢;
l >0,

?y ? 0 ,△y 与△x 的变化趋势相反,有②图象可以看出: ?x 反应的是减少快慢;
l <0,

(2)关于瞬时变化率: ①、一位移相对于时间 t 在某一时刻的变化率,即瞬时速度为瞬时 变化率 ②、汽车的码表显示的 100km\h,120km\h 均指的是我们看到的这一 时刻的汽车的行驶速度,即瞬时变化率。

(3)导数的几何意义:△x→0 时,曲线 的割线趋近于切线, 割线的斜率就变成了 过点 A 的切成的斜率。

(4) 、对于切线问题,应注意一下三点: ① 、切点在曲线上 ② 、切点在切线上 ③ 、导数即斜率

5、导函数
4

5

①、定义:即为导数,如果函数 y = f(x)在(a,b)每一点可都导,就称函数 f(x)在区间 (a,b) 内 可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 (a,b) 内的每一个确定的 x 值都对应着一个确定的导数,这就构成
一个新的函数称,这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数记作 y', f'(x),导函数简称导数

对谁运算:自变量 x 运算法则:导函数

运算结果:曲线点处切线斜率

②、导数即瞬时变化率,是小范围内表达变化率的近似值,表达的是曲线的局域特征。是一个 连续的平缓的变化过程,因此,当曲线平滑变化时导数存在。当曲线突变时,导数不存在。 例如:函数 f(x)=|x|,在 x=0 处不可导

③、如果函数 y=f(x)区间(a,b)上可 导,且在每一点的导数的值大于 0, ,见① 图,原函数为增函数 如果函数 y=f(x)区间(a,b)上可导, 且在每一点的导数的值小于 0, ,见图②, 原函数为减函数 ④、极大值点与极小值点 从 A 点到 B 点切线的斜率大于 0, 即导数在每一点的函数 值大于 0,反映的是曲线的变化率的增加,随着曲线的不 断升高,切线的斜率逐渐趋近于 0,即增加的速度减慢, 逐渐趋近于 0,达到 B 点时,切线的斜率是 0,即函数在 B 点处,导数值为 0,经过 B 点后,切线的斜率开始小于 0,从图象可以看出,在 B 点取得极大值 从 B 点到 C 点,切线的斜率开始小于 0,反映的是曲线的变化率的减少,接近 C 点时,减少减 慢,逐渐趋势近于 0,C 点处,导数值为 0,切线斜率为 0,C 点到 D 点,切线的斜率又大于 0, 反映的是曲线的变化率的增加,从图象可以看出,在 C 点取得极小值 由此可以得出: 在 x=x1 的左侧,f\(X)>0,右侧 f\(X)<0,则在 x=x1 处取得极大值,x1 为其极大值点; f(X1)为曲线的极大值 在 x=x2 的左侧,f\(X)<0,右侧 f\(X)>0,则在 x=x2 处取得极小值,x2 为其极小值点; f(X2)为曲线的极小值 例如:指出图形中 f(X)的极值点 X1,x5 为极小值点; X3 为极大值点。

5

6

6、基本初等函数的导数公式

原函数 ①、f(x)=c(c 为常数) ②、f(x)=xn(n∈Q*) ③、f(x)=sin x ④、f(x)=cos x ⑤、f(x)=ax ⑥、f(x)=ex

导函数 f′(x)=0 f′(x)=nxn-1 f′(x)=cosx f′(x)=-sinx f′(x)=axlna f′(x)=ex f′(x)=
1 x ln a f′(x)= 1 x

⑦f、(x)=logax ⑧、f (x)=ln x

对于公式①、直线的斜率是 1,有前面的证明可知,导函数为 0 对于公式③、因为正弦函数的单调性与余弦函数的函数值的符号一致,所以 f′(x)=cosx 对于公式④、因为余弦函数的单调性与正弦函数的函数值的符号相反,所以 f′(x)=-sinx 其他:记住即可 7、导数的运算法则
() gx ?()' (1) 、? fx
f x ()' (3) 、 ?C

? =f (x)±g (x);
/ / /

(2) 、

? f ( x)?g ( x)? ' =f (x)g(x)±f(x)g (x);
/ /

? =Cf (x)(C 为常数);

( 4) 、

? f ( x ) ? f ( x) g ( x ) ? f ( x) g ( x) . ? g ( x) ? ' = g 2 ( x) ? ?
/ /

8.复合函数的导数 设 u=v(x)在点 x 处可导,y=f(u)在点 u 处可导,则复合函数 y=f[v(x)]在点 x 处可导, 则 y/=f/(u)v/(x) ( 即外导乘以内导)

换元:

?v ?y ?v ? ?y △x ? ?x ?v
x

6

7

二、例题分析: 1.(2010·辽宁文,12)已知点 P 在曲线 y= α 的取值范围是( π A.[0, ) 4 C.( π 3π , ] 2 4 ) B.[ π π , ) 4 2 3π ,π ) 4 4 上,角 α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 e +1
x

D.[

分析: (1)对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是,想性质(单调性、奇偶性、周期性) (2)切线问题应注意一下三点: ① 、切点在曲线上 ② 、切点在切线上 ③ 、导数即斜率 (3)对函数求导数 4ex y′=- x =k=tanα (α 为切线的倾斜角) ?e +1?2 4ex (4)y′=- =k=tanα (α 为切线的倾斜角) ?ex+1?2 对谁运算:x∈R 运算法则:换元后,可以变成对号函数 令 t=ex,则 t>0,g(t)=4t = (t ? 1) 2

?4 1 t? ?2 t

运算结果:作图:h(t)=t+ 看图说话:

1 t

1 1 所以:h(t)=t+ ≥2,t+ +2≥4 t t

4 ? 1, 1 t? ?2 t ?1 ? ? 4 ?0 1 t? ?2 t

-1≤tanα <0
7

8

(3)作出正切函数的图像所以:α ∈[

3π ,π ) 4

2..2011·吉林省实验中学模拟)如图,函数 y=f(x)的图象在点 P(5,f(5))处的切线方程 是 y=-x+8,则 f(5)+f ′(5)=( A. 1 2 B.1 C.2 D.0 ) [答案] C

[解析] 由条件知,又在点 P 处切线方程为 y-f(5)=-(x-5), ∴y=-x+5+f(5), 即 y=-x+8, ∴5+f(5)=8, ∴f(5)=3, ∴f(5) +f ′(5)=2.

? 1、点的位置 分析: (1)看到点 P(5,f(5))问题,想到两个方面的问题: ? ?2、点满足的关系 1、知道点的位置找关系 ? 一般处理这类问题有两个方面: ? 点的位置 ?2、知道点满足的关系找
(2)本题是已知 P(5,f(5))满足的关系,即为曲线的切点,找位置的问题 (3)看到切线问题应该想到三个方面的问题: ① 、切点在曲线上 ② 、切点在切线上 ③ 、导数即斜率 (4)因此:f ′(5)=k,为切线的斜率,所以:f ′(5)=-1,过点 P(5,f(5))的切线方程 有点斜式可得: y-f(5)=-(x-5) ,得到:y=-x+5+f(5),又,切线方程为 y=-x+8 所以:f(5)=3 f(5)+f ′(5)=-1+3=2 ln x 在点(1,0)处的切线. x

3.[2013·北京卷] 设 L 为曲线 C:y=

(1)求 L 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.
8

9

分析: (1)看到切线问题应该想到三个方面的问题: ① 、切点在曲线上 ② 、切点在切线上 ③ 、导数即斜率 ln x 1-ln x ,则 f′(x)= . x x2

设 f(x)=

f′(1)=1.,切线的斜率为 1,过点(1,0) 有点斜式得 Y-0=1(x-1).整理得,L 的方程为:y=x-1 (2)要想证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 只要证明:g(x)=(x-1)-ln x >0(x≠1) x

①对谁运算:x>0 运算法则:什么也不是,想性质(单调性、奇偶性、周期性) 有本题条件可知,需要考虑函数的单调性 对 g(x)=(x-1)-ln x >0(x≠1)求导, x

求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” 得到: x2-1+ln x g′(x)= x2 g′(x)中,分母 x2 大于 0,只需考虑 x2-1+lnx 的正负即可 ②令 h(x)=x2-1+lnx 对谁运算:x>0 运算法则:什么也不是,想性质(单调性、奇偶性、周期性) 有本题条件可知,需要考虑函数的单调性 对 h(x)=x2-1+lnx 求导 h′(x)=2x+
1 2x2 ?1 = x x

X>0 时,h′(x)>0,所以 h(x)=x2-1+lnx 为增函数 ③又 h(1)=1-1+0=0,所以:在(0,1)内,h(x)<0 在(1,+∞)内,h(x)>0 ④因此 g(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增函数 1?1? 0 ?0 ⑤又 g(1)= 1 所以,在(0,1)内,g(x)>0;在(1,+∞)内,g(x)>0

9

10

即 x=1 时,g(1)=0, X≠1 时,g(x)>0 ⑥故:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方

1 ?1 ? 4.[2013·全国卷] 若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ,+∞?是增函数,则 a 的取值范围是( 2 x ? ? A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞) 分析: (1)对谁运算:x≠0 运算法则:什么也不是,想性质。 (单调性、奇偶性、周期性) 1 本题与单调性有关。对函数 f(x)=x2+ax+ 求导数 x 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” f′(x)=2x+a- 1 x2

)

1 ?1 ? (2)因为 f(x)=x2+ax+ 在? ,+∞?是增函数, x ?2 ? 1 ?1 ? 所以:x∈? ,+∞?,f′(x)=2x+a- 2 x ?2 ? 1 ?1 ? 分离常数,只要:a≥ 2-2x,x∈? ,+∞?, 2 x ? ? 1 ?1 ? (3)令 g(x)= 2-2x,x∈? ,+∞?, x ?2 ? 1 ?1 ? 因为:x∈? ,+∞?时, 2为减函数,-2x 也是减函数, x ?2 ? 1 ?1 ? 所以:g(x)= 2-2x,在 x∈? ,+∞?上也是减函数, x ?2 ? 所以,当 x=
1 1 时,g( )max=3 2 2
10

≥0,

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所以:a≥3 D 5.[2013·江西卷] 设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 分析: (1)对谁运算:x∈R 运算法则:换元:令 ex=t,则 x=lnt,(t>0) ,f(t)=lnt+t,(t>0) (2)对谁运算:t>0, 运算法则:什么也不是,想性质,求导数
1 f′(t)= +1,所以:f′(1)=1+1=2【答案】2 t

6.(2010·东北师大附中模拟)定义方程 f(x)=f ′(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”, 若函数 g(x)=x,h(x)=ln(x+1),φ (x)=x β ,γ 的大小关系为( A.α >β >γ C.γ >α >β ) B.β >α >γ D.β >γ >α
3

-1

的“新驻点”分别为 α ,β ,γ ,则 α ,

分析: (1)依题意α 满足:g(x)=g/(x),即 x=1,所以:α =1

(2)β 满足: h(x)=ln(x+1)=h/(x), 即 ln(x+1)= 有图可知:0<β <1

1 , 作图: x ?1

(3)γ 满足:φ (x)=φ /(x),即 x

3

-1=3x

2

有图可知:γ >1

(4)γ >α >β

故选 C

[答案] C

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7. (2010·胶州模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π ),其导函数 f ′(x) 的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式为( )

π? ?1 A.f(x)=4sin? x+ ? 4? ?2 3π ? ?1 C.f(x)=2sin? x+ ? 4 ? ?2 分析: (1)对谁运算:x∈R

π? ?1 B.f(x)=2sin? x+ ? 4? ?2 3π ? ?1 D.f(x)=4sin? x+ ? 4 ? ?2

运算法则:换元:令 t=ω x+φ ,则 f(t)=Asint (2)依题意,求导

f/(t)=Acost,所以 f/(x)=Acost(ω x+φ )/=Aω cos(ω x+φ )
(3)①有图像可以看出,f/(x)=Aω cos(ω x+φ )的周期:2[
3? ? ? (? ) ]=4π 2 2

所以:ω = ②当 x=

2? 1 = 4? 2

? 1 ? ? ? 时, × +φ = +2kπ (k∈Z) ,得到:φ = +2kπ (k∈Z) 2 2 2 2 4 ? 符合题意 4

又 0<φ <π ,当 k=0 时,φ =

③当 x=-

? 1 时,f/(x)取最大值 2,所以:Aω =2, A=2,所以:A=4 2 2

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π? ?1 (4)f(x)=4sin? x+ ? 4? ?2 [答案] A

8.[2013·安徽卷] 若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方 程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 )

分析: (1)对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” f/(x)=3x2+2ax+b (2)因为:函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2 所以: f/(x)=3x2+2ax+b 有两个实数根 x1,x2,两个根的关系可能是①图,也能是②

(3)令 f(x)=t,则 g(t)=3t2+2at+b=0,即 t=f(x)有几个解 (有图①、图②分别作出图③、图④)

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(4)有图可知,g(t)=3t2+2at+b=0 有 3 解 A

9.[2013·天津卷] 已知函数 f(x)=x2ln x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)证明:对任意的 t>0,存在唯一的 s,使 t=f(s); 2 ln g(t) 1 (3)设(2)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s=g(t).证明:当 t>e2 时,有 < < . 5 ln t 2 分析: (1)①对谁运算:x>0, 运算法则:什么也不是,想性质。求导数 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” / ②f (x)=2xlnx+x=x(2lnx+1) f/(x)=x(2lnx+1)>0,2lnx+1>0,即 x> e f (x)=x(2lnx+1)<0,0<x< e
/

?

1 2

,x∈( e

?

1 2

,+∞)为增函数

?

1 2

,即 x∈(0, e

?

1 2

)为减函数

(2)要证明对任意的 t>0,存在唯一的 s,使 t=f(s),只要证明:对任意的 t>0,t=f(s) 为单调函数即可。 t=f(s)=s2lns, 因为:t>0,所以:s>1 ①对谁运算:s>1, ②运算法则:t=f(s)=s2lns,什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” / / t =f (s)=s(2lns+1), ③有(1)可知 s>1,t=f(s)=s2lns 为增函数,
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④所以:对任意的 t>0,存在唯一的 s,使 t=f(s) (3)因为:t=f(s),s=g(t) ln g(t) ln s ln s = = 2 ln t ln(s ln s ) 2 ln s ? ln(lns) t=s2lns,当 s2lns=e2,得到:s=e 所以:t>e2 时,s>e 2 ln g(t) 1 要证当 t>e2 时,有 < < . 5 ln t 2 2 1 ln s 只要证:s>e 时, < < 即可 5 2 ln s ? ln(lns) 2 ①令 m=lns, ,因为:s>e,所以: (m>1) ;则 g(m)= ②g(m)=
m (m>1) 2m ? ln m

1 (m>1) ln m 2? m ln m ③令 h(m)= 2 ? (m>1) m 1 ④ 2<h(m)<2+ e 1 ⑤g(m)= (m>1) (作图) ln m 2? m
⑥所以:

1 2? 1 3



1 <g(m)< . 2 1 2? e

1

1 3 2 3 <g(m)< , > 2 7 5 7 2 1 所以: <g(m)< 5 2 2 ln g(t) 1 ⑦即:当 t>e2 时,有 < < . 5 ln t 2

10.【2012 高考陕西理 7】设函数 f ( x) ? xe x ,则( A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点



B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点[学
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分析: (1)对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是:想性质。求导数 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” / x x x (2)f (x)=e +xe =e (1+x) ; f/(x)>0 时, f ( x) ? xe x 为增函数,此时,x>-1 f/(x)<0 时, f ( x) ? xe x 为减函数,此时,x<-1 (3)所以: x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点 【答案】D.

11.【2012 高考山东理 22】(本小题满分 13 分) ln x ? k 已知函数 f ( x) ? ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) 在点 ex
(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行.

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x ) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 . 分析: (Ⅰ)对谁运算:x>0 运算法则:什么也不是,想性质。求导 1 ? ln x ? k f '( x) ? x ex (1, f (1)) (2)看到点 想点的位置与点满足的关系 (3) (1, f (1)) 为切点,已知点满足的关系,求点所在 的位置 (4)看到切线想三个方面的问题: ① 、切点在曲线上 ② 、切点在切线上 ③ 、导数即斜率 1 ? 0 ?k ? 0 ,得:1-k=0,所以:k=1 f/(1)= e ln x ? 1 (Ⅱ)f(x)= ex 对谁运算:x>0
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17

运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” 1 ? ln x ? 1 / x f ( x) ? ex 1 1 令 h(x)= ? ln x ? 1 = ? 1 ? ln x x x 1 ? 1 ? ln x (作图) x 有图可以看出:x∈(0,1)时,h(x)>0, f ( x) 为增函数 x∈( (1,+∞)时,h(x)<0, f ( x) 为减函数 (Ⅲ)设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) ,其中 f '( x ) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 1 ? ln x ? 1 x ? 1 g(x)=(x2+x) x = x (1 ? x ? x ln x) e ex g(x)=
x ?1 (1 ? x ? x ln x) ex

(1)令 h(x)=1-x-xlnx 对谁运算:x>0, 运算法则:什么也不是,想性质。与单调性有关,求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” h/(x)=-1-lnx-1=-2-lnx,当 h/(x)>0 时,0<x<e-2,h(x)=1-x-xlnx 为增函数 当 h/(x)<0 时,x>e-2,h(x)=1-x-xlnx 为减函数 所以:h(e-2)max=1-e-2-e-2lne-2=1+e-2 (2)令 g(x)=
x ?1 ex

对谁运算:x>0, 运算法则:什么也不是,想性质。与单调性有关,求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” p/(x)=
?x <0,所以 : p(x)在(0,+∞)上为减函数 ex

p(0)max=1 g(x)的最大值为 1×(1+e-2)=1+e-2 又 x>0,所以 g(x)<1+e-2

17

18

2 ?-x +2x ? 12、 (2013·新课标 I 理)已知函数 f(x)= ?ln(x+1)

x≤0 x>0

,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是

(

) A、 (-∞,0] B、 (-∞,1] C、[-2,1] D、[-2,0]

分析:对谁运算:x∈R 运算法则:情况不同,结果不同 运算结果:作图

①当 x≤0 时,| f(x)|=x2-2x≥ax x2-2x- ax≥0 令 g(x)=x2-2x- ax≥0 即可 ax≤x2-2x(x≤0) a≥x-2, (x≤0)又,x-2 为增函数,所以:a≥-2 ②当 x>0 时,| f(x)|=ln(x+1)≥ax 令 h(x)=ln(x+1)-ax≥0,h(0)=0 对谁运算:x>0, 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” 只要证明:h/(x)= 所以:a≤0 有①、②可得:-2≤a≤0
18

1 -a,在 x>0 上是减函数(作图) x ?1

19

【答案】D;

13、 (2013·浙江理 22)已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 3ax ? 3a ? 3. (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 分析: (1)看到点 (1, f (1)) 时,想到:点的位置与点满足的性质 本题是已知点的位置,求满足的性质的问题 (2)看到切线问题应该想到三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 (3)求导:f/(x)=3x2-6x+3a 所以:f/(1)=3-6+3a=3a-3,又 f (1) ? 1 ? 3 ? 3a ? 3 ? 3a ? 1 (4)过点(1,1) ,k=3a-3 的方程,有点斜式得 y-1=(3a-3) (x-1) 整理得: 3(a ? 1) x ? y ? 4 ? 3a ? 0

14、 (2013·陕西理 21.)已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图 像相切, 求实数 k 的值; 分析: (1) f ( x) ? e x , x ? R 的反函数为 g(x)=lnx (2)看到切线问题应该想到三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 (3)求导:g/(x)= (x>0)
19

1 x

20

设:切点(x0,lnx0) ,k=
1 (x- x0) , x0 1 x0

1 ;点斜式写出切线方程 x0

y-lnx0=
1 x0

y=

x-

x0+ lnx0,又直线 y=kx+1 为切线

所以:k=

1 1 ,且x0 x0

x0+ lnx0=1,

lnx0=2,x0=e2,所以:k= e-2

15、 (2013·福建理 17)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; 分析: (1)看到点 (1, f (1)) 时,想到:点的位置与点满足的性质 本题是已知点的位置,求满足的性质的问题 (2)看到切线问题应该想到三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 (3)求导:f/(x)=xa=2,f/(x)=x2 x a x

所以:f/(1)=1-2=-1,又 f(1)=1-2ln1=1 过点(1,1) ,k=-1 切线的方程,有点斜式得 y-1=-(x-1) 整理得:x+y-2=0

16、 (2012 广东理 12)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线方程为 分析: (1)看到点(1,3)时,想到:点的位置与点满足的性质 本题是已知点的位置,求满足的性质的问题 (2)看到切线问题应该想到三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率



20

21

(3)求导:f/(x)=3x2-1 所以:f/(1)=3-1=2, (4)过点(1,3) ,k=2 的切线方程,有点斜式得 y-3=2(x-1) 整理得: 2 x ? y ? 1 ? 0 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0

17?、 (2013·新课标Ⅱ理) (10)已知函数 f(x)= x3 ? ax 2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是 (A) ? x0 ? R , f( x0 )=0 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞, x0 )单调递减 (D)若 x0 是 f(x)的极值点,则 f ' ( x0 )=0 分析: (1)对谁运算:x∈R
运算法则:什么也不是,想性质(单调性、奇偶性,周期性)

(2)对于 A(作图) 有图看出:A 正确

对于 B 作图?

对于 C 作图 有图可以看出: (-∞,x1)增函数 (x1,x0)减函数 C 错误 D、若 x0 是 f(x)的极值点,
21

22

有图可以看出,切线斜率 f ' ( x0 )=0 D 正确

18、 (2013·浙江理)8.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f ( x) ? (e x ?1)(x ?1)k (k ? 1,2) ,则 ( ) A. 当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 B. 当 k ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 C. 当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 D. 当 k ? 2 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 分析:对谁运算:x∈R (求导) 运算法则 :什么也不是,想性质。 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” f/(x)=ex(x-1)k+k(ex-1)(x-1)k-1 (1) k=1 时, f/(x)=ex(x-1)+(ex-1)(x-1)0= ex x – 1, 当 f/(x)=0,即 ex= (作图) 0<X0<1, 当 x= X0 时,f(x)取得极小值,所以 A、B 错误。 (2)k=2 时 f/(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)1= (x-1) (x ex+ ex-2) x>1 时,f/(x)>0,0<x<1,f/(x)<0 所以:x=1 时,是极小值点 故选 C
1 x

22

23

19(2013·福建理 17.) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) (2)求函数 f ( x) 的极值 分析:对谁运算:x>0 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” a x?a ,x ? 0 (1) f ?( x ) ? 1 ? ? x x ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ;

? x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0

? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值.

20、 (2013·新课标Ⅱ理) (21)已知函数 f(x)= e x -ln(x+m). (Ι )设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)?当 m≤2 时,证明 f(x)>0. 分析:对谁运算:x>-m 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” 1 f ' ( x) ? e x ? x?m
23

24

(1)x=0 是 f(x)的极值点,所以: f ' (0) ? 1 ?
1 e x ( x ? 1) ? 1 所以: f ( x) ? e ? = (x>-1) x ?1 x ?1
' x

1 ? 0 ,解得:m=1 m

令 g(x)=ex(x+1)-1(x>-1) 对谁运算:x>-1 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” g/(x)= ex(x+1)+ ex= ex(x+2) (x>-1), x>-1 时,g (x)>0 所以 g ( x) 在(-1,+∞)上是增函数, 又因为 g (0) ? 0 , 所以当 x ? 0 时,g ( x) ? 0 , 即 f ' (x ) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 0 , f ' ( x) ? 0 ,所以
f ( x) 在 (?1, 0) 上是减函数;在 (0, ??) 上是增函数.
/

(2)、①欲证:当 m≤2 时,证明 f(x)>0. 只要证明:当 m≤2, e x -ln(x+m) >0 即证明:当 m≤2, e x > ln(x+m) 有图象 ln(x+m)为增函数,当 m≤2 时,ln(x+m) ≤ln(x+2) 只要证明: e x > ln(x+2)即可 即: e x - ln(x+2) >0 ②、令 g(X)= e x - ln(x+2) 对谁运算:x>-2 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” g/(X)= e x e x ( x ? 2) ? 1 1 = x?2 x?2

令 h(x)=ex(x+2)-1,求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” h/(x)= ex(x+3) ,( x>-2), h/(x)> 0,
24

25

所以:x>-2 时,h(x)为增函数。 h(x)=ex(x+2)-1=0 得到:ex=
1 x?2

有图可以看出,-1<x0<0 在 X0 处取 g(X)得最小值 g(x0)= e x 0 - ln(x0+2)?

方法二:有图可以看出: e x > ln(x+2)

21. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )若曲线 y ? kx ? ln x

1, k 在点 ? ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.
分析: (Ⅰ)对谁运算:x>0 运算法则:什么也不是,想性质。求导
1 f (x)=k+ x
/

看到点(1,k)想点的位置与点满足的关系 (1,k)为切点,已知点满足的关系,求点所在的位置 看到切线想三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 / f (1)=k+1,得:1+k=0,所以:k=-1 22.设 f ( x) ? ae x ?
1 ? b(a ? 0) 。 ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?
3 x ;求 a , b 的值。 2
25

26

分析:令 t=aex,则 f(t)=t+ +b,因为:x≥0,所以:ex ≥1,所以:t≥a(a>0) (1) 对谁运算:t≥a, (a>0) 运算法则:对号函数 运算结果:作图 ①当 0<a<1 时,因为:t≥a, 所以:当 t=1 时,f(1)min=2+b ②当 a≥1 时,因为:t≥a,函数 f(t)=t+ +b 在 [1,+∞ )增函数 所以:f(a)min=a+ (2)
1 +1 a 1 t

1 t

看到点(2,)想点的位置与点满足的关系 (1,f(2))为切点,已知点满足的关系,求点所在的位置 看到切线想三个方面的问题:
①、切点在曲线上:f(2)=ae +

1 +b ae 2 1 2 ②、切点在切线上: y-(ae + 2 +b)=k(x-2) ae
2

③、导数即斜率:

,k=f/(2)= ae 2 ?

1 3 = 2 ae 2

得到方程组: ?

? ?

f (2) ? 3

3 k ? f / (2) ? ? 2 ?

设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

3 x ;求 a , b 的值。 2

26

27

23.【2012 高考真题北京理 18】 (本小题共 13 分)

看到点(1,c)想点的位置与点满足的关系 (1,c)为切点,已知点满足的关系,求点所在的位置 看到切线想三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 / f (x)=2ax, f/(1)=2a;f(1)=a+1=c g/(x)=3x2+b, g/(1)=3+b;g(1)=1+b=c 所以:2a=3+b;且 a+1=1+b;得到:a=b=3 (2)令 h(x)=ax +1+x + 对谁运算:x∈R, 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点”
1 a a (作图) h?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 2 6 4 ,
2 3

分析:(1)

a2 x(a>0) 4

①若 ?1≤ ? ,即 a≤2 时,最大值为 h(1) ? a ?

a 2

a2 ; 4

a a ② 若 ? ? ?1 ? ? , 即 2 ? a ? 6 时 , 最 大 值 为 2 6
? a? h? ? ? ?1 ? 2?

27

28

a? a ③若 ?1≥ ? 时,即 a≥6 时,最大值为 h ? ?? ? ?1.

6

? 2?

综上所述:
a2 a? 当 a ? ? 0 ,2? 时,最大值为 h(1) ? a ? ;当 a ? ? 2 , ? ?? 时,最大值为 h ? ?? ? ?1. ? 2? 4
? 原函数在 ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单调递增 2 2 6 6
? ? ? ? a? ? a ? a? ? a ? ? ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0 24 . ( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 ) ) 已 知 函 数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 ?ln x, x ? 0 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x2 .
指出函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)?若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象在点 A, B 处的切 线重合,求 a 的取值范围. 分析:(Ⅰ)对谁运算:x≠0 运算法则:情况不同,结果不同 运算结果:作图: 函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ??, ?1? , 单调递增区间为 ? ?1,0? , ? 0, ?? ? (Ⅱ) 看到切线想三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 又, x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 .

所以:f(x1)=x21+2x1+a, (x<0) ;f(x2)=x22+2x2+a;(x<0) K1= f/(x1)=2 x1+2;K2= f/(x2)=2 x2+2, K1 K2=-1,即(2 x1+2) (2 x2+2=-1
(x1+1) (x2+1)=- ,又 x1 ? x2 ,所以:x2+1>0,x1+1<0.
1 4

x2- x1= x2+1-x1-1=(x2+1)+[-(x1+1)]≥ 2 所以:x2- x1 的最小值为 1

( x 2 ? 1)[ ?( x1 ? 1)] ? 2

1 1 ? 2 ? ?1 4 2

28

29

2 (x<0);h(x)=lnx, (x>0) ? ??? ? 令 g(x)= x +2x+a,

看到切线想三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 / g (x)=2x+2,在 x<0 时是增函数,因此 k1 不可能等于 k2

h/(x)=lnx,在 x>0 时是减函数,因此 k1 不可能等于 k2
又 x2>x1, 所以:f(x1)=x 1+2x1+a, (x1<0)
2

f(x2)=lnx2, (x>0) ①k1= f/(x1)=2x1+2,过点( x1, x21+2x1+a)的切线方程,有点斜式得:
y ? ? x12 ? 2 x1 ? a ? ? ? 2 x1 ? 2 ?? x ? x1 ? ,整理的: y ? ? 2x1 ? 2? x ? x12 ? a

②k2= f/(x2)=
y ? ln x2 ?

1 ,过点(x2,lnx2)的切线方程,有点斜式得: x2

1 1 ? x ? x2 ? ,整理得: y ? ? x ? ln x2 ? 1. x2 x2

③有(1)知,k2>0,两切线重合,k1=k2 所以:k1>0,即 f(x1)=x21+2x1+a, (x1 <0)为增函数,所以:-1<x1<0
? 1 ? ? 2 x1 ? 2 ? x2 ?ln x ? 1 ? ? x 2 ? a ? 2 1
消去 x2 得: a ? x12 ? ln

① ②

且-1<x1<0

1 ? 1 ? x12 ? ln ? 2 x1 ? 2 ? ? 1 . 2 x1 ? 2

令 h ? x1 ? ? x12 ? ln ? 2x1 ? 2? ?1(?1 ? x1 ? 0) , 对谁运算:-1<x1<0 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” 则 h? ? x1 ? ? 2 x1 ?

1 ? 0. x1 ? 1

所以 h ? x1 ?? ?1 ? x1 ? 0? 是减函数.
29

30

则 h ? x1 ? ? h ? 0? ? ? ln 2 ?1 , 所以 a ? ? ln 2 ? 1 . 又当 x1 ? (?1,0) 且趋近于 ?1 时, h ? x1 ? 无限增大,所以 a 的取值范围是 ? ? ln 2 ?1, ??? . 故当函数 f ( x) 的图像在点 A, B 处的切线重合时, a 的取值范围是 ? ? ln 2 ?1, ???

25.【2012 高考真题新课标理 21】(本小题满分 12 分) 1 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ; 2 (1)求 f ( x) 的解析式及单调区间;
1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2 分析:(1)①、本题是求系数,解方程的问题 对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是,想性质。求导

(2)若 f ( x) ?

f/(x)= f/(1)e f/(1)= f/(1)e

x-1

-f(0)+x -f(0)+1,得到:f(0)=1
x-1

1-1

所以:f (x)= f/(1)e f (0)= f/(1)e
0-1

-x+ x2,

1 2

-0+0,得到:f/(1)=e
1 2 x 2

所以: f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? e x ? x ?

②、对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” f/(x)= e +x-1 令 g(x)= e +x-1 对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” g/(x)= e + 1>0 所以:g(x)= e +x-1 在 R 上是增函数 g(0)= e +0-1=0
30
0 x x x x

31

即 x>0 时,g(x) >0,f(x)在(0,∞)上是增函数 即 x<0 时,g(x) <0,f(x)在(0,∞)上是减函数 所以:函数 f(x)单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) (2)若要证明: f ( x) ?
1 2 1 2

1 2 x ? ax ? b , 2

只要 ex-x+ x 2 ≥ x 2 +ax+b 即 g(x)=ex-(a+1)x-b≥0 即可 对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” / x h (x)=e -(a+1) ①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当 x ? e 时, F ( x ) max ?
e 2 e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

26 . ( 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) )已知 a 为常数,函数

f ( x ) ? x ? ln x ? ax ?

有两个极值点 ( )

x1 , x2 ( x1 ? x2 )
A. C

,则
1 2

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?
f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? 1 2

1 2



分析:对谁运算:x>0, 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的: 判断导函数值的 “+” 、 “-” 、 “0” 对应的“增” 、 “减” 、 “极值点”
f ' ( x) ? ln x ? 2ax ? 1 =0 有两个零点,解方程,找
31

32

零点(作图)lnx-2ax+1=0,即 ln x ? 2ax ? 1 有两个交点 有图可知: 0 ? a ?
1 ,且 0 ? x1 ? 1 ? x2 2

因为在 ( x1 , x2 ) 上 f ( x) 递增,所以 f ( x1 ) ? f (1) ? f ( x2 ) , 即 f ( x1 ) ? ?a ? f ( x2 ) ,
1 所以 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? .故选 D. 2
27.(2014 广东广州高三调研测试,12) 已知点 线在点 处的切线的倾斜角,则 在曲线 (其中 为自然对数的底数)上, 为曲

的取值范围是_______.

分析:看到切线想三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 求 导 数 : k=tan

α

=y/=

=
令 ex=t, (t>0)

tan α =-

4 4 ≥=-1 1 2?2 t? ?2 t

又因为

,所以

,故

.

32

33

28.(2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测 , 5) 已知曲线 ,则切点的横坐标为( A. 3 B. 2 C. 1 ) D.

的一条切线的斜率为

分析:看到切线想三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 求导:f(x)/= x- ,设切点横坐标为 x0, f(x0)/= x01 2
3 1 =- ,解方程得:x0=2 或 x0=-3,又 x0>0,所以:x0=-3(舍去) x0 2

1 2

3 x

故所求切点的横坐标为 2.

29.(2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 9) 已知 的图象是( )





的导函数,则

分析:一般的,函数图象问题从以下几个问题考虑:

①:首先考虑:对谁运算(定义域) ②:其次考虑:什么也不是,想性质(奇偶性、单调性、周期性等)
33

34

③:最后识图:特值验证、趋势验证等

=

1 2 x ? cos x 4

奇函数,排除 B, D。又

,所以排除 C。答案:A

30.(2014 江西重点中学协作体高三第一次联考数学(理)试题,6)若 的解集为( )

,则

A.

B.

C.

D.

分析:对谁运算:x>0,运算法则:什么也不是,想性质。求导

>0,且



2-2x2>0,二次函数,对称轴,解方程,

解得

.

31.(2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测, 13) 设 , ,则实数 的 取值范围是 .

是函数

的两个极值点,若

分析:对谁运算:x∈R 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点” f/(x)= 3x2-4ax+a2,

g(x)= 3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a), (作图) 二次函数:对称轴,解方程
34

35

,故实数 的取值范围是

.答案

32.(2014 重庆一中高三下学期第一次月考,7)已知函数 有三个不同的公共点,则实数 的取值范围是( )

的图像与 轴恰好

(A)

(B)

(C)

(D)

分析:函数 即导函数有两个零点

的图像与 轴恰好有三个不同的公共点(见图)

=0

令 g(x)=(x-1)(x+1),二次函数,对称轴、解方程(作图) 所以,x=-1 时,为极大值点 x=1 时,为极小值点 f(-1)>0,且 f(1)<0

, 解得 答案: C

.

35

36

33. 安徽合肥高三第二次质量检测,21) 已知函数



).

(Ⅰ)当

时,求曲线

在点

处的切线方程; 的最小值.

(Ⅱ)?若函数

存在最大值

,求

分析:(1)看到切线想三个方面的问题: ①、切点在曲线上 ②、切点在切线上 ③、导数即斜率 求导:f/(x)=1-axlna a=3 时,f/(x)=1-3xln3 =k,又 ,过点(1,-2),有点斜式得:

所以

切线方程为

, .

整理得:

(Ⅱ)对谁运算:x∈R, 运算法则:什么也不是,想性质。求导 求导的目的:判断导函数值的“+” 、 “-” 、 “0”对应的“增” 、 “减” 、 “极值点”

36

37

① 当 极大值.

时,



,所以

,所以



上是增函数,



②当

时,设方程

的根为 ,则

,即



所以



上为增函数,

上为减函数,(9 分)

所以

的极大值为

,即



因为

,所以





,则

,令

,则



所以



上为减函数,在

上为增函数,

所以

的最小值为

,即

的最小值为

,此时

.

37



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