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1常州市奔牛高级中学2012-2013学年高三(上)第一次段考数学试卷



2012-2013 学年江苏省常州市奔牛高级 中学高三(上)第一次段考数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案直接写在答题纸上) 1. 分)命题 p:“?x∈R,使得 x2 +x+1<0”,则¬p: (5 考点: 命题的否定.
2 分析: 根据命题 p:“?x∈R,使得 x +x+1<0”是特称命题,其否定为全称命题,

将“存在”改 为“任意的”,“<“改为“≥”即可得答案. 2 解答: 解:∵命题 p:“?x∈R,使得 x +x+1<0”是特称命题 ∴¬p:?x∈R,均有 x2 +x+1≥0

?x∈R,均有 x2+x+1≥0



故答案为:?x∈R,均有 x2 +x+1≥0. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题. 这里注意全称命题的否定为特称 命题,反过来特称命题的否定是全称命题. 2. 分) (5 (2010?卢湾区一模)已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,6},B={1, 2},则(CUA)∩B {2} .

考点: 补集及其运算;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据全集和集合 A 求出集合 A 的补集,然后求出集合 A 补集与集合 B 的交集即可. 解答: 解:由全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,3,6}, 得到 CUA={2,4,5},又 B={1,2}, 则(CUA)∩B={2}. 故答案为:{2} 点评: 此题考查学生会进行补集及交集的运算,是一道基础题.学生在求补集时注意全集的 范围. 3. 分)命题 p:a∈M={x|x2 ﹣x<0};命题 q:a∈N={x||x|<2},p 是 q 的 (5 件. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.
2 分析: 命题 p: a∈M={x|x ﹣x<0}, 解出 0<x<1; 命题 q: a∈N={x||x|<2}, 解出﹣2<x<2, 然后判断充要条件. 2 2 解答: 解: 命题 p: a∈M={x|x ﹣x<0}, 可知 x ﹣x<0 时 M={x|0<x<1}; 命题 q: a∈N={x||x| <2},得到|x|<2 时 N={x|﹣2<x<2},显然 a∈M 则 a∈N,即 p?q;a∈N 时则 a 不一 定∈M,q 不能推出 p,p 是 q 的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要.

充分不必要 条

点评: 正确解不等式是解好本题的关键,明确推理判断好充要条件.

4. 分)已知 α 是第二象限的角,且 sin(π+α)=﹣ ,则 tan2α 的值为 (5





1

考点: 二倍角的正切. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式化简已知的 sin(π+α) ,即可求出 sinα 的值,然后根据 α 是第二象限的 角,利用同角三角函数间的基本关系即可求出 cosα 的值,进而求出 tanα 的值,把所 求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后,把 tanα 的值代入即可求出值. 解答: 解:由 sin(π+α)=﹣ ,得 sinα= , ∵α 是第二象限的角, ∴cosα=﹣ ,从而得 tanα=﹣ ,

∴tan2α=

=

=﹣



故答案为:﹣



点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正切函数公式化简求 值,是一道基础题.做题时注意利用 α 是第二象限的角这个条件.

5. 分)已知平面向量 =(﹣1,1) =(x﹣3,1) (5 , ,且 ⊥ ,则 x=

4



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 先计算两个向量的数量积,再利用两个向量垂直的充要条件为两向量的数量积为 0, 即可列方程解得 x 的值 解答: 解:∵ ⊥ ? ? =0, ∵ =(﹣1,1) =(x﹣3,1) , , ∴(﹣1,1)?(x﹣3,1)=0, 即 3﹣x+1=0 解得 x=4 故答案为 4 点评: 本题主要考查了向量数量积的坐标运算,向量数量积运算的运算性质,向量垂直的充 要条件等基础知识

6. 分)设 (5 c .

,则 a,b,c 从小到大的关系为 a<b<

考点: 有理数指数幂的化简求值;不等关系与不等式. 专题: 综合题. 分析: 运用指数函数的单调性得到 a<1,化简 c 后,运用幂函数的单调性得到 c>b>1.
2

解答: 解:

<0.160 =1, >1.5
0.75

>1.5 =1,

0

所以 a<b<c. 故答案为 a<b<c. 点评: 本题考查了有理指数幂的化简与求值,考查了指数函数和幂函数的单调性,此题是基 础题. 7. 分) (5 (2005?江苏)已知 a,b 为常数,若 f(x)=x2 +4x+3,f(ax+b)=x2 +10x+24,则 5a﹣b= 2 . 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: ax+b 代入函数 f(x)的解析式求出 f(ax+b) 将 ,代入已知等式,令等式左右两边的 对应项的系数相等,列出方程组,求出 a,b 的值.
2 2 解答: 解:由 f(x)=x +4x+3,f(ax+b)=x +10x+24,得

(ax+b) +4(ax+b)+3=x +10x+24, 即 a2 x2 +2abx+b2 +4ax+4b+3=x2 +10x+24.

2

2

比较系数得

求得 a=﹣1,b=﹣7,或 a=1,b=3,则 5a﹣b=2. 故答案为 2 点评: 本题考查知 f(x)的解析式求 f(ax+b)的解析式用代入法.

8. 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 (5

,则

=

2



考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: : 设幂函数 y=f x) ( 的解析式为 (x) α, f =x 根据幂函数 y=f x) ( 的图象过点 求出 α 的值,可得函数的解析式,从而求得 的值.

解答: α 解: 设幂函数 y=f x) ( 的解析式为 (x) , f =x 由幂函数 y=f x) ( 的图象过点 可得 =3 ,∴α=﹣ ,∴f(x)=
α



3



=

=2,

故答案为 2. 点评: 本题主要考查幂函数的定义,用待定系数法求函数的解析式,求函数的值,属于基础 题.

9. 分) (5 已知三次函数 ﹣2)∪(2,+∞) .

在 R 上有极值, 则实数 b 的范围为 (﹣∞,

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: ′ 先求出 f (x) ,根据三次函数 两个不等的实数根,解出即可. 解答: 解:∵ 已知三次函数 ,∴f′(x)=x2 +bx+1. 在 R 上有极值?f (x)=0 有两个不等的实数
′ ′

在 R 上有极值?f (x)=0 有

根?△ =b2 ﹣4>0,解得 b<﹣2,或 b>2. 故答案为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 点评: 正确理解函数有极值的条件是解题的关键.

10. 分)设函数 (5 +∞) .

,则不等式 f(x)≤2 的解集为

[0,

考点: 指、对数不等式的解法;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 1 ﹣x 分析: 根据题意,分情况讨论:x≤1 时,f(x)=2 ≤2;x>1 时,f(x)=1﹣log2 x≤2,分别 求解即可.
1 x 解答: 解:x≤1 时,f(x)=2 ≤2, 解得 x≥0,因为 x≤1,故 0≤x≤1;


x>1 时,f(x)=1﹣log2 x≤2,解得 x≥ ,故 x>1. 综上所述,不等式 f(x)≤2 的解集为[0,+∞) . 故答案为:[0,+∞) . 点评: 本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点,属基本题,难度不 大. 11. 分)若函数 y=loga(3﹣ax) 在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 (1,3) . (5

4

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 由于 函数 y=loga(3﹣ax) 在[0,1]上是减函数,故 a>1,且 3﹣a>0,由此求得 a 的取值范围. 解答: 解:由于 函数 y=loga(3﹣ax) 在[0,1]上是减函数,故 a>1,且 3﹣a>0,∴3>a >1, 故答案为: (1,3) . 点评: 本题考查对数函数的单调性和特殊点,得到 a>1,且 3﹣a>0,是将诶提的关键. 12. 分)若函数 f(x)=ex ﹣2x﹣a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是 (5 (2﹣2ln2,+∞) . 考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 画出函数 f(x)=ex ﹣2x﹣a 的简图,欲使函数 f(x)=ex ﹣2x﹣a 在 R 上有两个零点, 由图可知,其极小值要小于 0.由此求得实数 a 的取值范围.
x 解答: 解:令 f, (x)=e ﹣2=0,则 x=ln2,

∴x>ln2,f, (x)=e ﹣2>0; x<ln2,f, (x)=e ﹣2<0; ∴函数 f(x)在(ln2,+∞)上是增函数,在(﹣∞,ln2)上是减函数. ∵函数 f(x)=ex ﹣2x﹣a 在 R 上有两个零点, 所以 f(ln2)=2﹣2ln2﹣a<0, 故 a>2﹣2ln2. 故填: (2﹣2ln2,+∞) .
x

x

点评: 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方 法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数 形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷.

5

13. 分)对于二次函数 f(x)=4x2 ﹣2(p﹣2)x﹣2p2 ﹣p+1,若在区间[﹣1,1]内至少存 (5 在一个数 c 使得 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是 (﹣3,1.5) . 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由于二次函数 f(x)=4x2 ﹣2(p﹣2)x﹣2p2 ﹣p+1 的图象是开口方向朝上的抛物线, 故二次函数 f(x)=4x ﹣2(p﹣2)x﹣2p ﹣p+1 在区间[﹣1,1]内至少存在一个实数 c, f(c)>0 的否定为对于区间[﹣1,1]内的任意一个 x 都有 f(x) 使 ≤0,即 f(﹣1) , f(1)均小于等 0,由此可以构造一个关于 p 的不等式组,解不等式组即可求出实数 p 的取值范围. 解答: 解:二次函数 f(x)在区间[﹣1,1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0 的否定是: 对于区间[﹣1,1]内的任意一个 x 都有 f(x)≤0, ∴
2 2



整理得

解得 p≥ ,或 p≤﹣3, ∴二次函数在区间[﹣1,1]内至少存在一个实数 c, 使 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是 (﹣3, ) . 点评: 本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系, 其中根据二次函数的图 象是开口方向朝上的抛物线, 得到对于区间[﹣1, 1]内的任意一个 x 都有 f(x) 时, ≤0 是解答本题的关键.

14. 分)定义在 R 上的函数 f(x) 满足 (5 函数. 给出下列命题: (1)函数 f(x) 的最小正周期为 ; (2)函数 y=f(x) 的图象关于点 对称;



为奇

(3)函数 y=f(x) 的图象关于 y 轴对称.其中真命题有 (2) (3) 考点: 函数的周期性;奇偶函数图象的对称性. 专题: 计算题.

. (填序号)

6

分析: 本题可先由恒等式 由函数

得出函数的周期是 3,可以判断(1) ,再 是奇函数求出函数的对称点来判断(2) (3) ,综合可得答案. ,

解答: 解:由题意定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 故有 故(1)错; 又函数 是奇函数, 对称, 恒成立,故函数周期是 3,

故函数 y=f(x)的图象关于点

由此知(2) (3)是正确的选项, 故答案为: (2) (3) 点评: 本题考查奇偶函数图象的对称性, 求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清 楚,解答关键是得出函数是周期函数. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分)设 α 为锐角, ,求 tanα 和 tanβ 的值.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 依题意,可求得 sinα,从而可求得 tanα;利用 tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]可求得 tanβ 的 值. 解答: 解:由 α 为锐角,cosα= 得 sinα= , ∴tanα= ﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) 又 tan(α﹣β)= , ∴tanβ=tan[α﹣(α﹣β)] =

=

=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

点评: 本题考查两角和与差的正切函数,变换出 tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]是关键,考查角的变 换,属于中档题.

16. (14 分) (1)证明函数 f(x)=x+

在 x∈[2,+∞)上是增函数;

7

(2)求 f(x)在[4,8]上的值域. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)用定义证明,则先在给定的区间上任取两个变量,且界大小,再作差变形看符 号,若自变量与相应函数值变化一致,则为增函数,若自变量变化与相应函数值变化 相反时,则为减函数. (2)已经知道 f(x)为增函数,根据函数的单调性,可以求出其值域; 解答: 证明: (1)设 2<x1 <x2 ,则 f(x1 )﹣f(x2 )=x1 + =(x1 ﹣x2 ) (1﹣ ∵2<x1 <x2 ∴x1 ﹣x2 <0,x1 x2 >4 即 0< ∴1﹣ >0, <1, ﹣x2 ﹣ ) =x1 ﹣x2 +

∴f(x1 )﹣f(x2 )<0,即 f(x1 )<f(x2 ) ∴f(x)是增函数; (2)由(1)知 f(x)在[4,8]上是增函数, f(x)max =f(8)= ;

f(x)min =f(4)=5, ∴f(x)的值域为:[5, ];

点评: 本题主要考查用单调性定义如何来证明函数单调性的,要注意几点:一是自变量的任 意性,二是来自相应的区间,三是变形要到位,要用上已知条件; 17. (12 分) (2010?韶关模拟)设函数 f(x)=2x3 +3ax2 +3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立,求 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: (1)依题意有,f'(1)=0,f'(2)=0.求解即可. (2)若对任意的 x∈[0,3],都有 f(x)<c2 成立?f(x)max <c2 在区间[0,3]上成 立,根据导数求出函数在[0,3]上的最大值,进一步求 c 的取值范围. 解答: (Ⅰ)f'(x)=6x2 +6ax+3b, 解: 因为函数 f(x)在 x=1 及 x=2 取得极值,则有 f'(1)=0,f'(2)=0. 即 解得 a=﹣3,b=4.
8

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f(x)=2x3 ﹣9x2 +12x+8c,f'(x)=6x2 ﹣18x+12=6(x﹣1) (x ﹣2) . 当 x∈(0,1)时,f'(x)>0; 当 x∈(1,2)时,f'(x)<0; 当 x∈(2,3)时,f'(x)>0. 所以,当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=5+8c,又 f(0)=8c,f(3)=9+8c. 则当 x∈[0,3]时,f(x)的最大值为 f(3)=9+8c. 因为对于任意的 x∈[0,3],有 f(x)<c2 恒成立, 所以 9+8c<c , 解得 c<﹣1 或 c>9, 因此 c 的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞) . 点评: 本题考查了导数的应用: 函数在某点存在极值的性质, 函数恒成立问题题, 而函数①f (x) 2 在区间[a, <c b]上恒成立与②存在 x∈[a, 使得 (x) 2 是不同的问题. b], f <c ①?f 2 2 (x)max <c ,②?f(x)min <c ,在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在” 问题.在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用.
2

18. (12 分)已知函数 (1)求 m+n 的值; (2)设 的取值范围.

是奇函数,

是偶函数.

,若 g(x)>h[log4 (2a+1)]对任意 x≥1 恒成立,求实数 a

考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 g(x)为定义在 R 上的奇函数,得 g(0)=0,解得 n=1;再根据偶函数满足 f(﹣x)=f(x) ,比较系数可得 m=﹣ ,由此即可得到 m+n 的值. (2)由(1)得 h(x)=log4 (4x +1) ,易得 h[log4 (2a+1)]=log4 (2a+2) .而定义在 R 上的增函数 g (x) x≥1 时的最小值为 g 在 (1) , = 从而不等式转化成 >log4 2a+2) ( , 由此再结合真数必须大于 0,不难解出实数 a 的取值范围. 解答: (1)由于 g(x)为奇函数,且定义域为 R, 解: ∴g(0)=0,即 ,…(3 分)

∵ ∴ ∵f(x)是偶函数,

, ,

∴f(﹣x)=f(x) ,得 mx=﹣(m+1)x 恒成立,故



9

综上所述,可得 (2)∵

;…(4 分) ,

∴h[log4 (2a+1)]=log4 (2a+2) ,…(2 分) 又∵ 在区间[1,+∞)上是增函数,

∴当 x≥1 时,

…(3 分)

由题意,得



因此,实数 a 的取值范围是:

.…(3 分)

点评: 本题给出含有指数和对数形式的函数,在已知奇偶性的情况下求参数 m、n 的值,并 讨论不等式恒成立的问题,着重考查了对数函数图象与性质的综合应用、函数的奇偶 性和不等式恒成立等知识点,属于中档题. 19. 分) (16 如图, 现有一个以∠AOB 为圆心角、 湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB. 现 欲在弧 AB 上取不同于 A,B 的点 C,用渔网沿着弧 AC(弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上) 、 半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA) ,在该扇形湖面内隔出两个养殖区域﹣﹣养殖区域Ⅰ 和养殖区域Ⅱ.若 OA=1cm, ,∠AOC=θ.

(1)用 θ 表示 CD 的长度; (2)求所需渔网长度(即图中弧 AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

考点: 正弦定理的应用;根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)先确定∠COD,再在△ OCD 中,利用正弦定理,可求 CD 的长度; (2)根据所需渔网长度,即图中弧 AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和,确定函数的 解析式,利用导数确定函数的最值,即可求得所需渔网长度的取值范围. 解答: 解: 由 CD∥OA, (1) ∠AOB= ﹣θ. , ∠AOC=θ, 得∠OCD=θ, ∠ODC= , ∠COD=

10

在△ OCD 中,由正弦定理,得 CD= (2)设渔网的长度为 f(θ) . 由(1)可知,f(θ)=θ+1+ 所以 f′(θ)=1﹣ cos( sin(

sin(

) ,θ∈(0,

) 分) (6

)(8 分) . ) ,因为 θ∈(0, ) ,所以 ﹣θ∈(0, . ) ,

令 f′(θ)=0,得 cos( θ f′(θ) f(θ) 所以 f(θ)∈(2, (0, + )

)=

,所以 (

﹣θ= ,

,所以 θ= )

0 极大值 ].



故所需渔网长度的取值范围是(2,

]. (14 分)

点评: 本题考查正弦定理的运用,考查函数模型的构建,考查利用导数确定函数的最值,确 定函数的解析式是关键. 20. (12 分) (2012?虹口区二模)已知:函数 g(x)=ax2 ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间 [2,3]上有最大值 4,最小值 1,设函数 f(x)= (1)求 a、b 的值及函数 f(x)的解析式; (2)若不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]时恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)如果关于 x 的方程 f(|2 ﹣1|)+t?( t 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;复合函数的单调性;根的存在性及 根的个数判断. 专题: 综合题.
2 分析: (1)根据函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,可知函数在区间[2,3]上是单调 函数,故可建立方程组,从而可求 a、b 的值及函数 f(x)的解析式; (2)利用分离参数法,求出函数的最值,即可得到结论; x x x



﹣3)=0 有三个相异的实数根,求实数

(3)根据 f(|2x ﹣1|)+t?(

﹣3)=0,可得|2x ﹣1|+

+



3t﹣2=0,利用换元法 u=|2x ﹣1|>0,转化为 u2 ﹣(3t+2)u+(4t+1)=0,当 0<u1 <1 <u2 时,原方程有三个相异实根,故可求实数 t 的取值范围. 解答: (1)g(x)=ax2 ﹣2ax+1+b,函数的对称轴为直线 x=1,由题意得: 解:

11









(舍去)

∴a=1,b=0…(4 分) ∴g(x)=x2 ﹣2x+1, …(5 分)

(2)不等式 f(2x )﹣k?2x ≥0,即 k 设 ,∴ ,∴k≤(t﹣1)2

…(9 分)

∵(t﹣1)2 min =0,∴k≤0…(11 分) (3)f(|2x ﹣1|)+t?(
x 2

﹣3)=0,即|2x ﹣1|+

+

﹣3t﹣2=0.

令 u=|2 ﹣1|>0,则 u ﹣(3t+2)u+(4t+1)=0…(①…(13 分) 记方程①的根为 u1 ,u2 ,当 0<u1 <1<u2 时,原方程有三个相异实根, 记 φ(u)=u2 ﹣(3t+2)u+(4t+1) ,由题可知,



.…(16 分)



时满足题设.…(18 分)

点评: 本题考查函数的单调性,考查函数的最值,考查分离参数法求解恒成立问题,考查函 数与方程思想,属于中档题.

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