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高三数学限时训练9


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绝密★启用前

2013-2014 学年度西宁城中校区高三数学限时训练 9
考试时间:60 分钟;命题人:杨平 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(每题 4 分) 1.右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应 填入( )

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

N 1000 4N B。 P ? 1000 M C。 P ? 1000 4M D。 P ? 1000
A。 P ?

2 2 2 2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小

值为( A、

) B、

3 2

2 2

C、

1 2

D、 ?

1 2

3.两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各 人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) A、10 种 B、15 种 C、20 种 D、30 种

试卷第 1 页,总 5 页

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4.设函数 f ( x) ? xe x ,则( A、 x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C、 x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点

) B、 x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D、 x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点[来

5.从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用 茎叶图表示 (如图所示) , 设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ,x乙 , 中位数分别为 m甲 ,

m乙 ,则(



A x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 B x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 C x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 D x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

6.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线

BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为(
A、



5 5

B、

5 3

C、

2 5 5

D、

3 5

7.已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3, 0) 的直线,则(
2 2



A、 l 与 C 相交 C、 l 与 C 相离

B、 l 与 C 相切 D、以上三个选项均有可能

8.设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A、充分不必要条件 C、充分必要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

b 为纯虚数”的( i



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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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9.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A、 y ? x ? 1 B、 y ? ? x2 C、 y ?



1 x

D、 y ? x | x |

10.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x2 ? 4} ,则 M A、 (1, 2) B、 [1, 2) C、 (1, 2]

N ?(
D、 [1, 2]



第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(每题 4 分) 11.直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为 12. 如图, 在圆 O 中, 直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E,EF ? DB , 垂足为 F, 若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

13.若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 14. 设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 ,D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) ??2 x ? 1, x ? 0

处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 15.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米

16. (a ? x) 展开式中 x 的系数为 10, 则实数 a 的值为
5
2

17.观察下列不等式

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
?? 照此规律,第五个 不等式为 ...
试卷第 3 页,总 5 页

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评卷人

得分 三、解答题(每题 10 分)

18.某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整 数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时。 (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 19.已知椭圆 C1 : 4
(1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方 程

20.设 ?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列。
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

? ? ? ? ○ ? ? ? ? 内 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 装 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 订 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? 线 ? ? ? ? ○ ? ? ? ? (2)设 ? ? (0,

对称轴之间的距离为

21.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

(1)求函数 f ( x) 的解析式;

?
? , 2

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值 2 2

?

?

6

(1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条

试卷第 5 页,总 5 页

Sk , Sk ?1 成等差数列

参考答案 1.D 【考点定位】本题主要考察算法的基本思想和功能以及结构 【解析】由循环体可知结果 P ?

4M . 1000

2.C 【考点定位】本题主要考察用余弦定理解三角形和利用基本不等式求最值 【 解 析 】 由 余 弦 定 理 结 合 基 本 不 等







a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? b2 ? c 2 c2 1 cos C ? ? ? 1? 2 ? . 2 2 2ab a ?b 2c 2
3.C 【考点定位】该题主要考察分类组合的实际应用,把握分类,正确运用组合是关键 【 解 析 】 某 一 个 队 获 胜 可 以 分 成 3 中 情 况 , 得 分 3:0,4:1,5:2 ; 方 法 数 为
2 2 1 ( 1+C3 ? C4 ) ? C2 ? 20.

4.D 【考点定位】此题主要考察用导数求函数的极值点,判断单调性等 【解析】

f ?( x) ? (1 ? x)e x ,?当x ? ?1时, f ?( x) ? 0,f ( x)减少; 当x ? ?1时, f ?( x) ? 0,f ( x)增加, ?极小值点为x ? ?1.
5.B 【考点定位】该题主要考查统计图表和样本数据特征以及数据处理能力 【 解 析 】 从 茎 叶 图 来 看 乙 中 数 据 集 中 , 甲 比 较 分 散 , 所 以

x甲 ? x乙,又m甲 =

18+22 27+31 =20 ? m乙 = =29.? 选B. 2 2

6.A 【考点定位】 本题主要考查用空间向量求异面直线夹角的余弦值, 是向量在空间几何中的应 用 【解析】

设CB=1,则CC1 =CA=2,A(2,0,0),B(0,0,1),C1 (0, 2, 0), B1 (0, 2,1), ? AB1 ? (?2, 2,1), BC1 ? (0, 2, ?1), cos AB1 , BC1 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 2 ? 1? (?1) (?2) 2 ? 22 ? 1 ? 22 ? (?1) 2 ? 5 .故选A. 5

7.A 【解析】略 8.B 【考点定位】 此题主要考察充分必要条件和复数的概念以及它们之间的逻辑关系, 掌握概念 是根本

答案第 1 页,总 5 页

b 当ab=0时,a=0或b=0,a+ 不一定是纯虚数, i 【解析】 b 反之当a+ 是纯虚数时,a=0,b ? 0,ab=0,因此B正确. i
9.D 【考点定位】该题主要考察函数的奇偶性和单调性,理解和掌握基本函数的性质是关键 【解析】A 是增函数不是奇函数错误,B 和 C 都不是定义域内的增函数排除,只有 D 正确, 因此选 D. 10.C 【解析】

M ? ? x x ? 1? , N ? ? x ?2 ? x ? 2? ,? M ? N ? ? x 1 ? x ? 2? , 故选C.

【考点定位】本题主要考察集合的运算以及不等式的解法 11. 3. 【考点定位】本题主要考察极坐标系与极坐标方程,先化为普通方程后求解 【解析】 化极坐标为直角坐标得直线

1 3 x ? ,圆( x ? 1)2 ? y 2 ? 1,由勾股定理可得相交弦长为2 ? = 3. 2 2
12.5 【考点定位】 该题主要考察直线和圆的位置关系的证明与计算 【解析】

DF DE ? , 即DE 2 =DF ? BD, DE BD 2 又由相交弦定理得DE =AE ? EB ? 1? 5 ? 5.? DF ? BD ? 5. Rt ?DEF Rt ?DEB,?
13. ?2 ? a ? 4. 【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用 A【解析】A 5 分 12 章 3 节 选修 4-5 中 T 由题意知左边的最小值小于或等于 3 即可,根据不等式的性质得

(x ? a) ? ( x ?1) ? 3,? a ?1 ? 3, ?2 ? a ? 4.
14.2 【考点定位】此题主要考察线性规划,导数的几何意义等 【解析】

1 f ?( x) ? ,? k ? f ?(1) ? 1,? 切线l : y ? x ? 1, x 因而切线l、曲线f ( x)、x轴围成三角形区域, 其中最优解是(0,-1),代入得zmax ? 2.
15.2 6 米 【考点定位】本题主要考察抛物线的标准方程及其应用,紧扣课本
答案第 2 页,总 5 页

【解析】先以拱顶为原点,建立直角坐标系,设水面和拱桥交点 A(2,-2)则抛物线方程 为 x2 ? ?2 py, 代入得22 =-2p(-2), ? 2p=2,x2 ? ?2 y, 当水面下降 1 米时,水面和拱桥的交 点记作 B(a,-3)则代入抛物线方程得:a= 6 ,因此水面宽 2 6 米. 16.1 【考点定位】该题主要考查二项式定理及其性质
r 5?r r 2 5?2 【解析】 Tr ?1 ? C5 a x ,?r ? 2,?C5 a ? 10,?a ? 1.

17. 1+

1 1 1 1 1 11 + ? ? ? ? . 22 32 42 52 6 2 6 1 3 1 1 5 ? ; ② 1? 2 ? 2 ? ; 2 2 3 2 2 3

【 解 析 】 试 题 分 析 : 根 据 已 知 不 等 式 , ① 1? ③1 ?

1 1 1 7 ? 2 ? 2 ? 2 4 2 3 4

,得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方, 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1, 分母是不等式的序号 n+1, 故可以归纳出 第 n 个不等式是

1?
1?

1 1 1 ? ? ? 22 32 42

?

1 2n ? 1 ? ( n ? 2 ), 所 以 第 五 个 不 等 式 为 2 (n+1) n+2

1 1 1 1 1 11 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 6 2 3 4 5 6

考点:本题考查归纳推理,解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性,由此得出 通式,本题考查了归纳推理考察的典型题,具有一般性 点评: 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性: 左边式子是连续正整数平方的倒数和, 最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方,右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1,分母是不等式的序号 n+1,得出第 n 个不等式,即可得到通式,再令 n=5,即可得出 第五个不等式 18. EX ? 0 ? 0.5+1? 0.49+2 ? 0.01=0.51. 【考点定位】本题主要考察离散型随机变量的概率、概率分布与期望,同时考察逻辑思维能 力、推理论证能力数据处理能力等,是常考考点 【解析】设顾客办理业务所需时间,Y,用频率估计概率的分布列如下 Y P 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”记作 A,则

P (A) ? P(Y ? 1) P(Y ? 3) ? P(Y ? 3) P(Y ? 1) ? P(Y ? 2) P(Y ? 2) ? 0.1? 0.3 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22.
X 所有可能取值为 0,1,2.所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)= 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49; P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)= 0.1? 0.1 ? 0.01. 因此 X 的分布列为: X 0 1
答案第 3 页,总 5 页

2

P

0.5

0.49

0.01

所以 X 的期望 EX ? 0 ? 0.5+1? 0.49+2 ? 0.01=0.51.

x2 y 2 ? ? 1. 19. 16 4

y ? x或y ? ? x.

【考点定位】本题主要考察曲线与方程、椭圆的标准方程,直线与曲线、直线与直线,圆锥 曲线的综合问题.掌握通性通法是关键 【解析】

()依题意设椭圆方程为 1 ? 1?

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 2), e ? , 2 a 4 2

4 3 x2 y 2 2 ? , ? a ? 16, ? 椭圆方程为 ? ? 1. a2 2 16 4

(2)设( A x1 , y1 ), B (x2 , y2 ), OB ? 2OA,? O, A, B三点共线且不在y轴上, x2 x2 y 2 ? y 2 ? 1和 ? ? 1得: 4 16 4 4 16 16 16 2 x1 ? , x2 ? , OB ? 2OA,? x 2 ? 4 x12 ,? ? , 2 2 2 1 ? 4k 4?k 4?k 1 ? 4k 2 ? k ? ?1, 所求直线为:y ? x或y ? ? x. ? 设直线AB方程为y ? kx, 并分别代入
20. q ? ?2 【考点定位】本题主要考察等差等比数列的概念、通项公式、求和公式及其性质.关键要把 握两种基本数列的相关知识 【解析】 (1)

a5 , a3 , a4成等差数列, ? 2a3 =a5 +a4, ? 2a1q 2 ? a1q 4 ? a1q3 , a1 ? 0, q ? 0,? q 2 ? q ? 2 ? 0,? q ? ?2,1(舍去). ? q ? ?2.
k ? N? ? Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk ) ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1 ? 2ak ?1 ? ak ?1 (?2) ? 0.

(2)证法一.(等差中项法)

2Sk ?

2a1 (1 ? q k ) , 1? q a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? ; 1? q 1? q 1? q

S k ? 2 ? S k ?1 ?

2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 证法二.(公式法)? 2 S k ? ( S k ? 2 ? S k ?1 ) ? 1? q 1? q a1q k 2 ? (q ? q ? 2) ? 0( q ? ?2),? S k ? 2 , S k , S k ?1成等差数列. 1? q

21. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

??

?
3

【考点定位】本题主要考察三角函数的图象性质,三角函数的求值,把握三角函数的图像和
答案第 4 页,总 5 页

性质以及三角公式是关键 【解析】

( 1) A ? 1 ? 3, ? A ? 2,又 函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期, T ? 2? ? ? ? .T ? ? .?? ? ? 2, ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1. 2 2 T 6

? ? ? 1 (2) f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2,? sin(? ? ) ? , 2 6 6 2
0 ?? ?

?
2

,??

?
6

?? ?

?
6

?

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3

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6

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6

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?
3

.

答案第 5 页,总 5 页


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